上海市格致中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试卷

这是一份上海市格致中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试卷，共12页。试卷主要包含了11，； 2，【答案】，【答案】；等内容，欢迎下载使用。
一、填空题：（本大题共12题，第1-6题每小题4分，第7-12题每小题5分，满分54分）
1．已如全集，集合，则______．
2．已知复数（i为虚数单位），则______．
3．若角的顶点是坐标原点，始边与轴的正半轴重合，它的终边过点，则______．
4．已知函数，则函数的值域为__________．
5．有一列正方体，棱长组成以1为首项，为公比的等比数列，体积分别记为
，则______．
6．在中，角的对边分别为，若，，，则______．
7．已知向量满足，，，则与的夹角为______．
8、给出下面四个命题：
①过一个球的球心和球面上任意两个点，有且只有一个平面；
②若直线直线，直线平面，则直线平面；
③若直线直线，直线直线，直线平面，则直线平面；
④若直线垂直于直线在平面内的射影，则直线直线．
则上述结论不正确的有__________．（填原号）
9．过直线上的一点作圆的两条切线，当直线关于直线对称时，它们之间的夹角为_________．
10．已知，其中，若，，则实数的最大值为______．
11．设函数（为常数）在上严格递减，在和上严格递增，且的部分图像如图所示，则______．
12．2023年“国际进口博览会”即将在上海举行，现要在场馆入口布置一个大型立体花卉景观，景观的框架由中空钢管搭建的而成，外型是由若干个小正方体叠加而成的大正方体，己知搭建此立体花卉景观的脚手架钢管安装呈现东-西、南-北、上-下的网络状，每三根钢管相交处需要焊接，这些焊接点（小正方体的顶点）称为格点，相邻焊接点之间的距离都为1米（即每个小正方体的棱长都为1米），若以互相垂直的三条钢管为轴建立空间直角坐标系，现要在一个格点处接入水源，并在下述6个格点：，，，，，处安装喷淋，使6处喷淋与水源接入口所管的总长度最小，则此时水管总长度的最小值为______米（水管必须在连通的钢管内部穿行，不计各接头处的水管损耗）．
二、选择题：（本大题共4题，第13、14题每小题4分，第15、16题每小题5分，满分18分）
13．设是非零实数，若，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
14．由方程确定函数，则在上是（ ）
A．增函数B．减函数C．奇函数D．偶函数
15．已知函数，，下列四个结论中，正确的结论有（ ）
①方程有2个不同的实数解；
②方程有2个不同的实数解；
③方程有且只有1个实数解；
④当时，方程有2个不同的实数解．
A．0个B．1个C．2个D．3个
16．设圆和圆是两个定圆，动圆与这两个定圆都相切，则动圆的圆心的轨迹不可能是（ ）
A． B． C． D．
三、解答题：（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17．（本题共有2小题，满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）
如图，在长方体中，，，，点是棱的中点．
（1）求异面直线与所成角的大小；
（2）求点C到平面的距离．
18．（本题共有3小题，满分14分，第1小题满分3分，第2小题满分3分，第3小题满分8分）
小明从家到学校的上学的路上要经过3个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，每个路口遇到红灯是相互独立的，每个路口遇到红灯的概率都是，每遇到一次红灯的平均等待时间是1分钟．
（1）求小明在上学路上第一个路口未遇到红灯，而在第二个路口遇到红灯的概率；
（2）求小明在上学路上至少遇到一次红灯的概率；
（3）求小明在上学路上因遇到红灯停留总时间的分布、期望、方差．
19．（本题共有3小题，满分14分，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分6分）
已知直线与曲线交于两点．
（1）当时，有，求曲线的方程；
（2）当时，求的面积的最大值；
（3）当实数为何值时，对任意，都有为定值?指出的值．
20．（本题共有3小题，满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分10分）
在直角坐标平面中，已知点，，，，，其中是正整数．对平面上的任意一点，记为关于点的对称点，为关于点的对称点，，为关于点的对称点，．
（1）设，求向量的坐标；
（2）对任意偶数，试问：和之间有怎样的关系；
（3）对任意偶数，用表示向量的坐标．
21．（本题共有3小题，满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
设是坐标平面上的一点，曲线是函数的图像．若过点恰能作曲线的条切线，则称是函数的“度点”．
（1）判断点是否为函数的1度点，请说明理由；
（2）若点是的“度点”，求自然数的值；
（3）求函数的全体2度点构成的集合．
参考答案
一、填空题
1.； 2.； 3.； 4.； 5.； 6.； 7.； 8.①②③④； 9.； 10.23； 11.； 12.33；
二、选择题
13.D； 14.B； 15.C； 16.A
16.设圆和圆是两个定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则动圆P的圆心的轨迹不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设圆和圆的半径分别是，，则一般地，圆的圆心轨迹是以为焦点，且离心率分别是和的圆锥曲线（当时，的中垂线是轨迹的一部份，当时，轨迹是两个同心圆）。当且时，圆的圆心轨迹如选项B；当时，圆的圆心轨迹如选项C；当且时，圆的圆心轨迹如选项D.
由于选项A中的椭圆和双曲线的焦点不重合，因此圆的圆心轨迹不可能是选项A.
故选A.
三、解答题
17.【答案】（1）；（2）.
18.【答案】（1）；（2）；
（3）；；
；.
所以的分布如下： ，
故；．
19.【答案】（1）；
（2），当且仅当，即时，等号成立；
（3），当且仅当，即时，，为定值.
20．（本题共有3小题，满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分10分）
在直角坐标平面中，已知点，，，，，其中是正整数．对平面上的任意一点，记为关于点的对称点，为关于点的对称点，，为关于点的对称点，．
（1）设，求向量的坐标；
（2）对任意偶数，试问：和之间有怎样的关系；
（3）对任意偶数，用表示向量的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）依题意可得，，∴；
（2）设，
则根据题意可得和.
作差得，即.
而，所以.
（3）由（2）可得：对任意偶数，有，
∴，，，
累加得，
故.
21．（本题共有3小题，满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
设是坐标平面上的一点，曲线是函数的图像．若过点恰能作曲线的条切线，则称是函数的“度点”．
（1）判断点是否为函数的1度点，请说明理由；
（2）若点是的“度点”，求自然数的值；
（3）求函数的全体2度点构成的集合．
【答案】（1）点是函数的1度点；（2）；（3）.
【解析】（1）设，则曲线在点处的切线方程为.
则该切线过点当且仅当. 故点是函数的一个1度点；
（2）设，则，故曲线在点处的切线方程为.
该切线过点，当且仅当，即（*）.
设，其中.
则当时，，故在区间上严格增.
而，因此当时，，故（*）恒不成立，即点是的一个0度点，也即；
（3）对任意，曲线在点处的切线方程为.
设点为函数的一个2度点，等价于“关于的方程恰有两个不同的实数解”.
设，等价于“函数两个不同的零点”.
若，则在上严格增，只有一个实数解，不合要求；
若时，因为，解得有两个驻点.
当时，由或时，得严格递增；而当时，得严格递减. 故在时，取得极大值，在时取得极小值.
故当有两个不同的零点时，当且仅当或.
若，同理可得有两个不同的零点时，当且仅当或.
综上所述：的全体2度点构成的集合为.