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江苏省南京市六校联合体2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题(Word版附解析)
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这是一份江苏省南京市六校联合体2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题(Word版附解析),共19页。试卷主要包含了选择题的作答,填空题和解答题的作答等内容,欢迎下载使用。
本试卷共4页,22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答:选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.填空题和解答题的作答:用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交.
第 Ⅰ 卷(选择题)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 函数的定义域为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数解析式有意义可得出关于的不等式组,由此可解得函数的定义域.
【详解】对于函数,有,解得且,
故函数的定义域为.
故选:C.
2. 下列各组表示同一函数的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】A选项,对应法则不同,BD选项,定义域不同,C选项,定义域和对应关系相同.
【详解】A选项,,故不是同一函数,A错误;
B选项,的定义域为R,的定义域为,
故不是同一函数,B错误;
C选项,,且的定义域都为,故是同一函数,C正确;
D选项,的定义域为R,的定义域为,D错误.
故选:C
3. 已知函数,则=( )
A. 1B. 3C. -3D. -1
【答案】B
【解析】
【分析】计算出,从而求出.
【详解】,.
故选:B
4. “”是 “”的( )条件
A. 充要B. 充分不必要C. 必要不充分D. 既不充分也不必要
【答案】B
【解析】
【分析】利用不等式性质可判断充分性,举反例可判断必要性.
【详解】由不等式性质可知,若,则有,
取,显然,但不满足,
所以“”是 “”的充分不必要条件.
故选:B
5. 已知函数,若函数在上单调递增,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据分段函数的单调性的判定方法,列出不等式组,即可求解.
【详解】由函数在上单调递增,
则,解得,即实数的取值范围为.
故选:.
6. 函数的图象大致是( )
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性以及函数值求解.
【详解】函数的定义域为,
,所以函数为偶函数,C,D错误;
又因为,
当时,,;
当时,;
当时,,,故A错误,B满足题意;
故选:B.
7. 设是偶函数,且对任意的、,有,,则的解集为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分析函数的单调性,由可得,分、两种情况讨论,结合函数的单调性可得出原不等式的解集.
【详解】对任意的、,有,
不妨设,则,,则,
所以,函数在上为增函数,
又因为函数为偶函数,则该函数在上为减函数,
因为,则,
由知,
当时,,可得;
当时,,可得,
所以,不等式的解集为.
故选:D.
8. 任何正实数N可以表示成,此时,则在小数点后第( )位开始出现非零数字?(参考数据:)
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】D
【解析】
【分析】计算的值,由此确定的位数.
【详解】
在小数点后第7位开始出现非零数字.
故选:D.
二、多选题(本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
9. 已知,若,,,则下列不等式正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】依题意可得且,再根据不等式的性质判断即可.
【详解】因为,,,
所以且,则,故A、C正确;
所以,所以,故D正确;
当,时满足且,但是,故B错误;
故选:ACD
10. 设函数、的定义域都为,且是奇函数,是偶函数,则下列结论一定正确的是( )
A. 是奇函数B. 是偶函数
C. 是偶函数D. 是偶函数
【答案】BD
【解析】
【分析】利用函数奇偶性的定义逐项判断,可得出合适的选项.
【详解】因为函数、的定义域都为,且是奇函数,是偶函数,
对于A选项,设,则该函数的定义域为,
,
所以,函数不是奇函数,A错;
对于B选项,令,则该函数的定义域为,
,
所以,函数是偶函数,B对;
对于C选项,令,则该函数的定义域为,
,
所以,函数为奇函数,C错;
对于D选项,令,则该函数的定义域为,
,
所以,是偶函数,D对.
故选:BD.
11. 下列选项中正确的有( )
A. 若集合,且,则实数的取值所组成的集合是.
B. 若不等式的解集为,则不等式的解集为.
C. 已知函数的定义域是,则的定义域是.
D. 已知一元二次方程的两根都在内,则实数的取值范围是.
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A,利用分类讨论思想,建立方程,可得答案;对于B,根据一元二次不等式与方程的关系,利用韦达定理,可得答案;对于C,根据函数定义域的定义,建立不等式,可得答案;对于D,根据一元二次方程的根的判别式,结合二次函数的性质,可得答案.
【详解】对于A,当时,方程无解,则;
当时,由方程,解得,可得或,解得或,
综上所述,解集为,故A错误;
对于B,由题意可知:方程的解为,且,
由韦达定理可得,,则,,
解得,,
则不等式为
由,则不等式变为,解得,故B正确;
对于C,由题意可得,则,所以函数的定义域为,
对于函数,则,解得,所以其定义域为,故C正确;
对于D,由题意可得,解得或,
设,其对称轴为,则,解得,
,,解得,
综上所述,的取值范围为,故D正确.
故选:BCD.
12. 已知定义在上的函数满足:,且当时,,下列说法正确的是( )
A. 的值域为
B. 在上为减函数
C. 在上有唯一的零点
D. 若方程有4个不同的解,且,则的取值范围是
【答案】AC
【解析】
【分析】根据题意作出函数图象,借助数形结合求解即可.
【详解】由知函数的图象关于直线对称,当且时,,作出函数的图象如下:
由图象知,的值域为,故选项A正确;在上为增函数,故选项B错误;是在上的唯一零点,故选项C正确;
对于选项D,作出函数的图象如图所示,要使方程有4个不同的解,则.
因为函数的图象关于直线对称,所以函数的图象也关于直线对称,所以.由得,其关于直线的对称值为,故,所以,故选项D错误.
故答案为:AC.
【点睛】关键点点睛:判断选项A,B,C关键是作出函数的图象,因为的图象关于关于直线对称,所以只需分析并作出时的函数图象再关于直线对称即可;判断D选项的关键是数形结合和确定的取值范围,先求解在上的根,再根据对称性变换即可.
第II卷(非选择题共90分)
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13. 若命题“,使得”是真命题,则实数的取值范围是_____.
【答案】或
【解析】
【分析】分析可得出,即可解得实数的取值范围.
【详解】因为命题“,使得”是真命题,
则,解得或,
因此,实数的取值范围是或.
故答案为:或.
14. 函数的值域是_____.
【答案】
【解析】
【分析】利用换元法,转化为二次函数求值域.
【详解】换元法:
令,则,
所以,
所以当时,函数单调递增,当时,函数单调递减,
所以,
所以函数的值域为,即函数的值域是,
故答案为: .
15. 若实数满足,且,则实数值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】现结合指数与对数的互化公式,表示出,再结合换底公式表示出,最后结合对数运算即可求解
【详解】由可得,又,即
,求得
故答案为:
【点睛】本题考查指数和对数的互化,换底公式的用法,对数的运算性质,属于基础题
16. 已知函数,,若,,使得,则的取值范围是______.
【答案】##
【解析】
【分析】由题意可得.后确定最小值,通过讨论确定函数的单调性进而确定最小值,计算即可得答案.
【详解】因为函数,,若,,使得,
所以,
,令,
因为,所以,
因为在上单调递减,所以在上的最小值为,
的对称轴为,
当时,即,在区间上单调递增,
所以的最小值为,所以,解得;
当时,即,在区间上单调递减,
所以的最小值为,所以,解得;
当时,即,在区间上单调递减,在区间上单调递增,
所以的最小值为,因为成立,所以;
综上所诉:的取值范围是.
故答案为:.
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. 计算下列各式:
(1);
(2).
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)利用指数幂的运算性质、根式的运算性质以及对数恒等式计算可得出所求代数式的值;
(2)利用对数的运算性质计算可得所求代数式的值.
【小问1详解】
原式.
【小问2详解】
原式.
18. 已知集合,.
(1)当时,求;
(2),,若是的必要且不充分条件,求实数的取值范围.
【答案】18.
19.
【解析】
【分析】(1)当时,求出集合,利用补集和交集的定义可求得集合;
(2)求出集合,分析可知,可得出关于实数的不等式组,由此可解得实数的取值范围.
【小问1详解】
当时,集合,
则或,
又因为,故.
【小问2详解】
因为,则,则,
所以,,
因为是的必要且不充分条件,则,
所以,,解得
当时,,满足,
当时,,满足,
综上所述,.
19. 已知.
(1)求的最小值
(2)求的最小值.
【答案】(1)
(2)2
【解析】
【分析】(1)利用对数运算得到,从而利用基本不等式“1”的妙用即可得解;
(2)法一:利用换元法,结合基本不等式即可得解;
法二:用表示,再利用配凑法,结合基本不等式即可得解.
【小问1详解】
由得,即,
,则,
因为,所以,
当且仅当,即时取得“=”,
所以的最小值为.
【小问2详解】
法一:
令,则,,
故由可得,整理得,
,
当且仅当,即,即时取“=”,
所以的最小值为2.
法二:
由可得,又,
,
当且仅当,即时取得“=”,
所以的最小值为2.
20. 从以下三个条件中任意选择一个条件,“①设是奇函数,是偶函数,且;②已知;③若是定义在上的偶函数,当时,”,并解答问题:(注:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分.)
(1)求函数的解析式;
(2)判断并用定义证明函数在上的单调性;
(3)当时,函数满足,求实数的取值范围.
【答案】(1)条件选择见解析,答案见解析
(2)证明见解析 (3)
【解析】
【分析】(1)选①,根据函数奇偶性的定义可得出关于、的方程组,即可解得函数的解析式;
选②,由,得出,即可解出函数的解析式;
选③,由,得,可求出的表达式,再利用偶函数的性质可求出函数在时解析式,即可得出函数的解析式;
(2)任取、且,作差,因式分解后判断的符号,结合函数单调性的定义即可证得结论成立;
(3)利用函数在区间上的单调性,以及,即可得出关于实数的不等式组,即可解得实数的取值范围.
【小问1详解】
解:若选①,因为是奇函数,是偶函数,
所以可得,
所以,,解得;
若选②,因为,则,
联立方程组,解得;
若选③,因为是定义在上的偶函数,
当时,,
当时,,则,
因为函数是定义在上的偶函数,
当时,,
综上所述,.
【小问2详解】
证明:由(1)可知,当时,,且函数在上单调递增,
任取、且,即,则,,
则
,
所以,,故函数在上单调递增.
【小问3详解】
解:由(2)可知,函数在上单调递增,
当时,函数满足,
则,解得,
所以,实数的取值范围是.
21. 某健身器材厂研制了一种足浴气血生机,具体原理是:在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔,产生的臭氧对双脚起保健作用.根据检测发现,该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用.已知臭氧发生孔工作时,对左脚的干扰度与成反比,比例系数为;对右脚的干扰度与成反比,比例系数为,且当时,对左脚和右脚的干扰度之和为.
(1)求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和关于的表达式;
(2)求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)由已知可的,将代入函数解析式,求出的值,
(2)将代数式与相乘,展开后利用基本不等式可求得的值,利用等号成立的条件求出的值,即可得出结论.
【小问1详解】
解:由题意,得,
将代入,得:,得,
故.
【小问2详解】
解:因为,则,
所以,
,
当且仅当时,即当时,等号成立,
因此,臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值为.
22. 设为实数,函数.
(1)当时,判断函数的奇偶性并说明理由;
(2)若在区间上为增函数,求的取值范围;
(3)求在上的最大值.
【答案】22. 奇函数,理由见解析;
23. ;
24. 当时,;当时,;
当时,;当时,.
【解析】
【分析】(1)根据函数的奇偶性定义进行判断;
(2)将写成分段函数并得到单调递增区间,再根据在上为增函数,列出不等式组进行求解;
(3)分类讨论情况下在上的最大值.
【小问1详解】
是R上的奇函数,理由如下:
定义域为R,
当时,,
所以为R上的奇函数.
【小问2详解】
当时,对称轴为,时,对称轴为
则在上减函数,上为增函数,上为减函数
因为在区间上为增函数,所以,解得,
所以的取值范围为.
【小问3详解】
由(2)知在上为减函数,上为增函数,上为减函数
当即时,;
当即时,;
当即时,;
当时,.
综上,当时,;当时,;
当时,;当时,.
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