2023-2024学年安徽省滁州市明光市第二中学高一上学期10月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年安徽省滁州市明光市第二中学高一上学期10月月考数学试题含答案，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．由英文单词“bk”中的字母构成的集合中元素的个数为（ ）
A．3B．6C．8D．16
【答案】A
【详解】3个不同的元素
2．已知，，若集合，则的值为（ ）
A．-2B．-1C．1D．2
【答案】B
【分析】根据集合相等的条件及分式有意义可知，进而求出，代入集合验证可求出的值，进一步计算即可.
【详解】根据集合相等的条件及分式有意义可知，
则，
代入集合得，
则，得
因此
故选：
3．下列命题为真命题的是（ ）
A．“且”是“”的充要条件
B．“”是“”的充分条件
C．“”是“一元二次不等式的解集为”的充要条件
D．“一个三角形的三边满足勾股定理”的充要条件是“此三角形为直角三角形”
【答案】D
【分析】根据题意，分别举出反例即可判断.
【详解】对于A，取，满足，但是推不出且，故错误；
对于B，取，,满足，但是推不出，故错误；
对于C，取一元二次不等式，则其解集为，但是满足，故错误；
对于D，若一个三角形的三边满足勾股定理，则此三角形为直角三角形，充分性满足；
若一个三角形为直角三角形，则此三角形的三边满足勾股定理，必要性也满足，故正确；
故选：D
4．已知“若p，则q”为假命题，“若q，则p”为真命题，则p是q的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】“若p，则q”为假命题，则；
“若q，则p”为真命题，则，
由充分条件和必要条件的定义可知，p是q的必要不充分条件.
故选：B
5．若集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出集合，再根据交集的定义即可得解.
【详解】，
所以.
故选：B.
6．“”是“且”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据题意，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】当，此时满足，但且不成立，所以充分性不成立；
反之：若且，可得成立，所以必要性成立，
所以“”是“且”必要不充分条件.
故选：B.
7．已知p：，那么p的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】判断出的真子集，得到答案.
【详解】因为是的真子集，故是p的一个充分不必要条件，C正确；
ABD选项均不是的真子集，均不合要求.
故选：C
8．已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求出集合，再利用可得实数的取值范围.
【详解】由，得，所以，
因为，所以，故．
故选：C．
二、多选题
9．（多选）对任意实数a，b，c，下列结论不正确的是（ ）
A．“”是“”的必要条件
B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件
D．“”是“”的充分条件
【答案】ACD
【分析】ACD可举出反例；B选项，根据等式的基本性质可得.
【详解】A选项，已知，当时，则，故A错误；
C选项，已知，当时，则，故C错误；
B选项，已知，方程两边同乘以，可得，故“”是“”的必要条件，B正确；
D选项，不妨设，满足，但不满足，D错误.
故选：ACD
10．“方程没有实数根”的一个充分不必要条件可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】求出“方程没有实数根”时，实数的取值范围，再利用集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】若方程没有实数根，则，解得，
因为，，，
，
所以，“方程没有实数根”的一个充分不必要条件可以是、，
故选：BC.
11．若集合 ， 则的值可能为（ ）
A．B．C．0D．
【答案】AB
【分析】本题应用集合之间的关系,分二次项系数是否为0两种情况,分别根据判别式和一次方程的根,解出.
【详解】根据题意， 只有一个实数根，
当 时，化为， 所以；
当 时，， 则，
又是方程的解， 所以，
得．
故答案为:
12．设集合，则下列说法不正确的是（ ）
A．若有4个元素，则B．若，则有4个元素
C．若，则D．若，则
【答案】ABC
【分析】首先解方程得到：或,针对a分类讨论即可.
【详解】（1）当时，，；
（2）当时，，；
（3）当时，，；
（4）当时，，；
故A，B，C，不正确，D正确
故选：ABC
【点睛】本题考查了集合的交、并运算，考查了学生分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.
三、填空题
13．已知集合，则集合A的所有非空子集的元素之和为 ．
【答案】36
【分析】写出其所有非空子集，再计算其元素之和即可.
【详解】集合A的非空子集分别是：，，，，，，．
故所求和为为．
故答案为：36.
14．已知集合，定义集合运算，则 .
【答案】
【分析】由新定义运算求解，
【详解】由题意知，集合
则a与b可能的取值为0，2，3，
∴的值可能为0，2，3，4，5，6，
∴
故答案为：
15．设方程解集为A，解集为B，解集为C，且，，则 ．
【答案】
【分析】先求出集合，根据题意和找到集合中有的元素和没有的元素,根据集合中有的元素求出参数的值，然后再检验是否符合和.
【详解】
，即或
又
，即或
又因为
所以且
又因为
所以或
所以只有成立，
所以是方程的根，即
故，即
所以或
当时，方程变为
所以不满足，故不符合题意舍去.
当时，方程变为
所以满足，和，满足题意.
故答案为：
16．若，或，且A是B的充分不必要条件，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】依题意有AB，根据集合的包含关系，列不等式求实数a的取值范围.
【详解】因为A是B的充分不必要条件，所以AB，
又，或，
因此或，解得或
所以实数a的取值范围是．
故答案为：
四、解答题
17．求方程有两个同号且不相等的实数根的充要条件.
【答案】
【解析】先由方程有两个同号且不相等的实数根求出参数的范围，再说明充分性．
【详解】若方程有两个同号且不相等的实数根，
则解得.
故方程有两个同号且不相等的实数根的必要条件为.
反之，若，则，，即，
∴方程有两个不相等的实数根，设两根为，，
则，由得，
∴，同号，即充分性成立.
因此方程有两个同号且不相等的实数根的充要条件是.
【点睛】本题考查由充要条件求参数取值范围，解题时先由结论求条件，这是必要性，然后还需要证明充分性．
18．已知全集．
(1)求；
(2)若且，求的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）先求出集合，再求即可，
（2）先求出，然后由，对和两种情况讨论求解即可.
【详解】（1）因为，
所以或，
因为，
所以或
（2）因为
所以或，
当时，成立，此时，解得，
当时，因为，
所以，或，解得，
综上，的取值范围为
19．已知 .
(1)是否存在实数，使是的充要条件?若存在，求出的取值范围;若不存在，请说明理由;
(2)是否存在实数，使是的必要条件?若存在，求出的取值范围;若不存在，请说明理由.
【答案】(1)不存在
(2)
【分析】（1）根据两集合相等，形成方程组，无解，可判断不存在满足题意的实数.
（2）要使是的必要条件，则，根据集合关系可求得实数的范围.
【详解】（1）要使是的充要条件，则
即，此方程组无解.
所以不存在实数，使是的充要条件.
（2）要使是的必要条件，则，
当时，，解得
当时，，解得
要使，则有，解得，所以
综上可得，当时，是的必要条件.
20．设集合，，．
(1)，求；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求m的取值范围．
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】（1）首先应用补集运算求，再由交集运算求即可；
（2）由题设BA，讨论、列不等式求参数范围即可.
【详解】（1）由题意，当时，故或，
而，故.
（2）由“”是“”的充分不必要条件，可得BA，
当时，，符合题意；
当时，需满足（、等号不能同时成立），解得，
综上，m的取值范围为或．
21．设全集，集合.
(1)当时，求；
(2)从下面三个条件中任选一个，求实数的取值范围.
①，②；③.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据得出，然后求出集合的补集，将集合化简，然后利用交集的定义即可求解；
(2) 选①可得，然后分和两种情况进行讨论即可求解.选②可得，后面同①；选③可得，后面同①.
【详解】（1）当时，集合，则，
又因为，
则
（2）选①，因为，则，所以分和两种情况：
当时，则有，
当时，则有，解得：，
综上：实数的取值范围为：.
选②，由可得：，所以分和两种情况：
当时，则有，
当时，则有，解得：，
综上：实数的取值范围为：.
选③，由可得：，所以分和两种情况：
当时，则有，
当时，则有，解得：，
综上：实数的取值范围为：.
五、证明题
22．已知，求证：的充要条件是．注：．
【答案】证明见解析.
【解析】先证必要性，根据题意得，再代入化简即；再证充分性，由立方和公式得，进而提公因式得，进而得.故命题成立.
【详解】证明：先证必要性：
∵，∴
∴

再证充分性：
∵
∴
即：
∵，
∴，即.
综上所述：的充要条件是.
【点睛】本题考查充要条件的证明，考查运算能力，是基础题.