2023-2024学年江苏省扬州市邗江中学高一上学期10月学情检测数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江苏省扬州市邗江中学高一上学期10月学情检测数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，问答题，解答题，计算题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合A=，B=，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】直接利用集合并集的定义求解即可.
【详解】因为集合A=，B=，
所以=，
故选：D
【点睛】本题主要考查集合并集的定义，属于基础题.
2．哥德巴赫猜想是世界近代三大数学难题之一，即所谓的“”问题.1966年，我国数学家陈景润证明了“”成立.哥德巴赫猜想的内容是“每一个大于2的偶数都能写成两个质数之和”，则该猜想的否定为（ ）
A．每一个小于2的偶数都不能写成两个质数之和
B．存在一个小于2的偶数不能写成两个质数之和
C．每一个大于2的偶数都不能写成两个质数之和
D．存在一个大于2的偶数不能写成两个质数之和
【答案】D
【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确否定，即可求解.
【详解】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，A，C错误;
哥德巴赫猜想的否定为“存在一个大于2的偶数不能写成两个质数之和”.
故选：D.
3．下列不等式中成立的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】D
【分析】根据不等式性质结合特例法逐项判断即可.
【详解】对于A，，当时，，故A错误；
对于B，当时，，故B错误；
对于C，当时，满足，但是，故C错误；
对于D，因为，所以，，所以，故D正确.
故选：D.
4．甲、乙两人解关于x的不等式，甲写错了常数b，得到的解集为；乙写错了常数c，得到的解集为．那么原不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据韦达定理即可求解.
【详解】解：根据韦达定理得，，原不等式的两根满足，解得：，
故解集为：，
故选：D.
5．已知非零实数，，，“”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】举例分别说明充分性以及必要性，即可得出答案.
【详解】若，，，
则由可得或；
若，，，
则由可得.
此时有，但是，
所以，“”不是“”成立的充分条件；
设，
因为恒成立，所以；
设，
因为恒成立，所以，此时有.
但是，，，即不成立，
所以，“”不是“”成立的必要条件.
综上所述，“”是“”成立的既不充分也不必要条件.
故选：D.
6．现设计一个两邻边的长度分别为的矩形广告牌，其面积为，且，则当该广告牌的周长最小时， （ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】根据题意求得，得到矩形的周长为，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由题意知，且，所以，
则该矩形的周长为
，当且仅当，即时，取得等号，
此时.
故选：A.
7．质数也叫素数，17世纪法国数学家马林·梅森曾对“”（p是素数）型素数作过较为系统而深入的研究，因此数学界将“”（p是素数）形式的素数称为梅森素数．已知第6个梅森素数为，第14个梅森素数为，则下列各数中与最接近的数为（ ）（参考数据：）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，得到，再结合对数的运算公式，即可求解.
【详解】由第6个梅森素数为，第14个梅森素数为，，
可得，
令，两边同时取对数，则，可得，
又，所以，
与最接近的数为.
故选：B.
8．已知a＞0，且a2－b＋4＝0，则（ ）
A．有最大值B．有最大值C．有最小值D．有最小值
【答案】D
【分析】根据，变形为，然后由可得，再利用基本不等式求最值.
【详解】因为，
所以，
所以，
当且仅当时取等号，
∴ 有最小值
故选：D.
二、多选题
9．图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】在阴影部分区域内任取一个元素，分析与集合、、的关系，利用集合的运算关系，逐个分析各个选项，即可得出结论.
【详解】如图，在阴影部分区域内任取一个元素，则或，所以阴影部分所表示的集合为 ，再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为，
所以选项AD正确，选项CD不正确，
故选：AD.
10．下列说法正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．“”是“”的既不充分也不必要条件
C．若“”是“”的充分条件，则
D．“”是“”的充要条件
【答案】BC
【解析】A．根据互相推出的情况分析属于何种条件；B．举例说明；C．根据充分条件的推出情况说明；D．举例说明.
【详解】A．不能推出，比如，而可以推出，
所以“”是“”的必要不充分条件，故错误；
B．不能推出，比如，但是；不能推出，比如，，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故正确；
C．因为“”是“”的充分条件，所以可以推出，即，故正确；
D．不能推出，比如，
满足，但是不满足，所以必要性不满足，故错误；
故选：BC.
【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，主要考查学生的逻辑推理能力，难度一般.判断充分条件、必要条件时，要注意“小范围推出大范围”.
11．已知关于的不等式的解集为，且，若，是方程的两个不等实根，则下列关系式中正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】由不等式的解集，可知，从而判断A错误；根据图像的平移变换，可得变换前后对称轴不变，即，变形后可判断B正确；根据,亦可判断C正确，通过举反例，即可判断D错误.
【详解】解：由题意得,故A错误，
因为将二次函数的图像上的所有点向上平移1个单位长度，
得到二次函数的图像，
所以,即，B正确，
如图，又，所以，C正确，
当时，，，
所以，D错误.
故选：BC.
12．已知均为正数，且满足，则下列各选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】由，结合基本不等式即可判断A；由已知可得，，结合基本不等式即可判断B；利用已知不等式进行放缩可求得的范围，由此判断C；将已知不等式变形后可得，利用基本不等式即可判断D.
【详解】对于A，由，得，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以，故A正确；
对于B，因为，所以，
因为，所以，
故，
所以，
当且仅当，即时取等号，
又，故B错误；
对于C，因为，所以，所以，
因为，所以，所以，
所以，即，所以，故C正确；
对于D，因为，所以，
因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：解题关键是能够将已知不等式进行合适的等价变形，结合放缩法和基本不等式来进行判断.
三、填空题
13．已知集合，若且，则的个数为 .
【答案】
【分析】根据且，可得，然后求出的子集个数，即可求解.
【详解】因为且，集合，
可得：，又因为，
所以：集合的子集有：，，，，共种情况，
所以集合的个数为.
故答案为：.
14．若命题“使”是假命题，则实数的取值范围为 ，
【答案】
【分析】原命题等价于命题“，”是真命题
【详解】由题意得若命题“”是假命题，
则命题“，”是真命题，
则需,故本题正确答案为．
【点睛】本题主要考查全称量词与存在量词以及二次函数恒成立的问题．属于基础题．
15．已知正实数满足，且对任意恒成立，则实数的最小值是 .
【答案】
【分析】利用分离常数法，结合二次函数的性质求得正确答案.
【详解】依题意，，解得，则
由得，
其中
①，
则当时①式取得最大值.
所以的最小值是.
故答案为：
四、双空题
16．关于的不等式的解集中恰有3个整数，写出符合题意的的两个值 ， .
【答案】 /-0.5
【分析】讨论a的取值范围，判断出，确定不等式的解集，根据题意确定可能的三个整数，由此列出相应的不等式组，即可求得答案.
【详解】当时，不等式即，则解集中有无数个整数，不符合题意；
故，则的解集中恰有3个整数，
即的解集中恰有3个整数，
当时，不等式的解集为或，
解集中有无数个整数，不合题意；
则，原不等式即为，
而，故不等式解集为，
不等式的解集中恰有3个整数，又，
故另外1个整数为或，
则或，解得或，
故答案为：，
五、问答题
17．已知集合.
(1)当时，求；
(2)若且，求实数的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接利用交集运算求解即可；
（2）对于的结果分类讨论，分别得到不等式（方程）组，解得即可.
【详解】（1）当时，，
又，所以.
（2）因为，
①时，，解得；
②时，，此时满足条件的m不存在；
③时，，解得，
综上得，m的取值范围为.
六、解答题
18．已知命题p：，命题q：.
（1）若命题p为真命题，求实数x的取值范围.
（2）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由一元二次不等式的解法求得的范围；
（2）由p是q的充分条件，转化为集合的包含关系，从而可求实数m的取值范围.
【详解】（1）由p：为真，解得.
（2）q：，若p是q的充分条件，则是的子集
所以.即.
七、计算题
19．化简求值：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据分数指数幂以及根式的运算法则，化简求值，可得答案;
（2）根据对数的运算法则化简求值，可得答案.
【详解】（1）
;
（2）
.
八、解答题
20．如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
（1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
【答案】（1）炮的最大射程是10千米．
（2）当不超过6千米时，炮弹可以击中目标．
【详解】试题分析：（1）求炮的最大射程即求（k＞0）与x轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解．（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解
试题解析：（1）令y＝0，得kx－ （1＋k2）x2＝0，
由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0，
故x＝＝≤＝10，当且仅当k＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米．
（2）因为a＞0，所以炮弹可击中目标
⇔存在k＞0，使3.2＝ka－ （1＋k2）a2成立
⇔关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根
⇔判别式Δ＝（－20a）2－4a2（a2＋64）≥0
⇔a≤6.
所以当a不超过6（千米）时，可击中目标．
【解析】函数模型的选择与应用
21．已知函数（）．
(1)若的解集为，解关于x的不等式；
(2)若对任意的恒成立，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据解集和韦达定理可得a，b，c的关系，及，代入目标不等式化简可解；
（2）根据不等式恒成立可得和，利用判别式所得关系放缩目标式，然后换元，分离常数后，利用基本不等式可得.
【详解】（1）因为的解集为，
所以，，，得，（），
所以等价于，
又，所以，解得，
即关于x的不等式的解集为．
（2）因为对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
所以，，
所以，
所以，时等号成立．
令，又，
所以，即，所以，
所以，
令（），当时，；
当时，，当且仅当时，等号成立．
所以的最大值为．
九、计算题
22．问题：已知均为正实数，且，求证：.
证明：，当且仅当时，等号成立.学习上述解法并解决下列问题：
(1)若实数满足，试比较和的大小，并说明理由；
(2)求的最小值，并求出使得最小的的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据以上解法，利用“1”的代换，结合基本不等式求解；
（2）令，得到，从而，利用（1）的结论求解.
【详解】（1）解：，
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以；
（2）令，则，即，
所以，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
此时，解得，
所以当时，M的最小值为.