2023-2024学年北京首都师范大学附属中学高一上学期10月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年北京首都师范大学附属中学高一上学期10月月考数学试题含答案，共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题，问答题，计算题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列各式：①；②；③；④，其中错误的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】根据集合与集合的关系，元素与集合的关系即可求解.
【详解】由元素与集合的关系可知正确，不正确，
由集合之间的关系知正确，
由集合中元素的无序性知正确，
故错误的个数为1，
故选：A
【点睛】本题主要考查了元素与集合的关系，集合的子集，集合的相等，属于容易题.
2．命题“,”的否定是（ ）
A．,B．,
C．,D．,或
【答案】D
【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可得到结果.
【详解】命题“,”是存在量词命题,
又,
所以其否定为全称量词命题,即为“,或”.
故选:D.
3．将下列多项式因式分解，结果中不含因式的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用提取公因式法判断A，利用公式法判断B，利用十字相乘法判断C、D.
【详解】对于A.原式，不符合题意；
对于B.原式，不符合题意；
对于C.原式，符合题意；
对于D.原式，不符合题意.
故选：C.
4．若集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】解绝对值不等式得A，根据交集的定义计算即可.
【详解】解得，即，B为奇数集，故.
故选：C
5．如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据Venn图表示的集合运算作答．
【详解】阴影部分在集合的公共部分，但不在集合内，表示为，
故选：C．
6．已知：，：，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】分别求出，再分析出的推导关系.
【详解】，
所以或，而，所以是的既不充分也不必要条件，
故选：D
7．下列结论成立的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】D
【分析】根据不等式的性质或举出反例对各选项逐一判断即可.
【详解】选项A：当时，若，则，当时，若，则，故A说法错误；
选项B：若，满足，此时，故B说法错误；
选项C：当或时， ，当时， ，故C说法错误；
选项D：当时，，所以不等式同乘可得，故D说法正确；
故选：D
8．设集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据集合的表达式，可求出集合是的奇数倍，是的整数倍，即可得出的关系.
【详解】由可知，集合表示的是的奇数倍；
由可知，集合表示的是的整数倍；
即可知是的真子集，即.
故选：B
9．已知是三个集合，若，则一定有（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据，以及，结合已知条件，即可判断集合之间的关系.
【详解】因为，又，
故可得，则；
因为，又,
故可得，则；
综上所述：.
故选：A.
【点睛】本题考查由集合的运算结果，求集合之间的关系，属基础题.
10．设表示非空集合中元素的个数，已知非空集合.定义，若，且，则实数的所有取值为（ ）
A．0B．0，C．0，D．，0，
【答案】D
【分析】由题意可得集合中的元素个数为1个或3个，分集合中的元素个数为1和集合中的元素个数为3两种情况，再结合一元次方程根的个数求解即可.
【详解】解：由可得或，
又因为，，
所以集合中的元素个数为1个或3个，
当集合中的元素个数为1时，则有两相等的实数根，且无解，
所以，解得；
当集合中的元素个数为3时，则有两不相等的实数根，且有两个相等且异于方程的根的解，
所以，解得或，
综上所述，或或.
故选：D.
【点睛】关键点睛：本题的关键是根据题意得出集合中的元素个数为1个或3个.
二、填空题
11．方程组的解集用列举法表示为 .
【答案】
【分析】首先根据方程组求出其解，然后运用列举法表示出对应的解集即可（以有序数对的形式表示元素）.
【详解】因为，所以，所以列举法表示解集为：.
故答案为.
【点睛】本题考查二元一次方程组解集的列举法表示，难度较易.二元一次方程组的解用列举法表示时，可将元素表示成有序数的形式：.
12．若“”是“|x|<1”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是
【答案】
【分析】根据题意得到，再利用数轴得到不等式，解出不等式即可.
【详解】
是的必要不充分条件,
,
,
实数的取值范围是,
故答案为： .
13．设，，集合，则的值是 .
【答案】0
【分析】由集合相等的含义，分类讨论元素对应关系即可.
【详解】由集合元素互异性：，
又，则或，
解得或，
故
故答案为：0
14．已知集合，，若，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】分别讨论和两种情况求解.
【详解】因为，
若，则，满足题意；
若，则应满足，所以，
综上，.
故答案为：.
三、双空题
15．当两个集合中有一个集合为另一个集合的子集时，称两个集合之间构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称两个集合之间构成“偏食”，对于集合，.若与构成“全食”，则的取值范围是 ；若与构成“偏食”，则的取值范围是 .
【答案】 或
【分析】分情况解集合，再根据“全食”与“偏食”的概念分析集合中元素满足的关系列式求解即可.
【详解】由可知，当时，，此时；
当时，，此时，
当时，；
又，若与构成“全食”，则，
当时，满足题意；当时，不合题意；
当时，要使，则，即，解得；
综上，与构成“全食”时，的取值范围是或；
若与构成“偏食”时，显然时，不满足题意，
当时，由，所以，即，解得，
此时的取值范围是.
故答案为：或；
四、解答题
16．已知全集，集合，集合．
(1)求集合及；
(2)若集合，且，求实数的取值范围．
【答案】(1)，；
(2)
【分析】（1）解一元一次不等式求集合A，再应用集合的交并补运算求及.
（2）由集合的包含关系可得，结合已知即可得的取值范围．
【详解】（1）由得：，所以，则，
由，所以，．
（2）因为且，
所以，解得．
所以的取值范围是．
五、问答题
17．已知关于的一元二次方程有两个实数根，.
(1)求实数的取值范围；
(2)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据根的判别式列不等式，然后解不等式即可；
（2）根据韦达定理得到，，然后代入求解即可.
【详解】（1）因为有两个实根，所以，解得.
（2）由题意得，，
所以，整理得 ，解得或-1，
因为，所以.
六、计算题
18．已知全集，，，，在①；②；③；这三个条件中任选一个补充到下列问题中并作答.
问题：设：______，：，是否存在实数，使得是的必要不充分条件？若实数存在，求的取值范围；若实数不存在，说明理由.
【答案】答案见解析
【分析】分别求解集合，并求解三个条件的集合，再根据必要不充分条件，转化为集合的包含关系，即可列式求解.
【详解】不等式，即，
解得：，即，
，
解得：，即，
若选①，或，
或，，
若是的必要不充分条件，则,
即或，解得：或；
所以存在实数，使得是的必要不充分条件，的范围为或；
若选②，，
，，
若是的必要不充分条件，则,
则，解集为；
所以不存在实数，使得是的必要不充分条件；
若选③，，
，，
若是的必要不充分条件，则,
则，解得：；
所以存在实数，使得是的必要不充分条件，的取值范围为；
七、证明题
19．已知集合（），表示集合中的元素个数，当集合的子集满足时，称为集合的二元子集，若对集合的任意个不同的二元子集，，…，，均存在对应的集合满足：①；②；③（），则称集合具有性质.
(1)当时，若集合具有性质，请直接写出集合的所有二元子集以及的一个取值；
(2)当，时，判断集合是否具有性质？并说明理由.
【答案】(1)答案见解析
(2)不具有，理由见解析
【分析】（1）根据集合具有性质的定义即可得出答案；
（2）当，时，利用反证法即可得出结论.
【详解】（1）当时，，
集合的所有二元子集为，
则满足题意得集合可以是或或，此时，
或者也可以是或或，此时；
（2）当，时，，
假设存在集合，即对任意的，
则取，（任意构造，符合题意即可），
此时由于，若，则中必有元素，
此时，与题设矛盾，假设不成立，
所以集合是不具有性质.
【点睛】关键点点睛：此题对学生的抽象思维能力要求较高，特别是对数的分析，在解题时注意对新概念的理解与把握是解题的关键.