2023-2024学年福建省厦门市第十中学高一上学期10月阶段性检测数学试题含答案

这是一份2023-2024学年福建省厦门市第十中学高一上学期10月阶段性检测数学试题含答案，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列关系中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据元素与集合的关系逐一判断即可.
【详解】解：对于A，因为是实数，所以，故正确；
对于B，因为是无理数，所以，故B错误；
对于C，因为为负整数，所以，故C错误；
对于D，因为是无理数，所以，故D错误.
故选：A.
2．设全集，集合，B={1，2，3}，则（）∩B=（ ）
A．{1}B．{1，2}C．{2，3}D．{1，2，3}
【答案】C
【分析】先计算出，再计算即可.
【详解】.
故选：C.
3．下列命题中是真命题的为（ ）
A．，使
B．，使
C．，
D．，
【答案】D
【分析】根据特殊命题的真假判断A，B；当时，，从而判断C；由，可得，从而判断D.
【详解】解：对于A，由，可得，所以不存在，使成立，故错误；
对于B，由，可得，所以不存在，使，故错误；
对于C，当时，，故错误；
对于D，因为当时，，故正确.
故选：D.
4．命题“”的否定是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据全称命题的否定的定义，即可判断选项.
【详解】命题“”的否定是，B正确.
故选：B
5．如果，则正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】C
【分析】举例说明ABD是错误的，用作差法证明C是正确的．
【详解】取，则，故A错误；
取，则，故B错误；
由于，所以，则，故C正确；
取，则，，故D错误.
故选：C．
6．由大于﹣3且小于11的偶数所组成的集合是
A．{x|﹣3＜x＜11，x∈Q}
B．{x|﹣3＜x＜11}
C．{x|﹣3＜x＜11，x=2k，k∈N}
D．{x|﹣3＜x＜11，x=2k，k∈Z}
【答案】D
【详解】试题分析：先确定集合元素的范围是﹣3＜x＜11，同时再确定偶数的形式，利用描述法表示集合．
解：因为所求的数为偶数，所以可设为x=2k，k∈z，又因为大于﹣3且小于11，所以﹣3＜x＜11．
即大于﹣3且小于11的偶数所组成的集合是{x|﹣3＜x＜11，x=2k，k∈Z}．
故选D．
点评：本题的考点是利用描述法表示集合．比较基础．
7．已知命题，命题都是，则是的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】结合充分，必要条件的定义进行判断即可.
【详解】不成立，如
成立，故是的必要不充分条件.
故选：B
8．若集合，则集合的元素个数为（ ）
A．19B．20C．81D．100
【答案】B
【分析】首先由题意方程变形为两个数相乘，即，依次讨论n为奇数或偶数，得到满足条件的n,从而得到集合A的元数个数．
【详解】由题意可知，即，
当是偶数时，是奇数，
当，此时，解得，满足条件，
以此类推，，共10个n，每一个n对应位于的m，
当是奇数时，是偶数，此时共10个n，
综上可知满足条件的n有20个数，每一个n对应唯一的m,
所以集合A的元素个数为20个．
故选：B．
二、多选题
9．使成立的一个必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】根据必要条件的基本概念逐项判断即可得到答案.
【详解】对于选项A，由不能推出，由可以推出，
所以是的必要条件.
对于选项B，由不能推出，由可以推出，
所以是的必要条件.
对于选项C，由能推出，由不能推出，
所以是的充分条件.
对于选项D，由能推出，由不能推出，
所以是的充分条件.
故选：AB.
10．由不超过5的实数组成集合，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】根据题意，利用元素与集合的关系，结合选项，逐项计算、判定，即可求解.
【详解】对于A中，由，所以，所以A正确；
对于B中，由，所以，所以B错误；
对于C中，由，
所以，所以C正确；
对于D中，由，所以，所以D正确.
故选：ACD.
11．已知集合，，若，则实数的取值可以是（ ）
A．0B．1C．D．
【答案】AC
【分析】分和两种情况讨论集合中的原式，即可求解.
【详解】当时，，满足条件，
当时，若，则，无解，
若，则，无解，
若，则，无解，
若，则，得，
综上可知，或，只有AC符合条件.
故选：AC
12．当一个非空数集满足“任意，则，，，且时，”，我们称就是一个数域，以下关于数域的说法.其中正确的选项有（ ）
A．0是任何数域的元素
B．若数域有非零元素，则
C．集合是一个数域
D．任何一个数域的元素个数必为奇数
【答案】AB
【分析】根据新定义进行验证.
【详解】对任意数域，只要有，则，A正确；
是的一个非零元素，则，因此，，依此类推所有正整数是的元素，从而，B正确；
集合中，，但，因此不是数域，C错；
有理数集是一个数域，但有理数集中元素个数是无穷多个，D错；
故选：AB．
三、填空题
13．已知集合，则集合A的所有非空子集的元素之和为 ．
【答案】36
【分析】写出其所有非空子集，再计算其元素之和即可.
【详解】集合A的非空子集分别是：，，，，，，．
故所求和为为．
故答案为：36.
14．已知全集，，，则如图中阴影部分表示的集合是 .
【答案】
【分析】阴影部分表示，依次进行补集和交集的运算即可.
【详解】全集，，，阴影部分表示，
或，.
故答案为：.
15．已知命题：“，”为假命题，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】依题意，，判断方程无解的条件即可.
【详解】命题：“，”为假命题，
则有，，得，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
16．某班有50名学生，其中参加关爱老人活动的学生有40名，参加洁净家园活动的学生有32名，则同时参加两项活动的学生最多有名；最少有名，则 .
【答案】10
【分析】设参加两项活动的人数为x，根据题意可得出关于x的不等式，由此可求得结果．
【详解】设参加两项活动的学生人数为x，则，解得，
∴，解得．
∴同时参加两项活动的学生最多有32名，最少有22名，即，，
所以．
故答案为：10．
四、解答题
17．已知.
(1)求的取值范围
(2)求的取值范围
【答案】(1)
(2)
【分析】根据不等式的性质可求解.
【详解】（1），.
所以的取值范围是.
（2），，.
所以的取值范围是.
18．设集合.
(1)当时，求的非空真子集的个数；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)254
(2)
【分析】（1）由题得即可解决.（2）根据得，即可解决.
【详解】（1）由题知，，
当时，共8个元素，
的非空真子集的个数为个；
（2）由题知，
显然，
因为，
所以，解得，
所以实数的取值范围是.
19．已知集合，.
(1)当时，求，；
(2)设命题：，命题：，若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）代入求出集合，求出即得解；
（2）由题意可得集合是集合的真子集，列不等式组解不等式组即得解.
【详解】（1）当时，，
，
，.
（2）由是成立的充分不必要条件，则，
，则
等号不能同时取得，解得（时不符合），无解，
即实数的取值范围是
20．一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好．设某所公寓的窗户面积为，地板面积为，
(1)若这所公寓窗户面积与地板面积的总和为，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？
(2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积，设增加的面积为，则公寓的采光效果是变好了还是变坏了？请说明理由．
【答案】(1)30平方米
(2)变好了
【分析】（1）根据题意列出关于的等量关系和不等量关系，化简求解即可
（2）分式的分子分母同时增加，通过作差法比较新的分式与原来分式的大小，从而判断采光效果变好了还是变坏了
【详解】（1）根据题意可得： ，则，所以，解得：，所以这所公寓的窗户面积至少为30平方米
（2）同时增加窗户面积和地板面积后，比值为，则，因为，所以，所以，所以同时增加相同的窗户面积和地板面积后，公寓的采光效果变好了
五、证明题
21．设a，b，，求证：关于x的方程有一个根是1的充要条件为.
【答案】证明见解析
【分析】根据充分条件、必要条件的定义结合一元二次方程的性质证明即可.
【详解】充分性：
，，
代入方程得，即．
关于的方程有一个根为；
必要性：方程有一个根为，
满足方程，
，即．
故关于的方程有一个根是的充要条件为．
六、解答题
22．已知由实数组成的集合，，又满足：若，则.
(1)能否是仅含一个元素的单元素集，试说明理由；
(2)中含元素个数一定是个吗？若是，给出证明，若不是，说明理由.
【答案】(1)A不可能是单元素集合，理由见解析；
(2)A中所含元素个数一定是，证明见解析．
【分析】（1）由x与都在集合A中，结合集合A只含有一个元素，得，再判断方程有无实数根，若有解则存在，若无解则不存在；
（2）A中所含元素个数一定是个．由，则，得到，然后推导出互不相等即可证明A中所含元素个数一定是个．
【详解】（1）假设A中仅含一个元素，不妨设为a，则，有，
又A中只有一个元素，，即，
但此方程，即方程无实数根，
∴不存在这样的实数a，故A不可能是单元素集合．
（2）中所含元素个数一定是个．
证明：，则，，而，
且，当时，，
，方程无解，；
当时，，，方程无解，；
当时，，，方程无解，，
中所含元素个数一定是个．