2023-2024学年河北省石家庄二中高一上学期第二次月考（10月）数学试题含答案

这是一份2023-2024学年河北省石家庄二中高一上学期第二次月考（10月）数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用交集的定义可求得集合.
【详解】因为集合，，则.
故选：C.
2．不等式的解集是（ ）
A．或B．
C．D．
【答案】D
【分析】分式不等式移项通分，再化为整式不等式求解即可得解集.
【详解】因为，所以，则，即
等价于且，解得，故不等式的解集为.
故选：D.
3．若“，使得成立”是假命题，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】“，使得成立”是假命题，等价于“，使得成立”是真命题，再利用基本不等式，求出时，的最小值，即可得实数的取值范围．
【详解】若“，使得成立”是假命题，
则“，使得成立”是假命题，
即等价于“，使得成立”是真命题.
根据基本不等式，
，当且仅当，即时等号成立，
所以，故实数的取值范围为.
故选：B．
4．命题“函数对，都有”是真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】原题等价于下，单增，分和讨论，结合二次函数特征即可求解.
【详解】由题可知，当，单增，
当时，单减，不符合题意，舍去；
当时，要使，单增，需满足，
解得.
故选：D
5．已知函数定义域为，且的图象关于对称，当时，单调递减，则关于的不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】分析可知函数为偶函数，根据偶函数的定义域关于原点对称可求出实数的值，根据函数的单调性、偶函数的性质，结合可得出关于实数的不等式组，由此可解得的取值范围.
【详解】因为函数的图象关于对称，
令，则，即，
即，所以，，
故函数是定义在上的偶函数，则，解得，
所以，函数是定义在上的偶函数，
由题意可知，函数在上单调递减，
由可得，
所以，，解得.
因此，不等式的解集为.
故选：A.
6．已知一元二次不等式的解集为，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据一元二次不等式的解集得出、与的关系，代入中利用基本不等式求出最大值．
【详解】一元二次不等式的解集为，
所以、为关于的方程的两根且，
所以，解得，，
所以
，当且仅当，即时取等号，
即的最大值为.
故选：D
7．若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.
【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在上也是单调递减，且，，
所以当时，，当时，，
所以由可得：
或或
解得或，
所以满足的的取值范围是，
故选：D.
【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.
8．定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】构造函数，由单调性的定义可判断得在上单调递增，再将题设不等式转化为，利用的单调性即可求解.
【详解】令，
因为对，且，都有成立，
不妨设，则，故，则，即，
所以在上单调递增，
又因为，所以，故可化为，
所以由的单调性可得，即不等式的解集为.
故选：D.
二、多选题
9．下列各组函数表示不同函数的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】ABD
【解析】根据相等函数的概念，结合函数的定义域与对应法则，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数；
对于B中，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数；
对于C中，函数与的定义域和对应法则都相同，所以表示相同的函数；
对于D中，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数.
故选：ABD.
10．如果，那么下列不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】利用作差法可判断AC选项；取可判断B选项；利用不等式的基本性质可判断D选项.
【详解】因为，
对于A选项，，则，A错；
对于B选项，当时，，B错；
对于C选项，，
所以，，C对；
对于D选项，由不等式的基本性质可得，，所以，，D对.
故选：CD.
11．已知a>0，b>0，且3a+b=2，则（ ）
A．ab的最大值为B．的最大值是2
C．的最小值是18D．的最小值是
【答案】AC
【分析】结合基本不等式的应用，但要只有等号能不能取，B要用乘1法，D减少变量后用基本不等式.
【详解】因为，且，所以，所以，当且仅当时，等号成立，则正确；
由题意可得，当且仅当=1时，等号成立，则错误；
因为，所以，当且仅当时，等号成立，则C正确；
由，得，
对于，由，得，
，
当且仅当，当时，，矛盾，故等号取不到，故D错误.
故选：AC.
12．已知函数是定义在上的奇函数，且满足下列条件：
①对任意的实数，，都有；
②对任意的实数，都有；
③．
则下列说法正确的有（ ）
A．B．
C．函数在上单调递增D．不等式的解集为
【答案】ABC
【分析】赋值法，上奇函数的性质，数形结合即可.
【详解】由题知，函数是定义在上的奇函数，且满足下列条件：
①对任意的实数，，都有；
②对任意的实数，都有；
③．
令，
所以，故A正确；
因为函数是定义在上的奇函数，必有，故B正确；
设，则，
且，
因为，对于任意的实数，都有，
所以，
所以，
所以函数在上单调递增，故C正确；
可作满足题意的图象（不唯一），如图
故D错误；
故选：ABC
三、填空题
13．函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】依题意可得，求解即可.
【详解】依题意可得，解得且.
所以函数的定义域为.
故答案为：.
14．若是奇函数，则 .
【答案】
【分析】利用给定的分段函数，结合奇函数的定义求解作答.
【详解】依题意，，
所以.
故答案为：
15．已知对一切，，不等式恒成立，则实数的最小值为 ．
【答案】0
【分析】令，则原题意等价于对一切，恒成立，根据恒成立问题结合二次函数的性质分析运算.
【详解】因为，，则，
所以，，
又不等式恒成立，且，可得，
令，则原题意等价于对一切，恒成立，
当时，，
故实数的取值范围是.
16．设表示不超过的最大整数，则方程的所有根的和为 .
【答案】/
【分析】首先根据题意得到，根据得到，从而得到，再分类讨论或或的情况求解即可.
【详解】因为，所以，又，所以.
由，得，该不等式恒成立.
由，得，解得，
则或或.
当时，可化为，解得，又，所以；
当时，可化为，解得，又，所以；
当时，可化为，解得，又，所以.
所以方程的根为，即方程的所有根的和为.
故答案为：.
四、解答题
17．设集合
(1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】根据条件判断A、B包含关系，进而求解，注意情形.
【详解】（1）由是的充分不必要条件，则，则
（2）因为，所以，
当时，，满足题意；
当时，，解得；
综上：
18．（1）已知函数，求出的解析式
（2）．求函数的定义域和函数的值域
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）令，由换元法可求解出答案.
（2）由可得出函数的定义域；令，则将函数转化为二次函数在区间上的值域问题.
【详解】（1）令，得，则，
得，故，
（2），由，得，
所以函数的定义域为
令，则，所以，
又函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时函数取得最小值，最小值为，
故函数的值域为．
19．已知函数
(1)求的值；
(2)若，求实数的值.
【答案】(1)，
(2)或或
【分析】（1）根据分段函数解析式直接代入求解；
（2）令，分和两种情况讨论，运算求解即可.
【详解】（1）因为，则，
又因为，所以.
（2）令，则，
当时，则，解得：，
即，可得或，解得；
当时，则，解得：或2，即或，
可得或或或，解得或；
综上所述：或或.
20．函数，.
(1)当时，总有成立，求实数的取值范围；
(2)若，对，，使得，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意恒成立，采用变量分离法得，求解出的最大值，从而得解；
（2）根据题意可得出，在上的值域为在上的值域的子集，根据子集运算规则解得参数的取值范围.
【详解】（1）解：由得，
当时，此时；
当时，，
因为，故，
所以，
当且仅当时等号成立，即时等号成立，
故；
综合得：；
（2）记，，
因为对，，使得，
所以，
因为，当且仅当时，等号成立，
所以，
当时，在上单调递增，
所以，
故，
因为，
所以，即，
又，
故.
21．函数是定义在上的奇函数，且
(1)求的解析式；
(2)证明在上为增函数；
(3)解不等式.
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3).
【分析】（1）根据函数是定义在 上的奇函数，由，结合 求解；
（2）利用函数单调性的定义证明；
（3）由函数是定义在上的奇函数，得到，再利用在上为增函数求解.
【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，
所以，即，解得，
此时，又，所以，解得，
所以；
（2）任取，且，则，
因为，所以，
因为，所以，所以，
所以在上为增函数；
（3）函数是定义在上的奇函数，
由，得，又在上为增函数，
所以，解得.
22．已知函数的定义域为，并且满足下列条件：①；②对任意，都有；③当时，.
(1)证明：为奇函数.
(2)解不等式.
(3)若对任意的，恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）用赋值法先求出，再令即可得证；
（2）先证明函数在上是减函数，再求得，最后将不等式转化为求解即可；
（3）将题意转化为，恒成立即可.
【详解】（1）由题意函数的定义域为，定义域关于原点对称，
令，则，故.
令，则，故.
故为奇函数.
（2）任取，且.
由题意，，，
故，即，
又，故在上为减函数.
因为，所以，，
故即，
即，化简可得，解得.
（3）由（2）知在上为减函数，故在上最大值为.
要使对任意的，恒成立，则，即对任意恒成立.
又是关于的一次函数，故只需，
即，解得.