2023-2024学年湖北省襄阳市第一中学高一上学期10月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年湖北省襄阳市第一中学高一上学期10月月考数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】确定是的真子集，得到答案.
【详解】集合，，则是的真子集，即.
故AD错误，C正确，，B错误.
故选：C
2．命题“，”的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据全称量词命题的否定判断各选项.
【详解】，”的否定为，.
故选：C.
3．若函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据题意求出的定义域为，再由可求得的定义域.
【详解】因为函数的定义域为，则，可得，
所以函数的定义域为，
对于函数，则，得，
所以的定义域为.
故选：C
4．下列说法中，错误的是（ ）
A．若，则一定有B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】A
【分析】对A举反例即可判断；对B和D，利用不等式基本性质即可判断；对C，利用作差法即可判断.
【详解】对于A，若，则，故A错误.
对于B，由，可知，所以，所以.故B正确.
对于C，，因为，
所以，所以.故C正确.
对于D，因为，所以.又，所以.故D正确.
故选：A.
5．已知，，若，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】化简已知条件，利用基本不等式即可得出结论.
【详解】由题意，
，，，
∴，
∴，
当且仅当即时等号成立，
故选：C.
6．已知不等式的解集为,则不等式的解集为
A．B．{或}
C．D．或}
【答案】B
【解析】根据不等式的解集可知对应方程的两个根,由根与系数关系求得与、与的关系,进而得要解的一元二次不等式,解不等式即可求解.
【详解】由不等式的解集为,得到
且方程的两个根分别为
由根与系数的关系得,
由,同时除以可得
即不等式可化为
则
因式分解可得
解得或
即不等式的解集为{或}
故选:B
【点睛】本题考查了一元二次不等式与一元二次方程的关系,一元二次方程的根与系数关系的应用,属于基础题.
7．若函数在R上为减函数，则实数a的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据分段函数的单调性列式求解.
【详解】由题意可得，解得，
所以实数a的取值范围为.
故选：A.
8．已知实数，，满足，则的最小值是
A．B．C．-1D．
【答案】B
【解析】根据题意利用与的基本不等式,再转换为含的二次不等式求解即可.
【详解】若取最小值,显然异号且.故,
即,故,
当且仅当分别取时等号成立.
故选：B
【点睛】本题主要考查了基本不等式以及二次不等式的综合运用,需要注意分析的正负再利用基本不等式,属于中等题型.
二、多选题
9．下列各组函数表示同一个函数的是（ ）．
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】BC
【分析】判断两个函数的定义域是否相同，对应关系是否完全一致即可.
【详解】选项A，当时，，，
所以与对应关系不完全一致，故不是同一个函数；
选项B，与定义域都为，
且对应关系完全一致，故是同一个函数；
选项C，与的定义域都为，
且，对应关系完全一致，故是同一个函数；
选项D，对，由，解得，
所以的定义域为，
对，由，解得或，
所以的定义域为，
两函数定义域不同，故不是同一个函数.
故选：BC.
10．下列函数中，值域为的是（ ）
A．，B．
C．，D．
【答案】AC
【分析】根据基本初等函数函数的性质判断A、B、C，利用基本不等式计算D.
【详解】对于A：函数，在定义域上单调递增，
又，，所以，故A正确；
对于B：由，所以，即，故B错误；
对于C：函数，在定义域上单调递增，
又，，所以，故C正确；
对于D：因为，所以，当且仅当，即时取等号，
所以，故D错误；
故选：AC
11．设正实数满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为4B．的最大值为
C．的最大值为2D．的最小值为
【答案】ABD
【分析】根据基本不等式即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A，，，，，
当且仅当，即时等号成立，故A正确；
对于B，，，当且仅当，即，时等号成立，
所以的最大值为，故B正确；
对于C，因为，
所以的最大值为，故C错误；
对于D，因为，故D正确.
故选：ABD.
12．定义一种运算.设（为常数），且，则使函数最大值为4的值可以是（ ）
A．-2B．6C．4D．-4
【答案】AC
【解析】根据定义，先计算在，上的最大值，然后利用条件函数最大值为4，确定的取值即可．
【详解】在，上的最大值为5，
所以由，解得或，
所以时，，
所以要使函数最大值为4，则根据定义可知，
当时，即时，，此时解得，符合题意；
当时，即时，，此时解得，符合题意；
故或4，
故选：AC
三、填空题
13．已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】解不等式化简集合A，B，再利用充分不必要条件的定义求解作答.
【详解】解不等式，即，得或，于是，而，
由是的充分不必要条件，得，因此，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
14．已知，则= .
【答案】5
【分析】根据分段函数特点逐步代入即可.
【详解】因为，所以，
所以.
故答案为：5.
15．已知集合，，，则的真子集个数为 .
【答案】7
【分析】根据集合交并补运算，然后计算真子集个数即可；
【详解】，
真子集个数为：，
故答案为：7.
16．已知函数的值域为，求实数k的取值范围 ．
【答案】
【分析】根据函数的值域为，可得是函数的值域的子集，再分和两种情况讨论即可.
【详解】因为函数的值域为，
所以是函数的值域的子集，
当时，，符合题意，
当时，
则，解得，
综上所述，.
故答案为：.
四、解答题
17．已知集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a＋5}，B＝{x|x≤－2或x5}.
（1）若，求；
（2）；求实数a的取值范围．
【答案】（1），；（2）或.
【解析】（1）直接求和；
（2）对集合进行分类讨论，分为和两种情况讨论分析得解.
【详解】解：（1），
所以，
，
；
（2）若A∩B＝A，得；
当Ø时，，得；
当 Ø时，
或
得或，.
综上所述，或，
【点睛】关键点睛：解题的关键在于对集合进行分类讨论，分为和，然后，列出相应的不等式方程组，难度属于基础题
18．（1）已知，求函数的解析式.
（2）已知函数满足，求函数的解析式.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用换元法或配凑法运算即可得解.
（2）利用方程组法运算即可得解.
【详解】（1）解法一（换元法）：令, 则，
则有，
所以函数的解析式为.
解法二（配凑法）：.
因为，所以函数的解析式为.
注：未写范围扣2分.
（2）解：因为 ①
所以 ②
联立①②式消去可解得：.
19．已知二次函数，，的最大值为16；
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在区间的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可设，结合进而可得的解析式；
（2）由（1）知，对称轴为，分情况讨论对称轴和区间的关系即可求解.
【详解】（1）由已知函数是二次函数，且，
∴函数图象的对称轴为，
又的最大值为16，设，
又，
∴．
∴；
（2）由（1）知，图象的对称轴为，开口朝下，
若，则在上是减函数，最大值；
若，即，则在上是增函数，；
若，即，则；
综上所述，当时，；
当时，；
当时，．
20．（1）已知，则的最大值为？
（2）求函数 的最小值.
【答案】（1）1；（2）.
【分析】（1）先对的解析式进行配凑，然后利用基本不等式求解出的最大值；
（2）先对的解析式进行化简，然后利用配凑法以及基本不等式求解出函数的最小值.
【详解】解.（1）因为，所以，
则.
当且仅当，即时，取等号.
故的最大值为1.
（2）
.
当且仅当，即时，取等号.
故函数的最小值为.
21．已知函数．
(1)当时，判断函数的单调性并证明；
(2)若不等式成立，求实数x的取值范围．
【答案】(1)在上单调递增，证明见解析
(2)
【分析】（1）根据函数单调性的定义判断并证明即可；
（2）结合函数单调性将不等式转化即可得解集.
【详解】（1）在上单调递增，理由如下：
任取，，且，
．
因为，所以，，，
所以，即，可得，
所以在上单调递增．
（2）因为，，
由（1）得在上单调递增，
因为，所以，
即，解得：或，
所以实数x的取值范围是.
22．小云家后院闲置的一块空地是扇形，计划在空地挖一个矩形游泳池，有如下两个方案可供选择，经测量，，.

(1)在方案1中，设，，求，满足的关系式；
(2)试比较两种方案，哪一种方案游泳池面积的最大值更大，并求出该最大值.
【答案】(1)（其中，）
(2)选择第一种方案，此时游泳池面积的最大值为
【分析】（1）连接，在中应用勾股定理找到关系式，注意取值范围；
（2）由（1）及基本不等式求得，结合三角形面积公式求方案一的最大值；在连接，，设，，在中应用勾股定理得，结合基本不等式、三角形面积公式求方案二最大值，比较大小即可.
【详解】（1）连接，
，，，，
，在中，
，满足的关系式为（其中，）；
（2）
方案1：设游泳池的面积为，
由（1）得，当且仅当，即，时等号成立，
；
方案2：设游泳池的面积为，取的中点，
连接，，设，，在中，
所以，当且仅当时等号成立，
，
而，则，
所以选择第一种方案，此时游泳池面积的最大值为.