2023-2024学年湖南省株洲市第二中学枫溪高中高一上学期10月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年湖南省株洲市第二中学枫溪高中高一上学期10月月考数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．给出下列关系：①；②；③；④.其中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据给定信息，利用元素与集合的关系判断作答.
【详解】显然都是实数，①正确，②错误；
是自然数，③正确；是无理数，不是有理数，④错误，
所以正确的个数为2.
故选：B
2．下列与集合表示同一集合的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据集合的定义及表示方法求解即可.
【详解】由解得或，
所以，C正确；
选项A不是集合，选项D是两条直线构成的集合，选项B表示点集，
故选：C
3．二元一次方程组 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用代入消元法解二元二次方程组，用集合表示解集即可.
【详解】由，所以二元一次方程组 的解集是，
故选：B
4．集合,等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】解不等式即可求得集合中的元素．
【详解】由，可得，又，
所以集合,．
故选：C．
5．定义集合且，已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据集合新定义即可求解.
【详解】因为集合且，，
所以
故选：C
6．若关于的方程的解集中有且仅有一个元素，则实数的值组成的集合中的元素个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题知，
当时，的解有且仅有一个：，
符合题意，所以；
当时，要使的方程的解集
中有且仅有一个元素，则有：，则.
所以实数的值组成的集合中的元素个数为：2.
故选：B.
7．已知集合，则集合A的子集的个数为（ ）
A．3B．4C．7D．8
【答案】D
【分析】用列举法表示集合A，再写出其子集即可作答.
【详解】集合，
则集合A的子集有：，共8个，
所以集合A的子集的个数为8.
故选：D
8．已知是方程的两个根，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，利用韦达定理得到，结合，即可求解.
【详解】因为是方程的两个根，可得，
则.
故选：A.
二、多选题
9．下列说法错误的是（ ）
A．在直角坐标平面内，第一､三象限的点的集合为
B．方程的解集为
C．集合与是相等的
D．若，则
【答案】BCD
【分析】根据集合的定义依次判断即可求解.
【详解】对于A，因为，所以或，所以集合为表示直角坐标平面内第一､三象限的点的集合，故A正确；
对于B，方程的解集为，故B错误；
对于C，集合表示直线上的点，集合表示函数的定义域，所以集合与不相等，故C错误；
对于D，，所以，故D错误.
故选：BCD.
10．若对任意，，则称为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】根据“影子关系”集合的定义逐项分析即可.
【详解】根据“影子关系”集合的定义，
可知，，为“影子关系”集合，
由，得或，当时，，故不是“影子关系”集合．
故选：ABD
11．已知集合，且，则实数的取值不可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】根据可得出或，解出的值，然后对集合中的元素是否满足互异性进行检验，综合可得结果.
【详解】因为集合，且，则或，解得.
当时，集合中的元素不满足互异性；
当时，，集合中的元素不满足互异性；
当时，，合乎题意.
综上所述，.
故选：ACD.
12．下列关于的方程的说法正确的是（ ）
A．一定有两个实数根B．可能只有一个实数根
C．可能无实数根D．当时，方程有两个负实数根
【答案】BD
【分析】当时，可判断A；当时，由判别式可判断BC；由根与系数的关系可判断D
【详解】当时，方程可转化为，解得，故A错误；B正确，
当时，方程关于的方程为一元二次方程，
且，
此时方程有两个不相等的实数根，故C错误；
又，
当时，，
所以，故D正确；
故选：BD
三、填空题
13．某班有名同学，有名同学既不选修足球课程也不选修篮球课程，有名同学选修了足球课程，名同学选修了篮球课程，则既选修了足球课程也选修了篮球课程的同学有 名．
【答案】16
【分析】设既选修了足球课程也选修了篮球课程的同学人数为，作出维恩图，列出方程，即可得出结果.
【详解】设既选修了足球课程也选修了篮球课程的同学人数为，作出维恩图，如下图所示：
则
解得
故答案为：.
14．已知集合有且仅有两个子集，则的取值集合为 .
【答案】
【分析】根据题意集合A有一个元素，考虑和两种情况，计算得到答案即可.
【详解】由题意，集合有且仅有两个子集，则集合只有一个元素，
当时，，解得，符合题意；
当时，，解得或，
当时，，符合题意，
当时，，符合题意.
综上所述，的取值集合为.
故答案为：.
四、双空题
15．已知全集，集合，若，则 ， ．
【答案】 15
【分析】根据补集的结果推出集合A，可知方程的两个实数根为3和5，利用根与系数的关系即可求得b、c.
【详解】∵，∴，
∴方程的两个实数根为3和5，
∴．
故答案为：；15
【点睛】本题考查集合补集的概念、一元二次方程，属于基础题.
五、填空题
16．函数(为常数)有下列结论：
无论为何值，该函数都经过定点；若，则当时，随增大而减小；该函数图象关于轴对称；若该函数图象与轴有个交点，则.其中正确的结论是 (填写序号)
【答案】①④
【分析】把代入函数解析式验证；
举反例，取和代入求出值，比较大小，不满足随增大而减小；
利用图象变换说明该函数图像关于轴对称；
该函数图象与轴有个交点，根据图象让函数对应的顶点在轴上.
【详解】解：当时，，所以正确；
若，则，取则，取则，
此时，但，不满足随增大而减小，所以错误；
函数的图象是把在轴上方的图象不动，下方的图象沿轴翻折，
之后再把图象向下平移个单位即可，上述翻折和平移不改变函数图象的轴，则轴为，所以错误；
函数的顶点为，则由的变换知函数的顶点为，
因为该函数图象与轴有个交点，所以，则，所以正确.
故答案为：①④
六、解答题
17．已知全集,集合,
（1）求和
（2）求
【答案】(1) ,;
(2)
【分析】根据集合的基本运算求解即可.
【详解】(1)由,得,
(2)由得,故
【点睛】本题主要考查了集合的基本运算,属于基础题型.
18．设集合，.
(1)若，试判断集合与的关系；
(2)若，求实数的取值集合.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接代值计算判断即可；
（2）得到，依次计算即可.
【详解】（1）当时，，
因为，
所以.
（2）因为集合至多有一个元素，由，所以
当时，；
当时，所以；
当时，所以.
所以.
19．设集合,
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1);
(2).
【分析】（1）根据并集的定义运算即得；
（2）由题可得，分类讨论进而可得不等式即得.
【详解】（1）当时，，；
（2），
当时，满足题意，此时，解得；
当时，解得，
实数m的取值范围为.
20．设集合，．
(1)用列举法表示集合，并指出集合的子集的个数；
(2)记，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)答案见详解
(2)
【分析】（1）化简并求解集合、，进而求得，根据集合元素的个数写出子集的个数即可得到结果；
（2）由题意可得，.根据集合的关系得出不等式组，解出即可.
【详解】（1），，
所以，，集合中有3个元素，所以集合的子集的个数为8.
（2）因为“”是“”的充分不必要条件，所以有.
因为，，
所以应满足且两式不能同时取等号，所以有.
七、证明题
21．求证：关于x的方程有两个负实根的充要条件是．
【答案】详见解析
【分析】根据韦达定理证明充分性，必要性，从而得出它们的正确性，进而得出结论．
【详解】充分性：
，，
方程有实根，设的两根为，，
由韦达定理知：，、同号，
又，
，同为负根；
必要性：
的两个实根，均为负，且，
，
．
所以命题得证．
【点睛】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查逻辑推理能力和运算能力，属于常考题.
八、解答题
22．已知函数．
(1)若，求在上的最大值和最小值；
(2)求在上的最小值；
(3)在区间上的最大值为，求实数的值．
【答案】(1)最大值是，最小值是
(2)当时，最小值为；
当时，最小值为；
当时，最小值为.
(3)或
【分析】（1）结合二次函数草图可得函数在处取最大值，在处取最小值；
（2）利用二次函数的对称轴结合草图，分析对称轴与两个值的距离，分类讨论可得函数最小值的几种可能情况；
（3）结合（2）的分析思路及函数图像的几种可能情况，得出函数的最大值只可能在或处取得，进而解出的值再代回检验即可.
【详解】（1）时，，结合函数图像得：
在上的最大值是，最小值是；
（2）的对称轴是，
①当，即时，函数在上递增，
当时，取到最小值；
②当，即时，函数在上先递减后递增，
当时，取到最小值；
③当，即时，函数在上递减，
当时，取到最小值，
综上所得，当时，最小值；
当时，取到最小值；
当时，取到最小值.
（3）由（2）的讨论思路结合函数图像在内的
可能情况知，中必有一个是最大值；
若，代回验证：
，符合最大；
若，，代回验证：
，符合最大；
或．