2023-2024学年江苏省无锡市南菁高级中学高一创新班上学期10月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江苏省无锡市南菁高级中学高一创新班上学期10月月考数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．将指数函数的定义域扩大到复数以后，有一个公式：，i是虚数单位，e为自然对数的底数.它建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，此公式被誉为“数学中的天桥”.根据公式可知，表示的复数对应的点位于复平面中的（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【分析】由题设公式以及复数的几何意义求解即可.
【详解】
即表示的复数对应的点的坐标为，位于复平面中的第二象限.
故选：B
2．国家统计局公报显示绘制出的2017-2021年每年本专科、中等职业教育及普通高中的招生人数（单位：万）统计图如下图所示，则下列关于2017-2021年说法正确的是（ ）
A．每年本专科、中等职业教育和普通高中的招生人数都在增长
B．中等职业教育和普通高中的招生人数差距最大的年份是2019年
C．本专科每年的招生人数增幅最大的年份是2018年
D．本专科的招生人数所占比例最高的年份是2021年
【答案】D
【分析】根据柱状图的数据，逐一分析选项即可得出答案．
【详解】对于A：中等职业教育2017年招生人数为582万人, 2018年招生人数为557万人，即2017-2018年中等职业教育招生人数出现减少，故A错误；
对于B：2017-2021年中等职业教育和普通高中的招生人数差为：218万人，236万人，239万人，231万人，249万人，即中等职业教育和普通高中的招生人数差距最大的是2021年，故B错误；
对于C：2018-2021年本专科每年的招生人数增幅为：，，，，即本专科每年的招生人数增幅最大的年份是2019年，故C错误；
对于D：2017-2021年本专科的招生人数所占比例为：，，，，，即本专科的招生人数所占比例最高的年份是2021年，故D正确，
故选：D．
3．已知，为锐角，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出的正切值，再求出角.
【详解】因为，，
所以.
因为，为锐角，所以，
所以.
故选：B
4．若平面向量，，，两两的夹角相等，且，，，则（ ）．
A．2B．4或C．5D．2或5
【答案】D
【分析】依题意可得夹角为或，再分夹角为和夹角为两种情况讨论，结合数量积的运算律即可得解.
【详解】因为平面向量，，两两的夹角相等，所以夹角有两种情况，
即，，两两的夹角为或,
当夹角为时，，
当夹角为时，
，
所以或.
故选：D．
5．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先将已知等式化简得到，再利用角的关系求解即可.
【详解】，因为所以，所以
故选：B
6．已知中，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据向量的线性运算，可得，根据数量积公式，代入计算，即可得答案.
【详解】由题意得，
所以
.
故选：B
7．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先利用三角函数的符号确定角、、的范围，再利用两角差的正弦公式、同角三角函数基本关系的商数关系得到关于和的方程组，再利用两角和的正弦公式求出，进而结合角的范围进行求解.
【详解】因为，，
所以或；
若，则，
此时（舍）；
若，则，
此时（符合题意），
所以，
即；
因为且，
所以且，
解得，，
则，
所以.
故选：C.
8．如图，在平面四边形中，为等边三角形，当点在对角线上运动时，的最小值为（ ）

A．-2B．C．-1D．
【答案】B
【分析】利用几何知识易得，利用向量加法运算及数量积定义得，然后利用二次函数求解最值即可，
【详解】由题意，，，
，所以，
所以，即平分，
由可得
，
所以当时，有最小值为.
故选：B
二、多选题
9．设有下面四个命题，其中正确的命题是（ ）
A．若复数z满足，则；B．若复数z满足，则；
C．若复数满足，则；D．若数，则
【答案】AD
【分析】根据复数的运算性质，即可判定A正确；取，可判定B不正确；取，可判断C不正确；根据复数的模运算法则，可判定D正确．
【详解】对于A中，设复数，
可得，
因为，可得，所以，所以A正确；
对于B中，取，可得，所以B不正确；
对于C中，例如：，则，此时，所以C不正确；
对于D中，，则
所以，故D正确；
故选：AD
10．已知向量，，它们的夹角为60°，则（ ）
A．B．
C．D．向量与向量的夹角为90°
【答案】ABD
【分析】对于A，根据数量积的定义即可判断；对于B，，即可判断；对于C，即可判断；对于D，判断是否为0即可.
【详解】对于选项A，，所以A正确；
对于选项B，，所以B正确；
对于选项C，，所以C错误；
对于选项D，，所以，所以D正确，
故选：ABD
11．下列说法正确的有（ ）
A．，
B．不存在无穷多个和的值，使得
C．存在这样的和的值，使得
D．当取最大值时，
【答案】CD
【分析】A由辅助角公式及正弦函数性质判断；B、C利用和角余弦公式及已知条件，只需，即可判断；D由辅助角公式及正弦函数性质有，结合平方关系求解即可判断.
【详解】A：，错误；
由，要使已知条件成立，则即可，故存在无穷多个和的值，B错误，C正确；
D：由且，故，则，解得，正确.
故选：CD
12．在中，内角、、所对应边分别为、、，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若点为的重心，则
C．若，的三角形有两解，则的取值范围为
D．若点为内一点，且，则
【答案】ABD
【分析】利用余弦函数的单调性可判断A选项；利用重心的几何性质可判断BD选项；数形结合求出的取值范围，可判断C选项的正误.
【详解】对于A选项，因为且余弦函数在上为减函数，
所以，，A对；
对于B选项，连接交边于点，则为的中点，且，如下图所示：
，
所以，，所以，，B对；
对于C选项，若，的三角形有两解，如下图所示：
由图可得，即，C错；
对于D选项，若点为内一点，且，
作，，则，则为的重心，
由重心的几何性质可知，设，
因为，所以，，同理可得，，
所以，，因此，，D对.
故选：ABD.
三、填空题
13．已知总体的各个个体的值由小到大依次为，且总体的中位数为12，若要使该总体的标准差最小，则a= .
【答案】12
【分析】根据中位数的定义可得，再根据标准差的定义分析其取最小值时的取值即可.
【详解】由中位数为12可得，
所以，
所以总体的平均数为，
要使该总体的标准差最小，
需要最小，
而，
所以时总体的标准差最小.
故答案为：12.
14．已知，与的夹角为45°，求使向量与的夹角是锐角，则的取值范围 .
【答案】
【分析】由题意，根据向量夹角为锐角，可得其数量积大于零的不等式，且可得向量不共线，可得不成比例的不等式，可得答案.
【详解】，
由向量与的夹角是锐角，，解得或；
且向量与不共线，则，解得，
所以的取值范围为.
故答案为：.
15．如图，位于我国南海海域的某直径为海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛B与小岛C相距为5海里（小岛的大小忽略不计，测量误差忽略不计），经过测量得到数据：．小岛C与小岛D之间的距离为 海里．
【答案】
【分析】利用四点共圆及正余弦定理计算即可.
【详解】由于四点共圆，
所以，
由正弦定理可知，
在中，，
解之得，
显然不合题意.
故答案为：.
四、双空题
16．已知平面向量满足，，且.记的夹角为，则的最小值为 ；的最小值为 .
【答案】
【分析】由数量积公式变形可得，结合函数的单调性即可得出的最小值，
由，可得，解不等式即可得出的取值范围.
【详解】因为，所以，
即，所以，
当时，取到最小值，所以.
，所以，解得，又因为，所以，故，当时取“”.
故答案为：；.
五、解答题
17．在中，，，分别为内角，，的对边，且满.
（1）求的大小；
（2）再在①，②，③这三个条件中，选出两个使唯一确定的条件补充在下面的问题中，并解答问题.若________，________，求的面积.
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】（1）由题中条件，根据正弦定理，得到，再由余弦定理，即可求出结果；
（2）方案一：选条件①和②，先由正弦定理求出，再由余弦定理，求出，进而可求出三角形面积；方案二：选条件①和③，先由余弦定理求出，得到，进而可求出三角形面积.
【详解】（1）因为，
又由正弦定理，得
，
即，
所以，
因为，
所以.
（2）方案一：选条件①和②.
由正弦定理，得.
由余弦定理，得
，
解得.
所以的面积.
方案二：选条件①和③.
由余弦定理，得
，
则，所以.
所以，
所以的面积.
【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理，余弦定理，以及三角形面积公式即可，属于常考题型.
18．已知，为锐角，，
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】根根据二倍角公式和同角三角函数基本关系式，转化为，即可求解；
根据已知得与的值，由，即可求解．
【详解】（1）；
（2）因为，所以，
，，
又，为锐角，所以，
，
，
所以
19．如图，在中，已知为边上的中点，点在线段上，且；
(1)求线段的长度，
(2)设与相交于点，求的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，把作为基底，再根据题意将用基底表示出来，然后求出其模即可，
（2）将用表示出来，然后利用向量的夹角公式求解即可
【详解】（1）设，则，
，即.
（2）因为，
所以
所以.
因为
所以.
因为，
所以
20．需要从一块宽为6米、长不限的矩形钢板上截取一块直角梯形模板（、分别在、上），且满足腰上存在点，使得≌．设，米．
(1)请用表示；
(2)当的长为多少时，模板的面积最小，并求这个最小值．
【答案】(1)，；
(2)当为2米时，模板的面积最小值为平方米.
【分析】（1）根据已知图形关系，将BM用t表示出来，再由可将用表示；
（2）利用（1）中的，将AE，BN用表示，再利用基本不等式求解即可.
【详解】（1）因为≌，所以，，
所以，
在中，
在中，，
由得，
所以，
（2）由（1）得，在中，
，
在中，
（或直接使用万能公式得到结果）
，
所以直角梯形的面积
，
因为，所以，所以，
当且仅当，即，时，等号成立．
当时，（米），此时取得最小值为平方米．
答：当为2米时，模板的面积最小值为平方米．
21．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝6，P，Q为边BC上两点，＝2，∠CAQ＝．
(1)求AQ的长；
(2)过线段AP中点E作一条直线l，分别交边AB，AC于M，N两点，设，（xy≠0），求x+y的最小值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由正弦定理可得＝，结合已知有sin∠BAQ＝sin∠CAQ，进而求得∠BAQ＝，在△ABC、△ABQ和△ACQ中应用余弦定理求AQ的长；
（2）设＝，λ≠0，根据向量加减的几何意义可得＝、＝，进而可得，应用基本不等式“1”的代换求x+y的最小值．
【详解】（1）在△ABQ与AQC中，＝和＝，
两式相除得：＝，
又＝＝＝2，所以sin∠BAQ＝sin∠CAQ，
因为∠CAQ＝，∠BAQ∈(0,)，所以∠BAQ＝或（舍），
由CP＝2BP，AB＝2AC，a＝6，
在△ABC中，由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccs∠BAC，可得b2＝，
在△ABQ和△ACQ中,，
可得AQ2＝2b2－8＝2×－8＝，
所以AQ＝.
（2）因为＝2，所以CP＝2BP，则＝－2，
故－＝－2()，则＝，
同理：设＝，λ≠0，得＝+，
因为E为AP中点，所以＝+＝，
所以，可得：，则，
，
当且仅当：时取等号，即，
所以的最小值．
22．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，.
(1)求证：是直角三角形；
(2)已知，，点P，Q是边AC上的两个动点（P，Q不重合），记.
①当时，设的面积为，求的最小值；
②记，.问：是否存在实常数和，对于所有满足题意的，，都有成立？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)①②存在，，
【分析】（1）利用三角形的内角和定理和诱导公式将化为，再利用两角和差公式和二倍角公式进行化简，进而判定三角形的形状；
（2）①设，利用正弦定理求出、，再利用三角形的面积公式和三角函数的性质进行求解；
②假设存在实常数，利用三角恒等变形得到恒等式，将其转化为进行求解.
【详解】（1）证明：在中，因为，
且，
所以，
即，
所以或者.
当时，即，所以为直角三角形；
当时，，
从而，因此，所以为直角三角形.
综上所述，是直角三角形.
（2）解：①因为，所以，
又，，所以，.
如图，设，，
则在中，由正弦定理，得，
所以.
在中，由正弦定理，得，
所以.
所以，
因为，所以，
故当，即时，.
②假设存在实常数，对于所有满足题意的，
都有成立，
则存在实常数，对于所有满足题意的，
都有.
由题意，是定值，
所以，是定值，
对于所有满足题意的成立，
故有，
因为，从而，
即，
因为为的内角，所以，
从而，.