2023-2024学年浙江省杭州市富阳区实验中学高一上学期10月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年浙江省杭州市富阳区实验中学高一上学期10月月考数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】D
【分析】先解出集合中的不等式，再根据补集运算即可得到答案.
【详解】因为，所以或.
故选：D.
2．是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】举例说明，结合充分条件和必要条件的定义即可得出结果.
【详解】当时，成立，不成立，
所以“”不能推出“”；
当时，成立，不成立；
所以“”不能推出“”，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D
3．下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】C
【分析】对于ABD，举反例排除即可；对于C，利用作差法即可得解.
【详解】对于A，令，则，但，故A错误；
对于B，令，则，但，故B错误；
对于C，因为，又因为，则，
所以，即，故C正确；
对于D，令，则，但，故D错误.
故选：C.
4．已知，且满足，则有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值1D．最小值1
【答案】A
【分析】由基本不等式即可求解.
【详解】，当且仅当，即时等号成立.
故选：A.
5．当时，函数的最小值为（ ）
A．B．C．D．4
【答案】A
【分析】由，利用基本不等式求解即可.
【详解】∵，∴
∴
当且仅当时，即等号成立
∴函数的最小值为
故选：A.
6．已知命题：，是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据一元二次不等式恒成立求解实数的取值范围.
【详解】由题意得是真命题，即，，
当时，符合题意；
当时，有，且，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故选:D.
7．已知奇函数，当时，，则当时，（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由得，代入得，根据奇函数即可求解.
【详解】当，则，则，
又为奇函数，所以当时，.
故选：A.
8．已知，若是的最小值，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由是函数的最小值，结合二次函数的性质知在，上单调递减，从而可得，再由分段函数的性质知，从而求实数的取值范围．
【详解】解：是函数的最小值，
在，上单调递减，
，
当时，在处有最小值，
即，
故，
即，
解得，，
综上所述，，
故实数的取值范围是，，
故选：．
9．在下列四组函数中，与不表示同一函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】根据函数相同的条件，对各个选项逐一分析判断即可得出结果.
【详解】对于选项A，易知的定义域为，的定义域为，故与不是同一函数，所以选项A正确；
对于选项B，易知的定义域为，的定义域为，故与不是同一函数，所以选项B正确；
对于选项C，易知的定义域为，的定义域为，故与不是同一函数，所以选项C正确；
对于选项D，因为，故与定义域相同，均为，函数表达式相同，所以与是同一函数，选项D错误，
故选：ABC.
二、多选题
10．下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】CD
【分析】利用基本不等式的使用法则：“一正二定三相等”即可判断出结论．
【详解】解：对：由于，(当且仅当时取等号)，因此错误；
对：时，(当且仅当时取等号),故错误；
对：根据基本不等式，知正确；
对D： ，，则(当且仅当时取等号)，故正确；
故选：CD
11．已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．若，则
C．是奇函数D．在上是单调递增函数
【答案】ACD
【分析】A选项：代入函数解析式即可；B选项：分情况求解，注意求解后的根的取舍；C选项：根据函数奇偶性的判定方法来判断；D选项：画出函数图象即可判断.
【详解】∵，
对于A，，故A正确；
对于B，当时，，所以，因为，所以，当时，无解，故，故B错误；
对于C，若，则，则，而，故，若，则，则，而，故；定义域也关于原点中心对称，故是奇函数，故C正确；
对于D，画出函数的图象如图所示，可以看出在上单调递增，故D正确.
故选：ACD.
12．已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．不等式的解集为或
D．
【答案】BD
【分析】A选项，根据的解集为得到且-3,4是的两个根；BC选项，根据-3,4是的两个根得到，然后解方程即可；D选项，根据和判断的正负即可.
【详解】因为的解集为，
所以且是的两个根，
则，整理得，故A错；
不等式可整理为，
因为，所以，解得，故B正确；
不等式可整理为，
因为，所以，即，解得，故C错；
，故D正确.
故选：BD.
三、填空题
13．若定义在上的函数的图像如图所示，则其单调递减区间是 .
【答案】和
【分析】根据题意，结合图像，即可得到结果.
【详解】由图像可知，在和上单调递减，
则其单调递减区间是和.
故答案为：和
14．已知，若，则 .
【答案】/0.5
【分析】根据解析式计算即可.
【详解】令.
故答案为：.
15．函数的值域是 .
【答案】
【分析】根据函数的单调性即可求解.
【详解】的定义域为，
由于函数和函数均为上的单调递增函数，
所以，
故值域为，
故答案为：
16．对于任意的实数表示中较小的那个数，若，，则的最大值是 .
【答案】
【分析】由题意，联立函数求交点，作图，根据图象，可得答案.
【详解】令，则，，，解得或，
将，作图如下：
由图可知，，则其最大值为.
故答案为：.
四、解答题
17．求下列不等式的解集.
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题得，即求；
（2）由题可得且，即求.
【详解】（1）∵即，
又方程的根是，，
所以原不等式的解集为.
（2）原不等式转化为：
且
所以，
所以，原不等式的解集为.
18．（1）关于的不等式解集是，求的值；
（2）两个正实数满足，求的最小值.
【答案】(1) ；(2)9
【分析】(1)根据不等式的解集，可以求得方程的两根，根据韦达定理可以求得.
(2)用巧用“1”的方法，借助基本不等式可以求得结果.
【详解】(1)不等式解集是，
所以方程的两个根为，由韦达定理得，.
(2)因为，且，则
，当且仅当即时，等号成立.
即的最小值为9.
19．已知全集为，集合，.
(1)求；
(2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先分别求出集合，然后再求交集即可；
（2）可分析出是的真子集，列出不等式求解即可.
【详解】（1）解：解得所以，
由解得，所以，
所以
（2）解：因为“”是“”的充分不必要条件，
所以且，
所以 （等号不同时成立）得，
所以实数的取值范围是.
20．已知函数.
(1)判断并证明：的单调性；
(2)若存在，使得，求的取值范围.
【答案】(1)增函数;证明见解析
(2)
【分析】（1）利用单调性的定义证明即可；
（2）将存在问题转化为最值问题求解即可.
【详解】（1），判断其为增函数，证明如下：
任取，则，
，
，
即，
所以在上是增函数.
（2）若存在，使得，
即,
在上是增函数，
，
，即，
或者，
故的取值范围为.
21．培养某种水生植物需要定期向水中加入营养物质N．已知向水中每投放1个单位的物质N，则t（）小时后，水中含有物质N的浓度增加yml/L，y与t的函数关系可近似地表示为根据经验，当水中含有物质N的浓度不低于2ml/L时，物质N才能有效发挥作用．
(1)若在水中首次投放1个单位的物质N，计算物质N能持续有效发挥作用的时长；
(2)若时在水中首次投放1个单位的物质N，时再投放1个单位的物质N，试判断当时，水中含有物质N的浓度是否始终不超过3ml/L，并说明理由．
【答案】(1)物质N能持续有效发挥作用的时长为12小时；
(2)当时，水中含有物质N的浓度始终不超过3ml/L.
【分析】（1）对分两种情况讨论解不等式即得解；
（2）求出，再利用基本不等式判断求解.
【详解】（1）解：当时，由题得，解之得；
当时，由题得，解之得；
所以.
所以物质N能持续有效发挥作用的时长为12小时.
（2）解；当时，水中含有物质N的浓度为yml/L，
则.
当且仅当时等号成立.
所以当时，水中含有物质N的浓度的最大值为3ml/L.
所以当时，水中含有物质N的浓度始终不超过3ml/L.