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湖南省张家界市慈利县第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷（解析版）
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这是一份湖南省张家界市慈利县第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合的交运算即可求解.
【详解】，.
故选：A
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得解.
【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，
所以命题“，”的否定是，.
故选：C.
3. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别利用函数的奇偶性和单调性的定义去判断即可.
【详解】选项A, 在上为增函数，在上单调递减；选项B，在和更多免费优质滋元可 家 威杏 MXSJ663 上单调递减，不能说在定义域上单调递减；选项C，在上为减函数，在上单调递增，且为偶函数，只有选项D在其定义域内既是奇函数又是减函数.故选D.
【点睛】本题主要考查函数的单调性与奇偶性的判断，注意要优先考虑定义域，及函数单调区间的写法，考查了推理与运算能力，属于基础题.
4. “函数在上为减函数”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数在上为减函数求出实数取值范围，再利用集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】若函数在上为减函数，则，解得，
又因为，
因此，“函数在上为减函数”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
5. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.
【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；
当时，，选项B错误.
故选：A.
【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
6. 设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值.
【详解】由题意可得：，
而，
故.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.
7. 设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】化简可得，进而可得答案.
【详解】因为，
所以．
故选：A.
8. 高德纳箭头表示法是一种用来表示很大的整数的方法，它的意义来自乘法是重复的加法，幂是重复的乘法.定义：，（从右往左计算）.已知可观测宇宙中普通物质的原子总数约为，则下列各数中与最接近的是（ ）（参考数据：）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据高德纳箭头表示法即可求解，进而根据对数的运算与指数的互化即可求解.
【详解】因为，故，取对数得，故，故最接近的是，
故选：C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知集合，集合，若，则a的取值可能是（ ）
A. 2B. C. 1D. 0
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据可知，然后对参数进行分类讨论求解.
【详解】解：集合，集合，
当时，，成立；
当时，，故或，解得或
综上a的取值可能是，，.
故选：BCD
10. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据不等式性质逐个判断即可.
【详解】对于A：由，得，则，A正确；
对于B：由两边同时乘以，不等号反向，得，B正确；
对于C：由两边同时除以，得，C不正确；
对于D：由可得，同除以，可得，D正确，
故选：ABD
11. 已知函数的定义域为R，值域为，则下列函数中值域同为的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据函数的值域对各个选项逐一判断即可.
【详解】对于A：的定义域为R，值域为，即，
，故A错误；
对于B：，相当于对进行了平移，横向伸缩变换，
值域始终没变，故B正确；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D错误．
故选：
12. 函数图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学据此推出以下结论，其中正确的是（ ）
A. 函数的图像关于点成中心对称的图形的充要条件是为奇函数
B. 函数的图像的对称中心为
C. 函数的图像关于成轴对称的充要条件是函数是偶函数
D. 函数的图像关于直线对称
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据函数奇偶性定义，以及函数对称性的概念对选项进行逐一判断，即可得到结果.
【详解】对于A，函数的图像关于点成中心对称的图形，
则有
函数为奇函数，则有，
即有
所以函数的图像关于点成中心对称的图形的充要条件是
为为奇函数，A正确；
对于B,，则
因为奇函数，结合A选项可知函数关于点对称，B正确；
对于C，函数的图像关于成轴对称的充要条件是，
即函数是偶函数，因此C不正确；
对于D，，
则，
则，
所以关于对称，D正确
故选:ABD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 函数定义域为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由二次根式、分式有意义的条件、函数定义域的定义即可求解.
【详解】由题意可得且，故函数的定义域为.
故答案为：.
14. 若幂函数在上单调递增，则实数__________.
【答案】
【解析】
【分析】由幂函数的定义先求出a的值，得到函数的解析式，进而结合函数的单调性求解参数
【详解】因为函数为幂函数，
则有，
可得或，
又由函数在上单调递增，有，则有
故答案为：
15. 已知函数在区间上的最大值为最小值为，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】设函数，则的最大值为，最小值为，利用是奇函数可得答案.
【详解】设函数，则的最大值为，最小值为，
，则，
所以是奇函数，所以，所以．
故答案为：.
16. 若函数 在上是增函数，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据分段函数的单调性得到，解得答案.
【详解】函数在上是增函数，且当，单调递增，
故，解得.
故答案为：.
四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 计算：
（1）；
（2）.
【答案】（1）0 （2）1
【解析】
【分析】（1）利用分数指数幂和根式的运算性质求解；
（2）利用对数的运算性质求解.
【小问1详解】
原式．
【小问2详解】
原式
.
18. （1）已知实数x，y满足，，求的取值范围;
（2）已知实数，求的最小值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）由不等式的性质求解；
（2）由基本不等式求最小值．
【详解】（1）因为，所以，
因为，所以，
所以，
所以的取值范围是
（2），则，
所以
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为
19. 已知集合，.
（1）若，求；
（2）设命题，命题，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
【答案】（1）或；
（2）.
【解析】
【分析】（1）化简集合，求出即得解；
（2）由题意可得集合B是集合A的真子集，列不等式组解不等式组即得解.
【小问1详解】
（1），
当时，，或，
∴或；
【小问2详解】
由题意可得集合B是集合A的真子集，
∵，∴或，解得，
∴实数a的取值范围是.
20. 已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求的值，并判断的单调性；（不要求证明）
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1），； 在区间上单调递增
（2）
【解析】
【分析】（1）利用奇函数的性质求得，再由求得的值；
（2）利用单调性的性质解不等式即可.
【小问1详解】
由题意可知，即，
，又，即
可得，且为奇函数，
设，则，
因为，，，所以，
所以函数在区间上单调递增；
【小问2详解】
由得，
又因为函数在区间上单调递增，
所以，解得，故，
所以实数的取值范围是.
21. 随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为200万元，最大产能为100台.每生产x台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
（1）写出年利润万元关于年产量x台函数解析式（利润销售收入成本）；
（2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）综上可知，该产品的年产量为70台时，公司所获利润最大，最大利润是1760万元.
【解析】
【分析】（1）根据已知条件，结合利润=销售收入-成本的公式，分，两种情况讨论，即可求解．
（2）根据已知条件，结合二次函数的性质，以及基本不等式，分别求解分段函数的最大值，再通过比较大小，即可求解．
【小问1详解】
由题意可得：当时，，
当时，，
故．
【小问2详解】
当时，，
得时万元；
当时，，当且仅当，即时等号成立，
此时万元.
综上可知，该产品的年产量为70台时，公司所获利润最大，最大利润是1760万元.
22. （1）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）题目转化为，利用均值不等式计算最值得到答案.
（2）变换得到，计算函数的最小值得到答案.
【详解】（1）当时，有解，
即在上有解，
又，于是等价于，
故，又，
当且仅当即，即时等号成立，所以
所以实数的取值范围是
（2）当时，恒成立．
因为，且当时有最大值为，
所以等价于．
在区间上的最小值为，故只需即可，
所以实数的取值范围是．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合的交运算即可求解.
【详解】，.
故选：A
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得解.
【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，
所以命题“，”的否定是，.
故选：C.
3. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别利用函数的奇偶性和单调性的定义去判断即可.
【详解】选项A, 在上为增函数，在上单调递减；选项B，在和更多免费优质滋元可 家 威杏 MXSJ663 上单调递减，不能说在定义域上单调递减；选项C，在上为减函数，在上单调递增，且为偶函数，只有选项D在其定义域内既是奇函数又是减函数.故选D.
【点睛】本题主要考查函数的单调性与奇偶性的判断，注意要优先考虑定义域，及函数单调区间的写法，考查了推理与运算能力，属于基础题.
4. “函数在上为减函数”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数在上为减函数求出实数取值范围，再利用集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】若函数在上为减函数，则，解得，
又因为，
因此，“函数在上为减函数”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
5. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.
【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；
当时，，选项B错误.
故选：A.
【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
6. 设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值.
【详解】由题意可得：，
而，
故.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.
7. 设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】化简可得，进而可得答案.
【详解】因为，
所以．
故选：A.
8. 高德纳箭头表示法是一种用来表示很大的整数的方法，它的意义来自乘法是重复的加法，幂是重复的乘法.定义：，（从右往左计算）.已知可观测宇宙中普通物质的原子总数约为，则下列各数中与最接近的是（ ）（参考数据：）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据高德纳箭头表示法即可求解，进而根据对数的运算与指数的互化即可求解.
【详解】因为，故，取对数得，故，故最接近的是，
故选：C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知集合，集合，若，则a的取值可能是（ ）
A. 2B. C. 1D. 0
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据可知，然后对参数进行分类讨论求解.
【详解】解：集合，集合，
当时，，成立；
当时，，故或，解得或
综上a的取值可能是，，.
故选：BCD
10. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据不等式性质逐个判断即可.
【详解】对于A：由，得，则，A正确；
对于B：由两边同时乘以，不等号反向，得，B正确；
对于C：由两边同时除以，得，C不正确；
对于D：由可得，同除以，可得，D正确，
故选：ABD
11. 已知函数的定义域为R，值域为，则下列函数中值域同为的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据函数的值域对各个选项逐一判断即可.
【详解】对于A：的定义域为R，值域为，即，
，故A错误；
对于B：，相当于对进行了平移，横向伸缩变换，
值域始终没变，故B正确；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D错误．
故选：
12. 函数图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学据此推出以下结论，其中正确的是（ ）
A. 函数的图像关于点成中心对称的图形的充要条件是为奇函数
B. 函数的图像的对称中心为
C. 函数的图像关于成轴对称的充要条件是函数是偶函数
D. 函数的图像关于直线对称
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据函数奇偶性定义，以及函数对称性的概念对选项进行逐一判断，即可得到结果.
【详解】对于A，函数的图像关于点成中心对称的图形，
则有
函数为奇函数，则有，
即有
所以函数的图像关于点成中心对称的图形的充要条件是
为为奇函数，A正确；
对于B,，则
因为奇函数，结合A选项可知函数关于点对称，B正确；
对于C，函数的图像关于成轴对称的充要条件是，
即函数是偶函数，因此C不正确；
对于D，，
则，
则，
所以关于对称，D正确
故选:ABD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 函数定义域为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由二次根式、分式有意义的条件、函数定义域的定义即可求解.
【详解】由题意可得且，故函数的定义域为.
故答案为：.
14. 若幂函数在上单调递增，则实数__________.
【答案】
【解析】
【分析】由幂函数的定义先求出a的值，得到函数的解析式，进而结合函数的单调性求解参数
【详解】因为函数为幂函数，
则有，
可得或，
又由函数在上单调递增，有，则有
故答案为：
15. 已知函数在区间上的最大值为最小值为，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】设函数，则的最大值为，最小值为，利用是奇函数可得答案.
【详解】设函数，则的最大值为，最小值为，
，则，
所以是奇函数，所以，所以．
故答案为：.
16. 若函数 在上是增函数，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据分段函数的单调性得到，解得答案.
【详解】函数在上是增函数，且当，单调递增，
故，解得.
故答案为：.
四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 计算：
（1）；
（2）.
【答案】（1）0 （2）1
【解析】
【分析】（1）利用分数指数幂和根式的运算性质求解；
（2）利用对数的运算性质求解.
【小问1详解】
原式．
【小问2详解】
原式
.
18. （1）已知实数x，y满足，，求的取值范围;
（2）已知实数，求的最小值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）由不等式的性质求解；
（2）由基本不等式求最小值．
【详解】（1）因为，所以，
因为，所以，
所以，
所以的取值范围是
（2），则，
所以
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为
19. 已知集合，.
（1）若，求；
（2）设命题，命题，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
【答案】（1）或；
（2）.
【解析】
【分析】（1）化简集合，求出即得解；
（2）由题意可得集合B是集合A的真子集，列不等式组解不等式组即得解.
【小问1详解】
（1），
当时，，或，
∴或；
【小问2详解】
由题意可得集合B是集合A的真子集，
∵，∴或，解得，
∴实数a的取值范围是.
20. 已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求的值，并判断的单调性；（不要求证明）
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1），； 在区间上单调递增
（2）
【解析】
【分析】（1）利用奇函数的性质求得，再由求得的值；
（2）利用单调性的性质解不等式即可.
【小问1详解】
由题意可知，即，
，又，即
可得，且为奇函数，
设，则，
因为，，，所以，
所以函数在区间上单调递增；
【小问2详解】
由得，
又因为函数在区间上单调递增，
所以，解得，故，
所以实数的取值范围是.
21. 随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为200万元，最大产能为100台.每生产x台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
（1）写出年利润万元关于年产量x台函数解析式（利润销售收入成本）；
（2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）综上可知，该产品的年产量为70台时，公司所获利润最大，最大利润是1760万元.
【解析】
【分析】（1）根据已知条件，结合利润=销售收入-成本的公式，分，两种情况讨论，即可求解．
（2）根据已知条件，结合二次函数的性质，以及基本不等式，分别求解分段函数的最大值，再通过比较大小，即可求解．
【小问1详解】
由题意可得：当时，，
当时，，
故．
【小问2详解】
当时，，
得时万元；
当时，，当且仅当，即时等号成立，
此时万元.
综上可知，该产品的年产量为70台时，公司所获利润最大，最大利润是1760万元.
22. （1）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）题目转化为，利用均值不等式计算最值得到答案.
（2）变换得到，计算函数的最小值得到答案.
【详解】（1）当时，有解，
即在上有解，
又，于是等价于，
故，又，
当且仅当即，即时等号成立，所以
所以实数的取值范围是
（2）当时，恒成立．
因为，且当时有最大值为，
所以等价于．
在区间上的最小值为，故只需即可，
所以实数的取值范围是．
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