江苏省扬州市广陵区红桥高级中学2023-2024学年高一上学期期中数学试卷（解析版）

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高一数学试卷
试卷满分150分; 考试时长120分钟
命题人： 审核人： 2023.11
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知命题，则为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据全称命题的否定的性质进行求解即可.
【详解】因为命题，所以为.
故选：C
【点睛】本题考查了全称命题的否定，属于基础题.
2. 已知全集U={－1,0,1,2,3},集合A={0,1,2}, B={－1,0,1},则等于（ ）
A. B. {0,1}C. {－1,2,3}D. {－1,0,1,3}
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合的运算法则计算．
【详解】由已知，
所以，
故选：A．
3. 下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）.更多免费优质滋元可 家 威杏 MXSJ663 A. 与B. 与
C. 与D. 与
【答案】D
【解析】
【分析】
根据相等函数的定义域相同，对于关系一致依次讨论各选项即可得答案.
【详解】解：对于A选项，的定义域为，的定义域为，故不是同一函数；
对于B选项，的定义域为，的定义域为，故不是同一函数；
对于C选项，的定义域为，的定义域为，故不是同一函数；
对于D选项，与的定义域均为，且，故是同一函数.
故选：D.
【点睛】本题考查函数相等的定义，考查函数定义域的求解，是基础题.
4. 已知幂函数在上单调递减，则的值为（ ）
A. 1B. 2C. 1或2D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据幂函数定义列式计算，再由其单调性判断作答.
【详解】因函数是幂函数，则，解得：或，
当时，函数在上单调递减，符合题意，即，
当时，函数在上单调递增，不符合题意，
所以的值为1.
故选：A
5. 命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分类讨论二次函数开口方向以及判别式即可求出实数的取值范围.
【详解】解：命题“，”是真命题
可得，当时，，符合题意
当时，二次不等式对应函数图象开口向上，不符合题意
当且时，符合题意，即
综上，实数的取值范围是
故选：B.
6. 设命题，命题，则命题是命题成立的（ ）条件
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要
【答案】A
【解析】
【分析】求出命题对应不等式的解集，然后根据充要条件的定义即可求解.
【详解】解：因为命题，即或，又命题，
所以或，
所以命题是命题成立的充分不必要条件，
故选：A.
7. 设，已知函数是定义在上的减函数，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数定义域及其单调性列不等式，求范围即可.
【详解】∵函数是定义在上的减函数，且，
∴，解得，
故选：C．
8. 已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据在上的单调递减，可以列出相应的不等式方程组，计算求解即可.
【详解】在上单调递减，，解得，
故选：C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错或不选得0分.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
9. 已知集合，且，则实数m的值可以为（ ）
A. 1B. C. 2D. 0
【答案】ABD
【解析】
【分析】若，然后针对是否为空集进行讨论求解即可.
【详解】因为，．
当时，，符合题意；
当时，，所以或，解得或．
所以m的值为或或．
故选：ABD．
10. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】令，利用换元法求出解析式即可求解.
【详解】解：令，则，
因为，所以，
所以，
所以，，
故选：BD.
11. 已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A. B. 不等式的解集为
C. D. 不等式的解集为
【答案】BCD
【解析】
【分析】结合一元二次不等式解集的形式，可判断A；用一元二次方程根与系数的关系，用表示，，代入不等式，从而判断BCD.
【详解】对于A，因为关于的不等式的解集为，
所以且，得，故A错误；
对于B，原不等式可化为，
因为，所以，解得，故B正确；
对于C，，故C正确.
对于D，原不等式可化为，
因为，所以，解得，故D正确.
故选：BCD.
12. 已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 的最小值为2
C. 若，则的最小值是9
D. 若，则的最大值为4
【答案】ACD
【解析】
【分析】结合基本不等式，可判定A正确；结合基本不等式和等号成立的条件，可判断B不正确；结合“1”的代换和基本 不等式可判定C正确；由，结合，可判定D正确.
【详解】对于A中，由，则，可得，
当且仅当时，即时，等号成立，所以A正确；
对于B中，由，
当且仅当时，即，此时不成立，所以B不正确；
对于C中，由，则，
当且仅当时，即时，等号成立，所以C正确；
对于D中，因为，所以，
由，
又由，
当且仅当时，即时，等号成立，所以D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
13. 函数的零点是_______
【答案】、
【解析】
【分析】令，解一元二次方程即可.
【详解】令，即，解得或，
所以函数的零点是、.
故答案为：、
14. 若，使恒成立，则的取值范围为_________
【答案】
【解析】
【分析】参变分离可得，使恒成立，由二次函数的性质求出，即可得解.
【详解】因为，使恒成立，
所以，使恒成立，
又函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，所以，
即的取值范围为.
故答案为：
15. 若函数的定义域为，则函数的定义域为__________
【答案】
【解析】
【分析】依题意可得，解得即可.
【详解】因为函数的定义域为，对于函数，
令，解得或，
所以函数的定义域为.
故答案为：
16. 已知定义在上的函数满足，且在上是增函数，不等式对于恒成立，则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意，函数关于点中心对称，又函数在上是增函数，所以函数在上是增函数，根据已知条件利用单调性可将原问题转化为对于恒成立，分离参数即可求解.
【详解】解：因为定义在上的函数满足，即，
所以函数关于点中心对称，
又函数在上是增函数，所以函数在上是增函数，
因为，
所以不等式对于恒成立，即对于恒成立，
因为函数在上是增函数，
所以对于恒成立，即对于恒成立，
所以，，
因为，所以，
所以，
所以的取值范围是.
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （1）求值：
（2）已知，
①求的值；
②求的值.
【答案】（1）；（2）①；②
【解析】
【分析】（1）根据对数的运算性质计算可得；
（2）①将两边平方即可得解；②将两边平方即可得解.
【详解】（1）
.
（2）①因，所以，即，
所以；
②因为，所以，即，
所以.
18. 求下列不等式的解集
（1）；
（2）
（3）
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）将原不等式等价转换为，解一元二次不等式即可.
（2）将原不等式等价转换为，解一元二次不等式即可.
（3）将原不等式等价转换为，解一元二次不等式即可.
【小问1详解】
由题意，
解不等式得或，
从而不等式的解集为.
【小问2详解】
由题意，
解不等式得，
从而不等式的解集为.
【小问3详解】
由题意，
解不等式得，
从而不等式的解集为.
19. （1）已知，，①求的值； ②求的值；
（2）已知，，①用，表示； ②用，表示．
【答案】（1）①，②；（2）①，②
【解析】
【分析】（1）根据指数幂的运算法则计算可得；
（2）根据对数的运算性质及法则计算可得.
【详解】（1）①因为，，所以；
②，，
；
（2）①因为，，
所以；
②因为，，
所以
．
20. 已知函数是奇函数．
（1）求函数的定义域并求的值；
（2）求证：函数在上单调递增.
【答案】（1）定义域为，
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据分母不为零求出函数的定义域，由奇函数的定义有求出参数的值；
（2）根据单调性的定义即可证明；
【小问1详解】
因为函数是奇函数，
所以恒成立，即，
所以，则，所以的定义域为；
【小问2详解】
由（1）知，任取，且，
则，
因为，所以，，则，
所以，即，
所以，
所以函数在上单调递增；
21. 已知定义在R上的偶函数满足：当时，
（1）在平面直角坐标系中画出函数在R上的图象，并根据图像写出单调递减区间；
（2）求出时的解析式；
（3）由图象写出不等式的解集.
【答案】（1）答案见解析；
（2），
（3）或．
【解析】
【分析】（1）作出二次函数在的图象，再将其关于轴对称即可得．
（2）根据偶函数的定义求解；
（3）由图象分类讨论可得．
【小问1详解】
先作出二次函数在的图象，再将关于原点对称，两者结合即得函数图象，如图：
【小问2详解】
时，；
【小问3详解】
或，
由图象得或，
所以不等式的解集为或．
22. 已知函数
（1）当时，求函数的值域；
（2）当在上是单调函数时，求实数的取值范围；
（3）求函数的最小值.
【答案】22.
23. 或
24. 答案详见解析
【解析】
【分析】（1）当时，函数图象是开口朝上，且以直线为对称轴的抛物线，利用函数的单调性，可得函数的最大值和最小值，即可求出函数的值域；
（2）若在区间上是单调函数,则二次函数的对称轴不在区间内，由此列不等式可得实数的取值范围；
（3）分类讨论，对称轴在给定区间和不在给定区间的最小值．
【小问1详解】
因为，所以，且对称轴，
所以，
所以函数的值域为.
【小问2详解】
因为函数对称轴为，且函数在上是单调函数，
所以，或.
【小问3详解】
由二次函数的性质得：
当时，在上单调递增，所以；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以；
当时，在上单调递减，所以．
综上，当时，，当时，，当时，．
【点睛】本题考查二次函数的单调性，考查求二次函数在给定区间上的最值，解题时注意分类讨论，分类时要准确，不重不漏．