安徽省合肥市第四十二中学2023-2024年九年级上学期期中数学试题（解析版）

这是一份安徽省合肥市第四十二中学2023-2024年九年级上学期期中数学试题（解析版），共28页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分共40分）
1. 函数y＝3（x﹣2）2＋4的图像的顶点坐标是（ ）
A. （3，4）B. （﹣2，4）C. （2，4）D. （2，﹣4）
【答案】C
【解析】
【详解】函数y＝3（x﹣2）2＋4的图像的顶点坐标是（2，4）
故选C.
2. 下列二次函数的图象开口向上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数的开口方向由a来决定，当时，二次函数的开口向上；当时，二次函数的开口向下；进而问题可求解．
【详解】解：由选项可知：B、C、D选项开口都是向下的，只有A选项的开口向上；
故选：A．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
3. 下列线段a、b、c、d是成比例线段的是（ ）
A. ，，，B. ，，，
C. ，，，D. ，，，
【答案】C
【解析】
【分析】根据比例线段定义检验判断．
【详解】解：A. a = 3，，，；
，，，
故a、b、c、d不是成比例线段，本选项不合题意；
B. ，，，；更多免费优质滋元可 家 威杏 MXSJ663 ，，，
故a、b、c、d不是成比例线段，本选项不合题意；
C. ，，，；
，，，
故a、b、c、d是成比例线段，本选项符合题意；
D ，，，；
，，，
故a、b、c、d不是成比例线段，本选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查比例线段，注意比例线段的顺序性，理解比例线段的定义是解题的关键．
4. 将抛物线向右平移1个单位，再向下平移6个单位后所得抛物线的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．
【详解】解：向右平移1个单位，
得：；
再向下平移6个单位，得：；
即；
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是函数图象的平移，解题的关键是用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
5. 对于一次函数，如果随的增大而减小，那么反比例函数满足（ ）
A. 当时，B. 在每个象限内，随的增大而减小
C. 图像分布在第一、三象限D. 图像分布在第二、四象限
【答案】D
【解析】
【分析】一次函数，y随着x的增大而减小，则m＜0，可得出反比例函数在第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大．
【详解】解：∵一次函数，y随着x的增大而减小，
∴m＜0，
∴反比例函数的图象在二、四象限；且在每一象限y随x的增大而增大．
∴A、由于m＜0，图象在二、四象限，所以x、y异号，错误；
B、错误；
C、错误；
D、正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，注意和的图象与式子中的符号之间的关系．
6. 如图所示，点是的边上一点，连接，以下条件中，不能判定的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定定理有两角分别相等的两个三角形相似，有两边的比相等，并且它们的夹角也相等的两个三角形相似逐个进行判断即可．
【详解】解：∵，，
∴，故A不符合要求；
和，不能判断∽，故B符合要求；
∵，，
∴，故C不符合要求；；
∵，，
∴，故D不符合要求；
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理的应用．能正确运用判定定理进行推理是解此题的关键．
7. 如图，中，．将沿图示中的虚线剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行一一判定即可．
【详解】解：A、如图标字母M，N，
∵∠MNB=∠A=76°，∠MBN=∠CBA，
阴影△BMN与原△BCA有两个角相等，
∴△BMN∽△BCA，故本选项不符合题意；
B、如图标字母D、E，
∵∠EDB=76°=∠A，∠DBE=∠ABC，
阴影三角形与原三角形有两个角相等，
∴△DEB∽△ABC，故本选项不符合题意；
C、如图标字母G、K，
∵∠C为公共角，CG=3，AC=6，，CK=4，，但不知道邻边BC的长，因此无法判定阴影三角形与原三角形相似．故本选项符合题意．
D、如图标字母H、F，
∵FC=2，HB=5，AB=8，AC=6，
∴AF=AC-FC=6-2=4，AH=AB-HB=8-5=3，,
∴，，
∴，∠HAF=∠CAB，
阴影三角形与原三角形有对应边成比例且夹角相等，
∴△HAF∽△CAB，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
8. 如图，矩形与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点M，N，与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点B，连接． 若四边形的面积为3，则( )
A. 3B. -3C. D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】根据矩形的性质以及反比例函数系数k的几何意义即可得出结论．
【详解】解：∵、的图象均在第一象限，
∴，，
∵点M、N均在反比例函数（是非零常数，）的图象上，
∴，
∵矩形的顶点B在反比例函数（是非零常数，）的图象上，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．
9. 如图，在中，，，点从点出发沿方问以向点匀速运动，过点作于点．以所在直线为对称轴，将折叠，点的对应点为，移动过程中与重叠部分的面积为，运动时间为，则与之间函数关系的图象大致是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分两种情况讨论：①当时，，可以求出抛物线解析式，从而得到函数图像；②当时，，可以求出抛物线解析式，从而得到函数图像．
【详解】解：∵，，
∴当点D在中点时，和B重合，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵点速度是，运动时间为，
∴，
∴，
①当时，
由题意可得：，
此时，S与之间函数关系的图像是顶点在原点，开口向上的抛物线；
②当时，如图所示，

此时，
∵，，
∴，，
∵，
同理可得：，
∴，
∴当时，S有最大值，最大值为2，
此时，S与之间函数关系的图象是开口向下的抛物线，且当时，S有最大值，
故选：A．
【点睛】本题考查动点问题的函数图像，关键是分段求出S与之间函数解析式．
10. 如图，在矩形中，，，将沿射线平移a个单位长度（）得到，连接，，则当是直角三角形时，a的值为（ ）
A. 或B. 2或C. 或D. 或3
【答案】A
【解析】
【分析】分两种情况：①如图1，，②如图2，，分别作辅助线，构建相似三角形，证明三角形相似列比例式可得对应的值．
【详解】分两种情况：
①如图1，，延长交于，过点作，交的延长线于，
，
四边形是矩形，
，，
，即，
设，，
，
由平移得：，
，，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
；
②如图2，，延长交于，则，
，
由平移得：，
同理设，，则，
，
，，
，
，
，
，即，
，
；
综上，的值是或．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、平移的性质、勾股定理、三角函数、三角形相似的性质和判定、直角三角形的性质等知识点；解题关键是画出两种情况的图形，依题意进行分类讨论．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分共20分）
11. 若二次函数与x轴有两个交点，则k的取值范围是______．
【答案】且
【解析】
【分析】根据二次函数与一元二次方程的根的判别式的关系结合二次函数的定义解答．
【详解】解：根据题意可得：且，
解得：且；
故答案为：且．
【点睛】本题考查了抛物线与一元二次方程的关系，熟知抛物线与x轴有两个交点，则对应方程的判别式是解本题的关键．
12. 在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即．已知为2米，则线段的长为______米．
【答案】##
【解析】
【分析】根据点E是AB的黄金分割点，可得，代入数值得出答案．
【详解】∵点E是AB的黄金分割点，
∴．
∵AB=2米，
∴米．
故答案为：（）．
【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用，掌握黄金比是解题的关键．
13. 如图，是平行四边形边的延长线上一点，，则____．

【答案】
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质得到，，易证，由相似三角形的性质即可求解．
【详解】∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键．
14. 如图．已知反比例与的图象如图所示，点A，B在的图象上，点C，D在的图象上，对角线BD⊥AC于点P，对角线轴．已知点B的横坐标为4：
（1）当m＝4，n＝20，且P为BD中点，判断四边形ABCD的形状为______．
（2）当四边形ABCD为正方形时m，n之间的数量关系为______．
【答案】 ①. 菱形 ②. m+n=32
【解析】
分析】（1）先确定出点B，D坐标，再利用待定系数法即可得出结论，确定出点A，C，P坐标，进而求出PA，PC，即可得出结论；
（2）先确定出，进而求出点P的坐标，再求出A，C坐标，最后用AC=BD，即可得出结论．
【详解】解：（1）∵点B的横坐标为4，
∴当x=4时，，
∴点，
设，则，
∵P为BD中点，
∴PA=PC，
∵轴．
∴点P的横坐标为4，
∴，解得：，
∴，
∴点P（4，3），
∴PB=PD=2，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵BD⊥AC，
∴四边形ABCD是菱形；
故答案为：菱形
（2）∵四边形ABCD为正方形，
∴BD=AC，
当x=4时，，
∴点，
∴，
∴，
∵AC=BD，
∴，
∴m+n=32．
故答案为：m+n=32
【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，正方形的性质，判断出四边形ABCD是平行四边形是解本题的关键．
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分共16分）
15. 已知抛物线的顶点是（﹣3，2），且经过点（4，﹣5），试确定抛物线的函数表达式．
【答案】抛物线的表达式为y=−（x+3）2+2．
【解析】
【分析】根据题意可设顶点式y=a（x-h）2+k，然后再把点（4，-5）代入进行计算即可解答．
【详解】解：∵抛物线的顶点是（-3，2），
∴设抛物线的表达式为：y=a（x+3）2+2，
把点（4，-5）代入y=a（x+3）2+2中得：
a（4+3）2+2=-5，
解得：a=−，
∴抛物线的表达式为：y=−（x+3）2+2．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的顶点式是解题的关键．
16. 如图、在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，
（1）画出与关于轴对称的；
（2）以原点为位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为，并写出点的坐标．
【答案】（1）图见解析
（2）图见解析，点的坐标为
【解析】
【分析】本题考查了轴对称变化、位似变化，熟练掌握轴对称变化、位似变化的作图是解题的关键．
（1）找到点、、关于轴的对称点、、，连接点、、得到即可；
（2）分别连接、、，并分别向、、方向延长两倍，得到点、、，连接点、、得到，根据图象得出点坐标即可．
【小问1详解】
如图，即为所要求作的图形．
【小问2详解】
解：如图，即为所要求作的图形．
由图可知点的坐标为．
四、解答题（本大题2小题，每小题8分，满分共16分）
17. 某体育用品商店销售一款排球，进价为20元/个，销售过程中发现，每天的销量（个）与销售单价（元）之间的关系可以近似地看作一次函数．
（1）销售单价定为多少元时，每天可获利336元？
（2）写出每天获得的利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式，并求体育用品商店日销售的最大利润．
【答案】（1）销售单价定为32元时，每天可获利336元
（2）日销售最大利润为375元
【解析】
【分析】（1）根据总利润每件的利润销量，列出方程，即可求解；
（2）根据总利润每件的利润销量，列出函数关系式，即可求解．
【小问1详解】
解：依题知，得．
整理方程，得．
解得，．
，
，不合题意，舍去．
答：销售单价定为32元时，每天可获利336元．
【小问2详解】
解：，
即．
，
∴抛物线的开口向下．
∴当时，w的值随着x值的增大而增大．
，
∴当时，．
答：日销售最大利润为375元．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
18. 如图，将矩形纸片沿着过点D的直线折叠，使点A落在边上，落点为F，折痕交边于点E，
（1）求证：；
（2）若，求的长；
【答案】（1）见解析 （2）2
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质可得，从而得到，再由根据折叠的性质可得，从而得到，即可求证；
（2）根据折叠的性质可得，再由勾股定理可得，即可求解．
【小问1详解】
证明： ∵四边形是矩形，
∴，
∴，
根据折叠的性质得：，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：根据折叠的性质得：，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握相似三角形的判定，矩形的性质，勾股定理是解题的关键．
五、解答题（本大题2小题，每小题10分，满分共20分）
19. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数在第三象限内的图象交于点．

（1）求反比例函数的表达式；
（2）当时，求的取值范围；
（3）当点在轴上，的面积为6时，直接写出点的坐标．
【答案】（1）反比例函数的解析式是
（2）自变量x的取值范围为或．
（3）点P的坐标为或
【解析】
【分析】（1）将与坐标代入一次函数解析式中求出与的值，即可确定出一次函数解析式；再求解C的坐标，将C坐标代入反比例函数解析式中求出的值，即可确定出反比例函数解析式；
（2）先求解两函数另一个交点坐标，再直接由图象法求解即可；
（3）如图所示，，，设，结合，
可得：，从而可得答案.
【小问1详解】
解： 一次函数的图象经过、两点，
，
解得：，
一次函数的解析式是；
把代入得：，
∴
反比例函数的图象经过点，
．
反比例函数的解析式是；
【小问2详解】
解：联立，
解得：，，
∴一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点．
∴由图象可得当时，自变量x取值范围为或．
【小问3详解】
解：如图，

∵，，设，
根据题意得：，
解得：，
则或．
∴点P的坐标为或．
【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点求不等式解集，坐标与图形性质，以及三角形的面积求法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
20. 如图，平分， 交于点F，点C在的延长线上，，的延长线交于点E．

（1）求证：；
（2）若，，求的值
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由角平分线的性质得出，再根据平行线的性质得出，最后得出结果；
（2）先证 ，再利用相似三角形的性质求解即可．
【小问1详解】
证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴ ，
∴．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质及相似三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质的运用是解题的关键．
六、解答题（本大题2小题，每小题12分，满分共24分）
21. 我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为，把锅盖纵断面的抛物线记为．

（1）求和的解析式；
（2）如果炒菜时锅的水位高度是，求此时水面的直径；
（3）如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由．
【答案】（1）；
（2）水面的直径为
（3）锅盖不能正常盖上，理由见解析
【解析】
【分析】（1）已知、、、四点坐标，利用待定系数法即可确定两函数的解析式；
（2）炒菜锅里的水位高度为，即，列方程求得x的值即可得答案；
（3）底面直径为、高度为圆柱形器皿能否放入锅内，需判断当时，、中的值的差与比较大小，从而可得答案．
【小问1详解】
由于抛物线、都过点、，设、的解析式为：，；
抛物线还经过，
则有：，解得：
即：抛物线；
抛物线还经过，
则有：，解得：
即：抛物线．
【小问2详解】
当炒菜锅里的水位高度为时，，即，
解得：，
∴此时水面的直径为．
【小问3详解】
锅盖不能正常盖上，理由如下：
当时，抛物线，
抛物线，
而，
∴锅盖不能正常盖上．
【点睛】考查了二次函数的综合应用，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征等，注意数形结合思想在解题中的应用.
22. 在中，，点D是边上一点，，，和交于点E．

图1 图2
（1）如图1，如果，求证：；
（2）如图2，如果，猜想和之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）在（2）的情况下，如果，，，请直接写出的长．
【答案】（1）见解析 （2），理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）作，交于点F，根据已知条件得出，，根据，得出，根据，得出，证明，即可得出结论；
（2）作，交于点F，根据，得出，求出，证明，得出，求出；
（3）设，则，由勾股定理得：，求出，即可得出答案．
【小问1详解】
证明：作，交于点F，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：，理由如下：
作，交于点F，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
∴，
根据解析（2）可知，．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等和三角形相似的判定．
七、解答题（本题满分14分）
23. 如图，抛物线经过点、，交轴于点．为抛物线在第三象限部分上的一点，作轴于点，交线段于点，连接．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求线段长度的最大值，并求此时点的坐标；
（3）若线段把分成面积比为的两部分，求此时点的坐标．
【答案】（1）；（2），；（3）
【解析】
【分析】（1）设抛物线的表达式为然后把代入求解即可得到答案；
（2）求出直线AC的解析式，然后设，，利用两点距离公式表示出，然后利用二次函数的性质求解即可；
（3），分和两种情况讨论求解即可得到答案.
【详解】解：（1）设抛物线的表达式为，
将代入表达式，解得，
抛物线的表达式为：，
即：；
（2）设直线的表达式为：．则，将代入表达式，得，
直线得表达式为：；
设，．
则；
把代入，得：，
，
线段长度得最大值是，此时的坐标是；
（3）根据题意，，
当时，有：，
解得（舍去）；
当时，有：，
解得：，（舍去）；
综上所述：当（-1，0）时，满足条件．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的相关知识.