


还剩25页未读,
继续阅读
2023-2024学年江苏省苏州市常熟市重点中学八年级(上)10月月考数学试卷(含解析)
展开
这是一份2023-2024学年江苏省苏州市常熟市重点中学八年级(上)10月月考数学试卷(含解析),共28页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
1.下列选项是科学防控知识的图片,图片上有图案和文字说明,其中的图案是轴对称图形的是( )
A. 打喷嚏捂鼻子B. 喷嚏后慎揉眼
C. 戴口罩讲卫生D. 勤洗手勤通风
2.据统计,2020年国家公务员考试最终过审人数达1437000人,数据1437000精确到万位,并用科学记数法可表示为( )
A. 144×104B. 1.44×106C. 1.44×104D. 1.43×106
3.由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是
( )
A. ∠A-∠B=∠CB. a=5,b=12,c=13
C. (c+b)(c−b)=a2D. a=13,b=14,c=15
4.若[a]表示数a的整数部分,例如[π]=3,则[ 24]=( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
5.下列命题中正确的是( )
A. 数轴上的点与实数一一对应B. 无理数是带根号的数
C. 无限小数都是无理数D. 零是最小的实数
6.将一张长方形纸片折叠,如图所示,若AB=4,BC=3,则AC的长为
( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
7.如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,S△ABC=9,DE=2,AB=5,则AC的长是
( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
8.如图,在第1个△A1BC中,∠B=30°,A1B=CB,在边A1B上任取一点D,延长CA1到A2,使A1A2=A1D,得到第2个△A1A2D,在边A2D上任取一点E,延长A1A2到A3,使A2A3=A2E,得到第3个△A2A3E,…按此做法继续下去,则第2021个三角形中以A2020为顶点的底角度数是
( )
A. 122020⋅75°B. 122020⋅65°C. 122021⋅75°D. 122021⋅65°
9.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为AC上一点,且DA=DB=5,又△DAB的面积为10,那么DC的长是
( )
A. 4B. 3C. 5D. 4.5
10.如图,点P是∠AOB内一点,OP=m,∠AOB=α,点P关于直线OA的对称点为点Q,关于直线OB的对称点为点T,连接QT,分别交OA、OB于点M、N,连接PM、PN,下列结论:①∠OTQ=90°-α;②α=30°时,△PMN的周长为m;③0( )
A. ①②B. ③④C. ①②④D. ①②③④
二、填空题(本大题共7小题,共21.0分)
11.364的平方根为____.
12.在 2,−34,0.32,227,π3,( 2−1)0,− 9,0.1010010001…等数中,无理数有_____个.
13.把0.3549按四舍五入法精确到0.01的近似值是___.
14.若二次根式 a−1在实数范围内有意义,则a的取值范围为________.
15.如图,长方形ABCD中,AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,则△BEF的面积为_____cm2.
16.如图所示,AB // CD,O为∠BAC、∠ACD的平分线的交点,OE⊥AC于E,且OA=12,OE=5,则AB与CD之间的距离等于____.
17.如图,已知△ABC中,AB=8,BC=10,BD平分∠ABC,交AC于点D,DE⊥AB,AF⊥BC,垂足分别为点E、F,若DE=3,则AF=_____.
三、解答题(本大题共10小题,共80.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
18.(本小题8.0分)
如图,∠ABC=90°,AE⊥BD,BE=3,AB=BC,则△BCE的面积为_____.
19.(本小题8.0分)
计算:
(1) 52−42+−120−2−1;
(2)2−1+3(−1)3+ 3−2.
20.(本小题8.0分)
求下列式子的x的值.
(1)4x2−49=0;
(2)2(x−1)3=−54.
21.(本小题8.0分)
方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形.
(1)在图1中确定格点C,使△ABC为等腰三角形.(如果有多个点C,请分别以点C1,C2,C3…编号)
(2)在图2中,请用无刻度的直尺找出一个格点P,使BP平分∠ABC.(不写画法,保留画图痕迹)
22.(本小题8.0分)
中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明,在世界数学史上具有独特的贡献和地位,体现了数学研究中的继承和发展.现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”.Rt△ABC中,∠ACB=90°,若AC=b,BC=a,请你利用这个图形解决下列问题:
(1)试说明a2+b2=c2;
(2)如果大正方形的面积是12,小正方形的面积是4,求(a+b)2的值.
23.(本小题8.0分)
如图,在△ABC中,AB(1)求证:BG=CF;
(2)若AB=10cm,AC=14cm,求AG的长.
24.(本小题8.0分)
如图,△ABC中,BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E,且BD2−DA2=AC2.
(1)求证:∠A=90°;
(2)若AB=8,AD:BD=3:5,求AC的长.
25.(本小题8.0分)
如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,EA⊥AB于点A,EB交AC于点D,且AD=AE.
(1)求证:BD平分∠ABC;
(2)如图2,过E作EF⊥AC于点F.
①求证:AF=CD;
②若BC=6,AB=10,则线段DE的长为_______.
26.(本小题8.0分)
如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形,那么称这条线段为这个三角形的内好线,称这个三角形为内好三角形.
(1)如图1,△ABC是等腰锐角三角形,AB=AC(AB>BC),∠ABC的角平分线BD交AC于点D,且BD是△ABC的一条内好线,则∠BDC=___________度;
(2)如图2,△ABC中,∠B=2∠C,线段AC的垂直平分线交AC于点D,交BC于点E.求证:AE是ABC的一条内好线;
(3)如图3,已知△ABC是内好三角形,且∠A=24°,∠B为钝角,则所有可能的∠B的度数为___________(直接写答案).
27.(本小题8.0分)
已知:把Rt△ABC和Rt△DEF按如图1摆放(点C与点E重合),点B、C(E)、F在同一条直线上,∠ACB=∠EDF=90°,∠DEF=45°,AC=8cm,BC=6cm,EF=9cm,如图2,△DEF从图1的位置出发以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动,在△DEF移动的同时,点P从△ABC的顶点B出发,以2cm/s的速度沿BA向点A匀速移动,当△DEF的顶点D移动到AC边上时,△DEF停止移动,点P也随之停止移动.DE与AC相交于点Q,连接PQ,设移动时间为ts(0解答下列问题:
(1)用含t的代数式表示线段AP=______;
(2)当t为何值时,点E在∠A的平分线上?
(3)当t为何值时,点A在线段PQ的垂直平分线上?
(4)连接PE,当t=1s时,求四边形APEC的面积.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可.
【详解】解:A、不是轴对称图形,故此选项不符合题意;
B、不是轴对称图形,故此选项不符合题意;
C、是轴对称图形,故此选项符合题意;
D、不是轴对称图形,故此选项不符合题意;
故选:C.
【点睛】此题主要考查了轴对称图形,关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴.
2.【答案】B
【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,且比原数的整数位少一位;取精确度时,需要精确到哪位就数到哪位,然后根据四舍五入的原理进行取舍.
【详解】1437000≈1440000=1.44×106.
故选:B.
【点睛】本题主要考查了科学记数法与有效数字,注意对一个数进行四舍五入时,若要求近似到个位以前的数位时,要对这个数用科学记数法表示.
3.【答案】D
【解析】【分析】根据勾股定理逆定理以及三角形内角和定理逐一判断即可.
【详解】解:∵∠A-∠B=∠C,∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠A=90°,
∴△ABC为直角三角形,故A不符合题意;
∵a=5,b=12,c=13,
∴a2+b2=c2,
∴△ABC是直角三角形,故B不符合题意;
∵(c+b)(c−b)=a2,
即c2−b2=a2,
∴△ABC是直角三角形,故C不符合题意;
∵a=13,b=14,c=15,
∴c2+b2≠a2,
∴△ABC不是直角三角形,故D符合题意,
故选:D.
【点睛】本题考查了勾股定理逆定理,三角形内角和定理,熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键.
4.【答案】A
【解析】【分析】根据题意得出4< 24<5,进而利用[ 24]表示出一个实数的整数部分,即可得出答案.
【详解】解:∵ 16< 24< 25,
∴4< 24<5,
∴[ 24]=4,
故选A.
【点睛】本题考查了估算无理数的大小,正确得出无理数最接近的有理数是解题的关键.
5.【答案】A
【解析】【分析】根据无理数和实数的定义逐个判断即可.
【详解】解:A、数轴上的点与实数一一对应,故A选项正确,符合题意;
B、无理数是无限不循环小数,例如π,故B选项错误,不符合题意;
C、无限循环小数是无限小数,也是有理数,故C选项错误,不符合题意;
D、没有最小的实数,故D选项错误,不符合题意,
故选:A.
【点睛】本题考查了实数与无理数的定义及实数与数轴的关系,牢记无理数的定义是解题的关键.
6.【答案】B
【解析】【分析】延长原长方形的边,然后根据两直线平行,内错角相等可得∠1=∠ACB,根据翻折变换的性质可得∠1=∠ABC,从而得到∠ABC=∠ACB,再根据等角对等边可得AC=AB,从而得解.
【详解】解:如图,延长原长方形的边,
∵长方形的对边平行,
∴∠1=∠ACB,
由翻折变换的性质得,∠1=∠ABC,
∴∠ABC=∠ACB,
∴AC=AB,
∵AB=4,
∴AC=4.
故选:B.
【点睛】本题考查了翻折变换的性质,平行线的性质,等腰三角形的判定,熟记翻折变换的性质和平行线的性质是解题的关键,难点在于作出辅助线.
7.【答案】C
【解析】【分析】过D点作DF⊥AC于F,根据角平分线的性质可得DF=DE=2,再根据∵S△ABC=S△ABD+S△ACD=9即可求出AC的长.
【详解】
如图,过D点作DF⊥AC于F,
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DF=DE=2,
∵S△ABC=S△ABD+S△ACD=9,
∴12AB⋅DE+12AC⋅DF=9,
12×5×2+12⋅AC⋅2=9,
解得AC=4.
故选:C
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质:角平分线上的点到角两边的距离相等,熟练掌握这一性质是解题的关键.
8.【答案】A
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求得∠BA1C的度数,再由三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1,∠EA3A2,∠FA4A3的度数,找出规律即可求解.
【详解】解:∵∠B=30°,A1B=CB,
∴∠BA1C=12×(180°-30°)=75°;
∵A1A2=A1D,
∴∠DA2A1=12∠BA1C=12×75°;
同理得:∠EA3A2=12∠DA2A1=122×75°,∠FA4A3=12∠EA3A2=123×75°,…,
一般地,第n个等腰三角形的底角的度数是12n−1×75°,
∴第2021个等腰三角形的底角度数是122021−1×75°=122020×75°,
故选:A.
【点睛】本题考查了图形和数式规律探究,等腰三角形的性质、三角形内角和以及三角形外角的性质等知识,找出规律是解题的关键.
9.【答案】B
【解析】【分析】根据Rt△ABC中,∠C=90°,可证BC是△DAB的高,然后利用三角形面积公式求出BC的长,再利用勾股定理即可求出DC的长.
【详解】∵在Rt△ABC中,∠C=90°,
∴BC⊥AC,即BC是△DAB的高,
∵△DAB的面积为10,DA=5,
∴12DA⋅BC=10,
∴BC=4,
∴CD= DB2−BC2=3,
故选B.
【点睛】本题考查的是勾股定理,此题的突破点是利用三角形面积公式求出BC的长.
10.【答案】D
【解析】【分析】根据轴对称的性质可得OQ=OP=OT=m,∠POA=∠QOA,∠POB=∠TOB,由此可得∠QOT=2α,再根据等腰三角形的性质可得∠OTQ=∠OQT=90°-α,当α=30°时,则∠QOT=2α=60°,根据等边三角形的判定与性质可得QT=OT=m,再根据垂直平分线的性质可得PM=QM,PN=TN,由此可得△PMN的周长=m,根据三角形三边关系可得0【详解】解:∵点P关于直线OA的对称点为点Q,关于直线OB的对称点为点T,
∴OA、OB分别垂直平分PQ,PT,
∴OQ=OP=OT=m,∠POA=∠QOA,∠POB=∠TOB,
∴∠QOT=∠POA+∠QOA+∠POB+∠TOB=2(∠POA+∠POB)=2∠AOB=2α,
∵OQ=OT,
∴∠OTQ=∠OQT=12(180°-∠QOT)=12(180°-2α)=90°-α,故①正确;
当α=30°时,则∠QOT=2α=60°,
又∵OQ=OT,
∴△OQT为等边三角形,
∴QT=OT=m,
∵OA、OB分别垂直平分PQ,PT,点M、N分别在OA、OB上,
∴PM=QM,PN=TN,
∴△PMN的周长=PM+MN+PN=QM+MN+TN=QT=m,故②正确;
∵OQ=OT,
∴OQ−OT∴0如图,∵OA⊥PQ,OB⊥PT,
∴∠OEP=∠OFP=90°,
又∵∠AOB=α,
∴∠EPF=360°-∠OEP-∠OFP-∠AOB=180°-α,
∴在△PQT中,∠PQT+∠PTQ=180°-∠EPF=α,
∵PM=QM,PN=TN,
∴∠PQT=∠MPQ,∠PTQ=∠NPT,
∴∠MPN=∠EPF−(MPQ+∠NPT)=∠EPF−(∠PQT+∠PTQ)=180°-α−α=180°-2α,故④正确,
综上所述,正确的有①②③④,
故选:D.
【点睛】本题考查了轴对称的性质,垂直平分线的性质,等腰三角形的性质,等边三角形的判定与性质,熟练掌握相关图形的判定与性质是解决本题的关键.
11.【答案】±2
【解析】【分析】根据立方根的定义可知64的立方根是4,而4的平方根是±2,由此就求出了这个数的平方根.
【详解】解:∵4的立方等于64,
∴64的立方根等于4.
4的平方根是±2,
故答案为±2.
【点睛】本题考查了平方根和立方根的概念.注意一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根.立方根的性质:一个正数的立方根式正数,一个负数的立方根是负数,0的立方根式0.
12.【答案】4
【解析】【分析】根据无理数的概念求解即可.
【详解】解:在所列实数中,无理数有 2,−34,π3,0.1010010001…,这4个数,
故答案为:4
【点睛】此题要熟记无理数的概念及形式,初中范围内学习的无理数有:π,2π等,开方开不尽的数,以及像0.1010010001…有这样规律的数.
13.【答案】0.35
【解析】【分析】根据题意“精确到0.01”把千分位上的数字4进行四舍五入即可.
【详解】解:把0.3549按四舍五入法精确到0.01的近似值是0.3549≈0.35.
故答案为0.35.
【点睛】本题考查近似数和有效数字,明确精确位数,再根据精确位数的后一位四舍五入.
14.【答案】a≥1
【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件即可求解.
【详解】解:由题意得:
a−1≥0,解得a≥1,
故答案为:a≥1.
【点睛】跟他考查了二次根式有意义的条件,掌握二次根式有意义的条件是解题的关键.
15.【答案】152
【解析】【分析】过点E作EH⊥BC于点H,由四边形ABCD是长方形和折叠知DE=BE,再用平行线的性质和勾股定理即可求解.
【详解】解:过点E作EH⊥BC于点H,
过点E作EH⊥BC于点H,
∴∠EHB=90°
∵四边形ABCD是长方形
∴∠A=∠ABC=90°
∴四边形ABHE是长方形
设BE=xcm,
由折叠知DE=BE,
∴AE=AD−ED=9−x,
在Rt△ABE中,BE2=AE2+AB2
∴x2=(9−x)2+32,
解得x=5,
∴DE=BE=5cm,AE=4cm,
∵AD/\!/BC,
∴∠EFB=∠DEF
又∵∠BEF=∠DEF,
∴∠BEF=∠EFB,
∴BF=BE=5,
∴△BEF的面积为12BF×EH=12×5×3=152cm2;
故答案为:152
【点睛】此题考查了折叠的性质、长方形的性质以及勾股定理,等腰三角形的判定,解题的关键是掌握折叠前后图形的对应关系,注意数形结合思想与方程思想的应用.
16.【答案】10.
【解析】【分析】过点O作MN⊥AB于M,交CD于N,根据角平分线的性质和平行线的性质解答可得解.
【详解】如图,过点O作MN⊥AB于M,交CD于N,
∵AB // CD,
∴MN⊥CD,
∵AO是∠BAC的平分线,OM⊥AB,OE⊥AC,OE=5,
∴OM=OE=5,
∵CO是∠ACD的平分线,OE⊥AC,ON⊥CD,
∴ON=OE=5,
∴MN=OM+ON=10,
即AB与CD之间的距离是10.
故答案为10.
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,平行线间的距离的定义,熟记性质并作出辅助线是解题的关键.
17.【答案】275
【解析】【分析】过点D作DH⊥BC,根据角平分线的性质得到DH=DE=3,根据三角形的面积公式即可得到答案.
【详解】解:过点D作DH⊥BC,如图,
∵BD平分∠ABC,DH⊥BC,
∴DH=DE=3,
∵BC=10,
∴S△BDC=12BC⋅DH=12×10×3=15,
∵S△ABC=S△ABD+S△CBD,
∴12AF⋅BC=12AB⋅DE+15,
∴12×10AF=12×8×3+15,
∴AF=275,
故答案为:275.
【点睛】本题考查了角平分线的性质,三角形的面积的计算,正确的作出辅助线是解题的关键.
18.【答案】92
【解析】【分析】过点C作CF⊥BD,交BD延长线于点F,首先证明△ABE≌△BCF(AAS),由全等三角形的性质可得CF=BE=3,再利用三角形面积公式求解即可.
【详解】解:如下图,过点C作CF⊥BD,交BD延长线于点F,
∵∠ABC=90°,AE⊥BD,BE=3,
∴∠BAE+∠ABE=∠ABE+∠CBF,
∴∠BAE=∠CBF,
∵CF⊥BD,
∴∠AEB=∠BFC=90°,
在△ABE和△BCF中,
∠BAE=∠CBF∠AEB=∠BFCAB=BC,
∴△ABE≌△BCF(AAS),
∴CF=BE=3,
∴S△BCE=12BE⋅CF=12×3×3=92.
故答案为:92.
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形面积公式等知识,正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键.
19.【答案】(1)72
(2)32− 3
【解析】【分析】(1)根据算术平方根、零指数幂、负指数幂的性质计算即可;
(2)根据负指数幂、立方根、绝对值的性质计算即可.
【详解】(1)解:原式=3+1−12
=72
(2)解:原式=12+(−1)+2− 3
=32− 3
【点睛】本题考查了实数的运算,熟知运算法则是解题的关键.
20.【答案】(1)x=±72(2)x=−2
【解析】【分析】(1)根据平方根的性质即可化简求解;
(2)根据立方根的性质即可化简求解.
【详解】解:(1)4x2−49=0
x2=494
∴x=±72
(2)2(x−1)3=−54
(x−1)3=−27
x−1=−3
∴x=−2.
【点睛】此题主要考查平方根、立方根的应用,解题的关键是熟知实数的性质化简各方程求解.
21.【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】【分析】(1)根据等腰三角形的定义作出图形即可.
(2)取格点R,连接AR,取AR的中点P,连接BP,点P即为所求.
【详解】(1)解:如图,
△ABC1,AB=BC1;△ABC2,AC2=BC2;△ABC3,AC3=AB;△ABC4,AC4=BC4;
∴C1,C2,C3,C4即为所求.
(2)解:如图,点P即为所求.
∵△ABR是等边三角形,
∴BP是对边AR的中线,垂线,是∠ABC的角平分线,
∴点P即为所求.
【点睛】本题考查作图—应用与设计作图,角平分线的性质,等腰三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题.
22.【答案】(1)证明见解析
(2)20
【解析】【分析】(1)根据大正方形面积=小正方形面积+四个直角三角形面积计算即可;
(2)由图可得到(b−a)2和2ab的值,代入(a+b)2=(b−a)2+4ab,即可得到结论.
【详解】(1)证明:∵大正方形面积为c2,直角三角形面积为2ab,小正方形面积为(b−a)2,
∴c2=4×2ab+(a−b)2=2ab+a2−2ab+b2
∴c2=a2+b2;
(2)解:由图可知,(b−a)2=4,4×12ab=12−4=8,
∴2ab=8,
∴(a+b)2=(b−a)2+4ab=4+2×8=20
∴(a+b)2的值为20.
【点睛】本题考查了勾股定理的证明,完全平方公式的变形应用.解题的关键在于明确a,b,c与面积的关系.
23.【答案】(1)见解析;(2)2.
【解析】【分析】(1)连接DB,根据垂直平分线和角平分线的性质可先证明Rt△CDF≌Rt△BDG,即可求证;
(2)证明△ADG≌△ADF,再利用线段的和差即可求解.
【详解】(1)证明:如图所示,连接DB,
∵AD是△ABC的外角平分线,DG⊥AB,DF⊥CA,
∴DF=DG,
∵DE垂直平分BC,
∴DC=DB,
在Rt△CDF与Rt△BDG中
DF=DGDC=DB,
∴ Rt△CDF≌Rt△BDG (HL),
∴BG=CF.
(2)解:∵∠GAD=∠FAD,∠AGD=∠AFD,AD=AD,
∴在△ADG与△ADF中
∠GAD=∠FAD∠AGD=∠AFDAD=AD
∴△ADG≌△ADF(AAS),
∴AG=AF,
∵BG=CF,
∴AC−AB=AF+FC−AB=AF+BG−AG=AF+AG=2AG,
∴AG=12(AC−AB)=12(14−10)=2 (cm).
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定、线段的垂直平分线定理和角平分线性质等知识点,添加适当的辅助线,利用中垂线的性质构造三角形全等是解题的关键.
24.【答案】(1)见解析;(2)AC=4
【解析】【分析】(1)利用线段垂直平分线的性质可得CD=BD,然后利用勾股定理逆定理可得结论;
(2)首先确定BD的长,进而可得CD的长,再利用勾股定理进行计算即可.
【详解】(1)证明:连接CD,
∵BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E,
∴CD=DB,
∵BD2−DA2=AC2,
∴CD2−DA2=AC2,
∴CD2=AD2+AC2,
∴△ACD是直角三角形,且∠A=90°;
(2)解:∵AB=8,AD:BD=3:5,
∴AD=3,BD=5,
∴DC=5,
∴AC= CD2−AD2=4.
【点睛】本题主要考查勾股定理及其逆定理、线段垂直平分线的性质定理,熟练掌握勾股定理及其逆定理、线段垂直平分线的性质定理是解题的关键.
25.【答案】(1)见解析;(2)①见解析;②2 5.
【解析】【分析】(1)首先根据等腰三角形的性质得到∠E=∠ADE,然后根据等角的余角相等得到∠DBC=∠ABE,即可证明BD平分∠ABC;
(2)①过D作DH⊥AB于H,首先根据角平分线的性质定理得到CD=DH,然后根据同角的余角相等得到∠AEF=∠DAH,利用AAS证明△ADH≌△EAF,根据全等三角形的性质得到AF=DH,即可证明AF=CD;
②首先根据勾股定理求出AC的长度,然后证明Rt△BCD≌Rt△BHD(HL),根据全等三角形对应边相等得到BH=BC=6,设AF=CD=x,在Rt△AEF中利用勾股定理列方程求出AF=CD=3,即可得到DF的长度,最后在Rt△EFD中利用勾股定理即可求出DE的长.
【详解】(1)证明:如图1,
∵AD=AE,
∴∠E=∠ADE,
∵∠ADE=∠BDC,
∴∠E=∠BDC,
∵EA⊥AB,
∴∠BAE=90°,
∴∠E+∠ABE=90°,
∵∠C=90°,
∴∠BDC+∠DBC=90°,
∴∠DBC=∠ABE,
∴BD平分∠ABC;
(2)①证明:如图2,过D作DH⊥AB于H,
∵BD平分∠ABC,∠C=90°,
∴CD=DH,
∵EA⊥AB,EF⊥AC,
∴∠EAB=∠AFE=∠AHD=90°,
∴∠AEF+∠EAF=∠EAF+∠DAH=90°,
∴∠AEF=∠DAH,
在△ADH与△EAF中,
∠AFE=∠AHD∠AEF=∠DAHAE=AD,
∴△ADH≌△EAF(AAS),
∴AF=DH,
∴AF=CD;
②解:∵BC=6,AB=10,∠C=90°,
∴AC= AB2−BC2= 102−62=8
∵CD=DH,BD=BD,
∴Rt△BCD≌Rt△BHD(HL),
∴BH=BC=6,
∴AH=AB−BH=10−6=4,
∵△ADH≌△EAF,
∴EF=AH=4,
设AF=CD=x,
∴AE=AD=8−x,
∵EF⊥AC,
∴AE2=AF2+EF2,
∴(8−x)2=x2+42,
∴x=3,
∴AF=CD=3,
∴DF=AC−AF−CD=8−3−3=2,
∴DE= EF2+DF2= 42+22=2 5.
故答案为:2 5.
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定,角平分线的性质定理,勾股定理的运用,等腰三角形的性质等知识,解题的关键是根据题意正确作出辅助线以及熟练掌握以上各知识.
26.【答案】(1)72
(2)证明过程见解析
(3)148°或144°或117°或108°
【解析】【分析】(1)由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A,设∠A=x,则∠C=∠ABC=∠BDC=2x,在△ABC中,由三角形内角和定理得出方程,解方程即可;
(2)只要证明△ABE,△AEC是等腰三角形即可;
(3)当BD是内好线时,分三种情形讨论,当AD是内好线时,AB=BD,AD=DC根据等腰三角形性质即可解决问题,当CD为内好线时,不合题意.
【详解】(1)∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C,
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC,
∵BD是△ABC的一条内好线,
∴△ABD和△BCD是等腰三角形,
∴AD=BD=BC,
∴∠A=∠ABD,∠C=∠BDC,
∴∠ABC=∠C=∠BDC,
∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A,
设∠A=x,则∠C=∠ABC=∠BDC=2x,
在△ABC中,∠A+∠ABC+∠C=180°,
即x+2x+2x=180°,
解得:x=36°,
∴∠BDC=72°,
故答案为:72.
(2)证明:∵DE是线段AC的垂直平分线,
∴EA=EC,即△EAC是等腰三角形,
∴∠EAC=∠C,
∴∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C,
∵∠B=2∠C,
∴∠AEB=∠B,即△EAB是等腰三角形,
∴AE是△ABC是一条内好线.
(3)BD是内好线时,
如图当AB=BD=DC时,
则∠ABC=∠ABD+∠DBC=132°+12°=144°,
如图当AD=AB,DB=DC时,
则∠ABC=∠ABD+∠DBC=78°+39°=117°,
如图,当AD=DB=BC时,
则∠ABC=∠ABD+∠DBC=24°+84°=108°,
当AD=DB=DC时,∠ABC为锐角,不合题,舍去,
AD为内好线时,
如图,当AB=BD,AD=DC时,
则∠ABC=148°,
综上∠ABC=148°或144°或117°或108°.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定.灵活使用等腰三角形性质与三角形内角和定理与三角形外角定理是解题关键,根据等腰三角形顶角顶点分类讨论是难点.
27.【答案】(1)(10−2t)cm
(2)83
(3)2s
(4)20cm2
【解析】【分析】(1)利用勾股定理求出AB的值,根据AP=AB−BP计算即可;
(2)若点E在∠A的平分线上,作EH⊥AB于点H,由题意可知CE=tcm,则BE=(6−t)cm,证明Rt△AEH≌Rt△AEC(HL),易得AH=AC=8cm,BH=2cm,在Rt△BEH中利用勾股定理列式求解,即可获得答案;
(3)根据线段垂直平分线的性质得到AP=AQ,根据等腰三角形的性质得到CE=CQ,分别表示出AP、AQ的值,列式计算即可获得答案;
(4)连接PC,首先求得S△ABC=24cm2,由题意可知当t=1s时,BP=2cm,CE=1cm,BE=5cm,然后由S△BCP=BPABS△ABC,S△BEP=BEBCS△BCP,S四边形APEC=S△ABC−S△BPE计算即可.
【详解】(1)解:在Rt△ABC中,
∵∠ACB=90°,AC=8cm,BC=6cm,
∴AB= AC2+BC2= 82+62=10cm,
由题意PA=AB−BP=(10−2t)cm.
故答案为:(10−2t)cm;
(2)如下图,若点E在∠A的平分线上,作EH⊥AB于点H,
根据题意可得,CE=tcm,则BE=BC−CE=(6−t)cm,
∵∠ACB=90°,EH⊥AB,AE平分∠BAC,
∴EC=EH=tcm,∠AHE=∠ACE=90°,
又∵AE=AE,
∴Rt△AEH≌Rt△AEC(HL),
∴AH=AC=8cm,
∴BH=AB−AH=10−8=2cm,
在Rt△BEH中,则有BE2=BH2+EH2,
即(6−t)2=22+t2,
解得t=83s,
∴当t为83s时,点E在∠A的平分线上;
(3)如下图,
∵点A在线段PQ的垂直平分线上,
∴AP=AQ,
∵∠DEF=45°,∠ACB=90°,
∴∠EQC=90°-∠DEF=45°,
∴∠DEF=∠EQC,
∴CE=CQ,
由题意可知CE=tcm,BP=2tcm,
∴CQ=tcm,AP=AB−BP=(10−2t)cm,
∴AQ=(8−t)cm,
∴10−2t=8−t,
解得t=2s,
即当t=2s时,点A在线段PQ的垂直平分线上;
(4)如下图,连接PC,
∵∠ACB=90°,AC=8cm,BC=6cm,
∴S△ABC=12BC⋅AC=12×6×8=24cm2,
当t=1s时,BP=2cm,CE=1cm,
∴BE=BC−CE=5cm,
S△BCP=BPABS△ABC=210×24=4.8cm2,
S△BEP=BEBCS△BCP=56×4.8=4cm2,
∴S四边形APEC=S△ABC−S△BPE=24−4=20cm2.
【点睛】本题主要考查了勾股定理、角平分线的性质定理、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质、三角形面积公式等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题.
1.下列选项是科学防控知识的图片,图片上有图案和文字说明,其中的图案是轴对称图形的是( )
A. 打喷嚏捂鼻子B. 喷嚏后慎揉眼
C. 戴口罩讲卫生D. 勤洗手勤通风
2.据统计,2020年国家公务员考试最终过审人数达1437000人,数据1437000精确到万位,并用科学记数法可表示为( )
A. 144×104B. 1.44×106C. 1.44×104D. 1.43×106
3.由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是
( )
A. ∠A-∠B=∠CB. a=5,b=12,c=13
C. (c+b)(c−b)=a2D. a=13,b=14,c=15
4.若[a]表示数a的整数部分,例如[π]=3,则[ 24]=( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
5.下列命题中正确的是( )
A. 数轴上的点与实数一一对应B. 无理数是带根号的数
C. 无限小数都是无理数D. 零是最小的实数
6.将一张长方形纸片折叠,如图所示,若AB=4,BC=3,则AC的长为
( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
7.如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,S△ABC=9,DE=2,AB=5,则AC的长是
( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
8.如图,在第1个△A1BC中,∠B=30°,A1B=CB,在边A1B上任取一点D,延长CA1到A2,使A1A2=A1D,得到第2个△A1A2D,在边A2D上任取一点E,延长A1A2到A3,使A2A3=A2E,得到第3个△A2A3E,…按此做法继续下去,则第2021个三角形中以A2020为顶点的底角度数是
( )
A. 122020⋅75°B. 122020⋅65°C. 122021⋅75°D. 122021⋅65°
9.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为AC上一点,且DA=DB=5,又△DAB的面积为10,那么DC的长是
( )
A. 4B. 3C. 5D. 4.5
10.如图,点P是∠AOB内一点,OP=m,∠AOB=α,点P关于直线OA的对称点为点Q,关于直线OB的对称点为点T,连接QT,分别交OA、OB于点M、N,连接PM、PN,下列结论:①∠OTQ=90°-α;②α=30°时,△PMN的周长为m;③0
A. ①②B. ③④C. ①②④D. ①②③④
二、填空题(本大题共7小题,共21.0分)
11.364的平方根为____.
12.在 2,−34,0.32,227,π3,( 2−1)0,− 9,0.1010010001…等数中,无理数有_____个.
13.把0.3549按四舍五入法精确到0.01的近似值是___.
14.若二次根式 a−1在实数范围内有意义,则a的取值范围为________.
15.如图,长方形ABCD中,AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,则△BEF的面积为_____cm2.
16.如图所示,AB // CD,O为∠BAC、∠ACD的平分线的交点,OE⊥AC于E,且OA=12,OE=5,则AB与CD之间的距离等于____.
17.如图,已知△ABC中,AB=8,BC=10,BD平分∠ABC,交AC于点D,DE⊥AB,AF⊥BC,垂足分别为点E、F,若DE=3,则AF=_____.
三、解答题(本大题共10小题,共80.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
18.(本小题8.0分)
如图,∠ABC=90°,AE⊥BD,BE=3,AB=BC,则△BCE的面积为_____.
19.(本小题8.0分)
计算:
(1) 52−42+−120−2−1;
(2)2−1+3(−1)3+ 3−2.
20.(本小题8.0分)
求下列式子的x的值.
(1)4x2−49=0;
(2)2(x−1)3=−54.
21.(本小题8.0分)
方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形.
(1)在图1中确定格点C,使△ABC为等腰三角形.(如果有多个点C,请分别以点C1,C2,C3…编号)
(2)在图2中,请用无刻度的直尺找出一个格点P,使BP平分∠ABC.(不写画法,保留画图痕迹)
22.(本小题8.0分)
中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明,在世界数学史上具有独特的贡献和地位,体现了数学研究中的继承和发展.现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”.Rt△ABC中,∠ACB=90°,若AC=b,BC=a,请你利用这个图形解决下列问题:
(1)试说明a2+b2=c2;
(2)如果大正方形的面积是12,小正方形的面积是4,求(a+b)2的值.
23.(本小题8.0分)
如图,在△ABC中,AB
(2)若AB=10cm,AC=14cm,求AG的长.
24.(本小题8.0分)
如图,△ABC中,BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E,且BD2−DA2=AC2.
(1)求证:∠A=90°;
(2)若AB=8,AD:BD=3:5,求AC的长.
25.(本小题8.0分)
如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,EA⊥AB于点A,EB交AC于点D,且AD=AE.
(1)求证:BD平分∠ABC;
(2)如图2,过E作EF⊥AC于点F.
①求证:AF=CD;
②若BC=6,AB=10,则线段DE的长为_______.
26.(本小题8.0分)
如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形,那么称这条线段为这个三角形的内好线,称这个三角形为内好三角形.
(1)如图1,△ABC是等腰锐角三角形,AB=AC(AB>BC),∠ABC的角平分线BD交AC于点D,且BD是△ABC的一条内好线,则∠BDC=___________度;
(2)如图2,△ABC中,∠B=2∠C,线段AC的垂直平分线交AC于点D,交BC于点E.求证:AE是ABC的一条内好线;
(3)如图3,已知△ABC是内好三角形,且∠A=24°,∠B为钝角,则所有可能的∠B的度数为___________(直接写答案).
27.(本小题8.0分)
已知:把Rt△ABC和Rt△DEF按如图1摆放(点C与点E重合),点B、C(E)、F在同一条直线上,∠ACB=∠EDF=90°,∠DEF=45°,AC=8cm,BC=6cm,EF=9cm,如图2,△DEF从图1的位置出发以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动,在△DEF移动的同时,点P从△ABC的顶点B出发,以2cm/s的速度沿BA向点A匀速移动,当△DEF的顶点D移动到AC边上时,△DEF停止移动,点P也随之停止移动.DE与AC相交于点Q,连接PQ,设移动时间为ts(0
(1)用含t的代数式表示线段AP=______;
(2)当t为何值时,点E在∠A的平分线上?
(3)当t为何值时,点A在线段PQ的垂直平分线上?
(4)连接PE,当t=1s时,求四边形APEC的面积.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可.
【详解】解:A、不是轴对称图形,故此选项不符合题意;
B、不是轴对称图形,故此选项不符合题意;
C、是轴对称图形,故此选项符合题意;
D、不是轴对称图形,故此选项不符合题意;
故选:C.
【点睛】此题主要考查了轴对称图形,关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴.
2.【答案】B
【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,且比原数的整数位少一位;取精确度时,需要精确到哪位就数到哪位,然后根据四舍五入的原理进行取舍.
【详解】1437000≈1440000=1.44×106.
故选:B.
【点睛】本题主要考查了科学记数法与有效数字,注意对一个数进行四舍五入时,若要求近似到个位以前的数位时,要对这个数用科学记数法表示.
3.【答案】D
【解析】【分析】根据勾股定理逆定理以及三角形内角和定理逐一判断即可.
【详解】解:∵∠A-∠B=∠C,∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠A=90°,
∴△ABC为直角三角形,故A不符合题意;
∵a=5,b=12,c=13,
∴a2+b2=c2,
∴△ABC是直角三角形,故B不符合题意;
∵(c+b)(c−b)=a2,
即c2−b2=a2,
∴△ABC是直角三角形,故C不符合题意;
∵a=13,b=14,c=15,
∴c2+b2≠a2,
∴△ABC不是直角三角形,故D符合题意,
故选:D.
【点睛】本题考查了勾股定理逆定理,三角形内角和定理,熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键.
4.【答案】A
【解析】【分析】根据题意得出4< 24<5,进而利用[ 24]表示出一个实数的整数部分,即可得出答案.
【详解】解:∵ 16< 24< 25,
∴4< 24<5,
∴[ 24]=4,
故选A.
【点睛】本题考查了估算无理数的大小,正确得出无理数最接近的有理数是解题的关键.
5.【答案】A
【解析】【分析】根据无理数和实数的定义逐个判断即可.
【详解】解:A、数轴上的点与实数一一对应,故A选项正确,符合题意;
B、无理数是无限不循环小数,例如π,故B选项错误,不符合题意;
C、无限循环小数是无限小数,也是有理数,故C选项错误,不符合题意;
D、没有最小的实数,故D选项错误,不符合题意,
故选:A.
【点睛】本题考查了实数与无理数的定义及实数与数轴的关系,牢记无理数的定义是解题的关键.
6.【答案】B
【解析】【分析】延长原长方形的边,然后根据两直线平行,内错角相等可得∠1=∠ACB,根据翻折变换的性质可得∠1=∠ABC,从而得到∠ABC=∠ACB,再根据等角对等边可得AC=AB,从而得解.
【详解】解:如图,延长原长方形的边,
∵长方形的对边平行,
∴∠1=∠ACB,
由翻折变换的性质得,∠1=∠ABC,
∴∠ABC=∠ACB,
∴AC=AB,
∵AB=4,
∴AC=4.
故选:B.
【点睛】本题考查了翻折变换的性质,平行线的性质,等腰三角形的判定,熟记翻折变换的性质和平行线的性质是解题的关键,难点在于作出辅助线.
7.【答案】C
【解析】【分析】过D点作DF⊥AC于F,根据角平分线的性质可得DF=DE=2,再根据∵S△ABC=S△ABD+S△ACD=9即可求出AC的长.
【详解】
如图,过D点作DF⊥AC于F,
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DF=DE=2,
∵S△ABC=S△ABD+S△ACD=9,
∴12AB⋅DE+12AC⋅DF=9,
12×5×2+12⋅AC⋅2=9,
解得AC=4.
故选:C
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质:角平分线上的点到角两边的距离相等,熟练掌握这一性质是解题的关键.
8.【答案】A
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求得∠BA1C的度数,再由三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1,∠EA3A2,∠FA4A3的度数,找出规律即可求解.
【详解】解:∵∠B=30°,A1B=CB,
∴∠BA1C=12×(180°-30°)=75°;
∵A1A2=A1D,
∴∠DA2A1=12∠BA1C=12×75°;
同理得:∠EA3A2=12∠DA2A1=122×75°,∠FA4A3=12∠EA3A2=123×75°,…,
一般地,第n个等腰三角形的底角的度数是12n−1×75°,
∴第2021个等腰三角形的底角度数是122021−1×75°=122020×75°,
故选:A.
【点睛】本题考查了图形和数式规律探究,等腰三角形的性质、三角形内角和以及三角形外角的性质等知识,找出规律是解题的关键.
9.【答案】B
【解析】【分析】根据Rt△ABC中,∠C=90°,可证BC是△DAB的高,然后利用三角形面积公式求出BC的长,再利用勾股定理即可求出DC的长.
【详解】∵在Rt△ABC中,∠C=90°,
∴BC⊥AC,即BC是△DAB的高,
∵△DAB的面积为10,DA=5,
∴12DA⋅BC=10,
∴BC=4,
∴CD= DB2−BC2=3,
故选B.
【点睛】本题考查的是勾股定理,此题的突破点是利用三角形面积公式求出BC的长.
10.【答案】D
【解析】【分析】根据轴对称的性质可得OQ=OP=OT=m,∠POA=∠QOA,∠POB=∠TOB,由此可得∠QOT=2α,再根据等腰三角形的性质可得∠OTQ=∠OQT=90°-α,当α=30°时,则∠QOT=2α=60°,根据等边三角形的判定与性质可得QT=OT=m,再根据垂直平分线的性质可得PM=QM,PN=TN,由此可得△PMN的周长=m,根据三角形三边关系可得0
∴OA、OB分别垂直平分PQ,PT,
∴OQ=OP=OT=m,∠POA=∠QOA,∠POB=∠TOB,
∴∠QOT=∠POA+∠QOA+∠POB+∠TOB=2(∠POA+∠POB)=2∠AOB=2α,
∵OQ=OT,
∴∠OTQ=∠OQT=12(180°-∠QOT)=12(180°-2α)=90°-α,故①正确;
当α=30°时,则∠QOT=2α=60°,
又∵OQ=OT,
∴△OQT为等边三角形,
∴QT=OT=m,
∵OA、OB分别垂直平分PQ,PT,点M、N分别在OA、OB上,
∴PM=QM,PN=TN,
∴△PMN的周长=PM+MN+PN=QM+MN+TN=QT=m,故②正确;
∵OQ=OT,
∴OQ−OT
∴∠OEP=∠OFP=90°,
又∵∠AOB=α,
∴∠EPF=360°-∠OEP-∠OFP-∠AOB=180°-α,
∴在△PQT中,∠PQT+∠PTQ=180°-∠EPF=α,
∵PM=QM,PN=TN,
∴∠PQT=∠MPQ,∠PTQ=∠NPT,
∴∠MPN=∠EPF−(MPQ+∠NPT)=∠EPF−(∠PQT+∠PTQ)=180°-α−α=180°-2α,故④正确,
综上所述,正确的有①②③④,
故选:D.
【点睛】本题考查了轴对称的性质,垂直平分线的性质,等腰三角形的性质,等边三角形的判定与性质,熟练掌握相关图形的判定与性质是解决本题的关键.
11.【答案】±2
【解析】【分析】根据立方根的定义可知64的立方根是4,而4的平方根是±2,由此就求出了这个数的平方根.
【详解】解:∵4的立方等于64,
∴64的立方根等于4.
4的平方根是±2,
故答案为±2.
【点睛】本题考查了平方根和立方根的概念.注意一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根.立方根的性质:一个正数的立方根式正数,一个负数的立方根是负数,0的立方根式0.
12.【答案】4
【解析】【分析】根据无理数的概念求解即可.
【详解】解:在所列实数中,无理数有 2,−34,π3,0.1010010001…,这4个数,
故答案为:4
【点睛】此题要熟记无理数的概念及形式,初中范围内学习的无理数有:π,2π等,开方开不尽的数,以及像0.1010010001…有这样规律的数.
13.【答案】0.35
【解析】【分析】根据题意“精确到0.01”把千分位上的数字4进行四舍五入即可.
【详解】解:把0.3549按四舍五入法精确到0.01的近似值是0.3549≈0.35.
故答案为0.35.
【点睛】本题考查近似数和有效数字,明确精确位数,再根据精确位数的后一位四舍五入.
14.【答案】a≥1
【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件即可求解.
【详解】解:由题意得:
a−1≥0,解得a≥1,
故答案为:a≥1.
【点睛】跟他考查了二次根式有意义的条件,掌握二次根式有意义的条件是解题的关键.
15.【答案】152
【解析】【分析】过点E作EH⊥BC于点H,由四边形ABCD是长方形和折叠知DE=BE,再用平行线的性质和勾股定理即可求解.
【详解】解:过点E作EH⊥BC于点H,
过点E作EH⊥BC于点H,
∴∠EHB=90°
∵四边形ABCD是长方形
∴∠A=∠ABC=90°
∴四边形ABHE是长方形
设BE=xcm,
由折叠知DE=BE,
∴AE=AD−ED=9−x,
在Rt△ABE中,BE2=AE2+AB2
∴x2=(9−x)2+32,
解得x=5,
∴DE=BE=5cm,AE=4cm,
∵AD/\!/BC,
∴∠EFB=∠DEF
又∵∠BEF=∠DEF,
∴∠BEF=∠EFB,
∴BF=BE=5,
∴△BEF的面积为12BF×EH=12×5×3=152cm2;
故答案为:152
【点睛】此题考查了折叠的性质、长方形的性质以及勾股定理,等腰三角形的判定,解题的关键是掌握折叠前后图形的对应关系,注意数形结合思想与方程思想的应用.
16.【答案】10.
【解析】【分析】过点O作MN⊥AB于M,交CD于N,根据角平分线的性质和平行线的性质解答可得解.
【详解】如图,过点O作MN⊥AB于M,交CD于N,
∵AB // CD,
∴MN⊥CD,
∵AO是∠BAC的平分线,OM⊥AB,OE⊥AC,OE=5,
∴OM=OE=5,
∵CO是∠ACD的平分线,OE⊥AC,ON⊥CD,
∴ON=OE=5,
∴MN=OM+ON=10,
即AB与CD之间的距离是10.
故答案为10.
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,平行线间的距离的定义,熟记性质并作出辅助线是解题的关键.
17.【答案】275
【解析】【分析】过点D作DH⊥BC,根据角平分线的性质得到DH=DE=3,根据三角形的面积公式即可得到答案.
【详解】解:过点D作DH⊥BC,如图,
∵BD平分∠ABC,DH⊥BC,
∴DH=DE=3,
∵BC=10,
∴S△BDC=12BC⋅DH=12×10×3=15,
∵S△ABC=S△ABD+S△CBD,
∴12AF⋅BC=12AB⋅DE+15,
∴12×10AF=12×8×3+15,
∴AF=275,
故答案为:275.
【点睛】本题考查了角平分线的性质,三角形的面积的计算,正确的作出辅助线是解题的关键.
18.【答案】92
【解析】【分析】过点C作CF⊥BD,交BD延长线于点F,首先证明△ABE≌△BCF(AAS),由全等三角形的性质可得CF=BE=3,再利用三角形面积公式求解即可.
【详解】解:如下图,过点C作CF⊥BD,交BD延长线于点F,
∵∠ABC=90°,AE⊥BD,BE=3,
∴∠BAE+∠ABE=∠ABE+∠CBF,
∴∠BAE=∠CBF,
∵CF⊥BD,
∴∠AEB=∠BFC=90°,
在△ABE和△BCF中,
∠BAE=∠CBF∠AEB=∠BFCAB=BC,
∴△ABE≌△BCF(AAS),
∴CF=BE=3,
∴S△BCE=12BE⋅CF=12×3×3=92.
故答案为:92.
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形面积公式等知识,正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键.
19.【答案】(1)72
(2)32− 3
【解析】【分析】(1)根据算术平方根、零指数幂、负指数幂的性质计算即可;
(2)根据负指数幂、立方根、绝对值的性质计算即可.
【详解】(1)解:原式=3+1−12
=72
(2)解:原式=12+(−1)+2− 3
=32− 3
【点睛】本题考查了实数的运算,熟知运算法则是解题的关键.
20.【答案】(1)x=±72(2)x=−2
【解析】【分析】(1)根据平方根的性质即可化简求解;
(2)根据立方根的性质即可化简求解.
【详解】解:(1)4x2−49=0
x2=494
∴x=±72
(2)2(x−1)3=−54
(x−1)3=−27
x−1=−3
∴x=−2.
【点睛】此题主要考查平方根、立方根的应用,解题的关键是熟知实数的性质化简各方程求解.
21.【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】【分析】(1)根据等腰三角形的定义作出图形即可.
(2)取格点R,连接AR,取AR的中点P,连接BP,点P即为所求.
【详解】(1)解:如图,
△ABC1,AB=BC1;△ABC2,AC2=BC2;△ABC3,AC3=AB;△ABC4,AC4=BC4;
∴C1,C2,C3,C4即为所求.
(2)解:如图,点P即为所求.
∵△ABR是等边三角形,
∴BP是对边AR的中线,垂线,是∠ABC的角平分线,
∴点P即为所求.
【点睛】本题考查作图—应用与设计作图,角平分线的性质,等腰三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题.
22.【答案】(1)证明见解析
(2)20
【解析】【分析】(1)根据大正方形面积=小正方形面积+四个直角三角形面积计算即可;
(2)由图可得到(b−a)2和2ab的值,代入(a+b)2=(b−a)2+4ab,即可得到结论.
【详解】(1)证明:∵大正方形面积为c2,直角三角形面积为2ab,小正方形面积为(b−a)2,
∴c2=4×2ab+(a−b)2=2ab+a2−2ab+b2
∴c2=a2+b2;
(2)解:由图可知,(b−a)2=4,4×12ab=12−4=8,
∴2ab=8,
∴(a+b)2=(b−a)2+4ab=4+2×8=20
∴(a+b)2的值为20.
【点睛】本题考查了勾股定理的证明,完全平方公式的变形应用.解题的关键在于明确a,b,c与面积的关系.
23.【答案】(1)见解析;(2)2.
【解析】【分析】(1)连接DB,根据垂直平分线和角平分线的性质可先证明Rt△CDF≌Rt△BDG,即可求证;
(2)证明△ADG≌△ADF,再利用线段的和差即可求解.
【详解】(1)证明:如图所示,连接DB,
∵AD是△ABC的外角平分线,DG⊥AB,DF⊥CA,
∴DF=DG,
∵DE垂直平分BC,
∴DC=DB,
在Rt△CDF与Rt△BDG中
DF=DGDC=DB,
∴ Rt△CDF≌Rt△BDG (HL),
∴BG=CF.
(2)解:∵∠GAD=∠FAD,∠AGD=∠AFD,AD=AD,
∴在△ADG与△ADF中
∠GAD=∠FAD∠AGD=∠AFDAD=AD
∴△ADG≌△ADF(AAS),
∴AG=AF,
∵BG=CF,
∴AC−AB=AF+FC−AB=AF+BG−AG=AF+AG=2AG,
∴AG=12(AC−AB)=12(14−10)=2 (cm).
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定、线段的垂直平分线定理和角平分线性质等知识点,添加适当的辅助线,利用中垂线的性质构造三角形全等是解题的关键.
24.【答案】(1)见解析;(2)AC=4
【解析】【分析】(1)利用线段垂直平分线的性质可得CD=BD,然后利用勾股定理逆定理可得结论;
(2)首先确定BD的长,进而可得CD的长,再利用勾股定理进行计算即可.
【详解】(1)证明:连接CD,
∵BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E,
∴CD=DB,
∵BD2−DA2=AC2,
∴CD2−DA2=AC2,
∴CD2=AD2+AC2,
∴△ACD是直角三角形,且∠A=90°;
(2)解:∵AB=8,AD:BD=3:5,
∴AD=3,BD=5,
∴DC=5,
∴AC= CD2−AD2=4.
【点睛】本题主要考查勾股定理及其逆定理、线段垂直平分线的性质定理,熟练掌握勾股定理及其逆定理、线段垂直平分线的性质定理是解题的关键.
25.【答案】(1)见解析;(2)①见解析;②2 5.
【解析】【分析】(1)首先根据等腰三角形的性质得到∠E=∠ADE,然后根据等角的余角相等得到∠DBC=∠ABE,即可证明BD平分∠ABC;
(2)①过D作DH⊥AB于H,首先根据角平分线的性质定理得到CD=DH,然后根据同角的余角相等得到∠AEF=∠DAH,利用AAS证明△ADH≌△EAF,根据全等三角形的性质得到AF=DH,即可证明AF=CD;
②首先根据勾股定理求出AC的长度,然后证明Rt△BCD≌Rt△BHD(HL),根据全等三角形对应边相等得到BH=BC=6,设AF=CD=x,在Rt△AEF中利用勾股定理列方程求出AF=CD=3,即可得到DF的长度,最后在Rt△EFD中利用勾股定理即可求出DE的长.
【详解】(1)证明:如图1,
∵AD=AE,
∴∠E=∠ADE,
∵∠ADE=∠BDC,
∴∠E=∠BDC,
∵EA⊥AB,
∴∠BAE=90°,
∴∠E+∠ABE=90°,
∵∠C=90°,
∴∠BDC+∠DBC=90°,
∴∠DBC=∠ABE,
∴BD平分∠ABC;
(2)①证明:如图2,过D作DH⊥AB于H,
∵BD平分∠ABC,∠C=90°,
∴CD=DH,
∵EA⊥AB,EF⊥AC,
∴∠EAB=∠AFE=∠AHD=90°,
∴∠AEF+∠EAF=∠EAF+∠DAH=90°,
∴∠AEF=∠DAH,
在△ADH与△EAF中,
∠AFE=∠AHD∠AEF=∠DAHAE=AD,
∴△ADH≌△EAF(AAS),
∴AF=DH,
∴AF=CD;
②解:∵BC=6,AB=10,∠C=90°,
∴AC= AB2−BC2= 102−62=8
∵CD=DH,BD=BD,
∴Rt△BCD≌Rt△BHD(HL),
∴BH=BC=6,
∴AH=AB−BH=10−6=4,
∵△ADH≌△EAF,
∴EF=AH=4,
设AF=CD=x,
∴AE=AD=8−x,
∵EF⊥AC,
∴AE2=AF2+EF2,
∴(8−x)2=x2+42,
∴x=3,
∴AF=CD=3,
∴DF=AC−AF−CD=8−3−3=2,
∴DE= EF2+DF2= 42+22=2 5.
故答案为:2 5.
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定,角平分线的性质定理,勾股定理的运用,等腰三角形的性质等知识,解题的关键是根据题意正确作出辅助线以及熟练掌握以上各知识.
26.【答案】(1)72
(2)证明过程见解析
(3)148°或144°或117°或108°
【解析】【分析】(1)由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A,设∠A=x,则∠C=∠ABC=∠BDC=2x,在△ABC中,由三角形内角和定理得出方程,解方程即可;
(2)只要证明△ABE,△AEC是等腰三角形即可;
(3)当BD是内好线时,分三种情形讨论,当AD是内好线时,AB=BD,AD=DC根据等腰三角形性质即可解决问题,当CD为内好线时,不合题意.
【详解】(1)∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C,
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC,
∵BD是△ABC的一条内好线,
∴△ABD和△BCD是等腰三角形,
∴AD=BD=BC,
∴∠A=∠ABD,∠C=∠BDC,
∴∠ABC=∠C=∠BDC,
∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A,
设∠A=x,则∠C=∠ABC=∠BDC=2x,
在△ABC中,∠A+∠ABC+∠C=180°,
即x+2x+2x=180°,
解得:x=36°,
∴∠BDC=72°,
故答案为:72.
(2)证明:∵DE是线段AC的垂直平分线,
∴EA=EC,即△EAC是等腰三角形,
∴∠EAC=∠C,
∴∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C,
∵∠B=2∠C,
∴∠AEB=∠B,即△EAB是等腰三角形,
∴AE是△ABC是一条内好线.
(3)BD是内好线时,
如图当AB=BD=DC时,
则∠ABC=∠ABD+∠DBC=132°+12°=144°,
如图当AD=AB,DB=DC时,
则∠ABC=∠ABD+∠DBC=78°+39°=117°,
如图,当AD=DB=BC时,
则∠ABC=∠ABD+∠DBC=24°+84°=108°,
当AD=DB=DC时,∠ABC为锐角,不合题,舍去,
AD为内好线时,
如图,当AB=BD,AD=DC时,
则∠ABC=148°,
综上∠ABC=148°或144°或117°或108°.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定.灵活使用等腰三角形性质与三角形内角和定理与三角形外角定理是解题关键,根据等腰三角形顶角顶点分类讨论是难点.
27.【答案】(1)(10−2t)cm
(2)83
(3)2s
(4)20cm2
【解析】【分析】(1)利用勾股定理求出AB的值,根据AP=AB−BP计算即可;
(2)若点E在∠A的平分线上,作EH⊥AB于点H,由题意可知CE=tcm,则BE=(6−t)cm,证明Rt△AEH≌Rt△AEC(HL),易得AH=AC=8cm,BH=2cm,在Rt△BEH中利用勾股定理列式求解,即可获得答案;
(3)根据线段垂直平分线的性质得到AP=AQ,根据等腰三角形的性质得到CE=CQ,分别表示出AP、AQ的值,列式计算即可获得答案;
(4)连接PC,首先求得S△ABC=24cm2,由题意可知当t=1s时,BP=2cm,CE=1cm,BE=5cm,然后由S△BCP=BPABS△ABC,S△BEP=BEBCS△BCP,S四边形APEC=S△ABC−S△BPE计算即可.
【详解】(1)解:在Rt△ABC中,
∵∠ACB=90°,AC=8cm,BC=6cm,
∴AB= AC2+BC2= 82+62=10cm,
由题意PA=AB−BP=(10−2t)cm.
故答案为:(10−2t)cm;
(2)如下图,若点E在∠A的平分线上,作EH⊥AB于点H,
根据题意可得,CE=tcm,则BE=BC−CE=(6−t)cm,
∵∠ACB=90°,EH⊥AB,AE平分∠BAC,
∴EC=EH=tcm,∠AHE=∠ACE=90°,
又∵AE=AE,
∴Rt△AEH≌Rt△AEC(HL),
∴AH=AC=8cm,
∴BH=AB−AH=10−8=2cm,
在Rt△BEH中,则有BE2=BH2+EH2,
即(6−t)2=22+t2,
解得t=83s,
∴当t为83s时,点E在∠A的平分线上;
(3)如下图,
∵点A在线段PQ的垂直平分线上,
∴AP=AQ,
∵∠DEF=45°,∠ACB=90°,
∴∠EQC=90°-∠DEF=45°,
∴∠DEF=∠EQC,
∴CE=CQ,
由题意可知CE=tcm,BP=2tcm,
∴CQ=tcm,AP=AB−BP=(10−2t)cm,
∴AQ=(8−t)cm,
∴10−2t=8−t,
解得t=2s,
即当t=2s时,点A在线段PQ的垂直平分线上;
(4)如下图,连接PC,
∵∠ACB=90°,AC=8cm,BC=6cm,
∴S△ABC=12BC⋅AC=12×6×8=24cm2,
当t=1s时,BP=2cm,CE=1cm,
∴BE=BC−CE=5cm,
S△BCP=BPABS△ABC=210×24=4.8cm2,
S△BEP=BEBCS△BCP=56×4.8=4cm2,
∴S四边形APEC=S△ABC−S△BPE=24−4=20cm2.
【点睛】本题主要考查了勾股定理、角平分线的性质定理、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质、三角形面积公式等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题.