专题03 相交线与平行线中的M模型（含锯齿型） 2024年中考数学核心几何模型重点突破（全国通用）

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模型分析
【模型1】M型
（1）如图，已知，BF与DF相交于点F
【证明】
如图，延长BF交CD于点G
又
（2）如图，已知，BF与DF相交于点F
【证明】
如图，延长BF交CD于点G
又
【M型变式】
如图，已知，是平行线内的两点
【证明】
分别过做，
【模型2】锯齿型
如图，已知，M、N是平行线内的两点，点P是线段CD上一点，连接BM、MN、NP,
【证明】
如图：分别过点M、N做
典例分析
【例1】如图，∠BCD＝70°，AB∥DE，则∠α与∠β满足（ ）
A．∠α+∠β＝110°B．∠α+∠β＝70°C．∠β﹣∠α＝70°D．∠α+∠β＝90°
【答案】B
【分析】过点C作CF∥AB，根据平行线的性质得到∠BCF＝∠α，∠DCF＝∠β，由此即可解答．
【解析】如图，过点C作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴AB∥CF∥DE，
∴∠BCF＝∠α，∠DCF＝∠β，
∵∠BCD＝70°，
∴∠BCD =∠BCF+∠DCF＝∠α+∠β＝70°，
∴∠α+∠β＝70°．
故选B．
【例2】如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x，y，z的关系式为______．
【答案】y=90°-x+z．
【分析】作CG//AB，DH//EF，由AB//EF，可得AB//CG//HD//EF，根据平行线性质可得∠x=∠1，∠CDH=∠2，∠HDE=∠z，由∠C＝90°，可得∠1+∠2=90°，由∠y=∠z+∠2，可证∠y=∠z+90°-∠x即可．
【解析】解：作CG//AB，DH//EF，
∵AB//EF，
∴AB//CG//HD//EF，
∴∠x=∠1，∠CDH=∠2，∠HDE=∠z
∵∠BCD＝90°
∴∠1+∠2=90°，
∠y=∠CDH+∠HDE=∠z+∠2，
∵∠2=90°-∠1=90°-∠x，
∴∠y=∠z+90°-∠x．
即y=90°-x+z．
【例3】问题情境：如图①，直线，点E，F分别在直线AB，CD上．
(1)猜想：若，，试猜想______°；
(2)探究：在图①中探究，，之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)拓展：将图①变为图②，若，，求的度数．
【答案】(1)
(2)；证明见详解
(3)
【分析】（1）过点作，利用平行的性质就可以求角度，解决此问；
（2）利用平行线的性质求位置角的数量关系，就可以解决此问；
（3）分别过点、点作、，然后利用平行线的性质求位置角的数量关系即可．
【解析】(1)解：如图过点作，
∵，
∴．
∴，
．
∵，，
∴
∴．
∵，
∴∠P=80°．
故答案为：；
(2)解：，理由如下：
如图过点作，
∵，
∴．
∴，
．
∴
∵，
．
(3)如图分别过点、点作、
∵，
∴．
∴，
，
．
∴
∵，
，
，
∴
∴
故答案为：．
模型演练
一、单选题
1．如图，，点在上，，，则下列结论正确的个数是（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】利用平行线的性质和三角形的性质依次判断即可求解．
【解析】解：∵AB∥CD，
∴∠A+∠C＝180°，
又∵∠A＝110°，
∴∠C＝70°，
∴∠AED＝∠C+∠D＝85°，故（2）正确，
∵∠C+∠D+∠CED＝180°，
∴∠D+∠CED＝110°，
∴∠A＝∠CED+∠D，故（3）正确，
∵点E在AC上的任意一点，
∴AE无法判断等于CE，∠BED无法判断等于45°，故（1）、（4）错误，
故选：B．
2．如图,ABEF,∠D=90°,则,,的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】通过作辅助线,过点C和点D作CGAB,DHAB,可得CGDHAB,根据ABEF,可得ABEFCGDH,再根据平行线的性质即可得γ+β-α=90°,进而可得结论．
【解析】解：如图,过点C和点D作CGAB,DHAB,
∵CGAB,DHAB,
∴CGDHAB,
∵ABEF,
∴ABEFCGDH,
∵CGAB,
∴∠BCG=α,
∴∠GCD=∠BCD-∠BCG=β-α,
∵CGDH,
∴∠CDH=∠GCD=β-α,
∵HDEF,
∴∠HDE=γ,
∵∠EDC=∠HDE+∠CDH=90°,
∴γ+β-α=90°,
∴β=α+90°-γ．
故选：D．
3．如图，已知直线a∥b，∠1=40°，∠2=60°．则∠3等于（ ）
A．100°B．60°C．40°D．20°
【答案】A
【解析】解：过点C作CD∥a，
∵a∥b，
∴CD∥a∥b，
∴∠ACD=∠1=40°，∠BCD=∠2=60°，
∴∠3=∠ACD+∠BCD=100°．
故选A．
4．如图，AB∥CD，点E，P在直线AB上（P在E的右侧），点G在直线CD上，EF⊥FG，垂足为F，M为线段EF上的一动点，连接GP，GM，∠FGP与∠APG的角平分线交与点Q，且点Q在直线AB，CD之间的区域，下列结论：①∠AEF+∠CGF＝90°；②∠AEF+2∠PQG＝270°；③若∠MGF＝2∠CGF，则3∠AEF+∠MGC＝270°；④若∠MGF＝n∠CGF，则∠AEF∠MGC＝90°．正确的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】A
【分析】①过点F作FH∥AB，利用平行线的性质以及已知即可证明；
②利用角平分线的性质以及平行线的性质得到∠3=2∠2，∠CGF+2∠1+∠3=180°，结合①的结论即可证明；
③由已知得到∠MGC＝3∠CGF，结合①的结论即可证明；
④由已知得到∠MGC＝(n+1)∠CGF，结合①的结论即可证明．
【解析】解：①过点F作FH∥AB，如图：
∵AB∥CD，∴AB∥FH∥CD，
∴∠AEF=∠EFH，∠CGF=∠GFH，
∵EF⊥FG，即∠EFG=∠EFH+∠GFH=90°，
∴∠AEF+∠CGF=90°，故①正确；
②∵AB∥CD，PQ平分∠APG，GQ平分∠FGP，
∴∠APQ=∠2，∠FGQ=∠1，
∴∠3=∠APQ+∠2=2∠2，
∠CGF+∠FGQ+∠1+∠3=∠CGF+2∠1+∠3=180°，
即2∠1=180°-2∠2-∠CGF，
∴2∠2+2∠1=180°-∠CGF，
∵∠PQG=180°-(∠2+∠1)，
∴2∠PQG=360°-2(∠2+∠1)= 360°-(180°-∠CGF)= 180°+∠CGF，
∴∠AEF+2∠PQG=∠AEF+180°+∠CGF=180°+90°=270°，故②正确；
③∵∠MGF＝2∠CGF，
∴∠MGC＝3∠CGF，
∴3∠AEF+∠MGC＝3∠AEF+3∠CGF＝3(∠AEF+∠CGF)= 390°＝270°；
3∠AEF+∠MGC＝270°，故③正确；
④∵∠MGF＝n∠CGF，
∴∠MGC＝(n+1)∠CGF，即∠CGF=∠MGC，
∵∠AEF+∠CGF=90°，
∴∠AEF∠MGC＝90°，故④正确．
综上，①②③④都正确，共4个，
故选：A．
二、填空题
5．如图，AB//CD， 则______
【答案】40°
【分析】首先过点作，由，即可得，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得的度数．
【解析】解：过点作，
，
，
，，
．
故答案为：．
6．如图，，平分，，，则__________．
【答案】
【分析】过E点作EM∥AB，根据平行线的性质可得∠BED=∠B+∠D，利用角平分线的定义可求得∠B+3∠D=132°，结合∠B-∠D=28°即可求解．
【解析】解：过E点作EM∥AB，
∴∠B=∠BEM，
∵AB∥CD，
∴EM∥CD，
∴∠MED=∠D，
∴∠BED=∠B+∠D，
∵EF平分∠BED，
∴∠DEF=∠BED，
∵∠DEF+∠D=66°，
∴∠BED+∠D=66°，
∴∠BED+2∠D=132°，
即∠B+3∠D=132°，
∵∠B-∠D=28°，
∴∠B=54°，∠D=26°，
∴∠BED=80°．
故答案为：80°．
7．如图，已知ABCD，易得∠1+∠2+∠3=360°，∠1+∠2+∠3+∠4 =540°，根据以上的规律求∠1+∠2+∠3+…+∠n =__________ °．
【答案】
【分析】过点P作平行于AB的直线，运用两次两条直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和；分别过点P，Q作AB的平行线，运用三次平行线的性质，即可得到四个角的和；同样作辅助线，运用（n-1）次平行线的性质，则n个角的和是．
【解析】解：（1）如图，过点P作一条直线PM平行于AB，
∵AB∥CD，AB∥PM
∵AB∥PM∥CD，
∴∠1+∠APM=180°，∠MPC+∠3=180°，
∴∠1+∠APC+∠3=360°；
（2）如图，过点P、Q作PM、QN平行于AB，
∵AB∥CD，
∵AB∥PM∥QN∥CD，
∴∠1+∠APM=180°，∠MPQ+∠PQN=180°，∠NQC+∠4=180°；
∴∠1+∠APQ+∠PQC+∠4=540°；
根据上述规律，显然作（n-2）条辅助线，运用（n-1）次两条直线平行，同旁内角互补．
即可得到∠1+∠2+∠3+…+∠n =180°（n-1）．
故答案为：
三、解答题
8．（1）已知：如图（a），直线．求证：；
（2）如图（b），如果点C在AB与ED之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题作出什么新的猜想？
【答案】（1）见解析；（2）当点C在AB与ED之外时，，见解析
【分析】（1）由题意首先过点C作CF∥AB，由直线AB∥ED，可得AB∥CF∥DE，然后由两直线平行，内错角相等，即可证得∠ABC+∠CDE=∠BCD；
（2）根据题意首先由两直线平行，内错角相等，可得∠ABC=∠BFD，然后根据三角形外角的性质即可证得∠ABC-∠CDE=∠BCD．
【解析】解：（1）证明：过点C 作CF∥AB，
∵AB∥ED，
∴AB∥ED∥CF，
∴∠BCF=∠ABC，∠DCF=∠EDC，
∴∠ABC+∠CDE=∠BCD；
（2）结论：∠ABC-∠CDE=∠BCD，
证明：如图：
∵AB∥ED，
∴∠ABC=∠BFD，
在△DFC中，∠BFD=∠BCD+∠CDE，
∴∠ABC=∠BCD+∠CDE，
∴∠ABC-∠CDE=∠BCD．
若点C在直线AB与DE之间，猜想,
∵AB∥ED∥CF，
∴
∴.
9．如图，，点E在直线AB，CD内部，且．
（1）如图1，连接AC，若AE平分，求证：平分；
（2）如图2，点M在线段AE上，
①若，当直角顶点E移动时，与是否存在确定的数量关系?并说明理由；
②若（为正整数），当直角顶点E移动时，与是否存在确定的数量关系?并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）①∠BAE+∠MCD=90°，理由见解析；②∠BAE+∠MCD=90°，理由见解析.
【分析】（1）根据平行的性质可得∠BAC+∠DCA=180°，再根据可得∠EAC+∠ECA=90°，根据AE平分∠BAC可得∠BAE=∠EAC,等量代换可得∠ECD+∠EAC=90°，继而求得∠DCE=∠ECA；
（2）①过E作EF∥AB，先利用平行线的传递性得出EF∥AB∥CD，再利用平行线的性质及已知条件可推得答案；
②过E作EF∥AB，先利用平行线的传递性得出EF∥AB∥CD，再利用平行线的性质及已知条件可推得答案.
【解析】（1）解：因为，
所以∠BAC+∠DCA=180°，
因为，
所以∠EAC+∠ECA=90°，
因为AE平分∠BAC，
所以∠BAE=∠EAC，
所以∠BAE+∠DCE=90°，
所以∠EAC+∠DCE=90°，
所以∠DCE=∠ECA，
所以CE平分∠ACD；
（2）①∠BAE与∠MCD存在确定的数量关系：∠BAE+∠MCD=90°，
理由如下： 过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，
∵∠E=90°，
∴∠BAE+∠ECD=90°，
∵∠MCE=∠ECD，
∴∠BAE+∠MCD=90°；
②∠BAE与∠MCD存在确定的数量关系：∠BAE+∠MCD=90°，
理由如下： 过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，
∵∠E=90°，
∴∠BAE+∠ECD=90°，
∵∠MCE=∠ECD，
∴∠BAE+∠MCD=90°.
10．已知直线l1//l2， A是l1上的一点，B是l2上的一点，直线l3和直线l1，l2交于C和D，直线CD上有一点P．
（1）如果P点在C，D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD有怎样的数量关系？请说明理由．
（2）若点P在C，D两点的外侧运动时（P点与C，D不重合），试探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明）
【答案】（1）；（2）当点在直线上方时，；当点在直线下方时，．
【分析】（1）过点作，由“平行于同一条直线的两直线平行”可得出，再由“两直线平行，内错角相等”得出、，再根据角与角的关系即可得出结论；
（2）按点的两种情况分类讨论：①当点在直线上方时；②当点在直线下方时，同理（1）可得、，再根据角与角的关系即可得出结论．
【解析】解：（1）．
过点作，如图1所示．
，，
，
，，
，
．
（2）结论：当点在直线上方时，；当点在直线下方时，．
①当点在直线上方时，如图2所示．过点作．
，，
，
，，
，
．
②当点在直线下方时，如图3所示．过点作．
，，
，
，，
，
．
11．如图1，，，，求的度数．小明的思路是：如图2，过作，通过平行线性质可求的度数．

（1）请你按小明的思路，写出度数的求解过程；
（2）如图3，，点在直线上运动，记，．
①当点在线段上运动时，则与、之间有何数量关系？请说明理由；
②若点不在线段上运动时，请直接写出与、之间的数量关系．
【答案】（1）见解析；（2）①，见解析；②
【分析】（1）过作，利用平行线的性质即可得出答案；
（2）①过作，再利用平行线的性质即可得出答案；②分在延长线上和在延长线上两种情况进行讨论，结合平行线的性质即可得出答案
【解析】解：（1）如图2，过作
，
，
，
，
，，
，，
．
（2）①、，
理由：如图3，过作，
，
，
，，
；
②、．
如备用图1，当在延长线上时，；

理由：如备用图1，过作，
，
，
，，
；
如备用图2所示，当在延长线上时，；
理由：如备用图2，过P作，
，
，
，，
；
综上所述，．
12．直线AB∥CD，M为AB上一定点，N为CD上一定点，E为直线AB和直线CD之间的一点．
（1）当点E在MN上时，如图1所示，请直接写出∠MEN，∠CNE，∠AME之间的数量关系；
（2）当点E在MN左侧时，如图2所示，试猜想∠MEN，∠CNE，∠AME之间的数量关系，并证明；
（3）当点E在MN右侧时，如图3所示，试猜想∠MEN，∠CNE，∠AME之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）∠MEN＝∠CNE+∠AME；（2）∠MEN＝∠CNE+∠AME，证明见解析；（3）∠MEN+∠CNE+∠AME＝360°，证明见解析．
【分析】（1）由平行线的性质及平角的定义即可得解；
（2）过点E作直线EF∥AB，则EF∥CD，由平行线的性质即可得解；
（3）过点E作直线EG∥AB，则EG∥CD，由平行线的性质即可得解．
【解析】解：（1）如图1，∠MEN＝∠CNE+∠AME，
证明如下：
∵AB∥CD，
∴∠CNE+∠AME＝180°，
∵∠MEN＝180°，
∴∠MEN＝∠CNE+∠AME；
（2）如图2，∠MEN＝∠CNE+∠AME，证明如下：
过点E作直线EF∥AB，则EF∥CD，
∴∠AME＝∠MEF，∠CNE＝∠NEF，
∵∠MEN＝∠MEF+∠NEF，
∴∠MEN＝∠CNE+∠AME；
（3）如图3，∠MEN+∠CNE+∠AME＝360°，证明如下：
过点E作直线EG∥AB，则EG∥CD，
∴∠AME+∠MEG＝180°，∠CNE+∠NEG＝180°，
∴∠AME+∠MEG+∠CNE+∠NEG＝360°，
∵∠MEG+∠NEG＝∠MEN，
∴∠MEN+∠CNE+∠AME＝360°．
13．如图1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°；
(1)若∠E＝60°，则∠F＝ ；
(2)请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？说明理由；
(3)如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）如图1，分别过点，作，，根据平行线的性质得到，，，代入数据即可得到结论；
（2）如图1，根据平行线的性质得到，，由，，得到，根据平行线的性质得到，于是得到结论；
（3）如图2，过点作，设，则，根据角平分线的定义得到，，根据平行线的性质得到，，于是得到结论．
【解析】(1)解：如图1，分别过点，作，，
，
，，
又，，
，
，
又，
，
，，
；
故答案为：；
(2)解：如图1，分别过点，作，，
，
，，
又，，
，
，
又，
，
，，
，
；
(3)解：如图2，过点作，
由（2）知，，
设，则，
平分，平分，
，，
，
，，
，
．
14．如图1，点、分别在直线、上，，.
（1）求证：；（提示：可延长交于点进行证明）
（2）如图2，平分，平分，若，求与之间的数量关系；
（3）在（2）的条件下，如图3，平分，点在射线上，，若，直接写出的度数．
【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）或．
【分析】（1）根据平行线的判定与性质求证即可；
（2）根据三角形的内角和为180°和平角定义得到，结合平行线的性质得到，再根据角平分线的定义证得，结合已知即可得出结论；
（3）分当在直线下方和当在直线上方两种情况，根据平行线性质、三角形外角性质、角平分线定义求解即可．
【解析】解：（1）如图1，延长交于点，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）延长交于点，交于点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵，，
∴；
（3）当在直线下方时，如图，设射线交于，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
即，
解得：．
当在直线上方时，如图，同理可证得，
则有，
解得：．
综上，故答案为或．
15．已知ABCD，∠ABE的角分线与∠CDE的角分线相交于点F．
（1）如图1，若BM、DM分别是∠ABF和∠CDF的角平分线，且∠BED＝100°，求∠M的度数；
（2）如图2，若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，∠BED＝α°，求∠M的度数；
（3）若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，请直接写出∠M与∠BED之间的数量关系．
【答案】（1）65°（2）（3）2n∠M+∠BED=360°
【分析】（1）首先作EGAB，FHAB，利用平行线的性质可得∠ABE+∠CDE=260°，再利用角平分线的定义得到∠ABF+∠CDF=130°，从而得到∠BFD的度数，再根据角平分线的定义可求∠M的度数；
（2）先由已知得到∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM，由（1）得∠ABE+∠CDE=360°-∠BED，∠M=∠ABM+∠CDM，等量代换即可求解；
（3）先由已知得到，，由（2）的方法可得到2n∠M+∠BED=360°．
【解析】解：（1）如图1，作，，
∵，
∴，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∵的角平分线和的角平分线相交于F，
∴，
∴，
∵、分别是和的角平分线，
∴，，
∴，
∴；
（2）如图2，∵，，
∴，，
∵与两个角的角平分线相交于点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）∵∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，
∴，，
∵与两个角的角平分线相交于点，
∴，，
∴，
∵，
∴．