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专题08 三角形中的倍长中线模型 2024年中考数学核心几何模型重点突破(全国通用)
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【模型1】如图,已知AD是的边BC的中线,延长AD至点E,使得AD=DE,连接BE,结合BD=CD,,可证得≌。
【模型2】
如图,已知点D是的边BC上的中点,点E是边AC上的一点,连接ED并延长ED至点P,使得ED=DP。
结合BD=CD,,可证得≌。
【例1】如图,在△ABC中,AB=4,AC=2,点D为BC的中点,则AD的长可能是( )
A.1B.2C.3D.4
【例2】如图,中,,,,为边的中点,则 ______.
【例3】(1)如图1,AD是△ABC的中线,延长AD至点E,使ED=AD,连接CE.
①证明△ABD≌△ECD;
②若AB=5,AC=3,设AD=x,可得x的取值范围是_______;
(2)如图2,在△ABC中,D是BC边上的中点,DE⊥DF,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF,求证:BE+CF>EF.
一、单选题
1.如图,已知AD是△ABC中BC边上的中线,AB=5,AC=3,则AD的取值范围是( )
A.2<AD<8B.1<AD<4C.2<AD<5D.4≤AD≤8
2.在中,,中线,则边的取值范围( )
A.B.C.D.
3.如图,在四边形中,,,,,,点是的中点,则的长为( ).
A.2B.C.D.3
4.如图,中,为的中点,点为延长线上一点,交射线于点,连接,则与的大小关系为
A.B.C.D.以上都有可能
5.在中,,于点,点为的中点,若,则的度数是( )
A.B.C.D.
6.如图,在中,,是中线,是角平分线,点是上任意一点(不与,重合),连接、.给出以下结论:①;②;③;④.其中一定正确的有( )
A.个B.个C.个D.个
二、填空题
7.如图,在中,是边上的中线,,,则的取值范围是________.
8.在△ABC中,AB=AC,点D是△ABC内一点,点E是CD的中点,连接AE,作EF⊥AE,若点F在BD的垂直平分线上,∠BAC=α,则∠BFD=_________.(用α含的式子表示)
9.如图,平行四边形ABCD,点F是BC上的一点,连接AF,∠FAD=60°,AE平分∠FAD,交CD于点E,且点E是CD的中点,连接EF,已知AD=5,CF=3,则EF=__.
10.在△ABC中,AD是BC边上的中线,若AB=3cm,AC=5cm,则AD的取值范围是_______.
11.如图,在正方形中,分别是、边上的点,将四边形沿直线翻折,使得点、分别落在点、处,且点恰好为线段的中点,交于点,作于点,交于点.若,则________.
12.如图,为AD上的中点,则BE=______.
三、解答题
13.如图,为中边上的中线.
(1)求证:;
(2)若,,求的取值范围.
14.如图,已知,点是的中点,且,求证:.
15.如图,O为四边形ABCD内一点,E为AB的中点,OA=OD,OB=OC,∠AOB+∠COD=.
(1)若∠BOE=∠BAO,AB=,求OB的长;
(2)用等式表示线段OE和CD之间的关系,并证明.
16.某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动,请你来加入.
【探究与发现】
如图1,延长△ABC的边BC到D,使DC=BC,过D作DE∥AB交AC延长线于点E,求证:△ABC≌△EDC.
【理解与应用】
如图2,已知在△ABC中,点E在边BC上且∠CAE=∠B,点E是CD的中点,若AD平分∠BAE.
(1)求证:AC=BD;
(2)若BD=3,AD=5,AE=x,求x的取值范围.
17.如图1,在△ABC中,若AB=10,BC=8,求AC边上的中线BD的取值范围.
(1)小聪同学是这样思考的:延长BD至E,使DE=BD,连接CE,可证得△CED≌△ABD.
①请证明△CED≌△ABD;
②中线BD的取值范围是 .
(2)问题拓展:如图2,在△ABC中,点D是AC的中点,分别以AB,BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN,其中,AB=BM,BC=BN,∠ABM=∠NBC=∠90°,连接MN.请写出BD与MN的数量关系,并说明理由.
18.(1)如图1,已知中,AD是中线,求证:;
(2)如图2,在中,D,E是BC的三等分点,求证:;
(3)如图3,在中,D,E在边BC上,且.求证:.
19.数学兴趣小组在活动时,老师提出了这样一个问题:
如图1,在中,,,D是BC的中点,求BC边上的中线AD的取值范围.
【阅读理解】
小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:
(1)如图1,延长AD到E点,使,连接BE. 根据______可以判定 ______,得出______.
这样就能把线段AB、AC、集中在中.利用三角形三边的关系,即可得出中线AD的取值范围是.
【方法感悟】
当条件中出现“中点”、“中线”等条件时,可以考虑做“辅助线”——把中线延长一倍,构造全等三角形,把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中,这种做辅助线的方法称为“中线加倍”法.
【问题解决】
(2)如图2,在中,,D是BC边的中点,,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF,求证:.
【问题拓展】
(3)如图3,中,,,AD是的中线,,,且.直接写出AE的长=______.
20.在△ABM中,AM⊥BM,垂足为M,AM=BM,点D是线段AM上一动点.
(1)如图1,点C是BM延长线上一点,MD=MC,连接AC,若BD=17,求AC的长;
(2)如图2,在(1)的条件下,点E是△ABM外一点,EC=AC,连接ED并延长交BC于点F,且点F是线段BC的中点,求证:∠BDF=∠CEF.
(3)如图3,当E在BD的延长上,且AE⊥BE,AE=EG时,请你直接写出∠1、∠2、∠3之间的数量关系.(不用证明)
21.已知:等腰和等腰中,,,.
(1)如图1,延长交于点,若,则的度数为 ;
(2)如图2,连接、,延长交于点,若,求证:点为中点;
(3)如图3,连接、,点是的中点,连接,交于点,,,直接写出的面积.
22.(1)基础应用:如图1,在△ABC中,AB=5,AC=7,AD是BC边上的中线,延长AD到点E使DE=AD,连接CE,把AB,AC,2AD利用旋转全等的方式集中在△ACE中,利用三角形三边关系可得AD的取值范围是 ;
(2)推广应用:应用旋转全等的方式解决问题如图2,在△ABC中,AD是BC边上的中线,点E,F分别在AB,AC上,且DE⊥DF,求证:BE+CF>EF;
(3)综合应用:如图3,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠ADC=180°且∠EAF=∠BAD,试问线段EF、BE、FD具有怎样的数量关系,并证明.
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