专题18 三平行相似模型 2024年中考数学核心几何模型重点突破（全国通用）

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【理论基础】如图，，若，则.
证明：∵，
∴△DEF∽△DAB，
∴，即①
同理△BEF∽△BCD，
∴，即②
①＋②，得，
.
【例1】如图，的对角线AC，BD相交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE．下列结论：
①EO⊥AC；②；③；④．
其中正确的有（ ）个
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】①根据已知的条件首先证明是等边三角形，因此可得，所以可得，再根据O、E均为AC和AB的中点，故可得，便可证明；②首先证明，因此可得，故可得 和的比. ③根据勾股定理可计算的AC：BD；④根据③分别表示FB、OF、DF，代入证明即可.
【解析】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故①正确，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故②错误，
设，则，，，
∴，
∴，故③正确，
∵，
∴，
∴，
∴，故④正确，
综上所述：正确的是①③④，共3个．
故选C．
【例2】如图，，若 AC  8 ， BD  12 ，则 EF ___________．
【答案】
【分析】根据，可得△BEF∽△BCA，△AEF∽△ADB，从而得到，即可求解．
【解析】解：∵，
∴△BEF∽△BCA，
∴，
∵，
∴△AEF∽△ADB，
∴，
∴，
即，
∴，
∵AC  8 ， BD  12 ，
∴，
解得：．
故答案为：
【例3】如图：，EG分别交AB、DB、AC于点E、F、G，已知AD＝6，BC＝10，AE＝3，AB＝5，求EG、FG的长．
【答案】
【分析】在△ABC中，先证明利用相似三角形的性质求解EG，在△BAD中，证明，利用相似三角形的性质求解EF，即可求出FG=EG-EF．
【解析】解：∵△ABC中，，
∴
∴ ，
∵BC=10，AE=3，AB=5，
∴，
∴EG=6，
∵△BAD中，，
∴
∴，
∵AD=6，AE=3，AB=5，
∴，
∴EF= ．
∴FG=EG-EF=．
一、单选题
1．如图，和表示两根直立于地面的柱子，和表示起固定作用的两根钢筋，与相交于点M，已知，则点M离地面的高度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据已知易得△ABM∽△CDM，可得对应高BH与HC之比，易得MHAB，可得△MCH∽△ACB，利用对应边成比例可得比例式，把相关数值代入求解即可．
【解析】∵和表示两根直立于地面的柱子，
∴AB⊥BC，CD⊥BC，MH⊥BC，
∴ABCDMH，
∴∠A=∠MCD，∠ABM=∠D
∴△ABM∽△CDM，
∴===(相似三角形对应高的比等于相似比)，
∴=
∴=，
即=，
∵MHAB，
∴∠A=∠CMH，∠ABC=∠MHC，
∴△MDH∽△ADB，
∴==，，
∴=，
解得MH=．
∴点M离地面的高度MH为m．
故选：A．
2．如图，树在路灯O的照射下形成投影，已知树的高度，树影，树与路灯O的水平距离，则路灯高的长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据相似三角形的判定与性质直接求解即可．
【解析】解：根据题意可知，
，，
，
，即，解得m，
路灯高的长是m，
故选：C．
3．如图1，小明在路灯下笔直的向远离路灯方向行走，将其抽象成如图2所示的几何图形．已知路灯灯泡距地面的距离AB等于4米，小明CD身高1.5米，小明距离路灯灯泡的正下方距离BC等于4米，当小明走到E点时，发现影子长度增加2米，则小明走过的距离CE等于（ ）
A．在3和4之间B．在4和5之间C．在5和6之间D．在6和7之间
【答案】A
【分析】根据题意证明△DCM∽△АВМ，得到，代入数值求出CM=2.4，再证△FEN∽△ABN，得到，即，求出BN=，计算CE=BN-BC-EN=-4-4.4=，判断即可．
【解析】由图可知小明在点C处时，其影长为CM，在点E处时，其影长为EN，
由题意可得AB⊥BN，CD⊥BN，EF⊥BN，EF= CD = 1.5米，EN=(CM+2)米，
∴∠DCM=∠АВM=9，
∵∠CMD =∠BMA，
∴△DCM∽△АВМ，
∴，
∵BM=BC+CM=4+CM，
∴，
解答CM=2.4，
∴EN=CM+2=2.4+2=4.4，
∵∠FEN=∠ABN=9，∠ENF=∠BNA，
∴△FEN∽△ABN，
∴，即，
解得BN=，
∴CE=BN-BC-EN=-4-4.4=，
∵3