专题23 勾股定理中的树折和梯子模型 2024年中考数学核心几何模型重点突破（全国通用）

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【模型1】风吹树折模型
如图，已知树干AB垂直于地面，树干AC被风吹倒后弯折在地，该模型通常转化为直角三角形，应用勾股定理进行求解。
（1）如果已知AB和BC，可通过设AC=，根据勾股定理可得，求出的值，进而可求出树高。
（2）如果已知树高和BC，可通过设AB=，根据勾股定理可得，求出的值。
【模型2】梯子模型
如图已知梯子AB向下滑动了米，如图是滑落后的梯子。
如果已知梯子的长度和AC，可根据勾股定理先求出BC的长度，在中，应用勾股定理：
可求出滑落的距离，
【例1】如图，《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远．问：原处还有多高的竹子？（1丈=10尺）答：原处的竹子还有多少尺高．则高为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺．利用勾股定理解题即可．
【解析】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，
根据勾股定理得：，
解得x=．
故选：B．
【例2】如图所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE上的位置上，如图，测得DB的长0.5米，则梯子顶端A下落了（ ）米．
A．0.5B．0.4C．0.6D．1
【答案】A
【分析】在直角三角形ABC中，根据勾股定理，得：AC=2米，由于梯子的长度不变，在直角三角形CDE中，根据勾股定理，得CE=1.5米，所以AE=0.5米，即梯子的顶端下滑了0.5米．
【解析】解：∵在Rt△ABC中，AC⊥BC，
∴，
∵AB=2.5米，BC=1.5米，
∴AC===2米．
∵Rt△ECD中，CE⊥CD，
∴，
∵AB=DE=2.5米，CD=（1.5+0.5）米，
∴EC===1.5米，
∴AE=AC﹣CE=2﹣1.5=0.5米．
故选：A．
【例3】一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
(1)这个梯子的顶端距地面有多高？
(2)如果梯子的顶端下滑了4米到，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
【答案】(1)这个梯子的顶端距地面有24米
(2)梯子的底端在水平方向滑动了8米
【分析】（1）AC=25米，BC=7米，根据勾股定理即可求得的长；
（2）由题意得： =20米，根据勾股定理求得，根据即可求解．
【解析】（1）解：由题意得：AC=25米，BC=7米，∠ABC=90°，
（米）
答：这个梯子的顶端距地面有24米；
（2）由题意得： =20米，
（米）
则：=15-7=8（米），
答：梯子的底端在水平方向滑动了8米．
【例4】《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架，其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”其大意是：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处．折断处离地面的高度是多少？（其中丈、尺是长度单位，1丈=10尺．）
【答案】折断处离地面的高度是4.55尺．
【分析】首先由竹子垂直于地面，可知此三角形是直角三角形，设折断处离地面x 尺，则折断的度为（10−x）尺，再根据勾股定理列出方程，解方程即可求得答案．
【解析】解：设折断处离地面x 尺，则折断的度为（10−x）尺，
根据题意得：x2＋32＝（10−x）2，
解得：x＝4.55，
答：折断处离地面的高度是4.55尺．
一、单选题
1．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m的B处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m的A处，则旗杆折断部分AB的高度是（ ）
A．5mB．12mC．13mD．18m
【答案】C
【分析】根据勾股定理求解即可．
【解析】由题意得：
则（m）
故选：C．
2．如图，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面2m处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB＝4m，则树高为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】在Rt△ACB中，根据勾股定理可求得BC的长，而树的高度为AC+BC，AC的长已知，由此得解．
【解析】据题意，AC=2m,∠CAB=90°，AB＝4m，
由勾股定理得
∴AC+BC=.
即树高为
故选：C．
3．如图，一旗杆离地面6m处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，则旗杆折断前的高度为（ ）
A．10mB．12mC．14mD．16m
【答案】D
【分析】先利用勾股定理求出旗杆顶部到折断处的长，再由旗杆折断之前的高度是折断的两部分的长度之和求解即可．
【解析】如图，记旗杆顶部为点A，折断处为点B，旗杆底部为点C，
由题意得BC⊥AC，BC=6m，AC=8m，
∴∠ACB=90°，
∴m，
∴BC+AB=6+10=16m，
∴旗杆折断之前的高度是16m，
故选：D．
4．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之，在《勾股》章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，间折者高几何？”翻译成数学问题；如图，在中，，，，若设，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据勾股定理建立方程即可．
【解析】解： ，，，
设，则，则
故选D
5．一架米长的梯子，斜立在一坚直的墙上，这时梯子的底端离墙米，如果梯子的顶端沿墙下滑米，那么梯子底部在水平方向上滑动（ ）
A．0.4米B．米C．米D．米
【答案】C
【分析】依题意画出图形，先利用勾股定理求出AC，进而得出，再利用勾股定理求出即可解答．
【解析】解：如图，在Rt△ABC中，AB=2.5，BC=0.7，∠ACB=90°，
∴，
∴=2.4-0.4=2，
在Rt△中，，
∴=1.5-0.7=0.8，
即梯子底部在水平方向上滑动0.8米，
故选：C．
6．如图，一根长为2.5m的梯子AB斜靠在垂直于地面的墙上，这时梯子的底端B离墙根E的距离为0.7m，如果梯子的底端向外（远离墙根方向）移动0.8m至D处，则梯子的顶端将沿墙向下移动的距离AC为（ ）
A．0.4mB．0.5mC．0.8mD．0.7m
【答案】A
【分析】在Rt△ABE中求出AE，在Rt△CDE中求出CE，继而可得出顶端将沿墙向下移动的距离．
【解析】解：由题意得，AB＝CD＝2.5m，BE＝0.7m，DE＝1.5m，
在Rt△ABE中，，
在Rt△CDE中，2m，
∴梯子的顶端将沿墙向下移动的距离AC＝2.4−2＝0.4m，
故选：A．
7．从前有一天，一个笨汉拿着竹竿进屋，横章竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖若比门框高2尺．另一醉汉叫他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个笨汉一试，不多不少刚好进去了，你知道竹竿有多长吗？若设竹竿的长为尺，则下列方程，满足题意的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，门框的长，宽，以及竹竿长是直角三角形的三个边长，等量关系为：门框长的平方+宽的平方=门的两个对角长的平方，把相关数值代入即可求解．
【解析】解：∵竹竿的长为x尺，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺．
∴门框的长为（x-2）尺，宽为（x-4）尺，
可列方程，，
故选C．
8．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5m，则小巷的宽为（ ）．
A．2.4mB．2.5mC．2.6mD．2.7m
【答案】D
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再在Rt△A′BD中利用勾股定理计算出BD长，然后可得CD的长．
【解析】解：在Rt△ABC中，
AB==2.5m，
∴A′B=2.5m，
在Rt△A′BD中，
BD==2m，
∴CD=BC+BD=2+0.7=2.7m，
故选：D．
二、填空题
9．如图，一根旗杆在离地面9m处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆折断之前的高为__________．
【答案】24米
【分析】根据勾股定理，计算树的折断部分是15米，则折断前树的高度是15+9=24米．
【解析】解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为12米，旗杆离地面9米折断，且旗杆与地面是垂直的，
∴折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形．
根据勾股定理，折断部分的旗杆为：米，
∴旗杆折断之前高度为15+9=24米．
10．如图，山坡上，树甲从点A处折断，其树顶恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB＝4m，BC＝10m，已知两棵树的水平距离为6m，则树甲原来高_____．
【答案】(4+6)m
【分析】过C作CD⊥AB于D，由题意知BC=10，CD=6，根据勾股定理可得BD=8，从而得到AD的长，再利用勾股定理可得AC的长，即可得到树原来的高度．
【解析】解：如图作CD⊥AB交AB延长线于D，
由题意知BC=10m，CD=6m，
根据勾股定理得：BD=8m，
∵AB=4m，
∴AD=8+4=12m，
AC===6m，
∴这棵数原来的高度=（4+6）m，
故答案为：（4+6）m．
11．云南省是我国乃至世界公认的竹类种质资源大省如图，有一根由于受虫伤而被风吹折断的竹子正好顶端着地，折断处离地面的高度为3米竹子的顶端落在离竹子根部距离4米处，则这根竹子原来的高度为______米．
【答案】8
【分析】由题意，根据勾股定理求出斜边的长度，即可求出竹子原来的高度．
【解析】解：根据题意，如图：
∵，，，
∴，
∴这根竹子原来的高度为：（米）；
故答案为：8．
12．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5米，则小巷的宽为 _____米．
【答案】2.7
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再在中利用勾股定理计算出BD长，然后可得CD的长．
【解析】解：在Rt△ABC中，，
∴，
在中，，
∴CD=BC+BD=2+0.7=2.7m，
故答案为：2.7．
13．如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米．现将梯子的底端A向外移动到，使梯子的底端到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降至，那么的值___ 1米（填>，<，=）
【答案】<
【分析】利用勾股定理求出AB，OB'的长，可得BB'＝ (7−)米，然后进行估算即可．
【解析】解：由题意可知：∠AOB＝90°，AB＝A'B'，
在Rt△AOB中，由勾股定理得，
∴，
在Rt△A'OB'中，由勾股定理得：，
∴OB′＝米，
∴BB'＝OB−OB'＝(7−)米，
∵，
∴，
∴，
故答案为：<．
14．如图，一架梯子AB长10米，底端离墙的距离BC为6米，当梯子下滑到DE时，AD＝3米，则BE＝___________米．
【答案】
【分析】勾股定理先求AC的长，继而得到CD的长，根据AB=DE，再次运用勾股定理计算CE的长，根据BE=CE-CB计算即可．
【解析】∵AB=10， BC=6，
∴AC=，
∵AD＝3，
∴CD=AC-AD=5，
∴CE=，
∴BE=CE-CB=米，
故答案为：．
三、解答题
15．如图，∠AOB＝90°，OA＝8m，OB＝3m，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的路程与机器人行走的路程相等，那么机器人行走的路程BC是多少？
【答案】机器人行走的路程BC为m．
【分析】根据小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，得到BC=AC，设BC=AC=x m，根据勾股定理求出x的值即可．
【解析】解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，
∴BC=AC， 设BC=AC=x m， 则OC=（8-x）m，
在Rt△BOC中， ∵OB2+OC2=BC2，
∴32+（8-x）2=x2， 解得．
∴机器人行走的路程BC为m．
16．如图，一棵竖直生长的竹子高为8米，一阵强风将竹子从C处吹折，竹子的顶端A刚好触地，且与竹子底端的距离AB是4米．求竹子折断处与根部的距离CB．
【答案】3米
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面的高度是x米，则斜边为（8x）米．利用勾股定理解题即可．
【解析】解：由题意知BC＋AC＝8，∠CBA＝90°，
∴设BC长为x米，则AC长为（）米，
∴在Rt△CBA中，有，
即：，
解得：，
∴竹子折断处C与根部的距离CB为3米．
17．一个长13米的梯子斜靠在与地面垂直的墙上，梯子的顶端距离地面12米．
(1)如果梯子的顶端下滑1米，那么梯子的底端滑动多少米？（结果保留根号）
(2)如果梯子的顶端下滑的距离等于底端滑动的距离，那么这个距离是多少?
【答案】(1)米；(2)7米
【分析】（1）利用勾股定理即可求解；
（2）设该距离为x，下滑后，有AB=13，AC=12-x，BC=5+x，利用勾股定理即可求解．
【解析】（1）如图，
根据题意，下滑前，有AB=13，AC=12，∠C=90°，
∴，
下滑之后，有AB=13，AC=11，∠C=90°，
∴此时的，
∴梯子底端滑动的距离为：米，
答：梯子的底端下滑米；
（2）设该距离为x米，根据（1）的结果，可知下滑前BC=5，
根据题意，下滑后，有AB=13，AC=12-x，BC=5+x，∠C=90°，
∴利用勾股定理有：，
即：，
解方程得：x=7，（x=0不合题意，舍去），
答：所求的距离为7米．
18．一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子底端距墙底6m．
(1)若梯子的底端水平向外滑动1m，梯子的顶端下滑多少米？
(2)如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？
【答案】(1)（）m；(2)2m
【分析】（1）作出图形，根据梯子的底端水平向外滑动1m得出BE的长，根据勾股定理求出AC和CD的长，进而可得出结论；
（2）设AD＝BE＝x，再根据勾股定理即可得出结论．
【解析】（1）如图，△ABC中，AB＝10m，BC＝6m，
∴m，
∵梯子的底端水平向外滑动1m，，
∴BE＝1m，
∴CE＝6+1＝7m，
∴m，
∴AD=AC－CD=（8－）m．
答：梯子的顶端下滑（8－）m；
（2）∵梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，
∴设AD＝BE＝x，则，
即，
解得x＝2或x=0（舍去）．
答：滑动的距离是2米．
19．如图，小磊将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作，测得，梯子的底端保持不动，将梯子的顶端靠在对面墙上，此时，梯子的顶端距离地面的垂直距离记作，测得，求、之间的距离．
【答案】a＋b
【分析】证明△AMP≌△BPN，从而得到MA＝PB＝a，PA＝NB＝b，即可求出AB＝PA＋PB＝a＋b．
【解析】解：∵∠MPN＝90°，
∴∠APM＋∠BPN＝90°，
∵∠APM＋∠AMP＝90°，
∴∠AMP＝∠BPN．
在△AMP与△BPN中，
，
∴△AMP≌△BPN（AAS），
∴MA＝PB＝a，PA＝NB＝b，
∴AB＝PA＋PB＝a＋b．
20．如图，一架长2.5m的梯子AB斜靠在墙AC上，∠C＝90°，此时，梯子的底端B离墙底C的距离BC为0.7m
（1）求此时梯子的顶端A距地面的高度AC；
（2）如果梯子的顶端A下滑了0.9m，那么梯子的底端B在水平方向上向右滑动了多远？
【答案】（1）2.4米；（2）1.3m
【分析】（1）直接利用勾股定理求出AC的长，进而得出答案；
（2）直接利用勾股定理得出B′C，进而得出答案．
【解析】解：（1）∵∠C＝90°，AB＝2.5，BC＝0.7，
∴AC＝=（米），
答：此时梯顶A距地面的高度AC是2.4米；
（2）∵梯子的顶端A下滑了0.9米至点A′，
∴A′C＝AC−A′A＝2.4−0.9＝1.5（m），
在Rt△A′CB′中，由勾股定理得：A′C2＋B′C2＝A′B′2，
∴1.52＋B′C2＝2.52，
∴B′C＝2（m），
∴BB′＝CB′−BC＝2−0.7＝1.3（m），
答：梯子的底端B在水平方向滑动了1.3m．
21．如图，一个梯子斜靠在一面墙上，梯子底端为，梯子的顶端距地面的垂直距离为的长．
（1）若梯子的长度是，梯子的顶端距地面的垂直距离为．如果梯子的顶端下滑，那么梯子的底端向外滑动多少米?
（2）设，，，且，请思考，梯子在滑动的过程中，是否一定存在顶端下滑的距离与底端向外滑动的距离相等的情况?若存在，请求出这个距离；若不存在，说明理由．
【答案】（1）梯子的底端向外滑动米；（2）存在，梯子的底端向外滑动的距离是米．
【分析】（1）已知AB、BC，在直角中即可计算AC的长度，设梯子的底端向外滑动米，由题意得，，求解即可；
（2）设存在顶端下滑的距离与底端向外滑动的距离相等的情况，此时梯子的底端向外滑动米，由题意得，，求解即可．
【解析】（1）在中，，，
.
设梯子的底端向外滑动米，由题意得，
，
解得，（舍去）
即梯子的底端向外滑动米.
（2）设存在顶端下滑的距离与底端向外滑动的距离相等的情况，此时梯子的底端向外滑动米，由题意得，
，
解得，（舍去），
，即梯子的底端向外滑动的距离是米．
22．如图，平面直角坐标系中，将含30°的三角尺的直角顶点C落在第二象限．其斜边两端点A、B分别落在x轴、y轴上且AB＝12cm
（1）若OB＝6cm．
①求点C的坐标；
②若点A向右滑动的距离与点B向上滑动的距离相等，求滑动的距离；
（2）点C与点O的距离的最大值是多少cm．
【答案】（1）①点C的坐标为（－3，9）；②滑动的距离为6（﹣1）cm；（2）OC最大值12cm．
【分析】（1）①过点C作y轴的垂线，垂足为D，根据30°的直角三角形的性质解答即可；
②设点A向右滑动的距离为x，根据题意得点B向上滑动的距离也为x，根据锐角三角函数和勾股定理解答即可；
（2）设点C的坐标为（x，y），过C作CE⊥x轴，CD⊥y轴，垂足分别为E，D，证得△ACE∽△BCD，利用相似三角形的性质解答即可．
【解析】解：（1）①过点C作y轴的垂线，垂足为D，如图1：
在Rt△AOB中，AB=12，OB=6，则sin∠BAO=
∴∠BAO=30°，∠ABO=60°，
又∵在Rt△ACB中，∠CBA=60°，
∴∠CBD=60°，∠BCD=30°，BC=AB·sin30°=6
∴BD=BC·sin30°=3，CD=BC·cs30°=3，
∴OD=OB+BD=9
∴点C的坐标为（﹣3，9）；
②设点A向右滑动的距离为x，根据题意得点B向上滑动的距离也为x，如图2：
AO=12×cs∠BAO=12×cs30°=6．
∴A'O=6﹣x，B'O=6+x，A'B'=AB=12
在△A'O B'中，由勾股定理得，
（6﹣x）2+（6+x）2=122，解得：x=6（﹣1），
∴滑动的距离为6（﹣1）；
（2）设点C的坐标为（x，y），过C作CE⊥x轴，CD⊥y轴，垂足分别为E，D，如图3：
则OE=﹣x，OD=y，
∵∠ACE+∠BCE=90°，∠DCB+∠BCE=90°，
∴∠ACE=∠DCB，
又∵∠AEC=∠BDC=90°，
∴△ACE∽△BCD，
∴，即，
∴y=﹣x，
OC2=x2+y2=x2+（﹣x）2=4x2，
∴当|x|取最大值时，即C到y轴距离最大时，OC2有最大值，即OC取最大值，
如图，即当C'B'旋转到与y轴垂直时．此时|x|=6，OC=，
故点C与点O的距离的最大值是12cm．