专题27 切线模型 2024年中考数学核心几何模型重点突破（全国通用）

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【模型1】双切线模型
已知如图27-1，点为⊙外一点，、是⊙的切线，切点分别为、，根据切线的性质，可证明≌,，垂直平分。
【模型2】割线定理
如图27-2，已知在⊙中，弦、相交于点，点在⊙外。
【证明】如图27-5，连接、，
，
∽
【模型3】切割线定理
如图27-3，已知在⊙中，弦的延长线交⊙的切线于。
【证明】如图27-4，连接、，
为⊙的弦切角，
又
∽
【例1】如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的切线PA、PB，记切点为A、B，点C为⊙O上一点，连接AC、BC．若∠ACB＝62°，则∠APB等于（ ）
A．68°B．64°C．58°D．56°
【答案】D
【分析】根据切线性质求出∠PAO＝∠PBO＝90°，圆周角定理求得∠AOB，再根据四边形内角和定理即可求得．
【解析】解：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∴∠AOB+∠P＝180°，
∵∠ACB＝62°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝2×62°＝124°，
∴∠APB＝180°﹣124°＝56°，
故选：D．
【例2】已知：如图，、是⊙的割线，，，.则=______.
【答案】8
【分析】由于PAB和PCD是⊙O的割线，可直接根据割线定理求出PD的长．
【解析】根据割线定理得：PA•PB=PC•PD；
∵，，；
∴PD==8cm．
故答案为8.
【例3】如图，是⊙O的直径，射线交⊙O于点，是劣弧上一点，且平分，过点作于点，延长和的延长线交于点．
(1)证明：是⊙O的切线；
(2)若，，求⊙O的半径．
【答案】(1)见解析；(2)8
【分析】（1）连接OE，证明OEBF，得到OE⊥FG，即可得证．
（2）连接OE，AE，证明△GAE∽GEB，求得GB、AB的长，半径即可得解．
【解析】（1）如图，连接OE，
因为平分，
所以∠OBE=∠FBE；
因为OE=OB，
所以∠OBE=∠OEB；
所以∠FBE=∠OEB，
所以OEBF，
因为，
所以OE⊥FG，
所以是⊙O的切线．
（2）如图，连接OE，AE，
因为AB是直径，GF是圆的切线，
所以∠OEG=∠AEB=90°，
所以∠GEA=∠OEB；
因为OE=OB，
所以∠OBE=∠OEB；
所以∠GEA=∠GBE，
因为∠G=∠G，
所以△GAE∽GEB，
所以，
因为，，
所以，
解得GB=18，
所以AB=GB-AG=18-2=16，
所以圆的半径为8．
一、单选题
1．如图，AB是⊙O的直径，点M在BA的延长线上，MA＝AO，MD与⊙O相切于点D，BC⊥AB交MD的延长线于点C，若⊙O的半径为2，则BC的长是（ ）
A．4B．C．D．3
【答案】B
【分析】连接OD，求出BC是⊙O的切线，根据切线长定理得出CD＝BC，根据切线的性质求出∠ODM＝90°，根据勾股定理求出MD，再根据勾股定理求出BC即可．
【解析】解：连接OD，
∵MD切⊙O于D，
∴∠ODM＝90°，
∵⊙O的半径为2，MA＝AO，AB是⊙O的直径，
∴MO＝2+2＝4，MB＝4+2＝6，OD＝2，
由勾股定理得：MD＝＝＝2，
∵BC⊥AB，
∴BC切⊙O于B，
∵DC切⊙O于D，
∴CD＝BC，
设CD＝CB＝x，
在Rt△MBC中，由勾股定理得：MC2＝MB2+BC2，
即（2+x）2＝62+x2，
解得：x＝2，
即BC＝2，
故选：B．
2．如图，、分别切于点、，点为优弧上一点，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】要求∠ACB的度数，只需根据圆周角定理构造它所对的弧所对的圆心角，即连接OA，OB；再根据切线的性质以及四边形的内角和定理即可求解．
【解析】解：连接OA，OB，
∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴∠AOB+∠APB=180°，
∵∠AOB=2∠ACB，∠ACB=∠APB，
∴3∠ACB=180°，
∴∠ACB=60°，
故选：C．
3．如图，⊙O的半径为，BD是⊙O的切线，D为切点，过圆上一点C作BD的垂线，垂足为B，BC＝3，点A是优弧CD的中点，则sin∠A的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意构造△CDF，由圆的性质可证△CDF∽△CBD，有相似的性质即可得CD的值，从而求sin∠A；
【解析】作直径CF，连接CD和DF，
则∠A＝∠F，
∵BD切⊙O于D，
∴∠CDB＝∠F，
∵CB⊥DB，CF为直径，
∴∠CDF＝∠B＝90°，
∴△CDF∽△CBD，
∴，
∵＝7，BC＝3，
∴CD＝，
∴sinA＝sinF＝，
故选：C．
二、填空题
4．如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上一点，连接AC、BC，若∠P＝50°，则∠ACB的度数为____________
【答案】65°或115°
【分析】分当点C在优弧AB上时与当点C在劣弧AB上时两种情况进行讨论，根据圆周角定理计算∠ACB的度数．
【解析】解：当点C在优弧AB上时，如图1所示，连接OA、OB，
图1
∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠AOB=180°-∠P=180°-50°=130°，
∴∠ACB=∠AOB=×130°=65°．
当点C在劣弧AB上时，如图2所示，连接OA，OB，在优弧AB上取点D，连接AD，BD，
图2
∵AP、BP是切线，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠AOB=360°-90°-90°-50°=130°，
∴∠ADB=65°，
又∵圆内接四边形的对角互补，
∴∠ACB=180°-∠ADB=180°-65°=115°．
故答案为：65°或115°．
5．如图，已知AB是的直径，点P在BA的延长线上，PD与相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C．若的半径为3，，则PA的长为______．
【答案】
【分析】直接利用切线的性质得出，再利用相似三角形的判定与性质分析得出答案．
【解析】解：连接，
与相切于点，
，
，
，
，
，
设，则，
解得：，
故．
故答案为：．
6．如图，PA，PB是的切线，A，B为切点．若，则的大小为______．
【答案】60°
【分析】先由切线的性质及切线长定理求出，再根据直角三角形两锐角互余求解即可．
【解析】 PA，PB是的切线，A，B为切点




故答案为：60°．
7．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点．若∠P＝45°，则∠AOB＝_____°．
【答案】135
【分析】由切线的性质得∠PAO=∠PBO=90°，然后根据四边形内角和可求解．
【解析】解：∵PA，PB是⊙O的切线，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴由四边形内角和可得：∠AOB+∠P=180°，
∵∠P=45°，
∴∠AOB=135°；
故答案为：135．
8．如图，PA、PB分别切⊙O于点A，B，点E是⊙O上一点，且，则的度数为______．
【答案】80°
【分析】连接AO、BO，根据圆的切线的性质可得，再根据圆周角定理可得，最后根据四边形内角和为，即可求出的度数．
【解析】解：连接AO、BO，
PA、PB分别切⊙O于点A，B，
故答案为：80°．
9．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，Q是优弧上一点，若∠P=40°，则∠Q的度数是________．
【答案】70°
【分析】连接OA、OB，根据切线性质可得∠OAP=∠OBP=90°，再根据四边形的内角和为360°求得∠AOB，然后利用圆周角定理求解即可．
【解析】解：连接OA、OB，
∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，
∴∠OAP=∠OBP=90°，又∠P=40°，
∴∠AOB=360°－90°－90°－40°=140°，
∴∠Q=∠AOB=70°，
故答案为：70°．
三、解答题
10．如图，⊙O与△ABC的边BC相切于点D，与AB、AC的延长线分别相切于点E、F，连接OB，OC．
(1)若∠ABC=80°，∠ACB=40°，求∠BOC的度数．
(2)∠BOC与∠A有怎样的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)60°
(2)∠BOC=90°-∠A，见解析
【分析】（1）方法一：先根据平角的定义求出∠EBC和∠DCF的度数，再根据切线长定理得到∠EBO=∠DBO=∠EBC=50°，∠DCO=∠FCO=∠DCF=70° ，据此理由三角形内角和定理求解即可；方法二：如图，连接OD，OE，OF，则由切线的性质可知，证明Rt△ODB≌Rt△OEB(HL) ， Rt△ODC≌Rt△OFC(HL)，得到∠EOB=∠DOB ，∠COD=∠COF，先求出∠A的 度数，再利用四边形内角和定理求出∠EOF=120°，则∠BOC=∠BOD+∠COD=∠EOF=60°．
（2）同（1）方法二求解即可．
【解析】（1）解：方法一： 由题意得∠EBC=180°-∠ABC=180°-80°=100°，∠DCF=180°-∠ACB=180°-40°=140°，
由切线长定理可知，∠EBO=∠DBO=∠EBC=50°，∠DCO=∠FCO=∠DCF=70° ，
∴在△OBC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠BCO=180°-70°-50°=60°；
方法二：如图，连接OD，OE，OF，则由切线的性质可知，
∠BEO=∠BDO=∠CDO=∠CFO=90°，
又∵OD=OE=OF，OB=OB，OC=OC，
∴Rt△ODB≌Rt△OEB(HL) ， Rt△ODC≌Rt△OFC(HL)，
∴∠EOB=∠DOB ，∠COD=∠COF，
在△ABC中，∠A=180°-∠ABC-∠ACB=60°，
在四边形AEOF中，∠A+∠EOF=180°，
∴∠EOF=120°，
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=∠EOF=60°．
（2）解：同（1）方法二可得，∠EOB=∠DOB ，∠COD=∠COF，
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=∠EOF=．
11．如图，已知P，PB分别与⊙O相切于点AB，∠APB＝60°，C为⊙O上一点．
(1)如图②求∠ACB的度数；
(2)如图②AE为⊙O的直径，AB与BC相交于点D，若AB＝AD，求∠BAC的度数．
【答案】(1)60°；(2)45°
【分析】（1）连接OA、OB，根据切线的性质得到∠OAP=∠OBP=90°，根据四边形内角和等于360°计算；
（2）连接CE，根据圆周角定理得到∠ACE=90°，由（1）知∠ACB=60°，则∠BCE=90°-60°=30°，根据圆周角定理可得∠BAE=∠BCE=30°，再根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质可计算出∠EAC =15°，然后由∠BAC=∠BAE+∠EAC即可求解．
【解析】（1）解：连接OA、OB，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠AOB=360°-90°-90°-60°=120°，
由圆周角定理得，∠ACB=∠AOB=60°；
（2）解：连接CE，
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ACE=90°，
由（1）知∠ACB=60°，
∴∠BCE=90°-60°=30°，
∴∠BAE=∠BCE=30°，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=75°，
∴∠EAC=∠ADB-∠ACB=15°．
∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=30°+15°=45°．
12．如图，CD是⊙O的切线，切点为D，点C在直径AB的延长线上．
(1)求证：∠CAD＝∠BDC；
(2)若tan∠BDC＝，AC＝3，求CD的长．
【答案】(1)见解析；(2)2
【分析】（1）根据切线的性质得到∠CDB+∠ODB=90°，由AB是⊙O的直径，推出∠ODB+∠ADO=90°，得到∠CDB=∠ADO，再利用OA=OD，推出∠ADO∠DAO，即可证得；
（2）证明△CBD∽△CDA，推出，根据tan∠BDC＝，得到tan∠CAD＝=，代入AC=3，即可求出CD．
【解析】（1）证明：连接OD，
∵CD是⊙O的切线，
∴OD⊥CD，即∠ODC=90°，
∴∠CDB+∠ODB=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即∠ODB+∠ADO=90°，
∴∠CDB=∠ADO，
∵OA=OD，
∴∠ADO=∠DAO，
∴∠CAD＝∠BDC；
（2）∵∠CAD＝∠BDC，∠C=∠C，
∴△CBD∽△CDA，
∴，
∵tan∠BDC＝，
∴tan∠CAD＝=，
∴，
解得：CD=2．
13．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C．，垂足为D，连接BC．
(1)求证：BC平分∠PBD；
(2)若，，求⊙O的半径．
【答案】(1)见解析；(2)2cm
【分析】（1）连接OC，由切线的性质易得到，进而推出，结合易得，即可求解；
（2）设半径为r，进而求出，然后根据勾股定理求解．
【解析】（1）证明：连接OC，
∵是⊙O的切线，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴BC平分∠PBD；
（2）解：设半径为r，
则，
则，
在Rt△POC中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
即⊙O的半径是2cm．
14．如图，是⊙的直径，是⊙的切线，、是⊙的弦，且，垂足为E，连接并延长，交于点P．
(1)求证：；
(2)若⊙的半径，求线段的长．
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】（1）根据是的切线，得出．根据，可证．得出．根据同弧所对圆周角性质得出即可；
（2）连接．根据直径所对圆周角性质得出，．可证．得出．根据勾股定理．再证．求出即可．
【解析】(1)证明：∵是的切线，
∴．
∵
∴，
∴．
∴．
∵，
∴．
(2)解：如图，连接．
∵为直径，
∴∠ADB=90°，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵∠BAP=∠BDA=90°，∠ABD=∠PBA，
∴．
∴．
∴．
∴．
15．如图，为⊙的直径，过圆上一点作⊙的切线交的延长线与点，过点作交于点，连接．
(1)直线与⊙相切吗？并说明理由；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)相切，见解析；(2)
【分析】（1）先证得：，再证，得到，即可求出答案；
（2）设半径为；则：，即可求得半径，再在直角三角形中，利用勾股定理，求解即可．
【解析】（1）证明：连接．
∵为切线，
∴，
又∵，
∴，，
且，
∴，
在与中；
∵，
∴，
∴，
∴直线与相切．
（2）设半径为；
则：，得；
在直角三角形中，，
，解得
16．如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，切点分别为A、B，直线PO交⊙O于点D、E，交AB于点C．
(1)求证：∠ADE=∠PAE．
(2)若∠ADE=30°，求证：AE=PE．
(3)若PE=4，CD=6，求CE的长．
【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)CE的长为2．
【分析】（1）连接OA，根据切线的性质得到∠OAE+∠PAE=90°，根据圆周角定理得到∠OAE+∠DAO=90°，据此即可证明∠ADE=∠PAE；
（2）由（1）得∠ADE=∠PAE =30°，∠AED =60°，利用三角形外角的性质得到∠APE=∠AED-∠PAE =30°，再根据等角对等边即可证明AE=PE；
（3）证明Rt△EAC∽Rt△ADC，Rt△OAC∽Rt△APC，推出DC×CE=OC×PC，设CE=x，据此列方程求解即可．
【解析】（1）证明：连接OA，
∵PA为⊙O的切线，
∴OA⊥PA，即∠OAP=90°，
∴∠OAE+∠PAE=90°，
∵DE为⊙O的直径，
∴∠DAE=90°，即∠OAE+∠DAO=90°，
∴∠DAO=∠PAE，
∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ADE，
∴∠ADE=∠PAE；
（2）证明：∵∠ADE=30°，
由（1）得∠ADE=∠PAE =30°，∠AED=90°-∠ADE=60°，
∴∠APE=∠AED-∠PAE =30°，
∴∠APE=∠PAE =30°，
∴AE=PE；
（3）解：∵PA、PB为⊙O的切线，切点分别为A、B，直线PO交AB于点C．
∴AB⊥PD，
∵∠DAE=90°，∠OAP=90°，
∴∠DAC+∠CAE=90°，∠OAC+∠PAC=90°，
∵∠DAC+∠D=90°，∠OAC+∠AOC=90°，
∴∠CAE=∠D，∠PAC=∠AOC，
∴Rt△EAC∽Rt△ADC，Rt△OAC∽Rt△APC，
∴
∴AC2=DC×CE，AC2=OC×PC，
即DC×CE=OC×PC，
设CE=x，则DE=6+x，OE=3+，OC=3+-x=3-，PC=4+x，
∴6x=(3-)( 4+x)，
整理得：x2+10x-24=0，
解得：x=2(负值已舍)．
∴CE的长为2．