专题30 几何变换之平移模型 2024年中考数学核心几何模型重点突破（全国通用）

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【理论基础】
一、平移
1.平移的定义
把一个图形沿着一定的方向平行移动而达到另一个位置，这种图形的平行移动简称为平移。
2.平移的两个要素：
(1)平移方向；(2)平移距离。
3.对应点、对应线段、对应角一个图形经过平移后得到一个新的图形，这个新图形与原图形是能够互相重合的全等形，我们把互相重合的点称为对应点，互相重合的线段称为对应线段，互相重合的角称为对应角。
4.平移方向和距离的确定
(1)要对一个图形进行平移，在平移前必须弄清它的平移方向和平移距离，否则将无法实现平移。若给出带箭头的线段：从箭尾到箭头的方向表示平移方向，而带箭头的线段的长度，表示平移距离，也有时另给平移距离的长度。若给出由小正方形组成的方格纸：在方格中的平移，从方向上看往往是要求用横纵两次平
移来完成(有特殊要求例外)，而移动距离是由最终要达到的位置确定的。具体给出从某点P到另一点P’的方向为平移方向，线段PP’的长度为平移距离。给出具体方位(如向东或者西北等)和移动长度(如10cm)
(2)图形平移后，平移方向与平移距离的确定。图形平移后，原图形与新图形中的任意一对前后对应点的射线方向就是原平移方向，这对对应点间的线段长度就是原平移距离。
5.平移性质
图形平移的实质是图形上的每一点都沿着同一个方向移动了相同的距离。平移后的图形与原图形
①对应线段平行(或在同条一直线上)且相等；
②对应点连线平行(或在同一条直线上)且相等；
③图形的形状与大小都不变(全等)；
④图形的顶点字母的排列顺序的方向不变。
6.判别平移图形：
除根据定义判别外，还可以根据平移特征，从中去掉那些能互相替代和包含的内容，只要具
备以下三条：
(1)这两个图形必须是全等形；
(2)这两个全等形的对应线段必须互相平行或者在同一条直线上)
(3)这两个全等形的对应点连线必须互相平行(或在同一条直线上)。
以上为判别方法一，由判别方法一还可以演变推出如下判别方法二：
(1)这两个图形必须是全等形；
(2)这两个全等形的对应顶点字母的排列顺序在图中的方向必须相同(同位顺时针或同为逆时针)；
(3)这两个全等形的对应点连线必须互相平行(或在同一条直线上)。
二、坐标系中的平移
1.一次函数的平移
设一次函数的解析式为
若将它向上平移个单位长度，得到新的一次函数解析式为；
若将它向下平移个单位长度，得到新的一次函数解析式为；
若将它向左平移个单位长度，得到新的一次函数解析式为；
若将它向右平移个单位长度，得到新的一次函数解析式为.
2.反比例函数的平移
设反比例函数的解析式为
若将它向上平移个单位长度，得到新的一次函数解析式为；
若将它向下平移个单位长度，得到新的一次函数解析式为；
若将它向左平移个单位长度，得到新的一次函数解析式为；
若将它向右平移个单位长度，得到新的一次函数解析式为.
3.二次函数的平移
设二次函数的解析式为
若将它向上平移个单位长度，得到新的一次函数解析式为；
若将它向下平移个单位长度，得到新的一次函数解析式为；
若将它向左平移个单位长度，得到新的一次函数解析式为；
若将它向右平移个单位长度，得到新的一次函数解析式为.
4.设函数的解析式为
若将它向上平移个单位长度，得到新的一次函数解析式为；
若将它向下平移个单位长度，得到新的一次函数解析式为；
若将它向左平移个单位长度，得到新的一次函数解析式为；
若将它向右平移个单位长度，得到新的一次函数解析式为.
5.函数平移规律
口诀1：上加下减，左加右减；
口诀2：左右横，上下纵，正减负加.
【例1】如图，把沿平移到的位置，它们的重叠部分的面积是面积的一半，若，则此三角形移动的距离是（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】利用相似三角形面积的比等于相似比的平方，先求出，再求即可得出答案．
【解析】解：由平移的性质得，，
∴，
∴，
∴，
∵AB=2，
∴=，
∴=AB-=2-．
故选A．
【例2】如图，在平面直角坐标系中，平移△ABC至△A1B1C1的位置．若顶点A（﹣3，4）的对应点是A1（2，5），则点B（﹣4，2）的对应点B1的坐标是________．
【答案】（1，3）
【分析】根据点A和点的坐标可得出平移规律，从而进一步可得出结论．
【解析】解：∵顶点A（﹣3，4）的对应点是A1（2，5），
又
∴平移至的规律为：将向右平移5个单位，再向上平移1个单位即可得到
∵B（﹣4，2）
∴的坐标是（-4+5，2+1），即（1，3）
故答案为：（1，3）
【例3】如图：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度；已知△ABC的位置如图．
(1)将△ABC向x轴正方向平移5个单位得△A1B1C1，画出平移后的△A1B1C1；
(2)以O为旋转中心，将△A1B1C1旋转180°得△A2B2C2，画出旋转后的△A2B2C2，并标明对应字母；
(3)△ABC和△A2B2C2关于点P中心对称，请直接写出点P的坐标________．
【答案】(1)见解析
(2)画图见解析
(3)（，0）
【分析】（1）找出平移后的对应点的位置，然后顺次连接即可；
（2）找出旋转后的对应点的位置，然后顺次连接即可；
（3）连接两组对应点，相交于点P，根据中心对称的性质可得点P坐标．
【解析】（1）解：如图，即为所求；
（2）如图，即为所求；
（3）如图，点P即为所求，
由网格特点可知：P（，0）．
故答案为：（ ，0）．
一、单选题
1．如图，将等腰直角△ABC沿BC方向平移得到．若BC＝3，△ABC与重叠部分面积为2，则＝( )
A．B．2C．D．+1
【答案】C
【分析】重叠部分为等腰直角三角形，设=2x，则边上的高为x，根据重叠部分的面积列方程求x，再求．
【解析】解：设＝2x，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴平移性质可知，重叠部分为等腰直角三角形，
则边上的高为x，
∴×x×2x＝2，解得x＝（舍去负值），
∴C＝2，
∴＝BC-＝．
故选：C．
2．如图，将三角形沿方向平移得到三角形，若三角形的周长为，则四边形的周长为（ ）
A．15cmB．18cmC．21cmD．24cm
【答案】B
【分析】根据平移的性质得到，，再根据四边形的周长公式计算，即可得到答案．
【解析】解：的周长为，
∴
由平移的性质可知，
四边形的周长，
故选：B．
3．下列语句中正确的有（ ）个．
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②如果两个角的两边互相平行，则这两个角相等；③垂直于同一直线的两直线平行；④△ABC平移到，则对应点的连线段平行且相等．
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【分析】根据平行公理、平行线的性质与判定、平移的性质逐个判断即可得．
【解析】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，则原语句错误；
②如果两个角的两边互相平行，则这两个角有可能相等（如图1）也有可能互补（如图2），则原语句错误；
③在同一平面上，垂直于同一直线的两直线平行，则原语句错误；
④平移到，则对应点的连线段平行（或在同一条直线上）且相等，则原语句错误；
综上，正确的个数为0个，
故选：A．
4．如图所示第1个图案是由黑白两种颜色的正六边形地面砖组成，第2个，第3个图案可以看作是第1个图案经过平移而得，那么第4个图案中有白色六边形地面砖________块，第个图案中有白色地面砖________ 块，则下列选项中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由图可知，每一个图案比前一个图案多4个白色的六边形，1个黑色的六边形，根据规律解题即可．
【解析】解：由图可知，每一个图案比前一个图案多4个白色的六边形，
∴第n个图案白色六边形的个数为：，
∴第4个图案白色六边形的个数为：，
故选C．
5．如图，菱形的对角线交于点O，，，将沿点A到点C的方向平移，得到，当点与点C重合时，点A与点之间的距离为（ ）
A．8B．10C．12D．14
【答案】B
【分析】由菱形的性质得出AC⊥BD，AO＝AC＝2，OB＝BD＝8，再由平移的性质得出＝OA＝2，＝OB＝8，＝90°，则＝AC＋＝6，然后由勾股定理即可得出答案．
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝OC＝AC＝2，OB＝OD＝BD＝8，
∴∠AOB＝90°，
∵将△ABO沿点A到点C的方向平移，得到，点与点C重合，
∴＝OA＝2，＝OB＝8，＝∠AOB＝90°，
∴＝AC＋＝6，
∴，
故选：B．
6．如图所示，三张正方形纸片①，②，③分别放置于长，宽的长方形中，正方形①，②，③的边长分别为a，b，c，且，则阴影部分周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据平移的性质求出水平边之和及竖直边之和，再列式计算解答．
【解析】解：将阴影部分水平的边通过平移可得水平边之和为：2（a＋b），
将阴影部分竖直的边通过平移可得竖直边之和为：2（a＋c－b），
∴阴影部分的周长为：2（a＋b）＋2（a＋c−b）＝2a＋2b＋2a＋2c−2b＝4a＋2c，
故选：A．
7．如图，三角形ABC沿着BC所在直线向右平移a个单位长度得到三角形DEF（点E在点C的左侧）．下列判断正确的是（ ）
结论Ⅰ：若BF＝8，EC＝4，则a的值为2；
结论Ⅱ：连接AD，若三角形ABC的周长为18，四边形ABFD的周长为22，则a的值为4．
A．Ⅰ和Ⅱ都对B．Ⅰ和Ⅱ都不对C．Ⅰ不对Ⅱ对D．Ⅰ对Ⅱ不对
【答案】D
【分析】根据平移的性质，逐项判断即可．
【解析】解：∵三角形ABC沿着BC所在直线向右平移a个单位长度得到三角形DEF，
∴BE＝CF＝a，
∵BF＝BE+CE+CF，BF＝8，EC＝4，
∴8＝a+4+a，
∴a＝2，故结论Ⅰ正确；
∵三角形ABC沿着BC所在直线向右平移a个单位长度得到三角形DEF，
∴AC＝DF，
∵四边形ABFD的周长为22，
∴AB+BC+CF+DF+AD＝22，
∴AB+BC+CF+AC+AD＝22，
∵三角形ABC的周长为18，
∴AB+BC+AC＝18，
∴18+CF+AD＝22，即18+a+a＝22，
∴a＝2，故结论（Ⅱ）不正确，
∴Ⅰ对Ⅱ不对，
故选：D．
8．如图，将直角三角形沿着斜边的方向平移到的位置（A、D、C、F四点在同一条直线上）．直角边交于点G．如果，的面积等于4，下列结论：①；②三角形平移的距离是4；③；④四边形的面积为16；其中正确的是（ ）
A．②③B．①②③C．①③④D．①②③④
【答案】C
【分析】由平移的性质得到BE∥AC，AB∥DE，BC=EF，BE=CF，故③正确；根据图形的平移得到∠EDC=∠A，∠EDC=∠BED，故∠A=∠BED，故①正确；根据直角三角形斜边大于直角边得到△ABC平移的距离＞4，故②错误；根据三角形的面积公式得到GE=2，根据梯形的面积公式得到四边形GCFE的面积=（6+10）×2=16，故④正确．
【解析】解：∵△DEF的是直角三角形ABC沿着斜边AC的方向平移后得到的，且A、D、C、F四点在同一条直线上，
∴BE∥AC，AB∥DE，BC=EF，BE=CF，故③正确；
由图形的平移知，ED∥AB，AC∥BE，
∴∠EDC=∠A，∠EDC=∠BED，
∴∠A=∠BED，故①正确；
∵BG=4，
∴AD=BE＞BG，
∴△ABC平移的距离＞4，故②错误；
∵EF=10，
∴CG=BC-BG=EF-BG=10-4=6，
∵△BEG的面积等于4，
∴BG•GE=4，
∴GE=2，
∴四边形GCFE的面积=（6+10）×2=16，故④正确；
故选：C．
二、填空题
9．在平面直角坐标系中，以点、、为顶点的三角形向上平移3个单位，得到△（点分别为点的对应点），然后以点为中心将△顺时针旋转，得到△（点分别是点的对应点），则点的坐标是_______．
【答案】
【分析】作，根据已知条件可以得到 而，则由此可确定的横坐标，接着确定的横坐标，根据的横坐标和的长度可以确定的坐标．
【解析】
如图，以点为顶点的三角形向上平移3个单位，得到（分别是 C的对应点），
的坐标分别为 ，
过A作AD于D，过，
,
而,
的横坐标为8+3=11，纵坐标为3+4=7，
的坐标为．
故答案为：．
10．在平面直角坐标系中，A（，4），B（，3），C（1，0），．
（1）三角形ABC的面积为______；
（2）将线段AB沿AC方向平移得到线段DP，若P点恰好落在x轴上，则D点的坐标为______．
【答案】 5
【分析】（1）过分别作轴的垂线，过点作轴的垂线，交点，根据题意分别求得的坐标，然后根据，即可求解．
（2）设，则，根据平移可得向下移动个单位，向右移动个单位，得到，即，求得，根据三角形面积求得，即可求解．
【解析】解：（1）过分别作轴的垂线，过点作轴的垂线，交于点，如图，
∵A（，4），B（，3），C（1，0），
∴ ，
，，
∴，
，
，
故答案为：5；
（2），设，则，
∵将线段AB沿AC方向平移得到线段DP，若P点恰好落在x轴上，
∴向下移动了个单位，向右移动了个单位，
∴向下移动个单位，向右移动个单位，得到，即，
如图，过点作轴，于点，则，
过点作轴交于点，
∵，
∴，
∴，
根据题意是沿方向平移得到的，
∴，
∵，
解得：，
∴，
故答案为：．
11．如图，在三角形中，，，，，将三角形沿方向平移得到三角形，且与相交于点，连接．
（1）阴影部分的周长为______；
（2）若三角形的面积比三角形的面积大，则的值为______．
【答案】
【分析】（1）由平移的性质可得出，．再根据，即可求出阴影部分的周长；
（2）过A点作于，利用等面积法计算出，由，，即可得出，再根据，即可列出关于a的等式，解出a即可．
【解析】（1）∵三角形沿方向平移得到三角形，
，．
，
阴影部分的周长为，
故答案为：；
（2）过A点作于，如图，
∵∠BAC=90°
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，即．
∵三角形的面积比三角形的面积大，即，
∴，
解得．
故答案为：．
12．如图，在△ABC中，∠BAC=45°，∠ACB是锐角，将△ABC沿着射线BC方向平移得到△DEF（平移后点A，B，C的对应点分别是点D，E，F），连接CD，若在整个平移过程中，∠ACD和∠CDE的度数之间存在2倍关系，则∠ACD=__________．
【答案】15°或30°或90°
【分析】根据△ABC的平移过程，分为了点E在BC上和点E在BC外两种情况，根据平移的性质得到，根据平行线的性质得到∠ACD和∠CDE和∠BAC之间的等量关系，列出方程求解即可．
【解析】第一种情况：如图，当点E在BC上时，过点C作，
∵△DEF由△ABC平移得到，
∴，
∵，，
∴，
①当∠ACD=2∠CDE时，
∴设∠CDE=x，则∠ACD=2x，
∴∠ACG=∠BAC=45°，∠DCG=∠CDE=x，
∵∠ACD=∠ACG+∠DCG，
∴2x+x=45°，解得：x=15°，
∴∠ACD=2x=30°，
②当∠CDE=2∠ACD时，
∴设∠CDE=x，则∠ACD=x，
∴∠ACG=∠BAC=45°，∠DCG=∠CDE=x，
∵∠ACD=∠ACG+∠DCG，
∴2x+x=45°，解得：x=30°，
∴∠ACD=x=15°，
第二种情况：当点E在△ABC外时，过点C作
∵△DEF由△ABC平移得到，
∴，
∵，，
∴，
①当∠ACD=2∠CDE时，
设∠CDE=x，则∠ACD=2x，
∴∠ACG=∠BAC=45°，∠DCG=∠CDE=x，
∵∠ACD=∠ACG+∠DCG，
∴2x=x+45°，解得：x=45°，
∴∠ACD=2x=90°，
②当∠CDE=2∠ACD时，由图可知，∠CDE