2023-2024学年广东省深圳市高二上学期期中数学质量检测模拟试题（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省深圳市高二上学期期中数学质量检测模拟试题（含解析），共19页。
注意事项：
1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡密封线内相应的位置上，用铅笔将自己的学号填涂在答题卡上.
2、选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上.
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4、考生必须保持答题卡的整洁和平整.
第一部分 选择题（共60分）
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．已知椭圆的标准方程，其焦距为（ ）
A．B．C．D．
2．设向量不共面，则下列可作为空间的一个基底的是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知向量，则向量在向量 上的投影向量为（ ）
A．B．
C．D．
4．如图，在正方体中，M、N分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在四面体OABC中，，且，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知直线，若直线与连接、两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ）
A．B．C．D．
7．关于曲线下列说法：①关于点对称；②关于直线轴对称；③关于直线对称；④曲线是封闭图形，面积小于；⑤曲线是封闭图形，面积大于；⑥曲线不是封闭图形无法计算面积.其中正确的序号（ ）
A．①②⑥B．①②⑤C．①②④D．②③⑥
8．当曲线与直线有两个相异的交点时，实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.）
9．下列命题中，正确的有（ ）
A．分别是平面的法向量，若，则
B．分别是平面的法向量，若，则
C．是平面的法向量，是直线l的方向向量，若，则
D．是平面的法向量，是直线l的方向向量，若，则l与平面所成角为
10．下列各选项中，不正确的是（ ）
A．若是空间任意四点，则有
B．对于非零向量
C．若共线，则
D．对空间任意一点与不共线的三点，若（其中），则四点共面
11．已知直线与圆，则（ ）
A．对，直线恒过一定点
B．，使直线与圆相切
C．对，直线与圆一定相交
D．直线与圆相交且直线被圆所截得的最短弦长为
12．瑞士数学家欧拉(Euler)在1765年在其所著作的《三角形的几何学》－书中提出：三角形的外心(中垂线的交点)、重心(中线的交点)、垂心(高的交点)在同一条直线上，后来，人们把这条直线称为欧拉线.若△ABC的顶点A(－4，0)，B(0，4)，其欧拉线方程为x－y＋2＝0，则下列说法正确的是（ ）
A．△ABC的外心为(－1，1)B．△ABC的顶点C的坐标可能为(－2，0)
C．△ABC的垂心坐标可能为(－2，0)D．△ABC的重心坐标可能为
第二部分 非选择题（共90分）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．椭圆的焦点为、，为椭圆上不同于长轴端点的一点，则的周长为 ．
14．如图在平行六面体中，，，则的长是 ．
15．过点P（1，2）且在Ｘ轴，Ｙ轴上截距相等的直线方程是 .
16．据监测，在海滨某城市附近的海面有一台风. 台风中心位于城市的东偏南方向、距离城市的海面处，并以的速度向西偏北方向移动（如图示）.如果台风侵袭范围为圆形区域，半径，台风移动的方向与速度不变，那么该城市受台风侵袭的时长为 .
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知直角的顶点坐标，直角顶点，顶点C在x轴上．
（1）求点C的坐标；
（2）求的斜边中线所在直线的方程．
18．如图所示，在棱长为的正方体中，分别为的中点.
(1)求证：面；
(2)求点到平面的距离.
19．已知圆经过三点.
(1)求圆的方程；
(2)过点向圆作切线，切点分别是，求直线的方程.
20．已知圆，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)若，过作直线与轨迹交于两点（不与重合），记直线与的斜率分别为，证明：为定值.
21．在如图所示的四棱锥中，底面是边长为2的正方形，△是正三角形，平面平面.
（1）求平面与平面所成锐二面角的大小；
（2）设为上的动点，直线与平面所成的角为，求的最大值.
22．已知A(3,0)，B(-3,0)，C是动点，满足（为常数），过C作x轴的垂线，垂足为H，记CH中点M的轨迹为，
(1)若是椭圆，求此椭圆的离心率；
(2)若在上，过点G(0,m)作直线l与交于P、Q两点，如果m值变化时，直线MP、MQ的倾斜角总保持互补，求△MPQ面积的最大值．
1．A
【分析】结合标准方程及椭圆关系可求得结果.
【详解】由椭圆标准方程知：椭圆焦距为.
故选：A.
2．C
【分析】依次判断四个选项中三个向量是否共面即可
【详解】选项A：由于，三个向量共面，故不能作为空间的一个基底；
选项B：由于，三个向量共面，故不能作为空间的一个基底；
选项C：若三个向量共面，则存在，使得，则向量共面，矛盾，故三个向量不共面，因此可以作为空间的一个基底；
选项D：由于，三个向量共面，故不能作为空间的一个基底；
故选：C
3．B
【分析】利用投影向量的定义结合已知条件直接求解即可.
【详解】因为向量，
所以向量在向量 上的投影向量为
，
故选：B
4．D
【分析】若为中点，连接有，异面直线所成角即为，进而求其大小.
【详解】若为中点，连接，又M是的中点，则，
所以与所成角，即为与所成角，
令正方体棱长为2，则，，，
在△中，则.
故选：D
5．D
【分析】利用空间向量基本定理求解出，从而求出.
【详解】因为，所以，
又，所以．
故选：D
6．D
【分析】根据直线过定点，即可根据斜率公式求解边界线的斜率，即可根据斜率与倾斜角的关系求解.
【详解】直线的方程可得，所以，直线过定点，
设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则，
因为直线的斜率为，直线的斜率为，
因为直线经过点，且与线段总有公共点，
所以，即，因为，所以或，
故直线的倾斜角的取值范围是．
故选：D．
7．B
【分析】将、和代入曲线方程可确定①②③的正误；根据的范围，结合当时，可确定曲线围成封闭图形的面积大于圆的面积，知④⑤⑥正误.
【详解】对于①，将代入曲线方程得：，
曲线关于点对称，①正确；
对于②，将代入曲线方程得：，
曲线关于直线轴对称，②正确；
对于③，将代入曲线方程得：，与曲线方程不同，
曲线不关于直线对称，③错误；
对于④⑤⑥，由知：，，则曲线为封闭图形；
在曲线上取一点，
当时，，，即点在圆外，
曲线围成封闭图形的面积大于圆的面积，⑤正确，④⑥错误.
故选：B.
8．C
【分析】确定曲线为圆的下半部分，确定直线的定点，根据直线与半圆相切时得到斜率，再计算，结合图像得到答案.
【详解】，即，，是圆的下半部分，
直线过定点，且，，
画出图像，如图所示：
当直线与半圆相切且斜率存在时，圆心到直线的距离，解得，
，根据图像知.
故选：C
9．AB
【分析】根据平面向量的法向量的位置关系，直接判断面面，线面位置关系和线线角即可得到答案.
【详解】选项A. 分别是平面的法向量，若，则，正确.
选项B. 分别是平面的法向量，若，则,正确
选项C. 是平面的法向量，是直线l的方向向量，若，则或，故不正确.
选项D. 是平面的法向量，是直线l的方向向量，若，则l与平面所成角为，故不正确
故选：AB
10．ACD
【分析】由空间向量的概念和运算对选项逐一判断.
【详解】解：A选项：若是空间任意四点，则有，故A错误；
B选项：因为，且向量夹角范围为，所以，故B正确；
C选项：若共线，则或四点共线，故C错误；
D选项：对空间任意一点与不共线的三点，若（其中），
则,即
当时，，此时四点共面，
当时，此时四点不共面，故D错误.
故选：ACD
11．AC
【分析】通过直线转化为直线系，求出直线恒过定点；根据定点与圆的位置关系，即可判断圆与直线的位置关系；当圆心与定点的连线与直线垂直时，即可求得直线被圆所截得的最短弦长.
【详解】，即，
令，解得，所以直线恒过点，故A正确；
圆，圆心，半径.
因为，所以点在圆C内，
所以直线与圆一定相交，故B错误，C正确；
当时，直线与圆相交且直线被圆所截得的弦长最短，
最短弦长为，故D错误.
故选：AC
12．ACD
【分析】求出直线AB的垂直分线方程，联立欧拉方程可求得外心坐标，判断A;求出外接圆方程，表示出重心，坐标，代入到外接圆方程中，可求得C的坐标，进而判断B,D的对错；写出过C和直线AB垂直的可能的方程，和欧拉方程联立求得垂心坐标，可判断C.
【详解】由顶点A(－4，0)，B(0，4)，可知直线AB的垂直分线方程为 ，
的外心在直线x－y＋2＝0上，
联立 ，可得外心坐标为(－1，1)，故A正确；
设外心为G,则G(－1，1)，故 ,
所以外接圆方程为 ，
设 ，则的重心为 ，代入欧拉线方程为x－y＋2＝0中，
得： ，和联立，解得或，
即C点坐标可以为 ，故B错误；
由C点坐标为，可知重心可能为，故D正确；
当C点坐标为时，过C和AB垂直的直线方程为 ，
联立欧拉线方程为x－y＋2＝0可解得垂心坐标为；
当C点坐标为时，过C和AB垂直的直线方程为 ，
联立欧拉线方程为x－y＋2＝0可解得垂心坐标为，故C正确，
故选：ACD.
13．
【分析】根据椭圆方程可得，计算出，然后根据椭圆的定义和焦距的定义可得三角形的周长.
【详解】由可得，，
所以，所以，
所以，
根据椭圆的定义可得，
所以的周长为.
故答案为.
本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的定义、几何性质，属于基础题.
14．
【分析】根据题意，由条件可得，再由空间向量的模长公式，即可得到结果.
【详解】因为，所以
，则，所以的长是.
故答案为.
15．2x-y=0或x+y-3=0
【详解】试题分析：当直线过原点时，可设直线的方程为，
代入点P（1，2）可得，故方程为，化为一般式可得；
当直线不过原点时，可设直线的方程为，
代入点P（1，2）可得，故方程为，化为一般式可得；
综上可得所求直线的方程为.
故答案为.
考点：直线的截距式方程．
16．小时
【分析】当城市距离台风中心小于等于120km时，城市开始受到台风侵袭，所以只要城市距离台风移动方向大于等于120km即可；由题意，画出图形解三角形．
【详解】解：由题意如图，设台风中心到达Q，开始侵袭城市，到达O则结束侵袭.
在△AQP中，AQ＝120km，AP＝120km，∠APQ＝30°，∠PAQ＝180°﹣30°﹣∠Q＝150°﹣∠Q，
由正弦定理得到，
所以∠＝120°, ∠ =60°，所以△AQO为等边三角形.所以
所以该城市会受到台风的侵袭时长为小时．
本题主要考查了解三角形的实际应用；关键是由题意将问题转化为解三角形的问题
17．（1）；（2）.
【分析】（1）由题意利用直线的斜率公式，两条直线垂直与直线斜率的关系，求得点C的坐标．
（2）先求出斜边中点的坐标，再求出中线的斜率，用点斜式求出中线的方程．
【详解】（1）直角的顶点坐标，直角顶点，
顶点C在x轴上，设，
则，求得，故．
（2）斜边AC的中点为，BM的斜率为，
故BM的方程为，即．
本题主要考查直线的斜率公式，两条直线垂直与直线斜率的关系，用点斜式求直线的方程，属于基础题．
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由平行四边形性质可知，由线面平行判定定理可证得结论；
（2）利用等体积法构造方程求得结果.
【详解】（1）连接，
，，四边形为平行四边形，
，即，又平面，平面，
平面.
（2）连接，
，
，，
，即，；
为中点，点到平面的距离为，
又，，
，点到平面的距离.
19．(1)
(2)
【分析】（1）假设圆的一般方程，代入三点坐标即可构造方程组求得结果；
（2）弦是以为直径的圆与圆的公共弦，求得以为直径的圆的方程后，与圆方程作差即可求得结果.
【详解】（1）设圆方程为：，
圆过点，
，解得：（满足），
圆方程为.
（2）由（1）知：圆的圆心，半径；
与圆相切，在以为直径的圆上，
，中点为，
以为直径的圆的方程为：，即，
由得：，
即直线的方程为.
20．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据椭圆的定义求解即可；
（2）联立直线与椭圆的方程，并根据韦达定理得到，表示出斜率后化简即可得证.
【详解】（1）圆，圆心，半径
因为线段的垂直平分线和半径相交于，
所以，所以，
所以点H的轨迹是以，为焦点，且长轴长为4的椭圆.
故，
所以点H的轨迹L的方程是.
（2）证明：因为直线l不与重合，所以直线l斜率不为0，
故设.
所以
，
所以为定值.
21．（1）；（2）.
【分析】取的中点，取的中点，连接，以为正交基底建立如图所示空间直角坐标系.
（1）求出二面角两个面的法向量，由法向量的夹角得二面角；
（2）设，，求出与平面法向量夹角的余弦的绝对值，利用函数的知识求得最大值．
【详解】解：取的中点，取的中点，连接，
因为底面是正方形，∴，
∵△是正三角形，为的中点，∴，
又因为平面平面，平面平面，平面，
∴平面，
以为正交基底建立如图所示空间直角坐标系.
⑴,，,则，，
设为平面的一个法向量，
则，则，令，得，，
,，,则，，
设为平面的一个法向量，
则，则，令，得，，
∴，又，∴，
∴面与平面所成锐二面角的大小为.
⑵设，，则，
则，
因为直线与平面所成的角为，
∴
，当且仅当时取等号，
故求的最大值为.
方法点睛：本题考查空间向量法求直线与平面所成的角，求二面角．求空间角的方法：
（1）几何法（定义法）：根据定义作出空间的平面角（异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角的平面角）并证明，然后解三角形得出结论；
（2）空间向量法：建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出直线方向向量，平面的法向量，利用直线方向向量的夹角得异面直线所成角（相等或互补），直线方向向量与平面的法向量夹角的余弦值的绝对值得直线与平面所成角的正弦值，两个平面法向量的夹角得二面角（它们相等或互补）．
22．(1)
(2)2
【分析】（1）根据条件，列方程即可；
（2）根据条件设直线l的方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理求出 和M点到直线l的距离，再计算三角形MPQ的面积，利用基本不等式即可求解.
【详解】（1）设M(x,y)，则，
∴方程为，
仅当时此方程表示椭圆，
此时，
.
（2）把代入，得，∴方程为，
设 P(x1,y1)，Q(x2,y2)，直线l方程为y=kx+m，代入方程可得(1+4k2)x2+8kmx+ 4m2-8=0，
①，
∵直线MP、MQ的倾斜角互补，
∴，
，化简得②，
把①代入，整理得，
， ，
此时，直线l方程为 ，
∴，P到直线l距离，
面积，
当时，取等号，满足 ，
∴面积的最大值为2；
综上，椭圆 的离心率 ，面积的最大值为2.