2023-2024学年江苏省南京市高二上学期期中数学质量检测模拟试题（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南京市高二上学期期中数学质量检测模拟试题（含解析），共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．）
1． 设复数z满足z·i＝1＋i，i为虚数单位，则＝
A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i
2． 若圆x2＋y2－4x＋8y＋2m＝0的半径为2，则实数m的值为
A．－9B．－8C．9D．8
3． 已知直线l上一点向左平移3个单位长度，再向下平移2个长度后，仍在该直线上，则直线l的斜率为
A．B．C．－D．－
4． 已知点(x0，y0)在圆C：x2＋y2＝4外，则直线x0x＋y0y＝4与圆C的位置关系是
A．相交B．相切C．相离D．不确定
5． 记正整数m、n的最大公约数为(m，n)，例如，(2，5)＝1，(6，15)＝3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＝(n，n＋2)，则S50＝
A．50B．75C．100D．1275
6． 下列椭圆的形状更接近于圆的是
A．＋y2＝1B．＋＝1C．＋＝1D．＋＝1
7． 已知数列{an}中，a1＝1，对于任意的m、n∈N*，都有am+n＝am＋an，若正整数k满足a2k-1＋a2k+1＋a2k+3＋…＋a2k+17＝100，则k＝
A．1B．10C．50D．100
8． 已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A、B两点，若△AOF面积是△BOF面积的两倍，则|AB|＝
A．4B．C．5D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，少选得2分，错选或不选得0分．请把答案填涂在答题卡相应位置上．）
9． 已知直线l：x＋y＋c＝0(c≠0)，O为坐标原点，则
A．直线l的倾斜角为120°
B．若O到直线l的距离为1，则c＝2
C．过O且与直线l平行的直线方程为x＋y＝0
D．过O且与直线l垂直的直线方程为x－y＝0
10．当m变化时，方程(m－1)x2＋(3－m)y2＝(m－1)(3－m)表示的曲线形状，下列说法中正确的是
A．m＝1时，方程表示一条直线
B．m＜1或m＞3是方程表示双曲线的充要条件
C．1＜m＜3时，方程表示椭圆
D．该方程不可能表示抛物线
11．若{an}为等差数列，Sn为其前n项的和，则下列说法中一定成立的是
A．a2＋a7＋a11＝a8＋a12B．存在A、B∈R，使得an＝An＋B
C．若Sp＝Sq(p≠q)，则Sp+q＝0D．{}是等差数列
12．设曲线C的方程为x2＋y2＝2|x|－2|y|，则
A．曲线C既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．曲线C围成图形的面积为2π－4
C．曲线C的周长为π
D．曲线上任意两点间距离的最大值为4
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．）
13．写出一个具有下列性质①②的数列{an}的通项公式an＝________．①2an+1＝an＋an+2；②an+1＜an．
14．已知两条直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0都过点A(3，2)，则过两点P1(a1，b1)、P2(a2，b2)的直线的方程为________．
15．记[x]为不大于实数x的最大整数，例如：[3.2]＝3，[2]＝2，[－3.2]＝－4．已知数列{an}的通项公式为an＝[lgn]，则数列{an}的前2023项的和S2023＝________．
16．若y＝x＋的图象是以y＝x和x＝0为渐近线的双曲线，则其离心率为________．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．(本小题满分10分)
在苏教版选择性必修第一册P178的阅读材料中，由一个有趣的兔子问题引出了斐波那契数列{Fn}，并根据规律得到了递推关系式：Fn+2＝Fn+1＋Fn．现在，我们也来尝试从下列两个问题中找出类似的数列．
问题1：小明要上楼梯，他每次只能向上走一级或两级．如果楼梯有n(n∈N*)级，那么他有多少种走法？
分析：我们记楼梯有n(n∈N*)级时的不同走法数为an，显然，a1＝1，a2＝2，a3＝3，…
问题2：小明要上楼梯，他每次只能向上走一级、两级或三级．如果楼梯有n(n∈N*)级，那么他有多少种走法？
分析：我们记楼梯有n(n∈N*)级时的不同走法数为bn，显然，b1＝1，b2＝2，b3＝4，…
请分别就上述两个问题，写出数列{an}、{bn}的第四项和第五项，并根据规律写出一个递推关系式．
18．(本小题满分12分)
在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列．
(1)求B；
(2)若c－a＝3，且△ABC的面积为10，求△ABC的外接圆的半径．
19．(本小题满分12分)
已知直线l经过P(－2，0)，且与圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝9相交于A、B两点．
(1)若CA⊥CB，求直线l的斜率；
(2)若＝λ(λ＞0)，求λ的取值范围．
20．(本小题满分12分)
已知数列{an} QUOTE 的前n项和为Sn，Sn＝2n＋3．
(1)求数列{an} QUOTE 的通项公式an；
(2)若数列bn}满足：bn＝，求数列{bn}的最大项．
21．(本小题满分12分)
已知椭圆＋＝1的左、右顶点为A1、A2，与y轴平行的直线交椭圆于两点P1、P2，直线A1P1与直线A2P2的交点为P．
(1)求点P的轨迹方程Γ；
(2)若曲线Γ上的点Q满足∠A1QA2＝30°，求△A1QA2的面积．
22．(本小题满分12分)
已知抛物线x2＝4y，过P(－1，2)作互相垂直的两条直线l1、l2，l1与抛物线相交于A、B两点，l2与抛物线相交于C、D两点，线段AB、CD的中点分别为M、N．
(1)证明：直线MN过定点；
(2)若线段MN的中点记为E，求点E的纵坐标的最小值．
2023-2024学年江苏省南京市高二上学期期中数学质量检测
模拟试卷
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．）
1． 设复数z满足z·i＝1＋i，i为虚数单位，则＝D
A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i
2． 若圆x2＋y2－4x＋8y＋2m＝0的半径为2，则实数m的值为D
A．－9B．－8C．9D．8
3． 已知直线l上一点向左平移3个单位长度，再向下平移2个长度后，仍在该直线上，则直线l的斜率为B
A．B．C．－D．－
4． 已知点(x0，y0)在圆C：x2＋y2＝4外，则直线x0x＋y0y＝4与圆C的位置关系是A
A．相交B．相切C．相离D．不确定
5． 记正整数m、n的最大公约数为(m，n)，例如，(2，5)＝1，(6，15)＝3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＝(n，n＋2)，则S50＝B
A．50B．75C．100D．1275
6． 下列椭圆的形状更接近于圆的是D
A．＋y2＝1B．＋＝1C．＋＝1D．＋＝1
7． 已知数列{an}中，a1＝1，对于任意的m、n∈N*，都有am+n＝am＋an，若正整数k满足a2k-1＋a2k+1＋a2k+3＋…＋a2k+17＝100，则k＝A
A．1B．10C．50D．100
8． 已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A、B两点，若△AOF面积是△BOF面积的两倍，则|AB|＝B
A．4B．C．5D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，少选得2分，错选或不选得0分．请把答案填涂在答题卡相应位置上．）
9． 已知直线l：x＋y＋c＝0(c≠0)，O为坐标原点，则CD
A．直线l的倾斜角为120°
B．若O到直线l的距离为1，则c＝2
C．过O且与直线l平行的直线方程为x＋y＝0
D．过O且与直线l垂直的直线方程为x－y＝0
10．当m变化时，方程(m－1)x2＋(3－m)y2＝(m－1)(3－m)表示的曲线形状，下列说法中正确的是ABD
A．m＝1时，方程表示一条直线
B．m＜1或m＞3是方程表示双曲线的充要条件
C．1＜m＜3时，方程表示椭圆
D．该方程不可能表示抛物线
11．若{an}为等差数列，Sn为其前n项的和，则下列说法中一定成立的是BCD
A．a2＋a7＋a11＝a8＋a12B．存在A、B∈R，使得an＝An＋B
C．若Sp＝Sq(p≠q)，则Sp+q＝0D．{}是等差数列
12．设曲线C的方程为x2＋y2＝2|x|－2|y|，则ABD
A．曲线C既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．曲线C围成图形的面积为2π－4
C．曲线C的周长为π
D．曲线上任意两点间距离的最大值为4
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．）
13．写出一个具有下列性质①②的数列{an}的通项公式an＝________．①2an+1＝an＋an+2；②an+1＜an．
－n(答案不唯一)
14．已知两条直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0都过点A(3，2)，则过两点P1(a1，b1)、P2(a2，b2)的直线的方程为________．
3x＋2y＋1＝0
15．记[x]为不大于实数x的最大整数，例如：[3.2]＝3，[2]＝2，[－3.2]＝－4．已知数列{an}的通项公式为an＝[lgn]，则数列{an}的前2023项的和S2023＝________．
4962
16．若y＝x＋的图象是以y＝x和x＝0为渐近线的双曲线，则其离心率为________．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．(本小题满分10分)
在苏教版选择性必修第一册P178的阅读材料中，由一个有趣的兔子问题引出了斐波那契数列{Fn}，并根据规律得到了递推关系式：Fn+2＝Fn+1＋Fn．现在，我们也来尝试从下列两个问题中找出类似的数列．
问题1：小明要上楼梯，他每次只能向上走一级或两级．如果楼梯有n(n∈N*)级，那么他有多少种走法？
分析：我们记楼梯有n(n∈N*)级时的不同走法数为an，显然，a1＝1，a2＝2，a3＝3，…
问题2：小明要上楼梯，他每次只能向上走一级、两级或三级．如果楼梯有n(n∈N*)级，那么他有多少种走法？
分析：我们记楼梯有n(n∈N*)级时的不同走法数为bn，显然，b1＝1，b2＝2，b3＝4，…
请分别就上述两个问题，写出数列{an}、{bn}的第四项和第五项，并根据规律写出一个递推关系式．
答：问题1：a4＝5，a5＝8，an+2＝an+1＋an；问题2：b4＝7，b5＝13，bn+3＝bn+2＋bn+1＋bn．
18．(本小题满分12分)
在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列．
(1)求B；
(2)若c－a＝3，且△ABC的面积为10，求△ABC的外接圆的半径．
答：(1)B＝；(2)．
19．(本小题满分12分)
已知直线l经过P(－2，0)，且与圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝9相交于A、B两点．
(1)若CA⊥CB，求直线l的斜率；
(2)若＝λ(λ＞0)，求λ的取值范围．
答：(1)或1；(2) λ≥．
20．(本小题满分12分)
已知数列{an} QUOTE 的前n项和为Sn，Sn＝2n＋3．
(1)求数列{an} QUOTE 的通项公式an；
(2)若数列{bn}满足：bn＝，求数列{bn}的最大项．
答：(1)an＝；(2)b3＝．
21．(本小题满分12分)
已知椭圆＋＝1的左、右顶点为A1、A2，与y轴平行的直线交椭圆于两点P1、P2，直线A1P1与直线A2P2的交点为P．
(1)求点P的轨迹方程Γ；
(2)若曲线Γ上的点Q满足∠A1QA2＝30°，求△A1QA2的面积．
答：(1)－＝1，y≠0；(2)．
22．(本小题满分12分)
已知抛物线x2＝4y，过P(－1，2)作互相垂直的两条直线l1、l2，l1与抛物线相交于A、B两点，l2与抛物线相交于C、D两点，线段AB、CD的中点分别为M、N．
(1)证明：直线MN过定点；
(2)若线段MN的中点记为E，求点E的纵坐标的最小值．
答：(1)(0，4)；(2)．