2024讲与练高中数学1(必修第一册·A版)5.3 第2课时　诱导公式(公式五～公式六)

这是一份2024讲与练高中数学1(必修第一册·A版)5.3 第2课时　诱导公式(公式五～公式六)，共6页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题， 填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单项选择题
1．已知sin 24.3°＝a，则cs 65.7°＝( A )
A．aB．－a
C．a2D.eq \r(1－a2)
解析：cs 65.7°＝cs(90°－24.3°)＝sin 24.3°＝a.
2．已知sin(π＋α)＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＝( B )
A．－eq \f(1,3)B．eq \f(1,3)
C．－eq \f(\r(3),3)D.eq \f(\r(3),3)
解析：∵sin(π＋α)＝－sin α＝eq \f(1,3)，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＝－sin α＝eq \f(1,3).
3．若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)＋α))＝eq \f(3,4)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,8)－α))＝( B )
A．－eq \f(3,4)B．eq \f(3,4)
C．－eq \f(\r(7),4)D.eq \f(\r(7),4)
解析：因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)＋α))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,8)－α))＝eq \f(π,2)，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,8)－α))＝eq \f(π,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)＋α))，所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,8)－α))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)＋α))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)＋α))＝eq \f(3,4).
4．若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))>0，且cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))<0，则θ是( A )
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D.第四象限角
解析：∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))＝cs θ>0，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))＝－sin θ<0，∴sin θ>0，∴角θ是第一象限角．
5．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋φ))＝eq \f(\r(3),2)，且|φ|A．－eq \f(\r(3),3)B．－eq \r(3)
C．eq \f(\r(3),3)D.eq \r(3)
解析：∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋φ))＝－sin φ＝eq \f(\r(3),2)，
∴sin φ＝－eq \f(\r(3),2)<0，∵|φ|∴－eq \f(π,2)<φ<0，∴cs φ＝eq \r(1－\f(3,4))＝eq \f(1,2)，
∴tan φ＝eq \f(sin φ,cs φ)＝－eq \r(3).
二、多项选择题
6．已知f(x)＝sin x，下列式子中不成立的是( ABD )
A．f(x＋π)＝sin x
B．f(2π－x)＝sin x
C．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2)))＝－cs x
D.f(π－x)＝－f(x)
解析：f(x＋π)＝sin(x＋π)＝－sin x；f(2π－x)＝sin(2π－x)＝－sin x；feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2)))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))＝－cs x；
f(π－x)＝sin(π－x)＝sin x＝f(x)．故A，B，D不成立．
7．下列化简正确的是( AD )
A．eq \f(sin(－α),tan(360°－α))＝cs α
B．eq \f(sin(π－α),cs(π＋α))＝tan α
C．eq \f(cs(π－α)tan(－π－α),sin(2π－α))＝1
D.若θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，则eq \r(1－2sin(π＋θ)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋θ)))＝sin θ－cs θ
解析：对于A，左边＝eq \f(－sin α,tan(－α))＝eq \f(－sin α,－tan α)＝cs α＝右边，成立；对于B，左边＝eq \f(sin α,－cs α)＝－tan α≠右边，不成立；对于C，左边＝
eq \f(－cs α•(－tan α),－sin α)＝－1≠右边，不成立；对于D，左边＝eq \r(1－2(－sin θ)•(－cs θ))＝
eq \r(1－2sin θ•cs θ)＝eq \r((sin θ－cs θ)2)＝|sin θ－cs θ|＝sin θ－cs θ＝右边，成立．
三、 填空题
8．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,4)))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))的值为－eq \f(1,3).
解析：∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,4)))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)－α))＝
－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\f(π,4)－α))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(1,3)，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝－eq \f(1,3).
9．化简：
eq \f(cs(6π＋θ)sin(－2π－θ)tan(2π－θ),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋θ))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋θ)))＝－tan_θ.
解析：原式＝
eq \f(cs θ•sin(－θ)•tan(－θ),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,2)＋θ))•sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,2)＋θ)))＝
eq \f(cs θ•(－sin θ)•(－tan θ),－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))•\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ)))))＝
eq \f(cs θ•sin θ•tan θ,sin θ•(－cs θ))＝－tan θ.
10．已知f(α)＝eq \f(sin(π－α)cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))tan(α＋π))且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝－eq \f(1,2)，则sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(3,4).
解析：f(α)＝eq \f(sin(π－α)cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))tan(α＋π))＝
eq \f(sin αsin α,－sin αtan α)＝eq \f(sin αsin α,－sin α×\f(sin α,cs α))＝
－cs α；feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝－eq \f(1,2)，
sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝1－eq \f(1,4)＝eq \f(3,4).
四、解答题
11．已知sin α＝－eq \f(3,5)，且α在第________象限．从条件①三，②四，这两个选项中选择一个条件填在上面的横线上，并根据你的选择，解答以下问题：
(1)求cs α，tan α的值；
(2)化简求值：
eq \f(sin(π－α)cs(－α)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α)),cs(2 022π＋α)tan(2 022π－α)).
解：(1)因为sin α＝－eq \f(3,5)，
所以α为第三象限或第四象限角．
若选①，cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(4,5)，
tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(3,4)；
若选②，cs α＝eq \r(1－sin2α)＝eq \f(4,5)，
tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(3,4).
(2)原式＝eq \f(sin αcs α(－cs α),cs αtan(－α))＝
eq \f(－sin αcs α,－tan α)＝eq \f(sin αcs α,\f(sin α,cs α))＝cs2α＝
1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))eq \s\up12(2)＝eq \f(16,25).
12．化简求值．
(1)计算：
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(14π,3)))－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(29π,6)))＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(53π,6)))＋sineq \f(19π,2)－cs 25π；
(2)化简：
eq \f(sin(2π－α)cs(3π＋α)cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π＋α)),sin(－π＋α)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)π＋α))).
解：(1)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(14π,3)))－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(29π,6)))＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(53π,6)))＋
sineq \f(19π,2)－cs 25π＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(14π,3)＋4π))－cseq \f(29π,6)＋
taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(53π,6)＋8π))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(19π,2)－8π))－
cs(25π－24π)＝
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2π,3)))－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(29π,6)－4π))＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5π,6)))＋sineq \f(3π,2)－cs π＝－eq \f(\r(3),2)＋eq \f(\r(3),2)＋eq \f(\r(3),3)－1＋1＝eq \f(\r(3),3).
(2)eq \f(sin(2π－α)cs(3π＋α)cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π＋α)),sin(－π＋α)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)π＋α)))＝
eq \f(sin(－α)cs(π＋α)cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)π＋α)),－sin(π－α)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)π＋α)))＝
eq \f(－sin α(－csα)sin α,－sin αcs α)＝－sin α.
13．设α为锐角，2tan(π－α)－3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋β))＝－5，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α＝( C )
A．eq \f(3\r(5),5)B．eq \f(3\r(7),7)
C．eq \f(3\r(10),10)D.eq \f(1,3)
解析：由条件可知－2tan α＋3sin β＝－5 ①，tan α－6sin β＝1 ②，①式×2＋②式可得tan α＝3，则sin α＝3cs α，又sin2α＋cs2α＝1，α为锐角，故可解得sin α＝eq \f(3\r(10),10).
14．已知sin(5π－θ)＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)π－θ))＝eq \f(\r(7),2)，则sin4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))＋cs4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π＋θ))的值为eq \f(23,32).
解析：∵sin(5π－θ)＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)π－θ))＝
sin(π－θ)＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))＝sin θ＋cs θ＝eq \f(\r(7),2)，∴sin θcs θ＝eq \f(1,2)[(sin θ＋cs θ)2－1]＝
eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(7),2)))\s\up12(2)－1))＝eq \f(3,8)，∴sin4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))＋cs4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π＋θ))＝cs4θ＋sin4θ＝(sin2θ＋cs2θ)2－2sin2θcs2θ＝1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,8)))eq \s\up12(2)＝eq \f(23,32).
15．是否存在角α，β，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，β∈(0，π)，使等式eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin(3π－α)＝\r(2)cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－β))，,\r(3)cs(－α)＝－\r(2)cs(π＋β)，))
同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．
解：由条件，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin α＝\r(2)sin β， ①,\r(3)cs α＝\r(2)cs β. ②))
①2＋②2，得sin2α＋3cs2α＝2， ③
又因为sin2α＋cs2α＝1， ④
由③④，得sin2α＝eq \f(1,2)，即sin α＝±eq \f(\r(2),2)，
因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，所以α＝eq \f(π,4)或α＝－eq \f(π,4).
当α＝eq \f(π,4)时，代入②，得cs β＝eq \f(\r(3),2)，
又β∈(0，π)，
所以β＝eq \f(π,6)，代入①可知符合．
当α＝－eq \f(π,4)时，代入②得cs β＝eq \f(\r(3),2)，
又β∈(0，π)，
所以β＝eq \f(π,6)，代入①可知不符合．
综上所述，存在α＝eq \f(π,4)，β＝eq \f(π,6)满足条件．