2024讲与练高中数学1(必修第一册·A版)5.4.2 第1课时　周期性和奇偶性

这是一份2024讲与练高中数学1(必修第一册·A版)5.4.2 第1课时　周期性和奇偶性，共5页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题， 填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单项选择题
1．下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是( D )
A．y＝sin 2xB．y＝cs 2x
C．y＝cs 2x＋1D.y＝sin 2x＋1
解析：对于A，sin 2(－x)＝－sin 2x，则y＝sin 2x为奇函数，排除；对于B，cs 2(－x)＝cs 2x，则y＝cs 2x为偶函数，排除；对于C，cs 2(－x)＋1＝cs 2x＋1，则y＝cs 2x＋1为偶函数，排除；对于D，令f(x)＝sin 2x＋1，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)))＋1＝0，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝sineq \f(π,2)＋1＝2，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))≠feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))≠－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))，则y＝sin 2x＋1既不是奇函数也不是偶函数．故选D.
2．若函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))的最小正周期为π，则ω＝( A )
A．±2B．2
C．±1D.1
解析：因为T＝eq \f(2π,|ω|)＝π，所以ω＝±2，故选A．
3．已知函数f(x)＝2cs(3x＋φ)，则“φ＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z”是“f(x)为奇函数”的( A )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：当φ＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z时，f(x)＝2cs(3x＋φ)＝－2sin 3x，所以f(x)为奇函数；当f(x)为奇函数时，φ＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，综上，“φ＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z”是“f(x)为奇函数”的充分不必要条件．故选A．
4．若函数f(x)满足：①f(x＋π)＝f(x)，②f(|x|)＝f(x)，则f(x)可以是( D )
A．sin 2xB．cs x
C．sin |x|D.|sin x|
解析：由题意可知，函数f(x)是周期为π的偶函数，函数y＝sin 2x是周期为π的奇函数，不符合题意；函数y＝cs x是周期为2π的偶函数，不符合题意；函数y＝sin |x|不具有周期性，不符合题意；函数y＝|sin x|是周期为π的偶函数，符合题意．故选D.
5．设f(x)是定义域为R，最小正周期为eq \f(3π,2)的函数，若f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(cs x，－\f(π,2)≤x≤0，,sin x，0A．1B．eq \f(\r(2),2)
C．0D.－eq \f(\r(2),2)
解析：f(x)是最小正周期为eq \f(3π,2)的函数，故得到feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15,4)π))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15,4)π＋\f(3,2)π×3))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)))＝sineq \f(3π,4)＝eq \f(\r(2),2).故选B．
二、多项选择题
6．已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2)))(x∈R)，下列结论正确的是( ABC )
A．函数f(x)的最小正周期为2π
B．函数f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上是增函数
C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称
D．函数f(x)是奇函数
解析：由题意，可得f(x)＝－cs x，T＝eq \f(2π,1)＝2π，A正确；y＝cs x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上是减函数，所以函数f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上是增函数，B正确；f(－x)＝－cs(－x)＝－cs x＝f(x)，所以函数是偶函数，所以其图象关于直线x＝0对称，C正确，D错误．故选ABC．
7．下列函数中最小正周期为π，且为偶函数的是( AC )
A．y＝|cs x|B．y＝sin 2x
C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))D.y＝cseq \f(1,2)x
解析：定义域为R，因为f(－x)＝
|cs(－x)|＝|cs x|＝f(x)，所以函数为偶函数，因为y＝|cs x|的图象是由y＝cs x的图象在x轴下方的关于x轴对称后与x轴上方的图象共同组成，如图所示，所以y＝|cs x|的最小正周期为π，A正确；
定义域为R，因为f(－x)＝sin(－2x)＝－sin 2x＝－f(x)，所以函数为奇函数，B错误；定义域为R，f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))＝cs 2x，最小正周期为π，因为f(－x)＝cs(－2x)＝cs 2x＝f(x)，所以函数为偶函数，C正确；定义域为R，最小正周期为eq \f(2π,\f(1,2))＝4π，D错误．故选AC．
三、 填空题
8．函数f(x)＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x,2)－\f(π,4)))，x∈R的最小正周期为4π．
解析：由题意得T＝eq \f(2π,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))))＝4π．
9．若f(x)＝x＋cs(x＋φ)是奇函数，则常数φ的一个取值为eq \f(π,2)(答案不唯一)．
解析：依题意，f(x)＝x＋cs(x＋φ)是奇函数，函数y＝x是奇函数，所以y＝cs(x＋φ)是奇函数，所以φ＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z.
10．已知函数f(x)＝sin ωx(ω>0)的最小正周期是16，则f(2)＝eq \f(\r(2),2).
解析：由周期公式可得T＝eq \f(2π,|ω|)＝16(ω>0)，所以ω＝eq \f(π,8)，所以f(x)＝sineq \f(π,8)x，所以f(2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)×2))＝sineq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2).
四、解答题
11．判断下列函数的奇偶性：
(1)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(5π,2)))；
(2)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))；
(3)y＝cs2eq \f(x,2)－sin2eq \f(x,2)；
(4)y＝eq \f(cs x,x).
解：(1)令y＝f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(5π,2)))＝－cs 2x，函数定义域为R，所以f(－x)＝－cs(－2x)＝
－cs 2x＝f(x)，故函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(5π,2)))为偶函数．
(2)函数定义域为R，令y＝f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))，
所以f(－x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2x－\f(π,4)))，则f(－x)≠f(x)，f(－x)≠－f(x)，故函数为非奇非偶函数．
(3)函数定义域为R，令y＝f(x)＝cs2eq \f(x,2)－sin2eq \f(x,2)，由f(－x)＝cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x,2)))－sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x,2)))＝cs2eq \f(x,2)－sin2eq \f(x,2)＝f(x)，得函数为偶函数．
(4)函数定义域为{x|x≠0}，令y＝f(x)＝eq \f(cs x,x)，所以f(－x)＝eq \f(cs(－x),－x)＝－eq \f(cs x,x)＝－f(x)，则函数为奇函数．
12．已知f(x)是周期为π的偶函数，且x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，f(x)＝1－sin x，求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10π,3)))，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(25π,6))).
解：∵T＝π，且f(x)为偶函数，
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10π,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3π＋\f(π,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝
1－sineq \f(π,3)＝1－eq \f(\r(3),2)，
feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(25π,6)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4π－\f(π,6)))＝
feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝1－sineq \f(π,6)＝eq \f(1,2).
13．设函数f(x)＝sineq \f(π,3)x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 023)＝( A )
A．eq \f(\r(3),2)B．－eq \f(\r(3),2)
C．0D.eq \r(3)
解析：∵f(x)＝sineq \f(π,3)x的周期T＝eq \f(2π,\f(π,3))＝6，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 023)＝337[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)]＋f(2 023)＝337eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(π,3)＋sin\f(2π,3)＋sin π＋sin\f(4π,3)＋sin\f(5π,3)＋sin 2π))＋f(337×6＋1)＝337×0＋f(1)＝sineq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2).故选A．
14．函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(k,2)x＋\f(π,3)))的周期不大于4，则整数k的最小值为( C )
A．2B．3
C．4D.5
解析：由T＝eq \f(2π,|ω|)，得T＝eq \f(2π,\f(k,2))＝eq \f(4π,k)，∵T≤4，∴eq \f(4π,k)≤4，∴k≥π，所以正整数k的最小值为4.故选C．
15．已知函数f(x)＝eq \f(sin2x＋cs x＋1,cs x＋1).
(1)求函数f(x)的定义域并判断函数的奇偶性；
(2)求函数f(x)的最小正周期．
解：(1)由cs x＋1≠0，得x≠2kπ＋π，k∈Z，所以函数f(x)的定义域为{x|x≠2kπ＋π，k∈Z}，
f(x)＝eq \f(sin2x＋cs x＋1,cs x＋1)＝
eq \f(1－cs2x＋cs x＋1,cs x＋1)＝
eq \f(－cs2x＋cs x＋2,cs x＋1)＝
eq \f((cs x＋1)(2－cs x),cs x＋1)＝2－cs x.
因为f(－x)＝f(x)，且函数f(x)的定义域关于坐标原点对称，故函数f(x)为偶函数．
(2)因为f(x)＝2－cs x(x≠2kπ＋π，k∈Z)，所以f(x)的最小正周期为2π．