2024讲与练高中数学1(必修第一册·A版)第3章 函数的概念与性质

这是一份2024讲与练高中数学1(必修第一册·A版)第3章 函数的概念与性质，共153页。试卷主要包含了1　函数的概念及其表示，故选D.等内容，欢迎下载使用。

3．1.1 函数的概念(1)
对应学生用书第048页
知识点 函数的概念
(1)A，B是非空的实数集．
(2)定义域是非空的实数集A，但函数的值域不一定是非空实数集B，而是集合B的子集．
(3)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空实数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空实数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．
判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
1．任何两个集合之间都可以建立函数关系．( × )
2．函数的定义域必须是数集，值域可以为其他集合．( × )
3．根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.( × )
4．在函数的定义中，集合B是函数的值域．( × )
5．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，则从A到B的函数f(x)有8个．( √ )
对应学生用书第048页
类型一 函数的概念
【例1】 (1)(多选题)以下从M到N的对应关系表示函数的是( AB )
A.M＝R，N＝{y|y≥0}，f：x→y＝|x|
B.M＝{x|x≥2，x∈N*}，N＝{y|y≥0，y∈N*}，f：x→y＝x2－2x＋2
C.M＝{x|x>0}，N＝R，f：x→y＝±eq \r(x)
D.M＝R，N＝R，f：x→y＝eq \f(1,x)
【解析】 M＝R，N＝{y|y≥0}，f：x→y＝|x|，集合M中的任何一个元素，在集合N中都有唯一元素和它对应，满足函数的定义；M＝{x|x≥2，x∈N*}，N＝{y|y≥0，y∈N*}，f：x→y＝x2－2x＋2，M中任一元素，在N中都有唯一的元素与之对应，满足函数的定义；M＝{x|x>0}，N＝R，f：x→y＝±eq \r(x)，M中任一元素，在N中都有两个对应的元素，不满足函数的定义；M＝R，N＝R，f：x→y＝eq \f(1,x)，M中元素0，在N中无对应的元素，不满足函数的定义．故选AB.
(2)下列图象中，可作为函数图象的是①③④.(填序号)
【解析】 ②⑤中存在一个x的值，y有两个值与之对应，所以不是函数图象，①③④符合函数定义．
1．判断一个对应关系是否为函数的方法
(1)任取一条垂直于x轴的直线l；
(2)在定义域内平行移动直线l；
(3)若直线l与图形有且只有一个交点，则是函数，若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．
【变式训练1】 (1)中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“functin”译作“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”．已知集合M＝{－1，1，2，4}，N＝{1，2，4，16}，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中构成从M到N的函数的是( C )
A.y＝2xB.y＝x＋2
C.y＝2|x|D.y＝x2－1
解析：当x＝－1时，y＝－2∉N，故A错误；当x＝1时，y＝1＋2＝3∉N，故B错误；当x＝－1时，y＝2|－1|＝2∈N，当x＝1时，y＝2|1|＝2∈N，当x＝2时，y＝2|2|＝4∈N，当x＝4时，y＝2|4|＝16∈N，即任取x∈M，总有y＝2|x|∈N，故C正确；当x＝－1时，y＝(－1)2－1＝0∉N，故D错误．故选C．
(2)设集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤4}，则下列图象能表示集合P到集合Q的函数关系的有( D )

A B C D
解析：由函数的定义知A的定义域不是P，不符合题意；B，C中集合P中有的元素在集合Q中对应两个函数值，不符合函数定义；D能表示集合P到集合Q的函数关系．故选D．
类型二 函数的三要素
【例2】 (1)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的定义域为{x|－2≤x≤4，或5≤x≤8}，值域为{y|－4≤y≤3}．
【解析】 根据y＝f(x)的函数图象可看出，f(x)的定义域为{x|－2≤x≤4，或5≤x≤8}，值域为{y|－4≤y≤3}．
(2)若已知函数f(x)＝x2，x∈{－1，0，1}，则函数的值域为{0，1}．
【解析】 由x∈{－1，0，1}，代入f(x)＝x2，得f(－1)＝1，f(0)＝0，f(1)＝1，根据集合元素的互异性，得函数的值域为{0，1}．
关于函数的三要素
(1)函数的定义域即集合A，在坐标系中是横坐标x的取值范围．
(2)函数的值域并不是集合B，是函数值的集合{f(x)|x∈A}，在坐标系中是纵坐标的取值范围．
(3)函数的对应关系f反映了自变量x的运算、对应方法，通过这种运算，对应得到唯一的函数值y.
【变式训练2】 (1)函数y＝f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1，x>0，,0，x＝0，,－1，x<0))的值域是( D )
A.RB.{y|－1≤y≤1}
C.{－1，1}D.{－1，0，1}
(2)已知f(x)由下表表示．
则函数f(x)的定义域是{1，2，3}，值域是{1，2}．
解析：利用函数的定义域和值域的定义可知函数f(x)的定义域是{1，2，3}，值域是{1，2}．
类型三 构建问题情境
【例3】 已知矩形的面积为10，如图所示，试借助该图形构建问题情境描述下列变量关系．
(1)f(x)＝eq \f(10,x)；
(2)f(x)＝2x＋eq \f(20,x)；
(3)f(x)＝eq \f(\r(x4＋100),x).
【解】 (1)设矩形的长为x，宽为f(x)，那么f(x)＝eq \f(10,x).
其中x的取值范围A＝{x|x>0}，f(x)的取值范围B＝{f(x)|f(x)>0}，对应关系f把每一个矩形的长x，对应到唯一确定的宽eq \f(10,x).
(2)设矩形的长为x，周长为f(x)，那么f(x)＝2x＋eq \f(20,x).
其中x的取值范围A＝{x|x>0}，f(x)的取值范围B＝{f(x)|f(x)≥4eq \r(10)}，对应关系f把每一个矩形的长x，对应到唯一确定的周长2x＋eq \f(20,x).
(3)设矩形的长为x，对角线长为f(x)，那么f(x)＝eq \f(\r(x4＋100),x).
其中x的取值范围A＝{x|x>0}，f(x)的取值范围B＝{f(x)|f(x)≥2eq \r(5)}，对应关系f把每一个矩形的长x，对应到唯一确定的对角线长eq \f(\r(x4＋100),x).
构建问题情境的步骤
(1)综合考虑构建具体的实际问题；
(2)赋予每个变量具体的实际意义；
(3)根据变量关系，设计出所求的实际问题．
【变式训练3】 下列构建的问题情境中的变量关系不可以用同一个解析式来描述的是( C )
A.某商品的售价为2(单位：元/件)，销量为x(单位：件)，销售额为y(单位：元)，那么y＝2x，其中，x的取值范围是A＝N，y的取值范围是B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(y\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(\f(y,2)∈N)))).对应关系f把商品的每一个销量x，对应到唯一确定的销售额2x
B.把y＝2x(x∈N)看成一次函数，那么它的定义域是N，值域是B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(y\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(\f(y,2)∈N)))).对应关系f把定义域中的任意一个数x，对应到B中唯一确定的数2x
C.某物体做匀速运动，速度为2(单位：米/秒)，运动时间为x(单位：秒)，路程为y(单位：米)，那么y＝2x，其中，x的取值范围是A＝{x|x≥0}，y的取值范围是B＝{y|y≥0}．对应关系f把物体的每个时间x，对应到唯一确定的路程2x
D.某品牌汽车的装货量为2(单位：吨/台)，汽车数量为t(单位：台)，运载量为z(单位：吨)，那么z＝2t，其中，t的取值范围是A＝N，z的取值范围是B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(z\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(\f(z,2)∈N)))).对应关系f把每一个汽车数量t，对应到唯一确定的运载量2t
对应学生用书第050页
1．在自然界中，某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表所示：
下面的函数关系式中，能表达这种关系的是( A )
A.y＝2x－1
B.y＝x2－1
C.y＝2x＋1
D.y＝1.5x2－2.5x＋2
解析：根据题表中数据可判断函数为一次函数，将各数据代入y＝2x－1中均成立，故选A．
2．函数y＝x2－1的值域为{y|y≥－1}．
解析：函数的值域为{y|y≥－1}．
3．由“不超过x的最大整数”这一关系所确定的函数称为取整函数，通常记为y＝[x]，如[1.2]＝1，[－0.3]＝－1，则函数y＝2[x]＋1，x∈[－1，3)的值域为{－1，1，3，5}．
解析：由取整函数定义可知：当－1≤x<0时，[x]＝－1；当0≤x<1时，[x]＝0；当1≤x<2时，[x]＝1；当2≤x<3时，[x]＝2，所以相应的y值分别为－1，1，3，5.所以y的值域为{－1，1，3，5}．
4．如果函数f：A→B，其中A＝{－3，－2，－1，1，2，3，4}，对于任意a∈A，在B中都有唯一确定的|a|和它对应，则函数的值域为{1，2，3，4}．
解析：由题意知，对a∈A，|a|∈B，故函数值域为{1，2，3，4}．
5．下表表示y是x的函数，则该函数的定义域是{x|0解析：依题意可知，函数的定义域为{x|01．知识回顾
(1)函数的概念．
(2)函数的三要素．
(3)构建问题情境．
2．易错提醒
函数概念的理解．
课时作业16对应学生用书第246页
一、单项选择题
1．已知集合M＝{－1，1，2，4}，N＝{1，2，4}，给出下列四个对应关系，其中能构成从M到N的函数的是( D )
A.y＝x2B.y＝x＋1
C.y＝x－1D.y＝|x|
解析：只有y＝|x|是符合题意的对应关系．
2．下图中，能作为函数y＝f(x)的图象的是( D )

A B C D
解析：对于A，B，C，可以找到一个x与两个y对应的情形；对于D，每个x都有唯一的y值与其对应，因此，D可以表示函数y＝f(x)．故选D.
3．设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列五个图形：

其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是( C )
A.0B.1
C.2D.3
解析：对于①，因为在集合M中当14．一等腰三角形的周长是20，底边y是关于腰长x的函数，它的解析式为( D )
A.y＝20－2x(x≤10)
B.y＝20－2x(x<10)
C.y＝20－2x(5≤x≤10)
D.y＝20－2x(5解析：依题意得2x＋y＝20，所以y＝20－2x，由三角形三边关系可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y<2x，,y>0，))即0<20－2x<2x，解得55.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(千帕)是气球体积V(立方米)的反比例函数，其图象如图所示，则这个函数的解析式为( D )
A.p＝－eq \f(69,V)
B.p＝eq \f(－96,V)
C.p＝eq \f(69,V)
D.p＝eq \f(96,V)
解析：因为气球内气体的气压是气球体积的反比例函数，所以可设p＝eq \f(k,V)(k≠0)，由题意可知，点A(1.5，64)在函数图象上，所以64＝eq \f(k,1.5)，解得k＝96，故p＝eq \f(96,V).
二、多项选择题
6．下列集合A到集合B的对应关系f是函数的是( AD )
A.A＝{－1，0，1}，B＝{0，1}，f：A中的数平方
B.A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数开平方
C.A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数
D.A＝R，B＝{x|x≥0}，f：A中的数取绝对值
解析：按照函数定义，对于B，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量对应唯一的函数值的条件；对于C，集合A中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应着唯一的函数值的要求；A和D符合函数的定义．
7．下面选项中，变量y是变量x的函数的是( ABD )
A.x表示某一天中的时刻，y表示对应的某地区的气温
B.x表示年份，y表示对应的某地区的GDP(国内生产总值)
C.x表示某地区的学生某次数学考试成绩，y表示该地区学生对应的考试号
D.x表示某人的月收入，y表示对应的个税
解析：ABD均满足函数的定义，C选项，同一个分数可以对应多个考试号，不满足对于任意的x，都有唯一的y与其对应，故C错误．故选ABD．
三、 填空题
8．已知函数f(x)＝2x－3，x∈{x∈N|1≤x≤5}，则函数f(x)的值域为{－1，1，3，5，7}．
解析：∵x＝1，2，3，4，5，f(x)＝2x－3，∴函数值分别为－1，1，3，5，7，即值域为{－1，1，3，5，7}．
9．已知集合M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(y＝\f(1,x)))))，N＝{y|y＝x2－1}，则M∩N＝{x|－1≤x<0，或x>0}．
解析：因为M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(y＝\f(1,x)))))＝{x|x≠0}，N＝{y|y＝x2－1}＝{y|y≥－1}，因此M∩N＝{x|－1≤x<0，或x＞0}．
10．已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤4}，则下列对应关系能够构成以A为定义域，B为值域的函数的是①②③⑤.(填序号)
①y＝2x；②y＝x2；③y＝|4－2x|；④y＝x＋5；⑤y＝(x－2)2.
解析：对于①，y＝2x，当定义域为A＝{x|0≤x≤2}时，显然其值域为B＝{y|0≤y≤4}，故①满足条件；显然②③⑤同样也满足条件；对于④，y＝x＋5，若其定义域为A＝{x|0≤x≤2}，则其值域为{y|5≤y≤7}，因此④不满足条件．
四、解答题
11．根据图中的函数图象，求出函数的定义域和值域．
解：题图1，定义域为{x|0≤x<3}，值域为{y|0≤y≤1，或y＝2}；
题图2，定义域为{x|x≥－2}，值域为{y|y≥0}；
题图3，定义域为R，值域为{y|－1≤y≤1}．
12．构建一个问题情境，使其中的变量关系能用解析式y＝2eq \r(x)来描述．
解：某企业生产一种产品的利润是投资额的算术平方根的2倍，设投资额为x，利润为y，那么y＝2eq \r(x).其中x的取值范围A＝{x|x≥0}，y的取值范围B＝{y|y≥0}，对应关系f把每一笔投资额对应到唯一确定的利润2eq \r(x).(答案不唯一)
13．(多选题)下列从集合M到集合N的对应关系中，对应关系f是集合M上的一个函数的是( AC )
A.M＝{x|x∈Z}，N＝{y|y∈Z}，对应关系f：y＝x
B.M＝{x|x>0，x∈R}，N＝{y|y∈R}，对应关系f：y＝±2x
C.M＝{x|x∈R}，N＝{y|y∈R}，对应关系f：y＝x2
D.M＝{x|x∈R}，N＝{y|y∈R}，对应关系f：y＝eq \f(2,x)
解析：M中的每个元素在N中都有唯一的元素与之对应，f是M上的一个函数，A正确；M中的每个元素在N中都有两个不同的元素与之对应，f不是M上的一个函数，B错误；M中的每个元素在N中都有唯一的元素与之对应，f是M上的一个函数，C正确；M中的元素0在N中没有元素与之对应，f不是M上的一个函数，D错误．故选AC．
14．能说明命题“如果函数f(x)与g(x)的对应关系和值域相同，那么函数f(x)和g(x)是同一函数”为假命题的一组函数可以是f(x)＝x2，x∈{x|－115．试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式y＝eq \f(10,x)(x∈{x|x>0})来描述．
解：直角三角形的面积为5，设一条直角边长为x，另一条直角边长为y，那么y＝eq \f(10,x).其中，x的取值范围是A＝{x|x>0}，y的取值范围是B＝{y|y>0}．对应关系f把每一个直角三角形的一条直角边长x，对应到唯一确定的另一条直角边长eq \f(10,x).(答案不唯一)
3．1.1 函数的概念(2)
对应学生用书第051页
知识点一 区间的概念
实数集R为(－∞，＋∞)，其中“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．
知识点二 常见函数的定义域、值域
1.一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为R，值域是R.
2.反比例函数f(x)＝eq \f(k,x)(k≠0)的定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y≠0}．
3.二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R， 当a>0时，值域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))，
当a<0时，值域为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(4ac－b2,4a))).
4.函数f(x)＝eq \r(x)的定义域为{x|x≥0}，值域为{y|y≥0}．
知识点三 同一个函数
判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
1．集合{x|x<－2，或x≥0}表示成区间为(－∞，－2)∪[0，＋∞)．( √ )
2．已知函数的定义域和对应关系就可以确定一个函数．( √ )
3．区间是数集的另外一种表示形式，任何数集都可用区间表示．( × )
4．两个函数的定义域和值域分别对应相同就表示同一函数．( × )
5．函数f(x)＝x，g(x)＝eq \f(x2,x)不是同一函数．( √ )
对应学生用书第052页
类型一 区间的概念
【例1】 (1)将下列集合用区间表示出来．
①{x|x<3}；
②{x|x≥0}；
③{x|－2≤x<3}；
④{x|x<1，或2≤x≤4}．
【解】 ①{x|x<3}用区间表示为(－∞，3)；
②{x|x≥0}用区间表示为[0，＋∞)；
③{x|－2≤x<3}用区间表示为[－2，3)；
④{x|x<1，或2≤x≤4}用区间表示为(－∞，1)∪[2，4]．
(2)定义：闭区间[a，b]的长度为b－a.则不等式x2＋2x－8≤0的解集区间长度为6；若不等式|x－1|≤m的解集区间长度为6，则实数m的值是3.
【解析】 不等式x2＋2x－8≤0等价于(x－2)(x＋4)≤0，解得－4≤x≤2，所以不等式x2＋2x－8≤0的解集区间长度为2－(－4)＝6.由不等式|x－1|≤m可得－m≤x－1≤m，解得－m＋1≤x≤m＋1，因为不等式|x－1|≤m的解集区间长度为6，所以m＋1－(－m＋1)＝6，解得m＝3.
用区间表示数集时要注意的点
(1)区间左端点值小于右端点值．
(2)区间两端点之间用“，”隔开．
(3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号．
(4)以“－∞”“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号．
【变式训练1】 (1)用区间表示下列集合：
①{x|－2②不等式－2x<－4的所有解组成的集合．
解：①{x|－2②由－2x<－4得x>2，故原不等式的解集为(2，＋∞)．
(2)若[0，3a－1]为一确定区间，则a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，＋∞)).
解析：根据区间表示数集的方法原则可知，3a－1>0，解得a>eq \f(1,3)，所以a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，＋∞)).
类型二 函数的定义域与函数值
【例2】 (1)函数f(x)＝eq \f(2x－1,\r(x2－3x－4))的定义域是(－∞，－1)∪(4，＋∞)．
【解析】 对于函数f(x)＝eq \f(2x－1,\r(x2－3x－4))，则有x2－3x－4>0，解得x<－1或x>4.故函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(4，＋∞)．
(2)函数y＝eq \f(1,x－1)＋eq \r(x＋1)的定义域为[－1，1)∪(1，＋∞)．(用区间表示)
【解析】 由函数y＝eq \f(1,x－1)＋eq \r(x＋1)有意义，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－1≠0，,x＋1≥0，))解得x≥－1且x≠1，所以函数y＝eq \f(1,x－1)＋eq \r(x＋1)的定义域为[－1，1)∪(1，＋∞)．
(3)已知函数f(x)＝eq \f(x＋1,x＋2).
①求f(2)；
②求f(f(1))．
【解】 ①∵f(x)＝eq \f(x＋1,x＋2)，
∴f(2)＝eq \f(2＋1,2＋2)＝eq \f(3,4).
②∵f(1)＝eq \f(1＋1,1＋2)＝eq \f(2,3)，
∴f(f(1))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))＝eq \f(\f(2,3)＋1,\f(2,3)＋2)＝eq \f(5,8).
(4)已知函数f(x)＝x＋eq \f(m,x)，且f(1)＝eq \f(5,2)，则实数m的值为eq \f(3,2).
【解析】 由f(1)＝1＋eq \f(m,1)＝1＋m＝eq \f(5,2)⇒m＝eq \f(3,2).
1．求函数的定义域应关注三点
(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0.
(2)不对解析式化简变形，以免定义域变化．
(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．
2.求函数值的方法
(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值．
(2)已知f(x)与g(x)，求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则．
【变式训练2】 (1)函数f(x)＝eq \f(|2－x|,\r(x＋2))＋eq \f(1,2x＋3)的定义域是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x>－2，且x≠－\f(3,2))))).
解析：依题意有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋2>0，,2x＋3≠0，))解得x>－2且x≠－eq \f(3,2)，所以f(x)的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x>－2，且x≠－\f(3,2))))).
(2)已知f(x)＝eq \f(1,1＋x)(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．
①求f(2)，g(2)的值；
②求f(g(3))的值．
解：①∵f(x)＝eq \f(1,1＋x)，
∴f(2)＝eq \f(1,1＋2)＝eq \f(1,3).
又∵g(x)＝x2＋2，
∴g(2)＝22＋2＝6.
②∵g(3)＝32＋2＝11，
∴f(g(3))＝f(11)＝eq \f(1,1＋11)＝eq \f(1,12).
(3)已知函数f(x)＝|x－a|－eq \f(4,x)＋a，若f(2)＝4，则实数a的值为4.
解析：由f(2)＝|2－a|－2＋a＝4，可得|2－a|＝6－a，则a≤6，将等式|2－a|＝6－a两边平方可得a＝4.
类型三 同一函数
【例3】 下列各组函数是同一函数的是( B )
①f(x)＝x与g(x)＝(eq \r(x))2；
②f(x)＝|x|与g(x)＝eq \r(x2)；
③f(x)＝eq \r(x＋1)•eq \r(x－1)与g(x)＝eq \r(x2－1)；
④f(x)＝x2－1与g(t)＝t2－1.
A.①②B.②④
C.①③D.③④
【解析】 对于①，函数f(x)＝x的定义域为R，函数g(x)＝(eq \r(x))2的定义域为[0，＋∞)，定义域不同，故不是同一函数；对于②，函数f(x)＝|x|的定义域为R，函数g(x)＝eq \r(x2)＝|x|定义域为R，且两函数的对应关系也相同，故为同一函数；对于③，函数f(x)＝eq \r(x＋1)•eq \r(x－1)的定义域满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋1≥0，,x－1≥0))⇒x≥1，则定义域为[1，＋∞)，函数g(x)＝eq \r(x2－1)定义域满足x2－1≥0⇒x≤－1或x≥1，则定义域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)，定义域不同，故不是同一函数；对于④，函数f(x)＝x2－1的定义域为R，函数g(t)＝t2－1的定义域为R，且两函数的对应关系也相同，故为同一函数．故选B．
判断两个函数为同一函数应注意的三点
(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一函数．
(2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、函数值是没有限制的．
(3)在化简解析式时，必须是等价变形．
【变式训练3】 (1)下列函数与函数y＝x＋1是同一个函数的是( B )
A.y＝(eq \r(x＋1))2B.u＝eq \r(3,(v＋1)3)
C.y＝eq \r((x＋1)2)D.m＝eq \f(n2,n)＋1
解析：y＝x＋1的定义域为R，而y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x＋1)))eq \s\up12(2)的定义域为[－1，＋∞)，故A错误；m＝eq \f(n2,n)＋1的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故D错误；y＝eq \r((x＋1)2)＝|x＋1|，与y＝x＋1对应关系不一致，故C错误；u＝eq \r(3,(v＋1)3)＝v＋1，定义域为R，与y＝x＋1对应关系一致，故B正确．
(2)(多选题)下列各组函数中，两个函数是同一函数的有( BC )
A.f(x)＝eq \r(x2－4)与g(x)＝eq \r(x＋2)•eq \r(x－2)
B.f(x)＝|x|与g(x)＝|eq \r(3,x3)|
C.f(x)＝eq \f(|x|,x)与g(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－1，x<0，,1，x>0))
D.f(x)＝x2－x－1与g(t)＝t2－t＋1
解析：函数f(x)＝eq \r(x2－4)的定义域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)，g(x)＝eq \r(x＋2)•eq \r(x－2)的定义域为[2，＋∞)，故A错误；f(x)＝|x|与g(x)＝|eq \r(3,x3)|的定义域为R，且g(x)＝|eq \r(3,x3)|＝|x|，是同一函数，故B正确；函数f(x)＝eq \f(|x|,x)与g(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－1，x<0，,1，x>0))的定义域均为{x|x≠0}，且f(x)＝eq \f(|x|,x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－1，x<0，,1，x>0，))是同一函数，故C正确；f(x)＝x2－x－1与g(t)＝t2－t＋1的定义域均为R，但对应关系不相同，故D错误．故选BC．
素养落实
数学抽象核心素养下的“复合函数”的定义域问题
【典例】 已知函数y＝f(3x－2)的定义域为[－2，3]，则函数y＝eq \f(f(x),\r(x＋5))的定义域为(－5，7]．
【解析】 因为y＝f(3x－2)的定义域为[－2，3]，所以3x－2∈[－8，7]，即y＝f(x)的定义域为[－8，7]；因为x＋5>0，所以x>－5，所以y＝eq \f(f(x),\r(x＋5))的定义域为(－5，7]．
抽象函数的定义域
(1)已知f(x)的定义域为[a，b]，求f(g(x))的定义域时，不等式a≤g(x)≤b的解集即定义域．
(2)已知f(g(x))的定义域为[c，d]，求f(x)的定义域时，求出g(x)在[c，d]上的范围(值域)即定义域．
【变式训练】 已知函数f(x－1)的定义域为[2，4]，则f(2x＋3)的定义域为[－1，0]．
解析：函数f(x－1)的定义域为[2，4]，即2≤x≤4，1≤x－1≤3，所以对于f(2x＋3)有1≤2x＋3≤3，－1≤x≤0，所以f(2x＋3)的定义域为[－1，0]．
对应学生用书第054页
1．区间(0，1)等于( C )
A.{0，1}B.{(0，1)}
C.{x|0解析：区间(0，1)表示由02．设集合A＝{x|x2－3x＋2≤0}，集合B＝{x|2x－3≤0}，则A∩B＝( D )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,2)))∪(2，＋∞)
B.(－∞，1)
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,2)))
D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))
解析：由题知A＝{x|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|2x－3≤0}＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≤\f(3,2)))))，∴A∩B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(1≤x≤\f(3,2)))))，即A∩B＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2))).故选D．
3．已知集合A＝{x|y＝eq \r(3－x)，x∈N}，B＝{0，1，2，3，4}，则A，B间的关系是( D )
A.A＝BB.B⊆A
C.A∈BD.A⊆B
解析：A＝{x|y＝eq \r(3－x)，x∈N}＝{0，1，2，3}，B＝{0，1，2，3，4}，故A⊆B.
4．若[a，5a－2]为一个确定区间，则实数a的取值范围是a>eq \f(1,2).
解析：由题设知5a－2>a，可得a>eq \f(1,2).
5．已知函数f(x)＝x2＋x－1，若f(x)＝5，则x＝2或－3.
解析：由题意得x2＋x－1＝5，解得x＝2或x＝－3.
1．知识回顾
(1)区间的表示．
(2)求简单函数的定义域和函数值．
(3)判断是否为同一个函数．
(4)求抽象函数的定义域．
2．易错提醒
不会用整体代换的思想求抽象函数的定义域．
课时作业17对应学生用书第248页
一、单项选择题
1．函数f(x)＝x＋eq \r(2－x)的定义域是( C )
A.{x|x≥2}B.{x|x>2}
C.{x|x≤2}D.{x|x<2}
解析：要使函数有意义，则2－x≥0，即x≤2.所以函数的定义域为{x|x≤2}．
2．函数y＝eq \f(1,\r(x2－4))的定义域为( D )
A.(－∞，2)
B.(2，＋∞)
C.(－∞，－2]∪[2，＋∞)
D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
解析：依题意，x2－4>0，解得x<－2或x>2，∴函数的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．故选D．
3．已知函数f(x)的定义域为(－1，1)，则函数g(x)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)))＋f(x－2)的定义域为( B )
A.(0，2)B.(1，2)
C.(2，3)D.(－1，1)
解析：由题意知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－1<\f(x,2)<1，,－14．若f(x)＝2x－1，则f(f(x))＝( C )
A.2x－1B.4x－2
C.4x－3D.2x－3
解析：f(f(x))＝f(2x－1)＝2(2x－1)－1＝4x－3.
5．已知函数f(x－1)的定义域为{x|－2≤x≤3}，则函数f(2x＋1)的定义域为( D )
A.{x|－1≤x≤9}
B.{x|－3≤x≤7}
C.{x|－2≤x≤1}
D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(－2≤x≤\f(1,2)))))
解析：∵函数y＝f(x－1)的定义域为{x|－2≤x≤3}，∴－2≤x≤3，则－3≤x－1≤2，即函数f(x)的定义域为{x|－3≤x≤2}．∴对函数f(2x＋1)，有－3≤2x＋1≤2，解得－2≤x≤eq \f(1,2).即函数f(2x＋1)的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(－2≤x≤\f(1,2))))).
二、多项选择题
6．下列四组函数中，不表示同一函数的一组是( ACD )
A.f(x)＝x－1(x∈R)，g(x)＝x－1(x∈N)
B.f(x)＝|x|，g(x)＝eq \r(x2)
C.f(x)＝eq \r(x＋1)•eq \r(x－1)，g(x)＝x＋1
D.f(x)＝eq \f(x2－1,x－1)，g(x)＝x＋1
解析：f(x)＝x－1(x∈R)，g(x)＝x－1(x∈N)，这两个函数的定义域不相同，所以不表示同一函数；g(x)＝eq \r(x2)＝|x|＝f(x)，且定义域相同，两个函数表示同一函数；对于f(x)＝eq \r(x＋1)•eq \r(x－1)，故eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋1≥0，,x－1≥0))⇒x≥1，所以f(x)的定义域是[1，＋∞)，而g(x)＝x＋1的定义域是R，所以不表示同一函数；f(x)＝eq \f(x2－1,x－1)的定义域是{x|x≠1}，g(x)＝x＋1的定义域是R，所以不表示同一函数．故选ACD．
7．在下列函数中，值域是(0，＋∞)的是( AC )
A.y＝2x＋1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x>－\f(1,2)))
B.y＝x2
C.y＝eq \f(1,\r(x2－1))
D.y＝eq \f(2,x)
解析：A中函数的值域为{y|y>0}；B中函数的值域为{y|y≥0}；C中函数的值域为{y|y>0}；D中函数的值域为{y|y∈R且y≠0}．
三、 填空题
8．已知区间(a2＋a＋1，7]，则实数a的取值范围是(－3，2)．
解析：由题意可知a2＋a＋1<7，即a2＋a－6<0，解得－39．函数f(x)＝eq \r(x＋1)＋eq \f(1,x)的定义域为[－1，0)∪(0，＋∞)．
解析：由题意，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋1≥0，,x≠0，))故x≥－1且x≠0.所以函数的定义域为[－1，0)∪(0，＋∞)．
10．已知f(x2－1)的定义域为[0，3]，则f(x)的定义域是[－1，8]．
解析：根据f(x2－1)的定义域为[0，3]，得x2∈[0，9]，所以x2－1∈[－1，8]，即f(x)的定义域为[－1，8]．
四、解答题
11．已知函数f(x)＝x2＋x－1.
(1)求f(2)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))，f(a＋1)；
(2)若f(x)＝11，求x.
解：(1)f(2)＝22＋2－1＝5，
feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(1,x2)＋eq \f(1,x)－1＝eq \f(1＋x－x2,x2)，f(a＋1)＝(a＋1)2＋(a＋1)－1＝a2＋3a＋1.
(2)f(x)＝x2＋x－1＝11，整理得x2＋x－12＝0，解得x＝－4或x＝3.
12．(1)求函数f(x)＝eq \f(\r(x－4),|x|－5)的定义域．
(2)已知函数f(3x＋1)的定义域为[1，7]，求函数f(x)的定义域．
解：(1)要使该函数有意义，只需
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－4≥0，,|x|－5≠0，))解得x≥4，且x≠5.
所以该函数的定义域为{x|x≥4，且x≠5}．
(2)因为f(3x＋1)的定义域为[1，7]，所以1≤x≤7，所以4≤3x＋1≤22，
令3x＋1＝t，则4≤t≤22，
即f(t)中，t∈[4，22]，
故f(x)的定义域为[4，22]．
13．在实数的原有运算中，我们定义新运算“”如下：当a≥b时，ab＝a；当aA.[－1，2]B.[－2，1]
C.[0，1]D.[0，2]
解析：由题意知，当x∈[－2，1]时，f(x)＝－1；当x∈(1，2]时，f(x)＝x2－2∈(－1，2]．所以当x∈[－2，2]时，f(x)∈[－1，2]．故选A．
14．已知函数f(2x－3)的定义域为[－1，4]，设函数F(x)＝eq \f(f(1－2x),\r(8x－x2－7))，则函数F(x)的定义域是(1，3]．
解析：因为函数f(2x－3)的定义域为[－1，4]，所以－1≤x≤4，－5≤2x－3≤5，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－5≤1－2x≤5，,－x2＋8x－7>0，))解得115．已知函数f(x)对任意实数x，y都有f(xy)＝f(x)＋f(y)成立．
(1)求f(0)和f(1)的值；
(2)若f(2)＝a，f(3)＝b(a，b均为常数)，求f(36)的值．(用a，b表示)
解：(1)令x＝y＝0，则f(0)＝2f(0)，
∴f(0)＝0，
令x＝y＝1，则f(1)＝2f(1)，
∴f(1)＝0.
(2)令x＝2，y＝3，则f(6)＝f(2)＋f(3)＝a＋b，
令x＝y＝6，则f(36)＝2f(6)＝2(a＋b)，
∴f(36)＝2(a＋b)．
3．1.2 函数的表示法(1)
对应学生用书第055页
知识点 函数的三种表示方法
判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
1．函数y＝x－1(x≥0)的图象是一条射线．( √ )
2．函数f(x)＝x，x∈Z的图象是一条直线．( × )
3．任何一个函数都可以用列表法表示．( × )
4．任何一个函数都可以用图象法表示．( × )
5．函数的图象一定是其定义域上的一条连续不断的曲线．( × )
对应学生用书第055页
类型一 函数的表示方法
【例1】 中秋节到了，小明想买几块月饼，已知每块月饼的单价是6元，买x(x∈{1，2，3，4，5，6})块月饼需要y元，你能用函数的三种表示方法表示函数y＝f(x)吗？
【解】 函数的定义域是数集{1，2，3，4，5，6}，用解析法可将函数表示为
f(x)＝6x，x∈{1，2，3，4，5，6}．
列表法可将函数表示为
图象法可将函数表示如下：
函数的三种表示法的选择和应用的注意点
(1)解析法必须注明函数的定义域．
(2)列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应关系．
(3)图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”．
(4)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．
【变式训练1】 某公共汽车，行进的站数与票价关系如下表：
此函数的关系除了列表法之外，能否用其他的方法表示？
解：根据题意，可知除了列表法之外，还可以用解析法和图象法表示．
解析法：设票价为y元，行进站数为x，则y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1，x＝1，2，3，,2，x＝4，5，6，,3，x＝7，8，9.))
图象法如下：
类型二 作函数的图象
【例2】 作出下列函数的图象：
(1)y＝2x＋1，x∈[0，2]；
(2)y＝eq \f(2,x)，x∈[2，＋∞)；
(3)y＝x2＋2x，x∈[－2，2]．
【解】 (1)当x∈[0，2]时，图象是一次函数y＝2x＋1的一部分，如图所示．
(2)当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝eq \f(2,x)的一部分，如图所示．
(3)当－2≤x≤2时，图象是抛物线y＝x2＋2x的一部分，如图所示．
作函数y＝f(x)图象的方法
(1)若y＝f(x)是已学过的函数，则描出图象上的几个关键点，直接画出图象即可，有些可能需要根据定义域进行取舍．
(2)若y＝f(x)不是所学过的函数之一，则要按：①列表；②描点；③连线三个基本步骤作出y＝f(x)的图象．
【变式训练2】 作出下列函数的图象：
(1)y＝1－x(x∈Z)；
(2)y＝x2－4x＋3，x∈[1，3]．
解：(1)因为x∈Z，所以图象为直线y＝1－x上的孤立点，其图象如图1所示．
(2)y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，当x＝1，3时，y＝0；当x＝2时，y＝－1，其图象如图2所示．
类型三 求简单函数的值域
【例3】 求下列函数的值域：
(1)y＝2x＋1，x∈{1，2，3，4，5}；
(2)y＝x2－4x＋6，x∈[1，5]；
(3)y＝eq \f(2x＋1,x)；
(4)y＝eq \f(3x＋2,x－1).
【解】 (1)∵y＝2x＋1，且x∈{1，2，3，4，5}，∴y∈{3，5，7，9，11}．
∴函数的值域为{3，5，7，9，11}．
(2)配方得y＝(x－2)2＋2.∵x∈[1，5]，画函数图象如图所示．
由图知，2≤y≤11，即函数的值域为[2，11]．
(3)y＝eq \f(2x＋1,x)＝2＋eq \f(1,x)，故该函数是由反比例函数y＝eq \f(1,x)向上平移了2个单位长度得到的，故值域为{y|y≠2}．
(4)∵y＝eq \f(3x＋2,x－1)＝eq \f(3(x－1)＋5,x－1)＝3＋eq \f(5,x－1)≠3，
∴函数的值域为(－∞，3)∪(3，＋∞)．
求函数值域的方法
(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到．
(2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法．
(3)图象法：利用已知一次函数、二次函数或反比例函数的图象写出函数的值域．
(4)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．
(5)换元法：对于一些无理函数(如y＝ax±b±eq \r(cx±d))，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域．
【变式训练3】 求下列函数的值域：
(1)y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)；
(2)y＝eq \f(1,x＋1)－1；
(3)y＝2x＋4eq \r(1－x).
解：(1)∵x∈[－5，－2]在对称轴直线x＝－1的左侧，
∴x∈[－5，－2]时，抛物线上升．
∴当x＝－5时，y＝－12，当x＝－2时，y＝3.
∴y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)的值域是[－12，3]．
(2)因为eq \f(1,x＋1)≠0，所以eq \f(1,x＋1)－1≠－1，故函数y＝eq \f(1,x＋1)－1的值域为{y|y≠－1}．
(3)令t＝eq \r(1－x)(t≥0)，则x＝1－t2，则y＝－2t2＋4t＋2＝－2(t－1)2＋4(t≥0)．当t＝1时，y取得最大值4，故函数的值域为(－∞，4]．
对应学生用书第056页
1．以下形式中，不能表示“y是x的函数”的是( D )
A.
B.
C.y＝x2
D.x2＋y2＝1
解析：D中，当x＝0时，有两个y值与它对应，根据函数的定义，x2＋y2＝1不能表示y是x的函数．
2．如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象．由图象可知，下列说法中错误的是( C )
A.这天15时的温度最高
B.这天3时的温度最低
C.这天的最高温度与最低温度相差13 ℃
D.这天21时的温度是30 ℃
解析：由图象可知，这天15时的温度最高，故A正确；这天3时的温度最低，故B正确；这天的最高温度与最低温度相差36－22＝14(℃)，故C错误；这天21时的温度是30 ℃，故D正确．
3．已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则f(g(2))的值为( B )
A.3B.2
C.1D.0
解析：由函数g(x)的图象知，g(2)＝1，则f(g(2))＝f(1)＝2.
4．已知正方形的周长为x，它的外接圆的半径为y，则y关于x的解析式为y＝eq \f(\r(2),8)x(x>0)．
解析：∵正方形的周长为x，∴正方形的边长为eq \f(x,4)，∴正方形的对角线长为eq \f(\r(2),4)x，∴y＝eq \f(\r(2),8)x(x>0)．
5．函数f(x)＝eq \f(4,x－2)(x∈[3，6])，f(4)＝2；值域为[1，4]．
解析：∵函数f(x)＝eq \f(4,x－2)(x∈[3，6])，
∴f(4)＝eq \f(4,4－2)＝eq \f(4,2)＝2，
∴f(4)＝2.∵x∈[3，6]，即3≤x≤6，
∴1≤x－2≤4，∴eq \f(1,4)≤eq \f(1,x－2)≤1，∴1≤eq \f(4,x－2)≤4，即函数f(x)的值域为[1，4]．
1．知识回顾
(1)函数的表示法．
(2)作函数的图象．
(3)求函数的值域．
2．易错提醒
求函数值域时忽略函数的定义域．
课时作业18对应学生用书第250页
一、单项选择题
1．已知函数f(x)由下表给出，则f(f(1))＝( D )
A.1B.2
C.3D.4
解析：由题干中表格可知f(1)＝3，
∴f(f(1))＝f(3)＝4.故选D．
2．游泳池有一定量的水，打开进水阀进水，过了一段时间关闭进水阀，再过一段时间打开排水阀排水，直到水排完，已知进水的流量、排水时的流量各保持不变．用h表示游泳池的水深，t表示时间．下列各函数图象中能反映所述情况的是( D )

A B C D
解析：游泳池原有一定量的水，故函数图象不过原点，排除AC；再过一段时间打开排水阀排水，故函数值有一段时间不变，排除B．故选D．
3．函数y＝x2－2x的定义域为{0，1，2，3}，那么其值域为( A )
A.{－1，0，3}B.{0，1，2，3}
C.{y|－1≤y≤3}D.{y|0≤y≤3}
解析：由对应关系y＝x2－2x得，0→0，1→－1，2→0，3→3，所以值域为{－1，0，3}．
4．函数f(x)＝eq \f(1,x2＋2x＋2)(x∈R)的值域是( C )
A.[0，1]B.[0，1)
C.(0，1]D.(0，1)
解析：因为x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1，所以05．某地一年内的气温Q(t)(单位：℃)与时间t(月份)之间的关系如图所示，已知该年的平均气温为10 ℃，令C(t)表示时间段[0，t]的平均气温，C(t)与t之间的函数关系用下列图象表示，则正确的是( A )

A B C D
解析：由已知Q(t)的图象，t＝6时，C(t)＝0，排除C；t＝12时，C(t)＝10，排除D；t在大于6的某一段平均气温超过10，排除B．只有A正确．故选A．
二、多项选择题
6．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( CD )
A.y＝2x＋7(x>0)
B.y＝2x2
C.y＝2x(x>0)
D.y＝eq \f(3,x)(x>0)
解析：y＝2x＋7(x>0)单调递增，值域为(7，＋∞)，A错误；y＝2x2的值域为[0，＋∞)，B错误；y＝2x(x>0)的值域为(0，＋∞)，C正确；y＝eq \f(3,x)(x>0)的值域为(0，＋∞)，D正确．故选CD．
7．下列说法正确的是( BC )
A.函数f(x)＝eq \f(2x＋1,x＋1)的值域为[1，＋∞)
B.函数f(x)＝eq \r(x2＋1)的值域为[1，＋∞)
C.函数f(x)＝x＋eq \f(1,x－1)(x>1)的最小值为3
D.已知f(－x)＝－f(x)，x∈R，且f(－1)＝1，则f(1)＋f(0)＝1
解析：f(x)＝eq \f(2x＋1,x＋1)＝eq \f(2(x＋1)－1,x＋1)＝2－eq \f(1,x＋1)，因为eq \f(1,x＋1)≠0，所以2－eq \f(1,x＋1)≠2，所以函数f(x)＝eq \f(2x＋1,x＋1)的值域为(－∞，2) ∪(2，＋∞)，故A错误；因为x2＋1≥1，所以eq \r(x2＋1)≥1，所以函数f(x)＝eq \r(x2＋1)的值域为[1，＋∞)，故B正确；因为x>1，所以x－1>0，所以f(x)＝x＋eq \f(1,x－1)＝x－1＋eq \f(1,x－1)＋1≥2eq \r((x－1)•\f(1,x－1))＋1＝3，当且仅当x－1＝eq \f(1,x－1)即x＝2时取等号，所以函数f(x)＝x＋eq \f(1,x－1)(x>1)的最小值为3，故C正确；因为f(－x)＝－f(x)，x∈R，且f(－1)＝1，所以f(0)＝0，f(1)＝－f(－1)＝－1，则f(1)＋f(0)＝－1＋0＝－1，故D错误．故选BC．
三、 填空题
8．已知函数f(x)，g(x)如下表所示：
则不等式f(g(x))>g(f(x))的解集为{2，3，4}．
解析：由题意得：当x＝1时，g(1)＝5，f(1)＝5，故f(g(1))＝f(5)＝1，g(f(1))＝g(5)＝4，f(g(1))g(f(x))的解集；当x＝2时，g(2)＝1，f(2)＝4，故f(g(2))＝f(1)＝5，g(f(2))＝g(4)＝3，f(g(2))>g(f(2))，满足题意，故x＝2属于不等式f(g(x))>g(f(x))的解集；当x＝3时，g(3)＝2，f(3)＝3，故f(g(3))＝f(2)＝4，g(f(3))＝g(3)＝2，f(g(3))>g(f(3))，满足题意，故x＝3属于不等式f(g(x))>g(f(x))的解集；当x＝4时，g(4)＝3，f(4)＝2，故f(g(4))＝f(3)＝3，g(f(4))＝g(2)＝1，f(g(4))>g(f(4))，满足题意，故x＝4属于不等式f(g(x))>g(f(x))的解集；当x＝5时，g(5)＝4，f(5)＝1，故f(g(5))＝f(4)＝2，g(f(5))＝g(1)＝5，f(g(5))g(f(x))的解集．故不等式f(g(x))>g(f(x))的解集为{2，3，4}．
9．函数y＝eq \f(2x－1,x＋2)，则
①x∈[5，10]时的值域是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(9,7)，\f(19,12)))；
②x∈(－3，－2)∪(－2，1)时的值域是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,3)))∪(7，＋∞)．
解析：y＝eq \f(2x－1,x＋2)＝eq \f(2(x＋2)－5,x＋2)＝2－eq \f(5,x＋2)，其图象可由反比例函数y＝eq \f(－5,x)的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如下：
当x＝5时y＝eq \f(9,7)，当x＝10时y＝eq \f(19,12)，所以x∈[5，10]时的值域是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(9,7)，\f(19,12))).因为当x＝－3时y＝7，当x＝1时y＝eq \f(1,3)，所以x∈(－3，－2)∪(－2，1)的值域是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,3)))∪(7，＋∞)．
10．因市场战略储备的需要，某公司自1月1日起，每月1日购买相同金额的某种物资，连续购买了4次．由于市场变化，5月1日该公司不得不将此物资全部卖出．已知该物资的购入和卖出都是以份为计价单位进行交易的，且该公司在买卖的过程中没有亏本，那么下面三个折线图中反映了这种物资每份价格(单位：万元)的可能变化情况是①③.(填序号)
解析：假设每次均购买3.75万元．
题图①：利润＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3.75,1.25)＋\f(3.75,1)×2＋\f(3.75,0.75)))×1.25－3.75×4＝4.375(万元)，所以赚钱．
题图②：利润＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3.75,1)＋\f(3.75,1.25)×2＋\f(3.75,0.75)))×1－3.75×4＝－0.25(万元)，所以亏钱．
题图③：利润＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3.75,1.25)＋\f(3.75,1)＋\f(3.75,0.75)＋\f(3.75,0.5)))×1－3.75×4＝4.25(万元)，所以赚钱．
所以①③符合题意．
四、解答题
11．试求下列函数的定义域与值域．
(1)f(x)＝(x－1)2＋1；
(2)y＝eq \f(5x＋4,x－1)；
(3)y＝x－eq \r(x＋1).
解：(1)函数的定义域为R，因为(x－1)2＋1≥1，所以函数的值域为{y|y≥1}．
(2)由题意得x－1≠0，所以函数的定义域为{x|x≠1}，y＝eq \f(5x＋4,x－1)＝5＋eq \f(9,x－1)，所以函数的值域为{y|y≠5}．
(3)要使函数有意义，需x＋1≥0，即x≥－1，故函数的定义域为{x|x≥－1}．设t＝eq \r(x＋1)，则x＝t2－1(t≥0)，于是y＝t2－1－t＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(1,2)))eq \s\up12(2)－eq \f(5,4)，又t≥0，故y≥－eq \f(5,4)，所以函数的值域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(y\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(y≥－\f(5,4))))).
12．某问答游戏的规则：共5道选择题，基础分为50分，每答错一道题扣10分，答对不扣分．试分别用列表法、图象法、解析法表示一个参与者的得分y与答错题目道数x(x∈{0，1，2，3，4，5})之间的函数关系．
解：(1)列表法，列出参赛者得分y与答错题目道数x(x∈{0，1，2，3，4，5})之间的函数关系为
(2)图象法，画出参赛者得分y与答错题目道数x(x∈{0，1，2，3，4，5})之间的函数关系如图．
(3)解析法，参赛者得分y与答错题目道数x(x∈{0，1，2，3，4，5})之间的函数关系为y＝50－10x，x∈{0，1，2，3，4，5}．
13．(多选题)如果某函数的定义域与其值域的交集是[a，b]，则称该函数为“[a，b]交汇函数”．下列函数是“[0，1]交汇函数”的是( AB )
A.y＝eq \r(1－x)
B.y＝2eq \r(x)－x
C.y＝eq \f(1,x2－2x＋2)
D.y＝eq \r(1－x2)－|x|
解析：由“[a，b]交汇函数”定义可知[0，1]交汇函数定义域与值域交集为[0，1]．y＝eq \r(1－x)的定义域A＝(－∞，1]，值域B＝[0，＋∞)，则A∩B＝[0，1]，A正确；y＝2eq \r(x)－x的定义域A＝[0，＋∞)，令t＝eq \r(x)≥0，则y＝2t－t2＝－(t－1)2＋1≤1，值域B＝(－∞，1]，则A∩B＝[0，1]，B正确；y＝eq \f(1,x2－2x＋2)＝eq \f(1,(x－1)2＋1)，∵(x－1)2≥0，∴(x－1)2＋1≥1，∴014．函数f(x)＝eq \f(4x2＋2x＋2,2x＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x>－\f(1,2)))的值域是[2eq \r(2)－1，＋∞)．
解析：因为f(x)＝eq \f(4x2＋2x＋2,2x＋1)＝eq \f((2x＋1)2－(2x＋1)＋2,2x＋1)＝(2x＋1)＋eq \f(2,2x＋1)－1，因为x>－eq \f(1,2)，故2x＋1>0，则f(x)＝eq \f(4x2＋2x＋2,2x＋1)＝(2x＋1)＋eq \f(2,2x＋1)－1≥2eq \r(2)－1，当且仅当(2x＋1)2＝2，即x＝eq \f(\r(2)－1,2)时取得最小值．故函数值域为[2eq \r(2)－1，＋∞)．
15．已知函数f(x)＝eq \f(1,2)x2－x＋eq \f(3,2)，是否存在实数m，使得函数的定义域和值域都是[1，m](m>1)？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
解：存在．理由如下：
f(x)＝eq \f(1,2)x2－x＋eq \f(3,2)＝eq \f(1,2)(x－1)2＋1图象的对称轴为直线x＝1，顶点为(1，1)且开口向上．
∵m>1，∴要使f(x)的定义域和值域都是[1，m]，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f(1)＝1，,f(m)＝m，))
∴eq \f(1,2)m2－m＋eq \f(3,2)＝m，即m2－4m＋3＝0，∴m＝3或m＝1(舍)，
∴存在实数m＝3满足条件．
3．1.2 函数的表示法(2)
对应学生用书第057页
知识点 函数图象的变换
1.函数图象的平移变换
(1)左加右减：函数y＝f(x)的图象沿x轴方向向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度得到函数y＝f(x＋a)的图象．
(2)上加下减：函数y＝f(x)的图象沿y轴方向向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到函数y＝f(x)＋b的图象．
2.函数图象的对称变换
(1)y＝f(x)eq \(――――→,\s\up7(关于x轴对称))y＝－f(x)；
(2)y＝f(x)eq \(――――→,\s\up7(关于y轴对称))y＝f(－x)；
(3)y＝f(x)eq \(――――→,\s\up7(关于原点对称))y＝－f(－x)．
3.函数图象的翻折变换
(1)y＝f(x)
eq \(――――――――――――→,\s\up7(保留x轴上方的图象),\s\d5(把x轴下方的图象翻折到x轴上方))y＝|f(x)|；
(2)y＝f(x)
eq \(――――――――――→,\s\up7(保留y轴右边的图象，并作其),\s\d5(关于y轴对称的图象))y＝f(|x|)．
(1)左右移动加减的是自变量，且不带系数与符号，上下移动加减的是函数值．
(2)若f(a－x)＝f(a＋x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝a对称．
对应学生用书第058页
类型一 函数图象的变换及画法
【例1】 (1)设f(x)＝x2，在同一坐标系中画出：
①y＝f(x)，y＝f(x＋1)和y＝f(x－1)的图象，并观察三个函数图象的关系；
②y＝f(x)，y＝f(x)＋1和y＝f(x)－1的图象，并观察三个函数图象的关系．
(2)作出y＝eq \f(1,－x＋1)的图象，并说明这个图象可由y＝eq \f(1,x＋1)的图象经过怎样的变换得到．
(3)作出函数y＝|x2－2x－3|的图象，并说明该图象与函数y＝x2－2x－3的图象之间有怎样的关系．
【解】 (1)①如图1，观察图象，得y＝f(x＋1)的图象可由y＝f(x)的图象向左平移1个单位长度得到；y＝f(x－1)的图象可由y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度得到．
②如图2，y＝f(x)＋1的图象可由y＝f(x)的图象向上平移1个单位长度得到；y＝f(x)－1的图象可由y＝f(x)的图象向下平移1个单位长度得到．
(2)在同一平面直角坐标系中作出①y＝eq \f(1,x＋1)，②y＝eq \f(1,－x＋1)的图象(如图)．
观察图象可知，y＝eq \f(1,－x＋1)的图象可由y＝eq \f(1,x＋1)的图象作关于y轴的对称变换得到．
(3)y＝|x2－2x－3|＝
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－2x－3，x≤－1或x≥3，,－(x2－2x－3)，－1作出函数y＝|x2－2x－3|的图象，如图中的实线所示．
观察函数图象可知，函数y＝|x2－2x－3|的图象可由函数y＝x2－2x－3的图象经过下列变换得到：保持函数y＝x2－2x－3的图象在x轴及其上方的部分不变，将x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，即可得到函数y＝|x2－2x－3|的图象．
采用图象变换法时，变换后的函数图象要标出特殊的线和特殊的点，以显示函数图象的主要特征，处理这类问题的关键是找出基本函数，将函数的解析式分解为只有单一变换的函数，然后依次进行单一变换，最终得到所求的函数图象．
【变式训练1】 (1)已知定义在区间[0，2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为( B )

A B C D
解析：y＝f(x)eq \(――――→,\s\up7(关于y轴对称))y＝f(－x)eq \(――――――→,\s\up7(向右平移2个单位长度))y＝f(－(x－2))＝f(2－x)eq \(――――→,\s\up7(关于x轴对称))y＝－f(2－x)．
(2)要得到函数y＝f(－2x)的图象，只需将函数y＝f(－2x＋4)的图象向左平移2个单位长度．
解析：f(－2x)＝f[－2(x＋2)＋4]，因此把f(－2x＋4)的图象向左平移2个单位长度得f(－2x)的图象．
(3)画出下列函数的大致图象：
①y＝eq \f(2x－3,x＋1)；
②y＝|x2－1|；
③y＝x2－2|x|＋2.
解：①因为y＝eq \f(2x－3,x＋1)＝2－eq \f(5,x＋1)，所以可先作出函数y＝－eq \f(5,x)的大致图象，把图象向左平移1个单位长度得到y＝－eq \f(5,x＋1)的图象，再把所得图象向上平移2个单位长度就得到了函数y＝eq \f(2x－3,x＋1)的图象，如图1中的实线所示．
②先作出y＝x2－1的大致图象，保留它在x轴及其上方的部分，再把它在x轴下方的部分沿x轴对称翻折到x轴上方，所得的图象就是函数y＝|x2－1|的图象，如图2中的实线所示．
③先作函数y＝x2－2x＋2(x≥0)的图象，再作关于y轴的对称图象即可．其图象如图3所示．
类型二 求函数的解析式
【例2】 (1)已知f(eq \r(x)＋1)＝x＋2eq \r(x)，求f(x)．
(2)已知f(x)为二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，求f(x)．
(3)已知2f(x)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝x(x∈R，且x≠0)，求f(x)的解析式．
【解】 (1)令t＝eq \r(x)＋1，
则x＝(t－1)2，t≥1，
所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．
(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f(x＋1)＋f(x－1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c＝2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a＝2，,2b＝－4，,2a＋2c＝0，))所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－2，,c＝－1，))
所以f(x)＝x2－2x－1.
(3)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2f(x)＋f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝x(x≠0)，,2f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＋f(x)＝\f(1,x)(x≠0)，))
可知f(x)＝eq \f(2x,3)－eq \f(1,3x) (x≠0)．
求函数解析式的四种常用方法
(1)换元法：设t＝g(x)，解出x，代入f(g(x))，求f(t)的解析式即可，应该注意的是在应用换元法求函数解析式时，务必保证函数在换元前后的等价性．
(2)配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可．
(3)待定系数法：若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可．
(4)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个元素之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解．
【变式训练2】 (1)已知f(x)是一次函数，且2f(2x＋1)－f(x－2)＝6x＋5，则f(x)＝2x－3.
解析：设f(x)＝kx＋b(k≠0)，因为2f(2x＋1)－f(x－2)＝6x＋5，所以2[k(2x＋1)＋b]－[k(x－2)＋b]＝3kx＋4k＋b＝6x＋5，
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3k＝6，,4k＋b＝5，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝2，,b＝－3，))
故f(x)＝2x－3.
(2)若函数f(x)满足f(3x＋2)＝9x＋8，则f(x)＝3x＋2.
解析：因为f(3x＋2)＝9x＋8＝3(3x＋2)＋2，所以f(x)＝3x＋2.
(3)已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x)的解析式．
解：令x＝－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x，联立得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，,f(－x)＋2f(x)＝x2－2x，))
解得f(x)＝eq \f(1,3)x2－2x.
对应学生用书第059页
1．若二次函数的图象开口向上且关于直线x＝1对称，并过点(0，0)，则此二次函数的解析式可能为( D )
A.f(x)＝x2－1
B.f(x)＝－(x－1)2＋1
C.f(x)＝(x－1)2＋1
D.f(x)＝(x－1)2－1
解析：设f(x)＝(x－1)2＋c，由于点(0，0)在二次函数图象上，∴f(0)＝(0－1)2＋c＝0.∴c＝－1，∴f(x)＝(x－1)2－1.
2．已知函数f(2x－1)＝4x＋6，则f(x)的解析式是( A )
A.f(x)＝2x＋8B.f(x)＝2x＋1
C.f(x)＝2x＋2D.f(x)＝4x＋2
解析：因为f(2x－1)＝4x＋6＝2(2x－1)＋8，所以f(x)＝2x＋8.
3．已知f(x)的图象恒过点(1，－1)，则函数f(x－3)的图象恒过点( B )
A.(－2，－1)B.(4，－1)
C.(1，－4)D.(1，－2)
解析：因为f(x)的图象恒过点(1，－1)，所以当x－3＝1时，f(x－3)＝－1，即函数f(x－3)的图象恒过点(4，－1)．
4．函数y＝eq \f(x－2,x－1)的图象是( B )

A B C D
解析：因为y＝eq \f(x－2,x－1)＝eq \f(x－1－1,x－1)＝1＋eq \f(－1,x－1).它是由y＝eq \f(－1,x)向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的．结合y＝eq \f(－1,x)的图象可知B正确．
5．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7.
解析：设f(x)＝mx＋n(m≠0)，则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3mx＋3m＋3n－2mx＋2m－2n＝mx＋n＋5m＝2x＋17，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝2，,n＋5m＝17，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝2，,n＝7，))
∴f(x)＝2x＋7.
1．知识回顾
(1)函数图象的变换．
(2)求函数解析式．
2．易错提醒
图象变换的基本规则；求函数解析式时容易忽视定义域．
课时作业19对应学生用书第253页
一、单项选择题
1．一次函数f(x)满足：f(f(x)－2x)＝3，则f(1)＝( C )
A.1B.2
C.3D.5
解析：设f(x)＝kx＋b(k≠0)，
∴f(f(x)－2x)＝f(kx＋b－2x)＝k(kx＋b－2x)＋b＝(k2－2k)x＋kb＋b＝3，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k2－2k＝0，,kb＋b＝3，))解得k＝2，b＝1，∴f(x)＝2x＋1，∴f(1)＝3.
2．函数y＝－eq \f(1,x－1)的图象是( C )

A B C D
解析：解法1：先画y＝－eq \f(1,x)的图象，然后再向右平移1个单位长度即可得到y＝－eq \f(1,x－1)的图象．
解法2：根据函数y＝－eq \f(1,x－1)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)可排除B，D；再根据x＝2时，y＝－1<0，排除A.
3．已知f(x＋1)＝x2＋2x(x∈R)，则函数f(x)的解析式是( B )
A.f(x)＝x2＋1(x∈R)
B.f(x)＝x2－1(x∈R)
C.f(x)＝x2－1(x≥1)
D.f(x)＝x2＋1(x≥1)
解析：令t＝x＋1，由于x∈R，则t∈R，x＝t－1，所以，f(x＋1)＝f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，得f(t)＝t2－1，t∈R，所以，函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x∈R)．故选B．
4．二次函数y＝2x2的图象先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得图象对应的函数表达式为( B )
A.y＝2(x＋1)2＋2
B.y＝2(x－1)2＋2
C.y＝2(x＋1)2－2
D.y＝2(x－1)2－2
解析：将二次函数y＝2x2的图象向上平移2个单位长度得到函数y＝2x2＋2的图象，再向右平移1个单位长度得函数y＝2(x－1)2＋2的图象．
5．若函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))＝x2＋eq \f(1,x2)，且f(m)＝7，则实数m的值为( B )
A.eq \r(5)或－eq \r(5)B.－3或3
C.eq \r(5)D.3
解析：令t＝x＋eq \f(1,x)∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，则x2＋eq \f(1,x2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))eq \s\up12(2)－2＝t2－2，可得f(t)＝t2－2，即f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，∵f(m)＝m2－2＝7，
∴m＝±3.故选B．
二、多项选择题
6．已知f(2x－1)＝4x2，则下列结论中正确的是( BD )
A.f(3)＝9B.f(－3)＝4
C.f(x)＝x2D.f(x)＝(x＋1)2
解析：f(2x－1)＝4x2＝(2x－1)2＋2(2x－1)＋1，故f(x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2，故C错误，D正确；f(3)＝16，f(－3)＝4，故A错误，B正确．
7．设f(x)＝eq \f(1＋x2,1－x2)，则下列结论正确的有( BD )
A.f(－x)＝－f(x)
B.feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝－f(x)
C.feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,x)))＝f(x)
D.f(－x)＝f(x)
解析：因为f(x)＝eq \f(1＋x2,1－x2)，所以f(－x)＝eq \f(1＋(－x)2,1－(－x)2)＝f(x)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))\s\up12(2),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))\s\up12(2))＝eq \f(x2＋1,x2－1)＝－f(x)，
feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,x)))＝eq \f(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,x)))\s\up12(2),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,x)))\s\up12(2))＝eq \f(x2＋1,x2－1)＝－f(x)．
三、 填空题
8．已知函数F(x)＝f(x)＋g(x)，其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，且Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝16，F(1)＝8，则F(x)的解析式为F(x)＝3x＋eq \f(5,x)(x≠0)．
解析：设f(x)＝bx(b≠0)，g(x)＝eq \f(a,x)(a≠0，x≠0)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(F\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝\f(b,3)＋3a＝16，,F(1)＝b＋a＝8，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝3，,a＝5，))因此F(x)＝3x＋eq \f(5,x)(x≠0)．
9．在平面直角坐标系中，先将抛物线y＝x2＋2x－3关于原点作中心对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经过两次变换后所得的新抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3.
解析：先将抛物线y＝x2＋2x－3关于原点作中心对称变换，得到抛物线y＝－[(－x)2＋2(－x)－3]，整理得y＝－x2＋2x＋3；
再将抛物线y＝－x2＋2x＋3关于y轴作轴对称变换，得到抛物线y＝－(－x)2＋2(－x)＋3，整理得y＝－x2－2x＋3，所以经过两次变换后所得的新抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3.
10．函数f(x)＝eq \f(1,2x＋1)的图象向右平移一个单位，再向下平移一个单位，得到g(x)的图象，则g(x)＝eq \f(1,2x－1)－1；若y＝|g(x)|的图象与直线y＝m有两个交点，则m的取值范围为m>0且m≠1.
解析：函数f(x)＝eq \f(1,2x＋1)的图象向右平移一个单位，再向下平移一个单位，得到g(x)的图象，则g(x)＝eq \f(1,2(x－1)＋1)－1＝eq \f(1,2x－1)－1，作出y＝|g(x)|的大致图象，如图：
若y＝|g(x)|的图象与直线y＝m有两个交点，由图象可知：m>0且m≠1.
四、解答题
11．已知函数y＝eq \f(1,x)，问将函数y＝eq \f(1,x)的图象进行怎样的平移，能够得到函数y＝－eq \f(3x＋5,x＋2)的图象？
解：因为y＝－eq \f(3x＋5,x＋2)＝－3＋eq \f(1,x＋2)，所以将函数y＝eq \f(1,x)的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位就得到函数y＝－eq \f(3x＋5,x＋2)的图象．
12．某省两个相邻重要城市之间人员流动频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为交通车，若该车每次拖4节车厢，一天能来回16次(来、回各算作一次)，若每次拖7节车厢，则每天能来回10次．
(1)若每天来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数，求此一次函数的解析式；
(2)在(1)的条件下，每节车厢能载乘客110人，问这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多？并求出每天最多运营人数．
解：(1)设每天来回y次，每次拖x节车厢，则可设y＝kx＋b(k≠0)．
由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(16＝4k＋b，,10＝7k＋b，))解得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－2，,b＝24，))所以y＝－2x＋24.
(2)设这列火车每天来回总共拖挂的车厢节数为S，则由(1)知S＝xy，
所以S＝x(－2x＋24)＝－2x2＋24x＝－2(x－6)2＋72，
所以当x＝6时，Smax＝72，此时y＝12，
则每日最多运营的人数为110×72＝7 920.
所以这列火车每天来回12次，才能使运营人数最多，每天最多运营人数为7 920.
13．(多选题)已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)＝1，且存在f(x)满足条件Ω，则Ω可能为( AC )
A.∀x，y∈R，f(xy)＝2f(x)f(y)－x2y2
B.∀x，y∈R，f(xy)＝xf(y)＋yf(x)－2
C.∀x，y∈R，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1
D.∀x，y∈R，f(x＋y)＝xf(y)＋yf(x)
解析：若f(x)＝x2，则f(1)＝1且∀x，y∈R，f(xy)＝(xy)2＝2f(x)f(y)－x2y2，所以A正确；由f(xy)＝xf(y)＋yf(x)－2，令x＝1，y＝1，得f(1)＝2，又f(1)＝1，矛盾，所以B错误；若f(x)＝2x－1，则f(1)＝1，且∀x，y∈R，f(x＋y)＝2(x＋y)－1＝f(x)＋f(y)＋1，所以C正确；由f(x＋y)＝xf(y)＋yf(x)，令x＝1，y＝0，得f(1)＝f(0)，又f(1)＝1，所以f(1)＝f(0)＝1，令x＝y＝0，得f(0)＝0，所以D错误．故选AC．
14．设feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋1))＝eq \f(1,x2)－1，则f(x)＝x2－2x(x≠1)．
解析：已知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋1))＝eq \f(1,x2)－1，令t＝eq \f(1,x)＋1(x≠0)，得x＝eq \f(1,t－1)(t≠1)，则f(t)＝eq \f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t－1)))\s\up12(2))－1＝(t－1)2－1＝t2－2t＋1－1＝t2－2t(t≠1)，即f(x)＝x2－2x(x≠1)．
15．(1)设二次函数f(x)满足：对任意x∈R，都有f(x＋1)＋f(x)＝2x2－2x－3，求f(x)的解析式．
(2)已知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))＝x2＋eq \f(1,x2)(x≠0)，求f(x)．
(3)已知f(x)＋2feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝x(x≠0)，求f(x)．
解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(x＋1)＋f(x)＝2ax2＋(2a＋2b)x＋a＋b＋2c＝2x2－2x－3，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a＝2，,2a＋2b＝－2，,a＋b＋2c＝－3，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－2，,c＝－1，))
从而f(x)＝x2－2x－1.
(2)∵feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))＝x2＋eq \f(1,x2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))eq \s\up12(2)＋2，
令t＝x－eq \f(1,x)，则f(t)＝t2＋2，
∴f(x)＝x2＋2.
(3)∵f(x)＋2feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝x，①
用eq \f(1,x)代替x得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＋2f(x)＝eq \f(1,x)，②
由①②消去feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))得f(x)＝eq \f(2,3x)－eq \f(x,3)(x≠0)，
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝eq \f(2,3x)－eq \f(x,3)(x≠0)．
3．1.2 函数的表示法(3)
对应学生用书第060页
知识点 分段函数
1.定义：像y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x，x<0，,x，x≥0))这样的函数称为分段函数．
2.本质：函数在定义域不同的范围内，有着不同的对应关系．
分段函数的定义域是各段范围的并集，值域为各段上值域的并集．
判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
1．分段函数由几个函数构成．( × )
2．分段函数有多个定义域．( × )
3．函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋1，x≤1，,－x＋3，x>0))是分段函数．( × )
4．函数f(x)＝|x|可以用分段函数表示．( √ )
5．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－2x，x<0，,2x－5，x≥0，))则f(f(2))＝3.( √ )
对应学生用书第060页
类型一 分段函数求值
【例1】 已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋1，x≤－2，,x2＋2x，－2(1)求f(－eq \r(3))，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)))))的值；
(2)若f(a)＝3，求实数a的值．
【解】 (1)f(－eq \r(3))＝(－eq \r(3))2＋2×(－eq \r(3))＝3－2eq \r(3).
feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)))＝－eq \f(5,2)＋1＝－eq \f(3,2).
feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)))))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))eq \s\up12(2)＋2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＝－eq \f(3,4).
(2)①eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a≤－2，,f(a)＝a＋1＝3))⇒a∈∅；
②eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2③eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a≥2，,f(a)＝2a－2＝3))⇒a＝eq \f(5,2).
综上，实数a的值为1或eq \f(5,2).
1．分段函数求值的方法
(1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间．
(2)然后代入该段的解析式求值．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．
2.已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解．
【变式训练1】 已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x2＋2x，0≤x≤2，,x2＋2x，－2≤x<0.))
(1)求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))的值；
(2)作出函数的简图；
(3)由简图指出函数的值域．
解：(1)由f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x2＋2x，0≤x≤2，,x2＋2x，－2≤x<0，))
得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))eq \s\up12(2)＋2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))＝－eq \f(8,9)，
feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋2×eq \f(1,2)＝eq \f(3,4).
(2)简图如图所示：
(3)由简图可知函数的值域为[－1，1]．
类型二 分段函数与不等式
【例2】 已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋6，x≤0，,x2－2x＋2，x>0.))
(1)求不等式f(x)>5的解集；
(2)若方程f(x)－eq \f(m2,2)＝0有三个不同实数根，求实数m的取值范围．
【解】 (1)当x≤0时，由x＋6>5得x>－1，∴－1当x>0时，由x2－2x＋2>5得x<－1或x>3，∴x>3；
综上所述，不等式的解集为(－1，0]∪(3，＋∞)．
(2)方程f(x)－eq \f(m2,2)＝0有三个不同实数根，等价于函数y＝f(x)与函数y＝eq \f(m2,2)的图象有三个不同的交点，函数y＝f(x)的图象如图．
由图可知，需满足1所以，实数m的取值范围为(－2，－eq \r(2))∪(eq \r(2)，2)．
在分段函数的前提下，求某条件下自变量的取值范围的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出在相应各段定义域上自变量的取值范围，再求它们的并集．
【变式训练2】 已知二次函数y＝f(x)满足f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x＋2，若函数g(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f(x)，x≤1，,\f(7x－4,x－1)，x>1.))
(1)求f(x)的解析式；
(2)若实数a满足g(a＋3)≤8，求a的取值范围．
解：(1)f(x)为二次函数，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，因为f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x＋2，
所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c＝2x2－4x＋2，
即2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x＋2，可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a＝2，,2b＝－4，,2a＋2c＝2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－2，,c＝0.))
所以f(x)＝x2－2x.
(2)g(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f(x)，x≤1，,\f(7x－4,x－1)，x>1，))
由g(a＋3)≤8，
①当a＋3≤1，即a≤－2时，满足(a＋3)2－2(a＋3)≤8，解得－5≤a≤1，故－5≤a≤－2.
②当a＋3>1，即a>－2时，满足eq \f(7(a＋3)－4,(a＋3)－1)≤8，可得a≥1.
综上可知，a的取值范围为[－5，－2]∪[1，＋∞)．
类型三 分段函数在实际问题中的应用
【例3】 某网店对某一季节商品过去20天的销售价格及销售量进行了监测统计，发现第x天(1≤x≤20，x∈N*)的销售价格(单位：元/件)p＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(44＋x，1≤x≤6，,56－x，6(1)写出销售额t关于第x天的函数关系式；
(2)求该商品第7天的利润；
(3)该商品第几天利润最大？并求出最大利润．
【解】 (1)由题意得t＝
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1((44＋x)(48－x)，1≤x≤6，x∈N*，,(56－x)(48－x)，6(2)设利润为Y(x)，则Y(x)＝
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1((44＋x－25)(48－x)，1≤x≤6，x∈N*，,(56－x－25)(48－x)，6eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1((19＋x)(48－x)，1≤x≤6，x∈N*，,(31－x)(48－x)，6∴Y(7)＝(31－7)×(48－7)＝984，即该商品第7天的利润为984元．
(3)当1≤x≤6，x∈N*时，
Y(x)＝－x2＋29x＋912＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(29,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(4 489,4)，则Y(x)max＝Y(6)＝1 050.
当6则Y(x)max＝Y(7)＝984.
当8则Y(x)max＝Y(9)＝902.
所以该商品在第6天时利润最大，最大利润为1 050元．
分段函数的实际应用
(1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．
(2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式．
【变式训练3】 第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬奥会于2022年2月4日开幕．冬奥会吉祥物“冰墩墩”早在2019年9月就正式亮相，到如今已是“一墩难求”，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元．每生产x万盒，需投入成本h(x)万元，当产量小于或等于50万盒时，h(x)＝180x＋100；当产量大于50万盒时，h(x)＝x2＋60x＋3 500，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完．求“冰墩墩”玩具手办销售利润y(万元)关于产量x(万盒)的函数关系式．(利润＝销售总价－成本总价，销售总价＝销售单价×销售量，成本总价＝固定成本＋生产中投入成本)
解：当产量小于或等于50万盒时，y＝200x－200－180x－100＝20x－300，
当产量大于50万盒时，y＝200x－200－x2－60x－3 500＝－x2＋140x－3 700，
故销售利润y(万元)关于产量x(万盒)的函数关系式为
y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(20x－300，0≤x≤50，,－x2＋140x－3 700，x>50，))x∈N.
对应学生用书第062页
1．已知函数D(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1，x为有理数，,0，x为无理数，))则D(D(x))＝( B )
A.0B.1
C.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1，x为无理数，,0，x为有理数))D.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1，x为有理数，,0，x为无理数))
解析：∵D(x)∈{0，1}，∴D(x)为有理数，
∴D(D(x))＝1.
2．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2，x<2，,f(x－1)，x≥2，))则f(2)＝( A )
A.－1B.0
C.1D.2
3．设函数f(x)＝x＋2，g(x)＝x2－x－1，且M(x)表示f(x)，g(x)中的最大者，记为M(x)＝max{f(x)，g(x)}，则M(x)的最小值是( A )
A.1B.3
C.0D.－eq \f(5,4)
解析：令x＋2＝x2－x－1，解得x＝－1或x＝3，作出M(x)的图象如图所示．
由图象可知：当x＝－1时，M(x)有最小值，此时M(x)min＝－1＋2＝1，故选A．
4．已知函数f(x)的解析式为f(x)＝
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋2，x≤1，,x2，1(1)求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))))；
(2)若f(a)＝2，求a的值．
解：(1)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(1,2)＋2＝eq \f(5,2)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))＝2×eq \f(5,2)＝5，故feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))))＝5.
(2)当a≤1时，f(a)＝a＋2＝2，解得a＝0，成立；当15．已知函数f(x)＝|2x－1|＋|x－3|.求函数f(x)的值域．
解：f(x)＝|2x－1|＋|x－3|＝
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x－4，x≥3，,x＋2，\f(1,2)当x≥3时，y＝3x－4≥5，
当eq \f(1,2)当x≤eq \f(1,2)时，y＝－3x＋4≥eq \f(5,2)，
故函数f(x)的值域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，＋∞)).
1．知识回顾
(1)分段函数的概念及求值．
(2)分段函数的图象及应用．
(3)分段函数在实际问题中的应用．
2．易错提醒
(1)作分段函数图象时要注意衔接点的虚实．
(2)求分段函数的函数值时要依据自变量的取值范围确定对应的解析式．
课时作业20
对应学生用书第255页
一、单项选择题
1．设函数f(x)＝|x－1|－|x|，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))))＝( B )
A.－eq \f(1,2)B.1
C.eq \f(1,2)D.0
解析：∵feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－1))－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝0，
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))))＝f(0)＝|0－1|－|0|＝1.
2．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1，x∈Q，,0，x∉Q，))则下列说法正确的是( C )
A.f(0)＝0，f(eq \r(2))＝0
B.f(0)＝0，f(eq \r(2))＝1
C.f(0)＝1，f(eq \r(2))＝0
D.f(0)＝1，f(eq \r(2))＝1
解析：因为0∈Q，eq \r(2)∉Q，所以f(0)＝1，f(eq \r(2))＝0，故选C．
3．设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－1，x≥0，,\f(1,x)，x<0，))若f(a)＝a，则实数a的值为( C )
A.－2B.1
C.－1D.－2或1
解析：由题意知，f(a)＝a，当a≥0时，有eq \f(1,2)a－1＝a，解得a＝－2(舍去)；当a<0时，有eq \f(1,a)＝a，解得a＝1(舍去)或a＝－1.所以实数a的值是－1.故选C．
4．已知f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋1，x>1，,f(f(x＋2))，x≤1，))则f(－1)的值是( C )
A.4B.5
C.6D.7
解析：由分段函数表达式可知f(－1)＝f(f(－1＋2))＝f(f(1))，而f(1)＝f(f(3))＝f(4)，而f(4)＝5，即f(1)＝5，所以f(－1)＝f(5)＝6.故选C．
5．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水量为( A )
A.13立方米B.14立方米
C.18立方米D.26立方米
解析：该单位职工每月应缴水费y(元)与实际用水量x(立方米)满足的关系式为y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(mx，0≤x≤10，,2mx－10m，x>10.))由y＝16m，可知x>10.令2mx－10m＝16m，解得x＝13.
二、多项选择题
6．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋1，x≤0，,\r(x)＋8，x>0，))若f(a)＝10，则实数a的值可以是( BC )
A.3B.－3
C.4D.－4
解析：当a≤0时，得a2＋1＝10，解得a＝－3或a＝3(舍去)；当a>0时，得eq \r(a)＋8＝10，解得a＝4.故选BC．
7．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋2，x≤－1，,x2＋1，－1A.f(x)的定义域是R
B.f(x)的值域是(－∞，5)
C.若f(x)＝3，则x的值为eq \r(2)
D.f(f(－1))＝2
解析：函数的定义域为(－∞，2)，所以A不正确；当x≤－1时，f(x)≤f(－1)＝1，当－1三、 填空题
8．已知函数f(x)＝|3x－1|＋3|x＋1|，则函数f(x)的值域为[4，＋∞)．
解析：f(x)＝|3x－1|＋3|x＋1|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(6x＋2，x≥\f(1,3)，,4，－19．数学家狄利克雷曾给出一个例子：f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1，x为有理数，,0，x为无理数，))则f(x)值域为{0，1}，f(f(x)－f(－x))＝1.
解析：根据f(x)的解析式可得，当x为有理数时，其函数值为1；当x是无理数时，其函数值为0，故f(x)的值域为{0，1}．当x为有理数时，－x也为有理数；当x为无理数，－x也为无理数；故f(x)－f(－x)＝0，故f(f(x)－f(－x))＝1.
10．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x2＋2x，x≥0，,x2＋2x，x<0.))则f(f(－4))的值为－48；若f(a)＝－3，则实数a的值为3.
解析：∵f(－4)＝(－4)2＋2×(－4)＝8>0，∴f(f(－4))＝f(8)＝－82＋2×8＝－48.
当a≥0时，f(a)＝－a2＋2a＝－3，解得a＝3或a＝－1(舍去)；当a<0时，f(a)＝a2＋2a＝－3，无解．
∴a＝3.
四、解答题
11．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－7，x>2，,－x2＋x＋4，x≤2.))
(1)求f(－3)及f(f(3))的值；
(2)若f(x)≥－2，求x的取值范围．
解：(1)∵f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－7，x>2，,－x2＋x＋4，x≤2，))
∴f(－3)＝－8，f(3)＝－1，
∴f(f(3))＝f(－1)＝2.
(2)由f(x)≥－2可得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x>2，,2x－7≥－2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≤2，,－x2＋x＋4≥－2，))
解得x≥eq \f(5,2)或－2≤x≤2，
∴x的取值范围是[－2，2]∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，＋∞)).
12．函数y＝－x(|x－2|－2)，x∈[－1，5]．
(1)画出函数的图象；
(2)根据图象指出函数的最大值和最小值．
解：(1)由题意，函数y＝－x(|x－2|－2)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x2＋4x，2≤x≤5，,x2，－1≤x<2，))
作出其图象如图：
(2)由图象可知函数的最大值为4，最小值为－5.
13．(多选题)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋2，x≤－1，,x2，－1A.f(x)的值域为(－∞，4)
B.f(－1)＝1
C.若f(x)＝3，则x的值为eq \r(3)
D.f(x)<1的解集为(－1，1)
解析：f(－1)＝－1＋2＝1，B正确；x≤－1时，f(x)＝x＋2≤1，－114．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－|x|，x≤2，,x2－6x＋3，x>2.))
(1)若f(m)＝10，则m＝7；
(2)若f(f(m))≥0，则实数m的取值范围是－2≤m≤2或3＋eq \r(5)≤m≤3＋eq \r(7)或m≥3＋eq \r(9＋\r(6)).
解析：(1)当x≤2时，1－|x|＝10，显然无解；当x>2时，x2－6x＋3＝10，即x2－6x－7＝(x－7)(x＋1)＝0，则x＝7(x＝－1舍去)，所以f(m)＝10时，m＝7.
(2)当x≤2时，1－|x|≥0，即－1≤x≤1，此时－1≤x≤1；当x>2时，x2－6x＋3≥0，即x≥3＋eq \r(6)或x≤3－eq \r(6)，此时，x≥3＋eq \r(6)，所以f(f(m))≥0，即－1≤f(m)≤1或f(m)≥3＋eq \r(6).对于－1≤f(x)≤1，有：当x≤2时，－1≤1－|x|≤1，即0≤|x|≤2，可得－2≤x≤2；当x>2时，－1≤x2－6x＋3≤1，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－6x＋4≥0，,x2－6x＋2≤0，))可得3＋eq \r(5)≤x≤3＋eq \r(7).对于f(x)≥3＋eq \r(6)，由1－|x|≤1，故无解，所以x>2时有x2－6x＋3≥3＋eq \r(6)，即x2－6x－eq \r(6)≥0，解得x≥3＋eq \r(9＋\r(6))(x≤3－eq \r(9＋\r(6))舍去)．综上，f(f(m))≥0时有－2≤m≤2或3＋eq \r(5)≤m≤3＋eq \r(7)或m≥3＋eq \r(9＋\r(6)).
15．已知函数f(x)＝x2－4|x|＋1.
(1)将函数f(x)写成分段函数形式，并作出函数y＝f(x)的简图；
(2)如果方程f(x)＝a2－a－1有四个不同的实根，求实数a的取值范围．
解：(1)由绝对值的定义得：x≥0时，f(x)＝x2－4x＋1＝(x－2)2－3，x<0时，f(x)＝x2＋4x＋1＝(x＋2)2－3，
即f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1((x－2)2－3，x≥0，,(x＋2)2－3，x<0.))作图如下：
(2)f(x)的最小值是－3，f(0)＝1，
根据f(x)的图象，如果方程f(x)＝a2－a－1有四个不同的实根，则必有－3阶段训练4
对应学生用书第257页
一、单项选择题
1．1859年中国清朝数学家李善兰在翻译《代数学》中首次将“functin”翻译成“函数”，沿用至今，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，现给出下列四个对应关系，请由函数的定义判断，其中能构成从A到B的函数的是( A )
A.①④B.①②
C.①②④D.①③④
解析：函数的定义中满足“集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数与它对应”，结合定义容易判断①④为从A到B的函数．故选A．
2．若函数f(x)＝eq \f(k,x)的图象经过(－1，2)，则该函数的图象一定经过下列点中的( D )
A.(－1，－2)B.(0，2)
C.(2，2)D.(－2，1)
解析：根据题意f(x)＝eq \f(k,x)的图象过点(－1，2)，得k＝－2，所以f(x)＝eq \f(－2,x)，将选项中各点代入得D选项符合．
3.已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是( B )
A.eq \r(x2－2x＋1)
B.eq \r(x2－2|x|＋1)
C.|x2－1|
D.x2－2|x＋1|
解析：由题图易排除C，D，因为y＝eq \r((x－1)2)＝|x－1|，所以点(－1，0)不在曲线y＝|x－1|上，排除A．代入验证只有B选项适合．
4．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0，x>0，,π，x＝0，,π2＋1，x<0，))则f(f(f(－1)))＝( C )
A.π2－1B.π2＋1
C.πD.0
解析：∵f(－1)＝π2＋1，且f(π2＋1)＝0，故f(f(f(－1)))＝f(f(π2＋1))＝f(0)＝π．
5．已知函数f(x)＝eq \r(－x2－3x＋4)，则函数g(x)＝f(1－x)的定义域为( D )
A.[－3，1]B.[0，3]
C.[－5，1]D.[0，5]
解析：f(x)＝eq \r(－x2－3x＋4)，函数定义域满足－x2－3x＋4≥0，解得－4≤x≤1，故函数g(x)＝f(1－x)的定义域满足：－4≤1－x≤1，解得0≤x≤5.故选D．
6．已知函数f(x)＝eq \r(4ax2＋(8－4a)x＋1)的值域为[0，＋∞)，则实数a的取值范围是( D )
A.(0，4)B.[1，4]∪{0}
C.(0，1]∪[4，＋∞)D.[0，1]∪[4，＋∞)
解析：由题意，令g(x)＝4ax2＋(8－4a)x＋1，则[0，＋∞)为其值域的一个子集，当a＝0时，f(x)＝eq \r(8x＋1)，令8x＋1≥0，解得x≥－eq \f(1,8)，故当x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,8)，＋∞))时，f(x)≥0；当a<0时，g(x)＝4ax2＋(8－4a)x＋1，该函数为开口向下的二次函数，则必定存在最大值，故不符合题意；当a>0时，g(x)＝4ax2＋(8－4a)x＋1，该函数为开口向上的二次函数，令Δ≥0，则(8－4a)2－4×4a≥0，整理可得a2－5a＋4≥0，即(a－1)(a－4)≥0，解得a≤1或a≥4，此时符合题意．综上，可得a∈[0，1]∪[4，＋∞)．故选D．
二、多项选择题
7．下列各组函数中，表示同一个函数的是( AD )
A.y＝x和y＝eq \r(3,x3)
B.y＝x0和y＝1
C.f(x)＝x与g(x)＝eq \r(x2)
D.f(x)＝eq \f((\r(x))2,x)和g(x)＝eq \f(x,(\r(x))2)
解析：由于y＝eq \r(3,x3)＝x，则A中两函数定义域，对应关系分别对应相同，是同一函数．B中定义域不同，C中两函数对应关系不同．D中两函数的定义域，对应关系分别对应相同．故选AD．
8．若函数y＝x2－4x－4的定义域为[0，a)，值域为[－8，－4]，则正整数a的值可能是( BC )
A.2B.3
C.4D.5
解析：函数y＝x2－4x－4的图象如图所示：
因为函数在[0，a)上的值域为[－8，－4]，结合图象可得29．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋2x＋1，x≤0，,－x2，x>0，))满足f(f(a))＝－1的a的值有( AD )
A.0B.1
C.－1D.－2
解析：设t＝f(a)，则f(t)＝－1，若t>0，则－t2＝－1，解得t＝1或t＝－1(舍去)，所以f(a)＝1，当a>0时，－a2＝1，方程无解；当a≤0时a2＋2a＋1＝1，解得a＝0或a＝－2，满足条件．若t≤0，t2＋2t＋1＝－1，即t2＋2t＋2＝0，Δ＝22－4×2＝－4<0，方程无解，故选AD．
三、 填空题
10．已知函数f(x)，g(x)由下列表格给出，则f(g(2))＝2，f(g(2))－g(f(2))＝－2.
解析：由题表可知f(2)＝4，g(2)＝1，则f(g(2))＝f(1)＝2，g(f(2))＝g(4)＝4，
∴f(g(2))－g(f(2))＝2－4＝－2.
11．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x2＋x，0≤x≤2，,－x2－x，－1≤x<0，))
f(x)的最大值为m，f(x)的最小值为n，则m＋n＝－eq \f(7,4).
解析：当0≤x≤2时，f(x)＝－x2＋x＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(1,4)，所以此时f(x)max＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(1,4)，f(x)min＝f(2)＝－2；当－1≤x<0时，f(x)＝－x2－x＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(1,4)，所以此时f(x)max＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝eq \f(1,4)，f(x)min＝f(－1)＝0，综上所述，f(x)max＝eq \f(1,4)，f(x)min＝－2，即m＝eq \f(1,4)，n＝－2，所以m＋n＝－eq \f(7,4).
12．某共享单车确定的收费标准：若每月骑行次数不超过10次，按2元/次收费；若每月骑行次数超过10次，超出部分按1.5元/次收费，则每次骑行该共享单车时，每月所需的费用y(元)与次数x之间的函数关系式是
y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x，0≤x≤10且x∈N，,5＋1.5x，x>10且x∈N)).
解析：当0≤x≤10时，y＝2x，
当x>10时，y＝20＋1.5(x－10)＝5＋1.5x.
因此y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x，0≤x≤10且x∈N，,5＋1.5x，x>10且x∈N.))
四、解答题
13．(1)已知f(x)是二次函数，其图象的顶点是(1，3)，且过原点，求f(x)．
(2)已知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－x,1＋x)))＝eq \f(1－x2,1＋x2)，求f(x)的解析式．
解：(1)由于二次函数f(x)图象的顶点是(1，3)，
则设f(x)＝a(x－1)2＋3(a≠0)．
又f(0)＝a＋3＝0，得a＝－3.
所以f(x)＝－3(x－1)2＋3.
(2)令eq \f(1－x,1＋x)＝t，则x＝eq \f(1－t,1＋t)，所以f(t)＝eq \f(2t,1＋t2)，即f(x)＝eq \f(2x,1＋x2)，
由于t＝eq \f(1－x,1＋x)＝－1＋eq \f(2,1＋x)≠－1，
所以f(x)＝eq \f(2x,1＋x2)(x≠－1)．
14．已知函数f(x)＝|x|(x－4)．
(1)把f(x)写成分段函数的形式；
(2)画出函数f(x)的图象；
(3)利用图象回答：当k为何值时，方程|x|•(x－4)＝k有一解？有两解？有三解？
解：(1)f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x(x－4)，x≥0，,－x(x－4)，x<0.))
(2)图象如图所示．
(3)方程|x|•(x－4)＝k的解的个数即为函数y＝|x|(x－4)与y＝k的交点个数．
结合图象可知，当k>0或k<－4时，方程有一解；
当k＝0或k＝－4时，方程有两解；
当－415．某种饲料原来每袋成本为10元，售价为15元，每月销售8万袋．
(1)若售价每袋提高1元，月销售量将相应减少2 000袋，要使月总利润不低于原来的月总利润(月总利润＝月销售总收入－月总成本)，该饲料每袋售价最多为多少元？
(2)厂家决定下月进行营销策略改革，计划每袋售价x(x≥16)元，并投入9(x－16)万元作为营销策略改革费用．据市场调查，若每袋售价每提高1元，月销售量将相应减少eq \f(0.45,(x－15)2)万袋．则当每袋售价为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润．
解：(1)设饲料每袋售价为x元，
则(x－10)×[80 000－(x－15)×2 000]≥(15－10)×80 000，解得15≤x≤50，故饲料每袋售价最多为50元．
(2)设月总利润为W，则W＝(x－10)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8－\f(0.45,(x－15)2)(x－15)))－9(x－16)＝48.55－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1((x－15))+ eq \f(2.25,x－15))≤48.55－
2eq \r((x－15)·\f(2.25,x－15))＝45.55，
当x－15＝eq \f(2.25,x－15)，
即x＝16.5时等号成立，此时W＝45.55.故当每袋售价为16.5元时，下月的月总利润最大，最大利润为45.55万元．
3．2 函数的基本性质
3．2.1 单调性与最大(小)值
第1课时 函数的单调性
对应学生用书第063页
知识点一 函数的单调性
一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D：如果∀x1，x2∈I，当x1特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数．
如果∀x1，x2∈I，当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减．
特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数．
(1)区间I可以是整个定义域D，也可以是定义域的真子集．
(2)同区间性，即x1，x2∈I.
(3)任意性，即不可以用区间I上的特殊值代替．
(4)有序性，即要规定x1，x2的大小．
(5)“单调递增(递减)”“x1，x2的大小”“f(x1)与f(x2)的大小”知二求一．
(6)单调递增(递减)是函数的局部性质，增(减)函数是函数的整体性质．
知识点二 函数的单调区间
如果函数y＝f(x)在区间I上是单调递增或单调递减的，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间．
(1)函数的单调区间是其定义域内的某一个区间，故讨论函数的单调性时，必须先确定函数的定义域．
(2)若函数在两个区间上都是单调递增(或递减)的，这两个单调区间用“和”或 “，”连接．
判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
1．若f(x)为R上的减函数，则f(0)>f(1)．( √ )
2．在增函数与减函数的定义中，不可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”．( √ )
3．若f(－1)>f(1)，则y＝f(x)在R上是增函数．( × )
4．若函数f(x)在区间(1，2)和(2，3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1，3)上为增函数．( × )
5．函数y＝|x2－2x－3|的单调增区间是[－1，1]和[3，＋∞)．( √ )
对应学生用书第064页
类型一 直观感知函数的单调性
【例1】 已知函数f(x)＝x2－4|x－1|.作出函数y＝f(x)的图象，并指出其单调区间．
【解】 f(x)＝x2－4|x－1|＝
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－4x＋4，x≥1，,x2＋4x－4，x<1，))
当x≥1时，f(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2，
抛物线顶点为(2，0)，对称轴为直线x＝2，图象是位于直线x＝1及其右侧的部分，
当x<1时，f(x)＝x2＋4x－4＝(x＋2)2－8，
抛物线顶点为(－2，－8)，对称轴为直线x＝－2，图象是位于直线x＝1左侧的部分，
画出f(x)的图象如图所示，
由图象可知，f(x)在(－∞，－2)和(1，2)上单调递减，在(－2，1)和(2，＋∞)上单调递增．
1．求函数单调区间时，若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等，可根据其单调性写出函数的单调区间；若函数不是上述函数且函数图象容易作出，可作出其图象，根据图象写出单调区间．
2.当一个函数存在两个或两个以上的单调区间时，要用“和”或用“，”连接．
【变式训练1】 已知函数f(x)＝x|x|－2x.
(1)用分段函数的形式表示函数f(x)的解析式，并画出函数f(x)的图象；
(2)写出函数f(x)的单调递增区间．
解：(1)f(x)＝x|x|－2x＝
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－2x，x≥0，,－x2－2x，x<0，))
则图象如图所示．
(2)由函数图象可知，函数的单调递增区间为(1，＋∞)和(－∞，－1)．
类型二 利用单调性定义证明函数的单调性
【例2】 已知函数f(x)＝eq \f(3,2x－1).
判断并证明函数f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))上的单调性．
【解】 函数f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))上是减函数，证明如下：
设x1，x2是区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))上的任意两个实数，且eq \f(1,2)则f(x1)－f(x2)＝eq \f(3,2x1－1)－eq \f(3,2x2－1)＝eq \f(6(x2－x1),(2x1－1)(2x2－1))，
因为eq \f(1,2)0，且(2x1－1)(2x2－1)>0，
所以f(x1)－f(x2)>0，
所以函数f(x)＝eq \f(3,2x－1)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))上是减函数．
利用单调性定义证明函数单调性的步骤
(1)取值并规定大小：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1(2)作差变形：作差f(x1)－f(x2)或f(x2)－f(x1)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等方法，转化为易判断正负的关系式．
(3)定号：确定f(x1)－f(x2)或f(x2)－f(x1)的符号，当符号不确定时，进行分类讨论．
(4)结论：根据定义确定单调性．
【变式训练2】 已知函数f(x)＝x3－3x，用定义证明函数f(x)在[0，1]上为减函数．
证明：∀x1，x2∈[0，1]，且0≤x1又由0≤x1同时：xeq \\al(2,1)<1，x1x2<1，xeq \\al(2,2)≤1，则有xeq \\al(2,1)＋x1x2＋xeq \\al(2,2)－3<0，
故f(x1)－f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)，
故函数f(x)在[0，1]上为减函数．
类型三 函数单调性的应用
【例3】 (1)已知定义域为(0，＋∞)的函数f(x)＝x＋eq \f(k,x)(k>0)．
若函数f(x)在区间(0，2)上单调递减，求k的取值范围．
【解】 ∵函数f(x)在区间(0，2)上单调递减，∴∀x1，x2∈(0，2)，x1则f(x1)－f(x2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1＋\f(k,x1)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(k,x2)))＝(x1－x2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(k,x1)－\f(k,x2)))＝(x1－x2)＋eq \f(k(x2－x1),x1x2)＝eq \f((x1－x2)(x1x2－k),x1x2)>0，
又∵x2>x1>0，
∴x1x2>0，x1－x2<0，
∴x1x2－k<0，
∴k>x1x2，
由x1，x2的任意性，可得x1x2<4，
故k≥4.
(2)函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ax2＋x－1，x>2，,－x＋1，x≤2.))
①若f(a)＝0，则a＝1；
②若f(x)是R上的减函数，则实数a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2))).
【解析】 ①设g(a)＝a3＋a－1，
∵根据单调性的性质，函数g(a)＝a3＋a－1为(2，＋∞)上的增函数，且g(2)＝23＋2－1＝9>0.
∴a3＋a－1＝0在(2，＋∞)上无解．
当a≤2时，f(a)＝0即－a＋1＝0，
解得a＝1，满足a≤2.
综上，a＝1.
②∵f(x)是R上的减函数，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a<0，,－\f(1,2a)≤2，,4a＋2－1≤－2＋1，))解得a≤－eq \f(1,2).
(3)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x＋3，x≤2，,1，x>2.))
则不等式f(3x－1)【解析】 作出函数图象如图，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2<3x－1，,x2<2，))解得eq \f(3－\r(5),2)由函数单调性求参数范围的处理方法
(1)由函数解析式求参数
①若为二次函数，先判断开口方向与对称轴，再利用单调性确定参数满足的条件．
②若为一次函数，由一次项系数的正负决定单调性．
③若为函数y＝|f(x)|或y＝f(|x|)，通过数形结合，探求参数满足的条件．
(2)当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”去掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域．
(3)关于分段函数的单调性
①根据每一段上解析式的类型，分别求出符合单调性的参数的范围．
②分界点处的函数值比较：如果函数单调递增，在分界点处左侧的函数值小于或等于右侧的函数值；如果函数单调递减，在分界点处左侧的函数值大于或等于右侧的函数值．
【变式训练3】 (1)已知函数y＝ax和y＝b·|x|在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f(x)＝bx＋a在R上是( A )
A.减函数且f(0)<0
B.增函数且f(0)<0
C.减函数且f(0)>0
D.增函数且f(0)>0
解析：当x∈(0，＋∞)时，y＝b|x|＝bx，因为函数y＝ax和y＝b|x|在(0，＋∞)上都是减函数，所以a<0，b<0，则函数f(x)＝bx＋a在R上是减函数，且f(0)＝a<0.故选A．
(2)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2|x|，x≤m，,x2－2mx＋5m，x>m，))其中m>0，若函数f(x)在(0，＋∞)上单调，则实数m的取值范围是0解析：当x≤m时，f(x)＝2|x|在(0，m)上单调递增，当x>m时，f(x)＝x2－2mx＋5m，其对称轴为直线x＝m，所以f(x)在(m，＋∞)上单调递增，若函数f(x)在(0，＋∞)上单调，则m2－2m2＋5m≥2|m|＝2m，解得0(3)函数f(x)在定义域[－3，3]上单调递减，则不等式f(2x－1)解析：函数在定义域[－3，3]上单调递减，故eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－3≤2x－1≤3，,－3≤1－x≤3，,2x－1>1－x，))解得eq \f(2,3)素养落实
抽象函数单调性的判断
对于抽象函数单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x1，x2在所给区间内比较f(x1)－f(x2)与0的大小，或eq \f(f(x1),f(x2))与1的大小(要求f(x1)与f(x2)同号)，有时根据需要，需做适当的变形，如x2＝eq \f(x2,x1)•x1或x2＝(x2－x1)＋x1等．
【典例】 已知f(x)定义域为R，对任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，当x>0时，f(x)>1，试判断f(x)在R上的单调性，并证明．
【解】 f(x)在R上单调递增，证明如下，
令x＋y＝x1，x＝x2，y＝x1－x2，且x1>x2，
则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2)－1，
因为x1>x2，所以x1－x2>0，f(x1－x2)>1，即f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)，
所以f(x)在R上单调递增．
【变式训练】 函数f(x)满足定义域为R，f(x)f(y)＝kf(xy)(k>0)，对一切x，y∈R恒成立，当x≥0时，f(x)单调递增．(1)求f(0)，f(1)；
(2)当x<0时，讨论f(x)的单调性．
解：(1)依题意，函数f(x)满足定义域为R，f(x)f(y)＝kf(xy)(k>0)对一切x，y∈R恒成立，
令x＝y＝0，则f(0)f(0)＝kf(0)，
f(0)[f(0)－k]＝0，
令x＝1，y＝0，则f(1)f(0)＝kf(0)，f(0)[f(1)－k]＝0，
由于当x≥0时，f(x)单调递增，所以f(0)所以f(0)－k，f(1)－k中，至少有一个不为0，所以f(0)＝0，则f(1)>0.
令x＝y＝1，则f(1)f(1)＝kf(1)，f(1)[f(1)－k]＝0，所以f(1)＝k.
(2)由于f(0)＝0，当x≥0时，f(x)单调递增，
所以当x>0时，f(x)>0.
由f(x)f(y)＝kf(xy)(k>0)，令x＝y＝－1，得f(－1)•f(－1)＝kf(1)＝k2，
所以f(－1)＝k或f(－1)＝－k，
任取x1－x2>0，
所以f(－x1)>f(－x2)，
即f((－1)·x1)－f((－1)•x2)>0，
∴eq \f(f(－1)•f(x1)－f(－1)•f(x2),k)＝
[f(x1)－f(x2)]•eq \f(f(－1),k)>0，
若f(－1)＝k，则f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)，
所以f(x)在(－∞，0)上单调递减．
若f(－1)＝－k，则f(x1)－f(x2)<0，f(x1)所以f(x)在(－∞，0)上单调递增．
对应学生用书第066页
1．函数f(x)＝eq \f(2,x)的单调递减区间是( A )
A.(－∞，0)，(0，＋∞)
B.(0，＋∞)
C.(－∞，0)∪(0，＋∞)
D.(－∞，0)
解析：因为函数f(x)＝eq \f(2,x)是反比例函数，函数图象为一三象限双曲线，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，函数在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，故函数的单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．故选A．
2．(多选题)下列四个函数中，在(1，＋∞)上为增函数的是( AC )
A.f(x)＝－eq \f(3,x＋1)B.f(x)＝x2－3x
C.f(x)＝2x－1D.f(x)＝3－x
解析：由反比例函数的性质可知f(x)＝－eq \f(3,x＋1)在(1，＋∞)上为增函数，满足题意；由二次函数的性质可知f(x)＝x2－3x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞))上为增函数，不满足题意；由一次函数的性质可知f(x)＝2x－1在R上单调递增，所以在(1，＋∞)上也为增函数，满足题意；由一次函数的性质可知f(x)＝3－x在R上单调递减，所以在(1，＋∞)上也为减函数，不满足题意．故选AC．
3．若函数f(x)＝－x2＋2ax－2在(3，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是(－∞，3]．
解析：函数f(x)＝－x2＋2ax－2的对称轴为直线x＝a，又函数f(x)＝－x2＋2ax－2在(3，＋∞)上是减函数，所以a≤3.
4．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1((1－3a)x＋2a，x≥－1，,－\f(a,x)，x<－1))是定义在(－∞，＋∞)上的增函数，则实数a的取值范围是eq \f(1,4)≤a解析：因为函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的增函数，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－3a>0，,a>0，,－\f(a,－1)≤－(1－3a)＋2a，))
解得eq \f(1,4)≤a5．已知函数f(x)＝x－eq \f(2,x).
判断f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性，并用定义法证明．
解：f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，证明如下：
∀x1，x2∈(0，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1－\f(2,x1)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－\f(2,x2)))＝
(x1－x2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x2)－\f(2,x1)))＝
(x1－x2)＋eq \f(2(x1－x2),x1x2)＝
(x1－x2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(2,x1x2)))，
由x1，x2∈(0，＋∞)，得x1x2>0，
∴1＋eq \f(2,x1x2)>0，
又由x1于是f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)1．知识回顾
(1)增函数、减函数的定义．
(2)函数的单调区间．
2．易错提醒
(1)函数的单调区间不能用并集．
(2)利用函数的单调性求参数的取值范围忽略函数的定义域．
课时作业21对应学生用书第259页
一、单项选择题
1．函数y＝f(x)，x∈[－4，4]的图象如图所示，则f(x)的单调递增区间是( C )
A.[－4，4]B.[－4，－3]∪[1，4]
C.[－3，1]D.[－3，4]
解析：由题图知f(x)的单调递增区间为[－3，1]．
2．若y＝(2k－1)x＋b是R上的减函数，则有( C )
A.k>eq \f(1,2)B.k>－eq \f(1,2)
C.k解析：由2k－1<0，得k3．如果函数f(x)在[a，b]上单调递增，那么对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中不正确的是( C )
A.eq \f(f(x1)－f(x2),x1－x2)>0
B.(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0
C.若x1D.eq \f(x1－x2,f(x1)－f(x2))>0
解析：因为f(x)在[a，b]上单调递增，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，x1－x2与f(x1)－f(x2)的符号相同，故A，B，D都正确，而C中应为若x14．已知定义域为R的函数f(x)在(4，＋∞)上单调递减，且函数y＝f(x)的对称轴为直线x＝4，则( D )
A.f(2)>f(3)B.f(2)>f(5)
C.f(3)>f(5)D.f(3)>f(6)
解析：∵f(x)关于直线x＝4对称且在(4，＋∞)上单调递减，∴f(x)在(－∞，4)上单调递增，且f(5)＝f(3)，f(6)＝f(2)，
∴f(3)>f(2)＝f(6)，故选D.
二、多项选择题
5．下列函数中，在区间(0，1)上单调递减的是( BC )
A.y＝|x＋1|B.y＝2－x
C.y＝eq \f(1,x)D.y＝x2－x＋1
解析：函数y＝|x＋1|＝
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋1，x≥－1，,－x－1，x<－1，))所以该函数在(0，1)上单调递增，故A不符合；函数y＝2－x在区间(0，1)上单调递减，B符合；函数y＝eq \f(1,x)在区间(0，1)上单调递减，C符合；函数y＝x2－x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(3,4)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))上单调递减，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))上单调递增，故D不符合．故选BC．
6．下列函数中，在区间(－∞，0)上单调递增的是( ABC )
A.f(x)＝－eq \f(1,x)B.f(x)＝x
C.f(x)＝－x2D.f(x)＝1－x
解析：由函数的图象知f(x)＝－eq \f(1,x)，f(x)＝x，f(x)＝－x2在(－∞，0)上单调递增．
7．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋4x，x≥0，,4x－x2，x<0，))若f(4－a)>f(a)，则整数a的值可以是( ABC )
A.－1B.0
C.1D.2
解析：画出f(x)的图象(图略)可判断f(x)在R上单调递增，故f(4－a)>f(a)⇔4－a>a，解得a<2.故选ABC．
三、 填空题
8．函数f(x)＝|x－2|(x＋1)的单调增区间是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))和[2，＋∞)．
解析：当x≥2时，f(x)＝(x－2)(x＋1)＝x2－x－2，此时f(x)开口向上，对称轴为直线x＝eq \f(1,2)，因为x≥2，所以在[2，＋∞)上单调递增；当x<2时，f(x)＝(2－x)(x＋1)＝－x2＋x＋2，此时f(x)开口向下，对称轴为直线x＝eq \f(1,2)，因为x<2，所以在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))上单调递增．
9．已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，则不等式f(x)>f(x2－2)的解集为(eq \r(2)，2)．
解析：根据题意，f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x>0，,x2－2>0，,x>x2－2，))
解得eq \r(2)∴不等式的解集为(eq \r(2)，2)．
10．已知f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1((3a－1)x＋4a，x<1，,－ax，x≥1，))若f(－1)＝f(2)，则a＝－eq \f(1,3)；若f(x)是定义在R上的减函数，则a的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，\f(1,3))).
解析：f(－1)＝f(2)，所以(3a－1)×(－1)＋4a＝－2a，∴a＝－eq \f(1,3).
由题意知，分段函数要是减函数，必须每一段都是减函数且左边一段的最小值大于或等于右边一段的最大值，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3a－1<0，,(3a－1)×1＋4a≥－a，,a>0，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a<\f(1,3)，,a≥\f(1,8)，,a>0，))所以a∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，\f(1,3))).
四、解答题
11．已知函数f(x)＝eq \f((x＋2)(x－2),x2)，判断f(x)的单调性，并用定义法证明．
解：f(x)＝eq \f(x2－4,x2)＝1－eq \f(4,x2)，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，证明如下：
令x1>x2，则f(x1)－f(x2)＝1－eq \f(4,xeq \\al(2,1))－1＋eq \f(4,xeq \\al(2,2))＝eq \f(4(x2＋x1)(x1－x2),xeq \\al(2,1)xeq \\al(2,2))，
当x1>x2>0时，x2＋x1>0，x1－x2>0，则f(x1)>f(x2)，
当x20，则f(x1)所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减．
12．已知函数f(x)＝eq \f(x2,x2＋1).
(1)判断g(x)＝f(x)＋x的单调性并用定义证明；
(2)解不等式f(x)－f(2－x)＋2x>2.
解：(1)g(x)在R上单调递增，证明如下：
g(x)＝f(x)＋x＝eq \f(x2,x2＋1)＋x＝1－eq \f(1,x2＋1)＋x，
对∀x1，x2∈R，且x1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,xeq \\al(2,2)＋1)＋x2))＝eq \f((x1－x2)(x1＋x2),(xeq \\al(2,1)＋1)(xeq \\al(2,2)＋1))＋(x1－x2)＝
eq \f((x1－x2)(xeq \\al(2,1)xeq \\al(2,2)＋xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＋x1＋x2＋1),(xeq \\al(2,1)＋1)(xeq \\al(2,2)＋1))＝eq \f(x1－x2,(xeq \\al(2,1)＋1)(xeq \\al(2,2)＋1))×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(xeq \\al(2,1)xeq \\al(2,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1＋\f(1,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(1,2))).
∵x1xeq \\al(2,1)xeq \\al(2,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1＋\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(1,2)>0，(xeq \\al(2,1)＋1)(xeq \\al(2,2)＋1)>0，
∴g(x1)－g(x2)<0，
即g(x1)则g(x)在R上单调递增．
(2)由f(x)－f(2－x)＋2x>2，则f(x)＋x>f(2－x)＋(2－x)，即g(x)>g(2－x)．
∵g(x)在R上单调递增，
∴x>2－x，解得x>1，
故不等式f(x)－f(2－x)＋2x>2的解集为(1，＋∞)．
13．(多选题)设函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调递减函数，并且同时满足下列两个条件：①对∀x，y∈(0，＋∞)，都有f(xy)＝f(x)＋f(y)；②feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝1.则下列结论正确的是( AB )
A.f(1)＝0
B.不等式f(x)＋f(3－x)<2的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)－\r(2)C.f(4)＝－1
D.使f(kx)＋f(3－x)<2有解的所有正数k的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(k\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(k>\f(4,9)))))
解析：因为对∀x，y∈(0，＋∞)，都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，令x＝y＝1，即f(1)＝f(1)＋f(1)，则f(1)＝0，故A正确；又feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝1，再令x＝eq \f(1,2)，y＝2，则f(1)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＋f(2)＝0，解得f(2)＝－1，令x＝y＝2，则f(4)＝f(2)＋f(2)＝－2，故C错误；由f(x)＋f(3－x)<2，x∈(0，3)，得f[x(3－x)]<2，当x＝eq \f(1,2)，y＝eq \f(1,2)时，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝2，即feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝2，于是f[x(3－x)]<2等价于f[x(3－x)]eq \f(1,4)，又0eq \f(1,4)且00，得k>eq \f(1,4x(3－x))，此不等式有解，等价于k>eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4x(3－x))))eq \s\d7(min)，在0eq \f(1,9)即为所求范围，故D错误，故选AB．
14．函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1((a－1)x＋\f(5,2)，x≤1，,\f(2a＋1,x)，x>1))在定义域R上满足对任意实数x1≠x2都有eq \f(f(x1)－f(x2),x1－x2)<0，则a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2))).
解析：根据题意知函数在R上单调递减，故满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－1<0，,2a＋1>0，,a－1＋\f(5,2)≥2a＋1，))
解得－eq \f(1,2)15．已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足：①对任意的x，y∈(0，＋∞)，都有f(xy)＝f(x)＋f(y)；②当且仅当x>1时，f(x)<0成立．
(1)求f(1)；
(2)判断f(x)的单调性，并用定义法证明；
(3)若对∀x∈[1，2]，使得不等式feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,x2)))≥feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))－4))恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)∵对任意的x，y∈(0，＋∞)，都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，
令x＝y＝1，则f(1)＝f(1)＋f(1)，∴f(1)＝0.
(2)函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数．
证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，
由f(xy)＝f(x)＋f(y)，可知f(x1)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2·\f(x1,x2)))＝f(x2)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1,x2)))，则f(x1)－f(x2)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1,x2)))，
∵x1>x2>0，∴eq \f(x1,x2)>1，
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1,x2)))<0，∴f(x1)－f(x2)<0，
∴f(x1)故函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数．
(3)由(2)知函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
∴当x∈[1，2]时，x2＋eq \f(1,x2)≤meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))－4恒成立，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))eq \s\up12(2)＋2≤meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))恒成立．
令t＝x＋eq \f(1,x)，则t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2，\f(5,2)))，
∴当t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2，\f(5,2)))时，t2＋2≤mt恒成立，即当t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2，\f(5,2)))时，m≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(2,t)))eq \s\d7(max)，
设g(t)＝t＋eq \f(2,t)，则函数g(t)＝t＋eq \f(2,t)在t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2，\f(5,2)))时为增函数，
∴g(t)max＝eq \f(5,2)＋eq \f(2,\f(5,2))＝eq \f(5,2)＋eq \f(4,5)＝eq \f(33,10)，∴m≥eq \f(33,10)，
又当t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2，\f(5,2)))时，mt－4>0恒成立，∴m>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,t)))eq \s\d7(max)，
∵y＝eq \f(4,t)在t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2，\f(5,2)))时为减函数，
∴ymax＝eq \f(4,2)＝2，∴m>2，
综上，实数m的取值范围为m≥eq \f(33,10).
第2课时 函数的最大(小)值
对应学生用书第066页
知识点 函数的最大(小)值
(1)最值首先是一个函数值，即存在一个自变量x0，使得f(x0)等于最值．
(2)对于定义域内的任意元素x，都有f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0))，“任意”两个字不可省略．
判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
1．任何函数都有最大(小)值．( × )
2．函数f(x)在[a，b]上的最值一定是f(a)(或f(b))．( × )
3．函数的最大值一定比最小值大．( √ )
4．若函数f(x)在区间[－1，2]上是减函数，则函数f(x)在区间[－1，2]上的最大值为f(－1)．( √ )
5．如果函数有最值，则最值一定是其值域中的一个元素．( √ )
对应学生用书第067页
类型一 利用函数的图象求最值
【例1】 (1)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2，－1≤x≤1，,\f(1,x)，x>1.))
求f(x)的最大值、最小值．
(2)已知函数f(x)＝x|x－2|.
①在平面直角坐标系中画出函数f(x)＝x|x－2|的图象；
②若a>0，求f(x)在[0，a]上的最大值．
【解】 (1)作出函数f(x)的图象(如图)．
由图象可知，当x＝±1时，f(x)取得最大值，为f(±1)＝1；当x＝0时，f(x)取得最小值，为f(0)＝0，故f(x)的最大值为1，最小值为0.
(2)①由题可知，f(x)＝x|x－2|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－2x，x≥2，,－x2＋2x，x<2，))
画出函数f(x)的图象如图．
②由a>0，由①的图象可知，函数f(x)在(－∞，1)和(2，＋∞)上单调递增，在(1，2)上单调递减．
当0所以当x＝a时，f(x)取得最大值为f(a)＝－a2＋2a；
当1所以当x＝1时，f(x)取得最大值为f(1)＝－12＋2×1＝1；
当a>2时，函数f(x)在[0，1]和[2，a]上单调递增，在(1，2)上单调递减．
所以f(x)max＝max{f(1)，f(a)}，
因为f(1)＝1，f(a)＝a2－2a，若f(1)≤f(a)，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a>2，,a2－2a≥1，))解得a≥1＋eq \r(2)，此时f(x)max＝f(a)＝a2－2a，
当2综上所述，f(x)的最大值为
f(x)max＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－a2＋2a，0图象法求函数最值的一般步骤
【变式训练1】 已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2，x≤0，,4－2x，x>0.))
(1)画出函数f(x)的图象；
(2)若x∈[－2，3]，求其值域；
(3)若f(x)≥2，求x的取值范围．
解：(1)画出函数f(x)的图象如图．
(2)由(1)可知：当x∈[－2，0]时，f(x)＝x2单调递减，f(x)＝x2∈[0，4]．
当x∈(0，3]时，f(x)＝4－2x单调递减，f(x)＝4－2x∈[－2，4)，
综上：函数f(x)的值域为[－2，4]．
(3)当x≤0时，由x2≥2，解得x≤－eq \r(2)，
当x>0时，由4－2x≥2，解得0综上：实数x的取值范围是(－∞，－eq \r(2)]∪(0，1]．
类型二 利用函数的单调性求最值
【例2】 (1)已知函数f(x)＝eq \f(2,3x－1).
①判断函数f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，＋∞))上的单调性，并证明；
②求函数f(x)在[1，5]上的最值．
(2)已知函数f(x)＝x＋eq \f(8,x).
①证明f(x)在区间[2eq \r(2)，＋∞)上递增；
②求f(x)在[3，6]上的最值．
【解】 (1)①函数f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，＋∞))
上单调递减，证明如下：
取∀x1，x2∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，＋∞))，规定x1eq \f(2(3x2－1)－2(3x1－1),(3x1－1)(3x2－1))＝eq \f(6(x2－x1),(3x1－1)(3x2－1)).
因为x1，x2∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，＋∞))，x10，3x2－1>0，x2－x1>0，所以f(x1)－f(x2)>0⇒f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，＋∞))上单调递减．
②由①知函数f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，＋∞))上单调递减，所以函数f(x)在[1，5]上单调递减，
所以f(x)min＝f(5)＝eq \f(2,3×5－1)＝eq \f(1,7)，f(x)max＝f(1)＝eq \f(2,3×1－1)＝1.
(2)①证明：∀x1，x2∈[2eq \r(2)，＋∞)，且2eq \r(2)≤x1∵2eq \r(2)≤x18，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)在[2eq \r(2)，＋∞)上是增函数．
②由①可知，f(x)在[3，6]上是增函数，∴f(x)min＝f(3)＝3＋eq \f(8,3)＝eq \f(17,3)，f(x)max＝f(6)＝6＋eq \f(8,6)＝eq \f(22,3).
1．利用单调性求最值的一般步骤
(1)判断函数的单调性．
(2)利用单调性写出最值．
2.函数的最值与单调性的关系
(1)若函数在闭区间[a，b]上单调递减，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)．
(2)若函数在闭区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．
(3)求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值．
【变式训练2】 (1)已知函数f(x)＝eq \f(2x－3,x－1).
①用定义法证明：f(x)在[3，6]上单调；
②求f(x)在[3，6]上的最大值与最小值．(2)设f(x)为二次函数，满足f(－1)＝f(3)，且在R上的最小值为3，f(0)＝4.
①求f(x)的解析式；
②设f(x)在[t－1，t＋1]上的最小值为g(t)，求g(t)的解析式．
解：(1)①证明：∀x1，x2∈[3，6]，且3≤x1又f(x)＝eq \f(2x－3,x－1)＝2－eq \f(1,x－1)，
所以f(x1)－f(x2)＝
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(1,x1－1)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(1,x2－1)))＝
eq \f(1,x2－1)－eq \f(1,x1－1)＝eq \f(x1－x2,(x2－1)(x1－1))，
因为3≤x10，x1－1>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)②由①可知f(x)在[3，6]上单调递增，故当x∈[3，6]时，
f(x)max＝f(6)＝eq \f(2×6－3,6－1)＝eq \f(9,5)，f(x)min＝f(3)＝eq \f(2×3－3,3－1)＝eq \f(3,2).
(2)①由题意设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
∵f(－1)＝f(3)，
∴a－b＋c＝9a＋3b＋c，Ⅰ
∵f(x)在R上的最小值为3，
∴a>0且eq \f(4ac－b2,4a)＝3，Ⅱ
∵f(0)＝4，∴c＝4，Ⅲ
联立ⅠⅡⅢ得a＝1，b＝－2，c＝4，
∴f(x)＝x2－2x＋4.
②函数f(x)＝x2－2x＋4的对称轴为直线x＝1，
Ⅰ当t≥2即t－1≥1时，函数f(x)在[t－1，t＋1]上是增函数，
∴f(x)min＝f(t－1)＝(t－1)2－2(t－1)＋4＝t2－4t＋7，
即g(t)＝t2－4t＋7；
Ⅱ当0f(x)min＝f(1)＝3，
即g(t)＝3；
Ⅲ当t≤0即t＋1≤1时，函数f(x)在[t－1，t＋1]上是减函数，
∴f(x)min＝f(t＋1)＝(t＋1)2－2(t＋1)＋4＝t2＋3，
即g(t)＝t2＋3.
综上所述，g(t)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(t2－4t＋7，t≥2，,3，0类型三 实际问题中的最值问题
【例3】 假设某冷藏运输车以不低于30 km/h的速度从甲地往相距300 km的乙地运送某种冷鲜食品时，总耗油量P(L)与行驶速度v(km/h)的关系为P＝k1v＋eq \f(k2,v)(k1，k2为常数)，冷藏成本Q(元)与行驶速度v成反比．已知该车某次以60 km/h的速度从甲地向乙地运送该冷鲜食品时，共耗油32 L，冷藏成本为108元，另一次以75 km/h的速度从甲地向乙地运送该冷鲜食品时，共耗油31 L．供货商每次按0.9元/(km•t)的价格付给司机运费，设货车油价保持8.1元/L不变．(该车从起步至速度达到30 km/h过程中的耗油量忽略不计)
(1)求该车从甲地向乙地运送该冷鲜食品的总成本f(v)(元)与行驶速度v(v≥30)的关系式；
(2)根据《道路交通安全法》规定，该车在此路段限速80 km/h，若该车从甲地运输5 t该冷鲜食品到乙地，则该车以多大的速度行驶时，收益最大？最大收益是多少元？
【解】 (1)依题意，有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(60k1＋\f(k2,60)＝32，,75k1＋\f(k2,75)＝31，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k1＝\f(1,5)，,k2＝1 200，))
P＝eq \f(1,5)v＋eq \f(1 200,v)，
设Q＝eq \f(n,v)(n≠0)，则有108＝eq \f(n,60)，
∴n＝6 480，∴Q＝eq \f(6 480,v)，
∴f(v)＝8.1P＋Q＝1.62v＋eq \f(9 720,v)＋eq \f(6 480,v)＝1.62v＋eq \f(16 200,v)(v≥30)．
(2)设收益为g(v)，则g(v)＝0.9×5×300－f(v)＝1 350－f(v)，
设h(v)＝v＋eq \f(10 000,v)，0∀v1，v2∈(0，100)，且0所以h(v1)－h(v2)＝v1＋eq \f(10 000,v1)－v2－eq \f(10 000,v2)＝eq \f((v1－v2)(v1v2－10 000),v1v2)>0，
即h(v1)>h(v2)，所以h(v)在(0，100)上是减函数，所以f(v)＝1.62 v＋eq \f(16 200,v)＝1.62eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(v＋\f(10 000,v)))在(0，100)上单调递减，
∵30≤v≤80，
∴f(v)min＝f(80)＝332.1，
∴g(v)max＝1 350－f(v)min＝1 017.9，
∴该车以80 km/h的速度行驶时，收益最大，最大收益是1 017.9元．
解应用题的步骤：(1)审清题意；(2)建立数学模型，将实际问题转化为数学问题；(3)总结结论，回归题意．
【变式训练3】 一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费y1(单位：万元)与仓库到车站的距离x(单位：km)成反比，每月库存货物费y2(单位：万元)与(4x＋1)成正比；若在距离车站10 km处建仓库，则y1与y2分别为2万元和8.2万元．记两项费用之和为w.
(1)求w关于x的解析式；
(2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？求出最小值．
解：(1)∵每月土地占地费y1(单位：万元)与仓库到车站的距离x(单位：km)成反比，
∴可设y1＝eq \f(k1,x)，
∵每月库存货物费y2(单位：万元)与(4x＋1)成正比，
∴可设y2＝k2(4x＋1)，
又∵在距离车站10 km处建仓库，则y1与y2分别为2万元和8.2万元，
∴k1＝2×10＝20，k2＝eq \f(8.2,4×10＋1)＝0.2，
∴y1＝eq \f(20,x)，y2＝0.2×(4x＋1)＝0.8x＋0.2，
∴w＝y1＋y2＝eq \f(20,x)＋0.8x＋0.2(x＞0)．
(2)∵w＝eq \f(20,x)＋0.8x＋0.2≥2eq \r(\f(20,x)·0.8x)＋0.2＝8.2，当且仅当eq \f(20,x)＝0.8x，即x＝5时等号成立，
∴这家公司应该把仓库建在距离车站5千米处，才能使两项费用之和最小，最小值为8.2万元．
对应学生用书第069页
1．函数y＝f(x)在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( C )
A.－1，0B.0，2
C.－1，2D.eq \f(1,2)，2
解析：由题图可得，函数f(x)在x＝－2处取得最小值－1，在x＝1处取得最大值2，故选C．
2．设函数f(x)＝3x－1(x<0)，则f(x)( D )
A.有最大值
B.有最小值
C.既有最大值又有最小值
D.既无最大值又无最小值
解析：由题意可知函数单调递增，但x<0，取不到最大值，也没有最小值．故选D．
3．函数y＝ax＋1在区间[1，3]上的最大值为4，则a＝1.
解析：显然a≠0，若a<0，则函数y＝ax＋1在区间[1，3]上是减函数，并且在区间的左端点处取得最大值，即a＋1＝4，解得a＝3，不满足a<0，舍去；若a>0，则函数y＝ax＋1在区间[1，3]上是增函数，并且在区间的右端点处取得最大值，即3a＋1＝4，解得a＝1，满足题意．综上，a＝1.
4．函数f(x)＝eq \f(1,x)，x∈[1，2]，则f(x)的最大值为1，最小值为eq \f(1,2).
解析：因为函数f(x)＝eq \f(1,x)在区间[1，2]上为减函数，则f(2)≤f(x)≤f(1)，即eq \f(1,2)≤f(x)≤1，故最大值为1，最小值为eq \f(1,2).
5. 已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－x(0≤x≤2)，,\f(2,x－1)(x>2)，))求函数f(x)的最大值、最小值．
解：作出函数f(x)的图象如图．
由图象可知，当x＝2时，f(x)取得最大值，为2；
当x＝eq \f(1,2)时，f(x)取得最小值，为－eq \f(1,4).
所以f(x)的最大值为2，最小值为－eq \f(1,4).
1．知识回顾
(1)函数的最大值、最小值定义．
(2)利用函数的图象求最值．
(3)利用函数的单调性求最值．
(4)实际问题中的最值问题．
2．易错提醒
(1)在利用单调性求最值时，勿忘求函数的定义域．
(2)求含参数的二次函数的最值时不要忘记按对称轴与区间的位置分类讨论．
课时作业22对应学生用书第261页
一、单项选择题
1. 函数y＝x2＋2x－1在[0，3]上的最小值为( C )
A.0B.－4
C.－1D.－2
解析：因为y＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2，其图象的对称轴为直线x＝－1，所以函数y＝x2＋2x－1在[0，3]上单调递增，即当x＝0时，该函数取得最小值，最小值为－1.
2．若函数y＝ax＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是( B )
A.3B.±2
C.1D.0
解析：根据题意，当a>0时，函数y＝ax＋1在[1，2]上单调递增，所以2a＋1－(a＋1)＝2，解得a＝2.当a<0时，函数y＝ax＋1在[1，2]上单调递减，所以a＋1－(2a＋1)＝2，解得a＝－2.所以a＝±2，故选B．
3．函数y＝x2－2x，x∈[0，3]的值域为( D )
A.[0，3]B.[－1，0]
C.[－1，＋∞)D.[－1，3]
解析：∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0，3]，∴当x＝1时，函数取得最小值－1，当x＝3时，函数取得最大值3，故函数的值域为[－1，3]．
4．用长度为24 m的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙(平行于矩形的一条边)，要使矩形的面积最大，则每道隔墙的长度为( A )
A.3 mB.4 m
C.5 mD.6 m
解析：设每道隔墙长度为x m，场地面积为S m2，则S＝x•eq \f(24－4x,2)＝12x－2x2＝－2(x－3)2＋18.所以当x＝3时，S有最大值．故选A．
5．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x(其中销售量x的单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( C )
A.90万元B.60万元
C.120万元万元
解析：设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15－x)辆，公司获利为L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(19,2)))eq \s\up12(2)＋30＋eq \f(192,4)，∴当x＝9或10时，能获得最大利润，最大利润为120万元．
二、多项选择题
6．若函数f(x)＝x2－4x＋1在区间A上的值域为[－3，1]，则区间A可能为( ABC )
A.[0，4]B.[2，4]
C.[1，4]D.[－3，5]
解析：∵函数f(x)＝x2－4x＋1的图象是开口向上的抛物线，以直线x＝2为对称轴，∴函数f(x)在区间(－∞，2)上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增．当x∈[0，4]时，函数的最小值为f(2)＝－3，最大值为f(0)＝f(4)＝1，得函数的值域为[－3，1]；当x∈[2，4]时，函数的最小值为f(2)＝－3，最大值为f(4)＝1，得函数的值域为[－3，1]；当x∈[1，4]时，函数的最小值为f(2)＝－3，∵f(1)＝－2f(5)＝6，∴最大值为f(－3)＝22，得函数的值域为[－3，22]．根据以上的讨论可得区间A不可能为[－3，5]．故选ABC．
7．已知f(x)＝x，g(x)＝x2－2x，F(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(g(x)，f(x)≥g(x)，,f(x)，f(x)A.F(x)的最大值为3
B.F(x)的最小值为－1
C.F(x)无最小值
D.F(x)无最大值
解析：由f(x)≥g(x)得0≤x≤3；由f(x)3，所以F(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－2x，0≤x≤3，,x，x<0或x>3.))作出函数F(x)的图象(图略)，可得F(x)无最大值，无最小值．
三、 填空题
8．设函数y＝f(x)的定义域为[－4，6]，且在区间[－4，－2]上递减，在区间[－2，6]上递增，f(－4)解析：函数y＝f(x)在[－4，6]上的大致图象如图所示．
观察可知，f(x)min＝f(－2)．又由题意可知f(－4)9．若函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋6，x∈[1，2]，,x＋7，x∈[－1，1)，))则f(x)的最大值为10，最小值为6.
解析：x∈[1，2]时，2x＋6∈[8，10]；x∈[－1，1)时，x＋7∈[6，8)，因此最大值为10，最小值为6.
10．函数f(x)＝eq \f(x,x＋2)在区间[2，4]上的最大值为eq \f(2,3)，最小值为eq \f(1,2).
解析：f(x)＝eq \f(x,x＋2)＝eq \f(x＋2－2,x＋2)＝1－eq \f(2,x＋2)，在[2，4]上，若x越大，则x＋2越大，eq \f(2,x＋2)越小，－eq \f(2,x＋2)越大，1－eq \f(2,x＋2)越大，故函数f(x)在[2，4]上是增函数，∴f(x)min＝f(2)＝eq \f(2,2＋2)＝eq \f(1,2)，f(x)max＝f(4)＝eq \f(4,4＋2)＝eq \f(2,3).
四、解答题
11．已知f(x)＝eq \f(x＋1,x－1).
(1)判断f(x)的单调性并用定义法证明；
(2)求f(x)在区间[2，4]上的最大值和最小值．
解：(1)f(x)＝eq \f(x＋1,x－1)＝1＋eq \f(2,x－1)，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．
f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上单调递减，证明如下：
∀x1，x2∈(1，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝1＋eq \f(2,x1－1)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(2,x2－1)))＝eq \f(2(x2－x1),(x1－1)(x2－1))，
∵x1，x2∈(1，＋∞)，且x1∴x2－x1>0，x1－1>0，x2－1>0，
∴eq \f(2(x2－x1),(x1－1)(x2－1))>0，
∴f(x1)>f(x2)，
∴函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减，
同理可得函数f(x)在(－∞，1)上单调递减．
(2)由(1)得函数f(x)在[2，4]上单调递减，
∴f(x)max＝f(2)＝3，f(x)min＝f(4)＝eq \f(5,3).
12．设函数f(x)＝x2－4ax＋3.
(1)当a＝1时，求f(x)<0的解集；
(2)函数f(x)在区间[1，3]有单调性， 求实数a的取值范围；
(3)求函数f(x)在区间[1，3]上的最小值h(a)．
解：(1)当a＝1时，x2－4x＋3<0，∴1(2)f(x)＝(x－2a)2＋3－4a2，f(x)在区间[1，3]上单调，
则2a≤1或2a≥3，
解得a≤eq \f(1,2)或a≥eq \f(3,2).
即实数a的取值范围为a≤eq \f(1,2)或a≥eq \f(3,2).
(3)当a≤eq \f(1,2)时，2a≤1，f(x)在[1，3]上是增函数，h(a)＝f(1)＝4－4a；
当eq \f(1,2)当a≥eq \f(3,2)时，f(x)在区间[1，3]上是减函数，h(a)＝f(3)＝12－12a.
综上，h(a)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4－4a，a≤\f(1,2)，,3－4a2，\f(1,2)13．(多选题)设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ax－1，xA.－2B.－1
C.0D.1
解析：因为f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ax－1，x0，当x14．已知函数f(x)＝eq \f(1,a)－eq \f(1,x)(a>0，x>0)，则该函数为增函数(填“增”或“减”)；若f(x)<2x在(0，＋∞)上恒成立，则实数a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),4)，＋∞)).
解析：f(x)＝eq \f(1,a)－eq \f(1,x)(a>0)在(0，＋∞)上单调递增．f(x)<2x，即eq \f(1,a)－eq \f(1,x)<2x(a>0)在(0，＋∞)上恒成立，变形为eq \f(1,a)<2x＋eq \f(1,x)(a>0)在(0，＋∞)上恒成立，令h(x)＝2x＋eq \f(1,x)，x∈(0，＋∞)，则由对勾函数的性质得h(x)＝2x＋eq \f(1,x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))上单调递减，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，＋∞))上单调递增，故h(x)≥heq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))＝2eq \r(2)，所以eq \f(1,a)<2eq \r(2)(a>0)，解得a>eq \f(\r(2),4)，所以实数a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),4)，＋∞)).
15．平阳木偶戏又称傀儡戏、木头戏，是浙江省温州市的传统民间艺术之一，平阳木偶戏是以提线木偶为主，活跃于集镇乡村、广场庙会上，演绎着古今生活百态，其表演形式独特，活泼多样，具有浓厚的地方色彩和很高的观赏性与研究价值．现有一位木偶制作传承人想要把一块长为4 dm(dm是分米符号)，宽为3 dm的矩形木料沿一条直线MN切割成两部分来制作木偶的不同部位．若割痕MN(线段)将木料分为面积比为1∶λ的两部分(含点A的部分面积不大于含点C的部分面积，M，N可以和矩形顶点重合)，有如图三种切割方式，①M点在线段AB上，N点在线段AD上；②M点在线段AB上，N点在线段DC上；③M点在线段AD上，N点在线段BC上．设AM＝x dm，割痕MN(线段)的长度为y dm．
(1)当λ＝1时，请在以上三种方式中任意选择一种，写出割痕MN的取值范围；(无须求解过程，若写出多种以第一个答案为准)
(2)当λ＝2时，判断以上三种方式中哪一种割痕MN的最大值较小，并说明理由．
解：(1)选①：y＝5，选②：y∈[3，5]，选③：y∈[4，5]．
(2)选①：令AN＝z，则S△AMN＝eq \f(1,2)xz＝4，z＝eq \f(8,x)，y＝eq \r(x2＋z2)＝eq \r(x2＋\f(64,x2))，
∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0≤x≤4，,0≤z≤3，,z＝\f(8,x)，))∴eq \f(8,3)≤x≤4，
∴x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(eq \f(8,3)，2eq \r(2)))时，y＝f(x)为减函数，当x∈[2eq \r(2)，4]时，y＝f(x)为增函数．
x＝eq \f(8,3)时，y＝eq \f(\r(145),3)，当x＝4时，y＝2eq \r(5)，∴ymax＝2eq \r(5).
选②：令DN＝z，则S四边形AMND＝eq \f(1,2)(x＋z)×3＝4，z＝eq \f(8,3)－x，y＝eq \r((x－z)2＋9)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(8,3)))\s\up12(2)＋9)，
∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0≤x≤4，,0≤z≤4，,z＝\f(8,3)－x，))∴0≤x≤eq \f(8,3)，
∴当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(4,3)))时，y＝f(x)为减函数，当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(eq \f(4,3)，\f(8,3)))时，y＝f(x)为增函数，
∴x＝0或x＝eq \f(8,3)时，ymax＝eq \f(\r(145),3).
选③：令BN＝z，则S四边形AMNB＝eq \f(1,2)(x＋z)×4＝4，z＝2－x，y＝eq \r((x－z)2＋16)＝2eq \r((x－1)2＋4)，
∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0≤x≤3，,0≤z≤3，,z＝2－x，))∴0≤x≤2.
∴当x∈[0，1]时，y＝f(x)为减函数，当x∈[1，2]时，y＝f(x)为增函数，
∴当x＝0或x＝2时，ymax＝2eq \r(5).
综上所述，方式②割痕MN的最大值较小，值为eq \f(\r(145),3).
3．2.2 奇偶性
第1课时 函数的奇偶性
对应学生用书第070页
知识点一 偶函数、奇函数的概念
知识点二 偶函数、奇函数的图象特征
1.偶函数的图象特征
若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．
2.奇函数的图象特征
若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．
判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
1．若f(x)为R上的偶函数，且f(2)＝3，则f(－2)＝3.( √ )
2．若f(x)是偶函数，则必有f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．( √ )
3．对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数．( × )
4．函数y＝x2(－1≤x<1)是偶函数．( × )
5．若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数．( × )
对应学生用书第070页
类型一 具体函数的奇偶性判断
【例1】 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x3－eq \f(1,x)；
(2)f(x)＝(x－1)eq \r(\f(1＋x,1－x))；
(3)f(x)＝eq \r(3－x2)＋eq \r(x2－3)；
(4)f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2x，x<－1，,2，－1≤x≤1，,2x，x>1.))
【解】 (1)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，
又f(－x)＝(－x)3－eq \f(1,－x)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x3－\f(1,x)))＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
(2)因为f(x)的定义域为[－1，1)，不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(3)因为f(x)的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\r(3)，\r(3)))，
所以f(x)＝0，
则f(x)既是奇函数又是偶函数．
(4)因为函数f(x)的定义域为R，所以函数f(x)的定义域关于原点对称．
①当x>1时，－x<－1，
所以f(－x)＝(－2)×(－x)＝2x＝f(x)；
②当－1≤x≤1时，f(x)＝2；
③当x<－1时，－x>1，
所以f(－x)＝2×(－x)＝－2x＝f(x)．
综上，可知函数f(x)为偶函数．
判断函数奇偶性的方法
(1)定义法
(2)图象法
【变式训练1】 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝eq \f(\r(4－x2),|x＋3|－3)；
(2)f(x)＝eq \r(1－x2)＋eq \r(x2－1)；
(3)f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－2x＋3，x>0，,0，x＝0，,－x2－2x－3，x<0.))
解：(1)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4－x2≥0，,|x＋3|－3≠0，))
得－2≤x≤2，且x≠0，
所以f(x)的定义域为[－2，0)∪(0，2]，关于原点对称，
所以f(x)＝eq \f(\r(4－x2),|x＋3|－3)＝eq \f(\r(4－x2),x＋3－3)＝eq \f(\r(4－x2),x).
又f(－x)＝eq \f(\r(4－(－x)2),－x)＝－eq \f(\r(4－x2),x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
(2)对于函数f(x)＝eq \r(1－x2)＋eq \r(x2－1)，有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－x2≥0，,x2－1≥0，))∴x＝±1，其定义域为{－1，1}，关于原点对称．
因为对定义域内的每一个x，都有f(x)＝0，所以f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)＝eq \r(1－x2)＋eq \r(x2－1)既是奇函数又是偶函数．
(3)函数f(x)的定义域为R，定义域关于原点对称．
①当x＝0时，－x＝0，
所以f(－x)＝f(0)＝0，f(x)＝f(0)＝0，所以f(－x)＝－f(x)；
②当x>0时，－x<0，
所以f(－x)＝－(－x)2－2(－x)－3＝－(x2－2x＋3)＝－f(x)；
③当x<0时，－x>0，
所以f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝－(－x2－2x－3)＝－f(x)．
综上，可知函数f(x)为奇函数．
类型二 抽象函数的奇偶性判断
【例2】 (1)设函数f(x)对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，证明：f(x)为奇函数．
【证明】 函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，
因为函数f(x)对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
令x＝y＝0，则f(0)＝2f(0)，得f(0)＝0，
令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)，
所以f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
(2)已知f(x)为R上的奇函数，g(x)为R上的偶函数，且g(x)≠0，则下列说法正确的是( D )
A.f(x)＋g(x)为R上的奇函数
B.f(x)－g(x)为R上的奇函数
C.eq \f(f(x),g(x))为R上的偶函数
D.|f(x)g(x)|为R上的偶函数
【解析】 因为f(x)为R上的奇函数，g(x)为R上的偶函数，所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，x∈R，
设F(x)＝f(x)＋g(x)，
则F(－x)＝f(－x)＋g(－x)＝－f(x)＋g(x)≠－f(x)－g(x)＝－F(x)，故A错误；x∈R，设N(x)＝f(x)－g(x)，则N(－x)＝f(－x)－g(－x)＝－f(x)－g(x)≠－f(x)＋g(x)＝－N(x)，故B错误；x∈R，g(x)≠0，设M(x)＝eq \f(f(x),g(x))，则M(－x)＝eq \f(f(－x),g(－x))＝－eq \f(f(x),g(x))＝－M(x)≠M(x)，故C错误；x∈R，设H(x)＝|f(x)g(x)|，则H(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|＝H(x)，所以H(x)为偶函数，故D正确．
抽象函数的奇偶性判断：在定义域下，研究f(－x)与f(x)的关系，要抓住题目条件所给抽象函数关系式的结构特征，可以先通过“赋值法”，确定x＝0，x＝1等特殊点处f(0)，f(1)的值，再通过合理“赋值”建立f(－x)与f(x)的关系，从而达到确定函数奇偶性的等价条件．
【变式训练2】 (1)已知函数f(x)，x∈R，若对于任意实数x1，x2，都有f(x1＋x2)＋f(x1－x2)＝2f(x1)f(x2)，求证：f(x)为偶函数．
(2)若函数f(x)的定义域为(－l，l)(l>0)，证明：f(x)＋f(－x)是偶函数，f(x)－f(－x)是奇函数．
证明：(1)令x1＝0，x2＝x，得f(x)＋f(－x)＝2f(0)f(x)①，
令x2＝0，x1＝x，得f(x)＋f(x)＝2f(0)f(x)②.
由①②得f(x)＋f(－x)＝f(x)＋f(x)，即f(－x)＝f(x)．
∴f(x)是偶函数．
(2)∵x∈(－l，l)，∴－x∈(－l，l)，
可见f(－x)的定义域也是(－l，l)．
若设F(x)＝f(x)＋f(－x)，G(x)＝f(x)－f(－x)，则F(x)与G(x)的定义域也是(－l，l)，显然是关于坐标原点对称的．
又F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)，
G(－x)＝f(－x)－f(x)＝
－[f(x)－f(－x)]＝－G(x)，
∴F(x)为偶函数，G(x)为奇函数，
即f(x)＋f(－x)是偶函数，f(x)－f(－x)是奇函数．
类型三 奇、偶函数的图象及应用
【例3】 (1)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．
①请补全函数y＝f(x)的图象；
②根据图象写出函数y＝f(x)的单调递增区间；
③根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合．
【解】 ①由题意作出函数图象如图．
②由图可知，单调递增区间为(－1，0)，(1，＋∞)．
③由图可知，使f(x)<0的x的取值集合为{x|－2(2)已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，在(0，＋∞)上的图象如图所示，则使f(x)<0的x的取值集合为(－3，0)∪(3，＋∞)．
解析：y＝f(x)的图象如图所示，由图易知f(x)<0的x的取值集合为(－3，0)∪(3，＋∞)．
(3)判断函数f(x)＝eq \f(x,x2＋1)的奇偶性，画出草图，写出单调区间．
解：易知函数定义域是R，
f(－x)＝eq \f(－x,(－x)2＋1)＝－eq \f(x,x2＋1)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，f(0)＝0，
当x>0时，f(x)＝eq \f(1,x＋\f(1,x))，结合对勾函数y＝x＋eq \f(1,x)的性质可得草图：
由图可知：(－∞，－1)和(1，＋∞)是减区间，(－1，1)是增区间．
巧用奇、偶函数的图象求解问题
(1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称．
(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式问题．
【变式训练3】 (1)已知函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)g(x)的图象可能是( D )

A B C D
解析：由题图知，y＝f(x)•g(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，令g(x)＝0时，x＝x1或x＝x2，设x10，故A，B错误；由分析知，y＝f(x)g(x)是奇函数，关于原点对称，故C错误；由题图知，当x∈(－∞，x1)时，g(x)>0，f(x)<0，f(x)g(x)<0，当x∈(x1，0)时，g(x)<0，f(x)<0，f(x)g(x)>0，结合奇函数的对称性可得x∈(0，＋∞)时的图象，故D正确．故选D．
(2)定义在[－3，－1]∪[1，3]上的函数f(x)是奇函数，其部分图象如图所示．
①请在坐标系中补全函数f(x)的图象；
②比较f(1)与f(3)的大小．
解：①由于f(x)是奇函数，则其图象关于原点对称，其图象如图所示．
②观察图象，知f(1)>f(3)．
类型四 利用函数的奇偶性求值
【例4】 (1)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋1，则f(－2)＝－5，f(0)＝0.
【解析】 ∵f(x)是定义在R上的奇函数， 当x>0时，f(x)＝x2＋1，∴f(－2)＝－f(2)＝－(22＋1)＝－5，f(0)＝0.
(2)已知奇函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x3－1，x<0，,g(x)，x>0，))则f(－1)＋g(2)＝7.
【解析】 当x>0时，－x<0，f(－x)＝(－x)3－1＝－x3－1，又因为函数y＝f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝x3＋1＝g(x)．
所以f(－1)＋g(2)＝(－1)3－1＋23＋1＝7.
(3)已知定义域为R的函数g(x)＝f(2x)＋x2为奇函数，且f(2)＝3，则f(－2)＝－5.
【解析】 由题意得g(1)＝f(2)＋1＝3＋1＝4，又g(x)是奇函数．
所以g(－1)＝－4，又g(－1)＝f(－2)＋1，所以f(－2)＝－4－1＝－5.
利用奇偶性求值的常见类型
(1)求参数值：若解析式含参数，则根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数．
(2)求函数值：利用f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值．
【变式训练4】 (1)函数f(x)对任意的实数a，b都满足：f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，且f(2)＝1，则f(－2)＝－1.
解析：由题意，当a＝b＝0时，f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0，
∵f(0)＝f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＝0，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
∴f(－2)＝－f(2)＝－1.
(2)若函数y＝f(x)是定义域为R的偶函数，则f(1＋eq \r(2))－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,1－\r(2))))＝0.
解析：因为eq \f(1,1－\r(2))＝－(1＋eq \r(2))，所以f(1＋eq \r(2))－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,1－\r(2))))＝f(1＋eq \r(2))－f(－(1＋eq \r(2)))，
又因为y＝f(x)是定义域为R的偶函数，所以f(x)＝f(－x)，
所以f(1＋eq \r(2))－f(－(1＋eq \r(2)))＝f(1＋eq \r(2))－f(1＋eq \r(2))＝0.
(3)设偶函数f(x)满足：f(1)＝2，且当xy≠0时，f(eq \r(x2＋y2))＝eq \f(f(x)f(y),f(x)＋f(y))，则f(－5)＝eq \f(2,25).
解析：f(eq \r(2))＝f(eq \r(12＋12))＝
eq \f(f(1)f(1),f(1)＋f(1))＝1，
f(2)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r((\r(2))2＋(\r(2))2)))＝
eq \f(f(\r(2))f(\r(2)),f(\r(2))＋f(\r(2)))＝eq \f(1×1,1＋1)＝eq \f(1,2)，
f(eq \r(5))＝f(eq \r(12＋22))＝
eq \f(f(1)f(2),f(1)＋f(2))＝eq \f(2×\f(1,2),2＋\f(1,2))＝eq \f(2,5)，
f(eq \r(10))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r((\r(5))2＋(\r(5))2)))＝
eq \f(f(\r(5))f(\r(5)),f(\r(5))＋f(\r(5)))＝eq \f(\f(2,5)×\f(2,5),\f(2,5)＋\f(2,5))＝eq \f(1,5).
f(eq \r(20))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r((\r(10))2＋(\r(10))2)))＝
eq \f(f(\r(10))f(\r(10)),f(\r(10))＋f(\r(10)))＝eq \f(\f(1,5)×\f(1,5),\f(1,5)＋\f(1,5))＝eq \f(1,10)，
f(5)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r((\r(20))2＋(\r(5))2)))＝
eq \f(f(\r(20))f(\r(5)),f(\r(20))＋f(\r(5)))＝eq \f(\f(1,10)×\f(2,5),\f(1,10)＋\f(2,5))＝eq \f(2,25)，
∵f(x)是偶函数，∴f(－5)＝f(5)＝eq \f(2,25).
对应学生用书第073页
1．下列函数既是偶函数，又在(0，＋∞)上单调递增的是( C )
A.y＝x B.y＝－x2
C.y＝|x| D.y＝eq \f(1,x)
解析：y＝x为奇函数，所以A不符合题意；y＝－x2为偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，所以B不符合题意；y＝|x|既是偶函数，又在(0，＋∞)上单调递增，所以C符合题意；y＝eq \f(1,x)为奇函数，所以D不符合题意．故选C．
2．已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋mx＋2，且f(1)＝－2，则f(2)的值为( A )
A.－4 B.0
C.4 D.2
解析：∵f(x)是R上的奇函数，
∴f(－1)＝－f(1)＝2，即1－m＋2＝2，m＝1.f(－2)＝(－2)2＋(－2)×1＋2＝4，∴f(2)＝－f(－2)＝－4.
3．已知函数f(x)＝x2＋(2－m)x＋m2＋12为偶函数，则m的值是( C )
A.4 B．3
C．2 D.1
4．设函数f(x)＝eq \f((x＋1)(x＋a),x)为奇函数，则a＝－1.
解析：因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即eq \f((－x＋1)(－x＋a),－x)＝
－eq \f((x＋1)(x＋a),x)，
显然x≠0，得a＝－1.
5．已知函数f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f(3)＝7.
解析：令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，则g(x)是奇函数，∴f(－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2，又f(－3)＝－3，
∴g(3)＝5.又f(3)＝g(3)＋2，
∴f(3)＝5＋2＝7.
1．知识回顾
(1)函数奇偶性的概念．
(2)奇函数、偶函数的图象特征．
(3)函数奇偶性的判断、求值．
2．易错提醒
忽略奇、偶函数的定义域关于原点对称．
课时作业23对应学生用书第263页
一、单项选择题
1．函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则a＝( C )
A.－1 B.0
C.1 D.无法确定
解析：∵奇函数的定义域关于原点对称，∴a－1＝0，即a＝1.
2．设函数f(x)＝eq \f(2,x＋1)，则下列函数中为奇函数的是( D )
A.f(x)＋1 B.f(x＋1)
C.f(x)－1 D.f(x－1)
解析：因为f(x)＝eq \f(2,x＋1)，f(x)＋1＝eq \f(2,x＋1)＋1，定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，定义域不关于原点对称，故A错误；f(x＋1)＝eq \f(2,x＋1＋1)＝eq \f(2,x＋2)，定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)，定义域不关于原点对称，故B错误；f(x)－1＝eq \f(2,x＋1)－1，定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，定义域不关于原点对称，故C错误；f(x－1)＝eq \f(2,x－1＋1)＝eq \f(2,x)，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，定义域关于原点对称，为奇函数，故D正确．故选D．
3．设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是( C )
A.f(x)f(－x)是奇函数
B.f(x)|f(－x)|是奇函数
C.f(x)－f(－x)是奇函数
D.f(x)＋f(－x)是奇函数
解析：设F(x)＝f(x)f(－x)，F(－x)＝f(－x)f(x)＝F(x)，则f(x)f(－x)为偶函数，A错误；设G(x)＝f(x)•|f(－x)|，则G(－x)＝f(－x)•|f(x)|，G(x)与G(－x)关系不定，即不能确定f(x)·|f(－x)|的奇偶性，B错误；设M(x)＝f(x)－f(－x)，则M(－x)＝f(－x)－f(x)＝－M(x)，则f(x)－f(－x)为奇函数，C正确；设N(x)＝f(x)＋f(－x)，则N(－x)＝f(－x)＋f(x)＝N(x)，则f(x)＋f(－x)为偶函数，D错误．故选C．
4．若f(x)＝3x3＋5x＋a－1为R上的奇函数，则a的值为( C )
A.0 B.－1
C.1 D.2
解析：∵f(x)为R上的奇函数，
∴f(0)＝0，得a＝1.
5．如图，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，则f(－2)＋f(－1)的值为( A )
A.－2 B.2
C.1 D.0
解析：f(－2)＋f(－1)＝－f(2)－f(1)＝－eq \f(3,2)－eq \f(1,2)＝－2.
二、多项选择题
6．下列命题正确的是( CD )
A.偶函数的图象一定与y轴相交
B.奇函数的图象一定通过原点
C.若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则恒有f(0)＝0
D.若函数f(x)为偶函数，则有f(x)＝f(－x)＝f(|x|)
解析：函数f(x)＝eq \f(1,x2)是偶函数，但与y轴不相交，所以A不正确；函数f(x)＝eq \f(1,x)是奇函数，但图象不过原点，所以B不正确；由奇偶性的定义知C，D正确．
7．对于定义在R上的函数f(x)，则下列判断正确的是( BD )
A.若函数f(x)满足f(－2)＝f(2)，则f(x)是偶函数
B.若函数f(x)满足f(－2)≠f(2)，则f(x)不是偶函数
C.若函数f(x)满足f(2)＞f(1)，则f(x)是R上的单调增函数
D.若函数f(x)满足f(2)＞f(1)，则f(x)不是R上的单调减函数
解析：若f(x)＝x(x2－4)，则f(－2)＝0，f(2)＝0，故f(－2)＝f(2)，又f(x)的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝－x[(－x)2－4]＝－x(x2－4)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故A错误；依据偶函数的定义知，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)，则可知满足f(2)≠f(－2)的函数必然不是偶函数，故B正确；若f(x)＝x2，则f(2)＝4，f(1)＝1，故f(2)＞f(1)，但函数f(x)＝x2在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，故C错误；因为2＞1，f(2)＞f(1)，所以f(x)不是R上的单调减函数，故D正确．
三、 填空题
8．已知函数f(x)是定义在[－3，0)∪(0，3]上的奇函数，当x>0时，f(x)的图象如图所示，那么f(x)的值域是[－3，－1)∪(1，3]．
解析：因为当09．已知g(x)＝f(x)＋|x－1|是奇函数，且f(－1)＝1，则g(1)＝－3.
解析：因为函数g(x)＝f(x)＋|x－1|是奇函数，且f(－1)＝1，则g(－1)＝f(－1)＋|－1－1|＝1＋2＝3，故g(1)＝－g(－1)＝－3.
10．已知定义域为[a－4，2a－2]的奇函数f(x)＝2 022x3－5x＋b＋2，则f(a)＋f(b)的值为0.
解析：∵f(x)＝2 022x3－5x＋b＋2为定义在[a－4，2a－2]上的奇函数．∴a－4＋(2a－2)＝0，且f(0)＝b＋2＝0，解得a＝2，b＝－2.所以f(a)＋f(b)＝f(2)＋f(－2)＝f(2)－f(2)＝0.
四、解答题
11．设函数y＝f(x)(x∈R，且x≠0)对任意非零实数x1，x2，恒有f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(－1)及f(1)的值；
(2)判断函数f(x)的奇偶性．
解：(1)∵y＝f(x)对任意非零实数x1，x2，
恒有f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，
令x1＝x2＝1，代入得f(1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0，
令x1＝x2＝－1, 代入得f(1)＝f(－1)＋f(－1)，可得f(－1)＝0.
(2)取x1＝－1，x2＝x，代入f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，
得f(－x)＝f(x)，
又函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
∴函数f(x)是偶函数．
12．已知函数f(x)是正比例函数，函数g(x)是反比例函数，且f(1)＝1，g(1)＝2.
(1)求函数f(x)和g(x)；
(2)判断f(x)＋g(x)的奇偶性；
(3)求函数f(x)＋g(x)在(0，2)上的最小值．
解：(1)设f(x)＝k1x，g(x)＝eq \f(k2,x)(k1，k2≠0)，则1＝f(1)＝k1，2＝g(1)＝k2，
∴f(x)＝x，g(x)＝eq \f(2,x).
(2)令h(x)＝f(x)＋g(x)＝x＋eq \f(2,x)，
则其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
又h(－x)＝－x＋eq \f(2,－x)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(2,x)))＝－h(x)，
∴f(x)＋g(x)为奇函数．
(3)∵当x∈(0，2)时，f(x)＋g(x)＝x＋eq \f(2,x)≥2eq \r(x•\f(2,x))＝2eq \r(2)，
当且仅当x＝eq \f(2,x)，即x＝eq \r(2)∈(0，2)时等号成立，故f(x)＋g(x)在(0，2)上的最小值为2eq \r(2).
13．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\r(x)，x≥0，,g(x)，x<0))是定义在R上的奇函数，则g(x)＝( D )
A.eq \r(x) B．－eq \r(x)
C.eq \r(－x) D．－eq \r(－x)
解析：由于f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\r(x)，x≥0，,g(x)，x<0.))当x<0时，－x>0，此时f(x)＝g(x)，且f(－x)＝eq \r(－x).又f(x)是定义在R上的奇函数．所以当x<0时，g(x)＝f(x)＝－f(－x)＝－eq \r(－x).
14．已知函数y＝f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是0.
解析：由于偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称，因此，四个交点中，有两个在y轴左侧，另两个在y右侧，所以四个实根的和为0.
15．已知函数f(x)的定义域为R，值域为(0，＋∞)，φ(x)＝eq \f(f(x)－1,f(x)＋1)在R上恒成立，且对任意m，n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)f(n)．
(1)求f(0)的值，并证明φ(x)为奇函数；
(2)当x>0时，f(x)>1，且f(3)＝4，证明f(x)为R上的增函数，并解不等式φ(x)>eq \f(15,17).
解：(1)令m＝n＝0，得f(0)＝f(0)f(0)，
又函数f(x)的值域为(0，＋∞)，
∴f(0)＝1.
证明：∵f(0)＝f(－x＋x)＝f(－x)f(x)，
∴f(－x)＝eq \f(1,f(x))，
∴φ(－x)＝eq \f(f(－x)－1,f(－x)＋1)＝
eq \f(\f(1,f(x))－1,\f(1,f(x))＋1)＝eq \f(1－f(x),1＋f(x))＝－φ(x)，
∴φ(x)为奇函数．
(2)证明：任取x1f(x1)－f(x2)＝f(x1)－f(x2－x1＋x1)＝f(x1)－f(x2－x1)f(x1)＝f(x1)[1－f(x2－x1)]．
∵x10，
∵当x>0时，f(x)>1，∴f(x2－x1)>1，∴1－f(x2－x1)<0，
又函数f(x)的值域为(0，＋∞)，
∴f(x1)[1－f(x2－x1)]<0，得f(x1)∴f(x)为R上的增函数．
由φ(x)>eq \f(15,17)，得eq \f(f(x)－1,f(x)＋1)>eq \f(15,17)，化简得f(x)>16，
∵f(3)＝4，∴16＝f(3)f(3)＝f(6)．
又f(x)为R上的增函数，∴x>6.
故φ(x)>eq \f(15,17)的解集为{x|x>6}．
第2课时 函数奇偶性的应用
对应学生用书第073页
知识点一 用奇偶性求解析式的步骤
如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路如下：
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设；
(2)利用已知区间的解析式进行代入；
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．
知识点二 函数的奇偶性与单调性
1.若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a2.若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a3.若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a4.若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a以上a，b符号相同．
判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
1．若函数f(x)在y轴两侧的单调性相反，则f(x)是偶函数．( × )
2．若函数f(x)是奇函数，则函数y＝f(－2x)也是奇函数．( √ )
3．已知f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋eq \f(1,x)－1，则当x<0时，f(x)＝－x2－eq \f(1,x)＋1.( × )
4．若偶函数f(x)在区间(0，＋∞)内单调递减，且f(2m－1)>f(m＋3)，则必有2m－15．函数f(x)满足f(x)－2f(－x)＝x－1，则f(x)＝eq \f(1,3)x＋1.( √ )
对应学生用书第074页
类型一 根据奇偶性求解析式
【例1】 (1)若函数f(x)是定义在(－1，1)上的奇函数，当x∈(－1，0)时，f(x)＝x3－1，则函数f(x)的解析式为
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x3＋1，0【解析】 当x∈(0，1)时，－x∈(－1，0)，则f(－x)＝(－x)3－1＝－x3－1，因为函数f(x)是定义在(－1，1)上的奇函数，所以当x∈(0，1)时，f(x)＝－f(－x)＝x3＋1，当x＝0时，f(x)＝0，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x3＋1，0(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，若当x≥0时，f(x)＝x2＋4x，则当x<0时，f(x)的解析式是f(x)＝x2－4x.
【解析】 若x<0，则－x>0，则f(－x)
＝x2－4x＝f(x)，则当x<0时，f(x)＝x2－4x.
(3)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)＋g(x)＝eq \f(1,x－1)，x∈(－1，1)，则f(x)＝eq \f(x,x2－1)；g(x)＝eq \f(1,x2－1).
【解析】 ∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)．
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f(x)＋g(x)＝\f(1,x－1)，,f(－x)＋g(－x)＝\f(1,－x－1)，))
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f(x)＋g(x)＝\f(1,x－1)，,－f(x)＋g(x)＝\f(1,－x－1).))
两式相减，得f(x)＝eq \f(x,x2－1)；两式相加，得g(x)＝eq \f(1,x2－1).
1．已知某区间上函数的解析式，求对称区间上的函数的解析式，应设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式．
2.已知函数f(x)，g(x)组合运算与奇偶性，则把x换为－x，构造方程组求解．
若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，未必有f(0)＝0.
【变式训练1】 (1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x<0时，f(x)＝x(x－1)，则当x>0时，f(x)＝x(x＋1)．
解析：当x>0时，－x<0，则f(－x)＝－x(－x－1)＝x(x＋1)．因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以当x>0时，f(x)＝f(－x)＝x(x＋1)．
(2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1，则函数f(x)的解析式为f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2x2＋3x＋1，x>0，,0，x＝0，,2x2＋3x－1，x<0)).
解析：当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1，由于函数f(x)是定义在R上的奇函数，故当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝2x2＋3x－1.因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0.综上，函数f(x)的解析式为f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2x2＋3x＋1，x>0，,0，x＝0，,2x2＋3x－1，x<0.))
类型二 函数的奇偶性与单调性
【例2】 (1)已知f(x)是奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，则f(－0.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是f(－1)【解析】 ∵函数f(x)为奇函数，且f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，
∴f(x)在R上单调递增，
∴f(－1)(2)设函数f(x)＝eq \f(x3＋(x＋1)2,x2＋1)在区间[－2，2]上的最大值为M，最小值为N，则(M＋N－1)2 023的值为1.
【解析】 由题意知，f(x)＝eq \f(x3＋2x,x2＋1)＋1(x∈[－2，2])，设g(x)＝eq \f(x3＋2x,x2＋1)，则f(x)＝g(x)＋1，因为g(－x)＝eq \f(－x3－2x,x2＋1)＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，g(x)在区间[－2，2]上的最大值与最小值的和为0，故M＋N＝2，所以(M＋N－1)2 023＝(2－1)2 023＝1.
(3)(多选题)函数f(x)是定义在R上的奇函数，下列说法中正确的是( AB )
A.f(0)＝0
B.若f(x)在[0，＋∞)上最小值为－1，则f(x)在(－∞，0]上有最大值1
C.若f(x)在[1，＋∞)上为增函数，则f(x)在(－∞，－1]上为减函数
D.∃x∈R，使f(－x)≠－f(x)
【解析】 ∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，则∀x∈R，使f(－x)＝－f(x)，D不正确；令x＝0，则f(0)＝－f(0)，即f(0)＝0，A正确；若f(x)在[0，＋∞)上有最小值－1，即对∀x∈[0，＋∞)，∃x0∈[0，＋∞)，使得f(x)≥f(x0)＝－1，当x∈(－∞，0]时，f(x)＝－f(－x)≤－f(x0)＝1，即f(x)在(－∞，0]上有最大值1，B正确．根据奇函数在对称区间单调性相同可知C不正确，故选AB．
利用函数奇偶性与单调性比较大小的求解策略
(1)若自变量在同一个单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小．
(2)若自变量不在同一个单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一个单调区间上，然后利用单调性比较大小．
利用函数奇偶性与单调性解不等式，一般有两类：
①利用图象解不等式；
②转化为简单不等式求解．
a．利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)f(x2)的形式；
b.根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，去掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解．
列不等式(组)时不要忘掉函数的定义域．
【变式训练2】 (1)设函数f(x)的定义域为R，对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是f(π)>f(－3)>f(－2)．
解析：由偶函数与单调性的关系知，若x∈[0，＋∞)，f(x)单调递增，则x∈(－∞，0]时，f(x)单调递减，故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，其函数值越小，
∵|－2|<|－3|<π，∴f(π)>f(－3)>f(－2)．
(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，若f(－3)＝0，则eq \f(f(x),x)<0的解集为{x|－33}．
解析：∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，∴f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减．∴f(3)＝f(－3)＝0.当x>0时，由f(x)<0，解得x>3；当x<0时，由f(x)>0，解得－33}．
(3)若函数y＝f(x)是奇函数，且函数F(x)＝af(x)＋bx＋2在(0，＋∞)上有最大值8，则函数y＝F(x)在(－∞，0)上有( D )
A.最大值－8 B.最小值－8
C.最小值－6 D.最小值－4
解析：∵y＝f(x)和y＝x都是奇函数，
∴T(x)＝af(x)＋bx也为奇函数．
又∵F(x)＝af(x)＋bx＋2在(0，＋∞)上有最大值8，∴T(x)＝af(x)＋bx在(0，＋∞)上有最大值6，∴T(x)＝af(x)＋bx在(－∞，0)上有最小值－6，∴F(x)＝af(x)＋bx＋2在(－∞，0)上有最小值－4.
(4)(多选题)已知奇函数f(x)在区间[a，b]上单调递减，且其值域为[－3，4]，则在区间[－b，－a]上( BC )
A.f(x)单调递增，且最大值为4
B.f(x)单调递减，且最小值为－4
C.f(x)单调递减，且最大值为3
D.f(x)单调递增，且最小值为－3
解析：因为奇函数f(x)在对称区间上的单调性相同且关于原点对称，又f(x)在区间[a，b]上单调递减，且其值域为[－3，4]，所以在区间[－b，－a]上f(x)单调递减，且最小值为－4，最大值为3，故选BC．
类型三 函数的奇偶性与对称性
【例3】 (多选题)对于定义在R上的函数f(x)，下列说法正确的是( AC )
A.若f(x)是奇函数，则f(x－1)的图象关于点(1，0)对称
B.若对x∈R，有f(x＋1)＝f(x－1)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称
C.若函数f(x＋1)的图象关于直线x＝－1对称，则f(x)为偶函数
D.若f(x＋1)＋f(x－1)＝2，则f(x)的图象关于点(1，1)对称
【解析】 f(x)是奇函数，故图象关于原点对称，将f(x)的图象向右平移1个单位长度得f(x－1)的图象，故f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，故A正确；若对x∈R，有f(x＋1)＝f(x－1)，得f(x＋2)＝f(x)，不能说明其图象关于直线x＝1对称，故B错误；若函数f(x＋1)的图象关于直线x＝－1对称，则f(x)的图象关于y轴对称，故为偶函数，故C正确；由f(x＋1)＋f(x－1)＝2得f(1)＋f(－1)＝2，f(2)＋f(0)＝2，f(3)＋f(1)＝2，f(4)＋f(2)＝2，…，f(x)的图象不关于(1，1)对称，故D错误．
函数的奇偶性反映定义域上的整体性质，揭示函数图象特殊的对称性，进一步拓展有两个结论：
(1)若函数f(x)的定义域为D，对∀x∈D都有f(T＋x)＝f(T－x)(T为常数)，则直线x＝T是f(x)的对称轴．
(2)若函数f(x)的定义域为D，对∀x∈D都有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b(a，b为常数)，则(a，b)是f(x)的对称中心．
【变式训练3】 (1)(多选题)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1，0]上是增函数，则( AD )
A.f(x)的图象关于直线x＝1对称
B.f(x)在[0，1]上是增函数
C.f(x)在[1，2]上是减函数
D.f(2)＝f(0)
解析：因为f(x＋1)＝－f(x)，f(x)是偶函数，所以f(－x)＝－f(－x＋1)＝f(x)，即f(x＋1)＝f(1－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，故A正确；由偶函数在对称区间上的单调性相反，得f(x)在[0，1]上是减函数，故B错误；因为函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且f(x)在[0，1]上是减函数，所以f(x)在[1，2]上是增函数，故C错误；由f(x＋1)＝f(1－x)，可得f(2)＝f(0)，故D正确．
(2)(多选题)在复习了函数性质后，某同学发现：函数y＝f(x)为奇函数的充要条件是y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称，可以引申为：函数y＝f(x＋a)－b为奇函数，则y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称．现在已知函数f(x)＝2x3＋mx2＋nx＋1的图象关于(1，0)成中心对称，则下列结论正确的是( BCD )
A.f(1)＝1
B.f(2)＝－1
C.m＋n＝－3
D.对任意x∈R，都有f(1＋x)＋f(1－x)＝0
解析：函数f(x)的图象关于(1，0)成中心对称，且由函数解析式可得定义域为R，所以f(1)＝2＋m＋n＋1＝0，所以m＋n＝－3，故A错误，C正确；结合题意可得f(x＋1)关于原点对称，所以对任意x∈R，都有f(1＋x)＋f(1－x)＝0，故D正确；f(1＋x)＋f(1－x)＝0代入1得f(2)＋f(0)＝0，且f(0)＝1，所以f(2)＝－1，故B正确．故选BCD．
对应学生用书第076页
1．设偶函数f(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，则( B )
A.feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))B.f(2)C.f(2)D.f(－1)解析：∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
∴f(2)＝f(－2)．又f(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，且－2<－eq \f(3,2)<－1，∴f(2)＝f(－2)2．若函数f(x)＝ax2＋(2＋a)x＋1是偶函数，则函数f(x)的单调递增区间为( A )
A.(－∞，0] B.[0，＋∞)
C.(－∞，＋∞) D.[1，＋∞)
解析：因为函数为偶函数，所以a＋2＝0，a＝－2，即函数f(x)＝－2x2＋1，所以函数f(x)在(－∞，0]上单调递增．
3．已知定义在R上的偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递增，若f(a)>f(3)，则实数a的取值范围是(－3，3)．
解析：由题意可知|a|<3，解得－34．已知f(x)是定义在[－6，6]上的奇函数，且f(5)>f(2)，则f(－2)与f(－5)的大小关系是f(－2)>f(－5)．(填“>”“＝”或“<”)
解析：因为f(x)是定义在[－6，6]上的奇函数，所以f(5)＝－f(－5)，f(2)＝－f(－2)，又f(5)>f(2)，所以－f(－5)>－f(－2)，即f(－2)>f(－5)．
5．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)为增函数，且f(3)＝0，那么不等式xf(x)<0的解集是(－3，0)∪(0，3)．
解析：因f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，f(3)＝0，则f(x)在(－∞，0)上也是增函数，且f(－3)＝－f(3)＝0，不等式xf(x)<0等价于eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x>0，,f(x)<0＝f(3)))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x<0，,f(x)>0＝f(－3)，))解得01．知识回顾
(1)利用奇偶性求函数的解析式．
(2)利用奇偶性和单调性比较大小、解不等式．
2．易错提醒
利用函数的奇偶性解不等式时易忽略函数的定义域．
课时作业24对应学生用书第265页
一、单项选择题
1．定义在R上的偶函数f(x)满足：在x∈[0，＋∞)上单调递减，则满足f(2x－1)A.(－1，0)
B.(－∞，0)∪(1，＋∞)
C.(－∞，0)
D.(0，1)
解析：因为f(x)为R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，所以f(x)在(－∞，0]上单调递增，所以不等式f(2x－1)|1|，解得x<0或x>1.故选B．
2．若奇函数f(x)在(－∞，0)上的解析式为f(x)＝x(1＋x)，则f(x)在(0，＋∞)上有( B )
A.最大值－eq \f(1,4) B.最大值eq \f(1,4)
C.最小值－eq \f(1,4) D.最小值eq \f(1,4)
解析：解法1：当x<0时，f(x)＝x2＋x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))eq \s\up12(2)－eq \f(1,4)，所以f(x)有最小值－eq \f(1,4)，因为f(x)是奇函数，所以当x>0时，f(x)有最大值eq \f(1,4).
解法2：(直接法)当x>0时，－x<0，所以f(－x)＝－x(1－x)．又f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝x(1－x)＝－x2＋x＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(1,4)，所以当x>0时，f(x)有最大值eq \f(1,4).
3．如果奇函数f(x)在区间[－3，－1]上单调递增且有最大值5，那么函数f(x)在区间[1，3]上( A )
A.单调递增且最小值为－5
B.单调递增且最大值为－5
C.单调递减且最小值为－5
D.单调递减且最大值为－5
解析：∵f(x)为奇函数，∴f(x)在[1，3]上的单调性与[－3，－1]上一致且f(1)为最小值，又已知f(－1)＝5，∴f(－1)＝－f(1)＝5，∴f(1)＝－5.
4．设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]．当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图，则不等式f(x)<0的解集是( D )
A.[－5，－2)∪(2，5]
B.[－5，－2)
C.(－2，0)
D.(－2，0)∪(2，5]
解析：当x∈[0，5]时，如图，由f(x)的图象可知，x∈(0，2)时，f(x)>0，x∈(2，5]时，f(x)<0，又奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，x∈(－2，0)时，f(x)<0，x∈[－5，－2)时，f(x)>0，所以不等式f(x)<0的解集是(－2，0)∪(2，5]，故选D．
5．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且f(1)＝0，则不等式eq \f(f(x)－f(－x),x)<0的解集为( C )
A.(－1，0)∪(1，＋∞)
B.(－∞，－1)∪(0，1)
C.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D.(－1，0)∪(0，1)
解析：∵f(x)为奇函数，eq \f(f(x)－f(－x),x)<0，即eq \f(f(x),x)<0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减且f(1)＝0，
∴当x>1时，f(x)<0，eq \f(f(x),x)<0.∵奇函数的图象关于原点对称，∴在(－∞，0)上f(x)单调递减且f(－1)＝0，∴当x<－1时，f(x)>0，eq \f(f(x),x)<0.综上，不等式的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
二、多项选择题
6．一个偶函数定义在区间[－7，7]上，它在[0，7]上的图象如图所示，下列说法正确的是( AC )
A.这个函数有三个单调递增区间
B.这个函数有两个单调递减区间
C.这个函数在其定义域内有最大值7
D.这个函数在其定义域内有最小值－7
解析：根据偶函数在[0，7]上的图象及其对称性，作出函数在[－7，0]上的图象，如图所示．
可知这个函数有三个单调递增区间；有三个单调递减区间；在其定义域内有最大值7；在其定义域内最小值不是－7.
7．函数f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数，下列函数有对称中心的是( ABD )
A.f(x)＝x B.f(x)＝x3－3x2
C.f(x)＝x4＋x2 D.f(x)＝eq \f(1,x－1)
解析：∵函数y＝f(x＋a)－b为奇函数，∴f(－x＋a)－b＝－f(x＋a)＋b，即f(x＋a)＋f(－x＋a)＝2b.由f(x＋a)＋f(－x＋a)＝2b得a＝b，∴对于任意的a＝b，P(a，b)都是其对称中心，故A满足题意；f(x)＝x3－3x2＝x2(x－3)，∵f(x＋1)＋f(－x＋1)＝(x＋1)2(x－2)＋(－x＋1)2(－x－2)＝－4，∴当a＝1，b＝－2时，P(1，－2)即为其对称中心，故B满足题意；∵f(x)＝x4＋x2是偶函数，图象关于y轴对称，且f(x)在(0，＋∞)单调递增，在(－∞，0)单调递减，其图象大致为
故不可能找到一个点使它为中心对称图形，故C不满足题意；f(x)＝eq \f(1,x－1)的图象如图所示，其图象关于(1，0)对称，故D满足题意．
三、 填空题
8．若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，比较f(0)，f(1)，f(－2)的大小，用“<”连接是f(－2)解析：∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)恒成立，即(m－1)x2－6mx＋2＝(m－1)x2＋6mx＋2恒成立，∴m＝0，即f(x)＝－x2＋2.∵f(x)的图象开口向下，对称轴为y轴，在[0，＋∞)上单调递减，∴f(2)9．若函数f(x)＝ax3＋bx＋eq \f(c,x)＋5，则f(x)在[－3，3]上的最大值与最小值的和为10.
解析：设g(x)＝f(x)－5＝ax3＋bx＋eq \f(c,x)(x≠0)．∵g(－x)＝－ax3－bx－eq \f(c,x)＝－g(x)，∴g(x)是奇函数，∴g(x)在[－3，3]上的最大值与最小值的和为0.又f(x)＝g(x)＋5，则f(x)在[－3，3]上的最大值与最小值的和为10.
10．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0，若f(x－1)>0，则x的取值范围是(－1，3)．
解析：∵f(x)为偶函数，∴f(x－1)＝f(|x－1|)，又f(2)＝0，f(x－1)>0，∴f(|x－1|)>f(2)．∵|x－1|，2∈[0，＋∞)，且f(x)在[0，＋∞)上单调递减，
∴|x－1|<2，即－2四、解答题
11．已知函数f(x)的定义域为(－2，2)，函数g(x)＝f(x－1)＋f(3－2x)．
(1)求函数g(x)的定义域；
(2)若f(x)为奇函数，并且在定义域上是减函数，求不等式g(x)≤0的解集．
解：(1)由题意可知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－1故函数g(x)的定义域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(5,2))).
(2)由g(x)≤0，
得f(x－1)＋f(3－2x)≤0，
所以f(x－1)≤－f(3－2x)．
因为f(x)为奇函数，
所以f(x－1)≤f(2x－3)．
而f(x)在(－2，2)上是减函数，所以
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－1≥2x－3，,\f(1,2)所以不等式g(x)≤0的解集为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2)).
12．定义在(－1，1)上的函数f(x)满足：
①对于任意x，y∈(－1，1)都有f(x)＋f(y)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋y,1＋xy)))；
②f(x)在(－1，1)上单调递增，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝1.
(1)求f(0)；
(2)证明f(x)为奇函数；
(3)解不等式f(2x－1)<1.
解：(1)令x＝y＝0，则f(0)＋f(0)＝f(0)，解得f(0)＝0.
(2)证明：令y＝－x，则对任意x∈(－1，1)，有f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0，
∴f(－x)＝－f(x)，故y＝f(x)是奇函数．
(3)因为f(x)在(－1，1)上单调递增，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝1，所以f(2x－1)<1＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))可化为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－1<2x－1<1，,2x－1<\f(1,2)，))解得0所以不等式f(2x－1)<1的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(013．已知函数f(x)＝x2|x|，当x∈[－2，2]时，f(a－x)≤8f(3－x)，则实数a的取值范围是( D )
A.(－∞，－12]∪[8，＋∞)
B.[－12，8]
C.(－∞，0]∪[4，＋∞)
D.[0，4]
解析：首先f(－x)＝(－x)2|－x|＝x2|x|＝f(x)，f(x)为偶函数，x≥0时，f(x)＝x3是增函数，f(2x)＝(2x)2|2x|＝8x2|x|＝8f(x)，因此不等式f(a－x)≤8f(3－x)先化为f(a－x)≤f(6－2x)，f(x)是偶函数，则有f(|a－x|)≤f(|6－2x|)，又x≥0时，f(x)＝x3是增函数，因此|a－x|≤|6－2x|，x∈[－2，2]，6－2x>0，因此有|a－x|≤6－2x，2x－6≤a－x≤6－2x，3x－6≤a≤6－x，所以3x－6≤a≤6－x对x∈[－2，2]恒成立，3x－6≤0(x＝2时取等号)，6－x≥4(x＝2时等号成立)，所以0≤a≤4.故选D．
14．写出一个定义域为R，值域为(－∞，8]的偶函数：f(x)＝－x2＋8(答案不唯一)．
解析：依题意，偶函数f(x)的定义域为R，值域(－∞，8]，故f(x)＝－x2＋8符合题意．(答案不唯一)
15．定义在R上的奇函数f(x)是单调函数，满足f(3)＝6，且f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，x，y∈R.
(1)求f(0)，f(1)；
(2)若对于任意x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3))，都有f(kx2)＋f(2x－1)<0成立，求实数k的取值范围．
解：(1)定义在R上的奇函数f(x)，满足f(3)＝6，且f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，x，y∈R.
令x＝y＝0，可得f(0)＝2f(0)，
∴f(0)＝0，
令x＝1，y＝1，可得f(2)＝2f(1)，
令x＝2，y＝1可得f(3)＝f(1)＋f(2)＝f(1)＋2f(1)＝3f(1)＝6，
∴f(1)＝2.
(2)∵f(x)是奇函数，且f(kx2)＋f(2x－1)<0在x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3))上恒成立，∴f(kx2)又定义在R上的奇函数f(x)是单调函数，且f(0)＝0∴f(x)在R上是增函数，∴kx2<1－2x在x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3))上恒成立，
∴k由于eq \f(1,2)≤x≤3，∴eq \f(1,3)≤eq \f(1,x)≤2.
∴g(x)min＝g(1)＝－1，
∴k<－1，即实数k的取值范围为(－∞，－1)．
阶段训练5对应学生用书第267页
一、单项选择题
1．下列命题正确的是( D )
A.偶函数的图象一定与y轴相交
B.奇函数的图象一定通过原点
C.不存在既是奇函数又是偶函数的函数
D.若函数y＝f(x)是定义域为[a，4＋a]的奇函数，则a＝－2
解析：偶函数的图象不一定与y轴相交，如函数y＝x2，x∈[－4，－3]∪[3，4]，排除A；奇函数的图象不一定经过原点，如函数y＝x＋eq \f(1,x)，排除B；函数f(x)＝0(x∈R)既是奇函数又是偶函数，排除C；由函数y＝f(x)是定义域为[a，4＋a]的奇函数，得a＋4＋a＝0，所以a＝－2，D正确．
2．已知函数f(x)在其定义域M上是增函数，且f(x)>0，则下列函数在M上为减函数的是( C )
A.y＝1＋2f(x)B.y＝[f(x)]2
C.y＝3＋eq \f(1,f(x))D.y＝－eq \f(1,f(x))
解析：取f(x)＝x(x>0)，很容易判断y＝3＋eq \f(1,f(x))在(0，＋∞)内为减函数．
3．已知f(x－1)是定义在R上的偶函数，当－1A.aC.b解析：∵函数y＝f(x－1)是R上的偶函数．∴函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－1对称，则f(－5)＝f(3)．又由题意可知，f(x)在(－1，＋∞)上单调递减，则f(1)>f(2)>f(3)，故b>c>a.
4．已知函数f(x)的图象关于y轴对称，且f(x)在(－∞，0]上单调递减，则满足f(3x＋1)A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－\f(1,6))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－\f(1,6)))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，－\f(1,6))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，－\f(1,6)))
解析：∵函数f(x)的图象关于y轴对称，∴f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(|x|)，
∴不等式f(3x＋1)5．已知函数f(x)在R上为减函数，则函数y＝f(4＋3x－x2)的递增区间是( B )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞))
C.R D.不存在
解析：y＝f(4＋3x－x2)是由y＝f(u)，u＝4＋3x－x2复合而成的．因为u＝4＋3x－x2在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,2)))上为增函数，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞))上为减函数．
根据复合函数单调性，知y＝f(4＋3x－x2)的递增区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞)).
6．已知定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x)<0的x的取值范围是( A )
A.(－∞，－2)∪(2，＋∞)
B.(0，2)∪(2，＋∞)
C.(－2，0)∪(2，＋∞)
D.(－∞，－2)∪(0，2)
解析：定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，故函数在(0，＋∞)上单调递减，且f(2)＝0，故f(－2)＝－f(2)＝0，函数在(－2，0)和(2，＋∞)上满足f(x)<0，在(－∞，－2)和(0，2)上满足f(x)>0，xf(x)<0，当x<0时，f(x)>0，即x∈(－∞，－2)；当x>0时，f(x)<0，即x∈(2，＋∞)．综上所述：x∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)．故选A．
二、多项选择题
7.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c为常数)的对称轴为直线x＝1，其图象如图所示，则下列选项正确的有( ACD )
A.|abc|＋abc＝0
B.当a≤x≤1－a时，函数的最大值为c－a2
C.关于x的不等式ax4＋bx2>a(x2－2)2＋b(x2－2)的解为x>eq \r(2)或x<－eq \r(2)
D.若关于x的函数t＝x2＋bx＋1与关于t的函数y＝t2＋bt＋1有相同的最小值，则|b－1|≥eq \r(5)
解析：对于A，二次函数图象开口向上，故a>0，对称轴为直线x＝－eq \f(b,2a)＝1，故b＝－2a<0，图象与y轴交点在y轴正半轴，故c>0，所以abc<0，故|abc|＋abc＝－abc＋abc＝0，故A正确；对于B，因为b＝－2a，故y＝ax2－2ax＋c，因为a>0，所以1－a<1，当a≤x≤1－a<1时，y＝ax2－2ax＋c随着x的增大而减小，所以x＝a时，y取得最大值，最大值为y＝a3－2a2＋c，故B错误；对于C，因为b＝－2a，所以ax4＋bx2＝ax4－2ax2，a(x2－2)2＋b(x2－2)＝ax4－4ax2＋4a－2a(x2－2)＝ax4－6ax2＋8a，故不等式ax4＋bx2>a(x2－2)2＋b(x2－2)变形为4ax2－8a>0.因为a>0，x2>2，解得x>eq \r(2)或x<－eq \r(2)，故C正确；对于D，t＝x2＋bx＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(b,2)))eq \s\up12(2)＋1－eq \f(b2,4)，当x＝－eq \f(b,2)时，t取得最小值，最小值为1－eq \f(b2,4)，y＝t2＋bt＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(b,2)))eq \s\up12(2)＋1－eq \f(b2,4)，当t＝－eq \f(b,2)时，y取得最小值，最小值为1－eq \f(b2,4)，所以－eq \f(b,2)≥1－eq \f(b2,4)，即b2－2b－4≥0，所以(b－1)2≥5，即|b－1|≥eq \r(5)，故D正确．故选ACD．
8．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2＋x，则下列说法正确的是( ABD )
A.f(－1)＝－2
B.f(x)在定义域R上为增函数
C.当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－x2－x
D.不等式f(x－1)<2的解集为(－∞，2)
解析：因为f(x)是定义域为R上的奇函数，所以f(0)＝0，且f(x)＝－f(－x)，x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2＋x，令x<0，则－x>0，有f(－x)＝x2－x，所以f(x)＝－f(－x)＝－x2＋x，故C错误；故f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x2＋x，x<0，,0，x＝0，,x2＋x，x>0，))所以f(－1)＝－2，故A正确；函数f(x)图象如图所示，
所以f(x)是定义域为R上的增函数，故B正确；不等式f(x－1)<2转化为f(x－1)9．已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，满足对任意x，y∈(0，＋∞)，都有f(xy)＝f(x)•f(y)－f(x)－f(y)＋2，且x>1时，f(x)>2，则下列说法正确的是( BD )
A.f(1)＝1或2
B.当x∈(0，1)时，f(x)<2
C.f(x)在(0，1)上是减函数
D.存在实数k使得函数y＝|f(x)＋k|在(0，1)上是减函数
解析：令x＝y＝1，则f(1)＝f(1)•f(1)－f(1)－f(1)＋2，即f2(1)－3f(1)＋2＝0，解得f(1)＝1或f(1)＝2，当f(1)＝1时，令x＝1，y＝2，则f(2)＝f(1)•f(2)－f(1)－f(2)＋2，解得f(2)＝1，与x>1时，f(x)>2矛盾，所以f(1)＝2，故A错误；当x∈(0，1)时，则eq \f(1,x)>1，故feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))>2，当y＝eq \f(1,x)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x·\f(1,x)))＝f(x)•feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))－f(x)－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＋2，整理得f(x)•feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))－f(x)－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝0，则f(x)＝eq \f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x))),f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))－1)＝1＋eq \f(1,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))－1)，
∵feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))>2，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))－1>1，
01，f(x1)－f(x2)＝f(x1)－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1•\f(x2,x1)))＝f(x1)－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f(x1)•f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x2,x1)))－f(x1)－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x2,x1)))＋2))＝2f(x1)－f(x1)•feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x2,x1)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x2,x1)))－2＝－f(x1)•eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x2,x1)))－2))＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x2,x1)))－2))＝[1－f(x1)]• eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x2,x1)))－2))，
∵01，∴12.
∴eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－f(x1)))•eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x2,x1)))－2))<0，
∴f(x1)三、 填空题
10．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x＋1，则f(1)＝2，f(0)＋f(－1)＝－2.
解析：当x>0时，f(x)＝x＋1，则f(1)＝1＋1＝2.又f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，f(－1)＝－f(1)＝－2，所以f(0)＋f(－1)＝－2.
11．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1((a－2)x－1，x≤1，,x2－2x＋1，x>1，))若f(x)在R上单调递增，则实数a的取值范围为(2，3]．
解析：当x>1时，f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2>f(1)＝0，故若f(x)在R上单调递增，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－2>0，,f(1)＝a－2－1≤0，))解得212．已知偶函数f(x)和奇函数g(x)的定义域都是(－4，4)，且在(－4，0]上的图象如图所示，则关于x的不等式f(x)·g(x)<0的解集是(－4，－2)∪(0，2)．
解析：设h(x)＝f(x)g(x)，则h(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－h(x)，所以h(x)是奇函数，当－40，g(x)<0，即h(x)<0；当00，即h(x)<0，所以h(x)<0的解集为(－4，－2)∪(0，2)．
四、解答题
13．已知函数f(x)＝x2－2|x|－3.
(1)作出函数f(x)的图象；
(2)根据函数f(x)的图象，求函数f(x)的单调区间；
(3)当x∈[－2，4]时，求函数f(x)的最大值与最小值．
解：(1)f(x)＝x2－2|x|－3＝
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－2x－3(x≥0)，,x2＋2x－3(x<0).))
其图象如图所示．
(2)由图象可知，f(x)的单调增区间为(1，＋∞)，(－1，0]；单调减区间为(0，1]，(－∞，－1]．
(3)结合图象可知，最小值为f(1)＝f(－1)＝－4，最大值为f(4)＝5.
14．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝2x＋2 023.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2)＋f(k)>0恒成立，求实数k的取值范围．
解：(1)由题意，得f(0)＝0，
令x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝－2x＋2 023，
由于f(x)是R上的奇函数．
∴f(x)＝－f(－x)＝2x－2 023，
∴f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋2 023，x>0，,0，x＝0，,2x－2 023，x<0.))
(2)由f(x)的解析式可知，函数f(x)在R上为增函数．
∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(t2－2)＋f(k)>0，即f(t2－2)>f(－k)．
又f(x)是增函数，∴t2－2>－k，
即－k∴－k<－2，即k>2.
∴实数k的取值范围为(2，＋∞)．
15．已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－eq \f(2,3).
(1)求证：f(x)是R上的减函数；
(2)求f(x)在[－3，3]上的最小值．
解：(1)证明：设x1，x2是任意的两个实数，且x10，
因为当x>0时，f(x)<0，
所以f(x2－x1)<0，
又因为x2＝(x2－x1)＋x1，
所以f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)，
所以f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)<0，即f(x2)所以f(x)是R上的减函数．
(2)由(1)可知f(x)是R上的减函数，所以f(x)在[－3，3]上单调递减，所以f(x)在[－3，3]上的最小值为f(3)．
而f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)＝3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))＝－2.
所以函数f(x)在[－3，3]上的最小值是－2.
3．3 幂函数
对应学生用书第076页
知识点一 幂函数概念
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
幂函数的特征：①xα的系数为1；②xα的底数是自变量；③xα的指数为常数，只有同时满足这三个条件，才是幂函数．
知识点二 幂函数的图象及性质
一般幂函数的图象特征如下：
(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都过点(1，1)．
(2)当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增．
特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当α＝1时，幂函数的解析式为y＝x；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．
(3)当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，且函数在原点无意义．
(4)在(－∞，0)上，幂函数有无图象与α的取值有关，若函数为偶函数，函数图象一定出现在第二象限，若函数为奇函数，函数图象一定出现在第三象限．
(5)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称．
(6)在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．
判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
1．幂函数的图象必过点(0，0)和(1，1)．( × )
2．幂函数的图象都不过第二、四象限．( × )
3．当幂指数α取1，3，eq \f(1,2)时，幂函数y＝xα是增函数．( √ )
4．幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大．( × )
5．若a对应学生用书第077页
类型一 幂函数的概念
【例1】 (1)现有下列函数：①y＝x3；②y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1)，其中幂函数的个数为2.
【解析】 幂函数满足y＝xα形式，故y＝x3，y＝x满足条件，共2个．
(2)幂函数y＝f(x)的图象恒过点(1，1)，若幂函数y＝f(x)的图象过点(2，4)，则此函数的解析式是f(x)＝x2.
【解析】 由幂函数的性质知：在第一象限恒过(1，1)，设幂函数f(x)＝xn，则2n＝4，即n＝2，故f(x)＝x2.
(3)幂函数f(x)＝xα(α∈R)的图象经过两点A(4，2)，B(9，m)，则α＝eq \f(1,2)，m＝3.
【解析】 因为幂函数f(x)＝xα(α∈R)的图象经过两点A(4，2)，B(9，m)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2＝4α，,m＝9α，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(α＝\f(1,2)，,m＝3.))
幂函数的判断及应用
(1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量x，③自变量x前的系数为1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5，…形式的函数都不是幂函数．
(2)若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y＝xα(α为常数)这一形式．
【变式训练1】 (1)已知幂函数y＝f(x)的图象过点(9，3)，则f(1)＝1.
解析：已知y＝f(x)为幂函数，所以假设f(x)＝xα，代入点(9，3)，得9α＝3，即α＝eq \f(1,2).故f(x)＝xeq \s\up6(\f(1,2))，得f(1)＝1eq \s\up6(\f(1,2))＝1.
(2)已知y＝(2a＋b)xa＋b＋(a－2b)是幂函数，则a＝eq \f(2,5)，b＝eq \f(1,5).
解析：由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a＋b＝1，,a－2b＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝\f(2,5)，,b＝\f(1,5).))
类型二 幂函数的图象和性质
【例2】 (1)已知幂函数的图象经过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8，\f(1,4)))，则该幂函数的大致图象是( D )

A B C D
【解析】 设幂函数的解析式为y＝xα，因为该幂函数的图象经过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8，\f(1,4)))，所以8α＝eq \f(1,4)，即23α＝2－2，解得α＝－eq \f(2,3)，即函数y＝x－eq \f(2,3)，也即y＝eq \f(1,\r(3,x2))，设f(x)＝eq \f(1,\r(3,x2))，则函数的定义域为{x|x≠0}，所以排除BC．又f(－x)＝eq \f(1,\r(3,x2))＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，所以排除A．故选D．
(2)下列结论中正确的个数是( A )
①幂函数的图象一定过原点；
②当α<0时，幂函数y＝xα在其定义域上是减函数；
③当α>0时，幂函数y＝xα在其定义域上是增函数；
④函数y＝2x2既是二次函数，又是幂函数．
A.0 B.1
C.2 D.3
【解析】 对于幂函数y＝x－1，其图象不过原点，且在(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数，所以①②都不正确；对于幂函数y＝x2，在(－∞，0)是减函数，所以③不正确；由幂函数概念，幂函数y＝xα(α∈R)，可知系数为1，所以④不正确．故选A．
1．解决与幂函数有关的综合性问题的方法
首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α是常数)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用．
2.幂函数图象的画法
(1)确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象．
(2)确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数在其他象限内的图象．
【变式训练2】 (1)如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限内的图象，已知n取±2，±eq \f(1,2)四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为( B )
A.－2，－eq \f(1,2)，eq \f(1,2)，2
B.2，eq \f(1,2)，－eq \f(1,2)，－2
C.－eq \f(1,2)，－2，2，eq \f(1,2)
D.2，eq \f(1,2)，－2，－eq \f(1,2)
解析：根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象，当n>0时，n越大，y＝xn递增速度越快，故C1的n＝2，C2的n＝eq \f(1,2)；当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n＝－eq \f(1,2)，曲线C4的n＝－2.
(2)若幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则( B )
A.－1＜n＜0＜m＜1
B.n＜－1，0＜m＜1
C.－1＜n＜0，m＞1
D.n＜－1，m＞1
解析：由题图知，y＝xm在(0，＋∞)上单调递增，所以m＞0，由于y＝xm的图象增长的越来越慢，所以m＜1，y＝xn在(0，＋∞)上单调递减，所以n＜0，又当x＞1时，y＝xn的图象在y＝x－1的下方，所以n＜－1.
(3)某个函数同时符合下列条件：①是幂函数；②在(0，＋∞)上单调递减；③是偶函数．则函数解析式可以为f(x)＝x－2(x≠0)(答案不唯一)．
解析：若幂函数f(x)＝x－2(x≠0)，则函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f(－x)＝(－x)－2＝(－1)－2•x－2＝x－2＝f(x)，故f(x)为偶函数；并且已知函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，符合条件．(答案不唯一)
类型三 幂函数的性质的综合应用
【例3】 已知幂函数f(x)＝－(2m2－m－4)xm＋eq \f(3,2).
(1)若f(x)不是奇函数，解不等式f(5－3x)>f(x－1)；
(2)若f(x)是奇函数，且函数g(x)满足geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))＝f(x)＋eq \f(1,f(x))，求函数g(x)的解析式．
【解】 (1)∵函数f(x)＝－(2m2－m－4)xm＋eq \f(3,2)是幂函数，
∴－(2m2－m－4)＝1，解得m＝eq \f(3,2)或m＝－1，
当m＝eq \f(3,2)时，f(x)＝x3为奇函数，不符合题意，舍去；
当m＝－1时，f(x)＝xeq \s\up6(\f(1,2))不为奇函数，符合题意，
此时函数f(x)＝xeq \s\up6(\f(1,2))＝eq \r(x)，其定义域为[0，＋∞)，且在定义域上单调递增，由f(5－3x)>f(x－1)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(5－3x>x－1，,5－3x≥0，,x－1≥0，))
解得1≤x＜eq \f(3,2)，
∴不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(1≤x<\f(3,2))))).
(2)若f(x)是奇函数，由(1)知，f(x)＝x3，
∴geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))＝f(x)＋eq \f(1,f(x))＝x3＋eq \f(1,x3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－1＋\f(1,x2)))＝
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))\s\up12(2)－3))，
令x＋eq \f(1,x)＝t，
当x>0时，x＋eq \f(1,x)≥2eq \r(x•\f(1,x))＝2，当且仅当x＝eq \f(1,x)，即x＝1时取等号，即t≥2；
当x<0时，x＋eq \f(1,x)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x＋\f(1,－x)))≤
－2eq \r((－x)•\f(1,－x))＝－2，当且仅当－x＝eq \f(1,－x)，即x＝－1时取等号，即t≤－2.
∴g(t)＝t(t2－3)＝t3－3t，t∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，
∴g(x)＝x3－3x，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
解决幂函数的综合问题时应注意的事项
掌握并熟悉幂函数的图象和单调性，会根据待定系数法求幂函数的解析式，能结合幂函数的定义域来判断幂函数的单调性和奇偶性．
【变式训练3】 (1)已知函数f(x)＝(m2－5m＋1)xm＋1(m∈Z)为幂函数，且为奇函数．
①求m的值，并确定f(x)的解析式；
②令g(x)＝f(x)－eq \r(2x＋1)，求y＝g(x)在x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，4))的值域．
(2)已知幂函数f(x)＝(3m2－2m)xm－eq \f(1,2)在(0，＋∞)上单调递增，g(x)＝x2－4x＋t.
①求实数m的值；
②当x∈[1，4]时，记f(x)，g(x)的值域分别是集合A，B，设命题p：y∈A，命题q：y∈B，若命题p是命题q的充分不必要条件，求实数t的取值范围．
解：(1)①因为函数f(x)＝(m2－5m＋1)xm＋1(m∈Z)为幂函数，
所以m2－5m＋1＝1，解得m＝0或m＝5，
当m＝0时，函数f(x)＝x是奇函数，符合题意，
当m＝5时，函数f(x)＝x6是偶函数，不符合题意，
综上所述，m的值为0，函数f(x)的解析式为f(x)＝x.
②由①知，g(x)＝x－eq \r(2x＋1)，
令t＝eq \r(2x＋1)，则x＝eq \f(t2－1,2)，
∵x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，4))，∴t∈(0，3)，
所以h(t)＝eq \f(t2,2)－t－eq \f(1,2)，t∈(0，3)
在(0，1]上单调递减，在[1，3)上单调递增，
所以h(t)min＝h(1)＝eq \f(12,2)－1－eq \f(1,2)＝－1，h(3)＝eq \f(32,2)－3－eq \f(1,2)＝1，h(0)＝eq \f(02,2)－0－eq \f(1,2)＝－eq \f(1,2)，
所以函数g(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，4))上的值域为[－1，1)．
(2)①因为幂函数f(x)＝(3m2－2m)xm－eq \f(1,2)在(0，＋∞)上单调递增，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3m2－2m＝1，,m－\f(1,2)>0，))解得m＝1.
②因为f(x)＝xeq \s\up6(\f(1,2))，
当x∈[1，4]时，f(x)的值域为[1，2]，所以A＝{y|1≤y≤2}；
g(x)＝x2－4x＋t，开口向上，对称轴为直线x＝2，
所以g(x)在[1，2]上单调递减，在[2，4]上单调递增，
又因为g(1)＝t－3，g(4)＝t，g(2)＝t－4，
所以g(x)的值域为[t－4，t]，
所以B＝{y|t－4≤y≤t}．
又因为命题p是命题q的充分不必要条件，所以AB，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(t－4≤1，,t≥2，))且等号不同时成立，
解得2≤t≤5，
所以实数t的取值范围是[2，5]．
对应学生用书第079页
1．已知幂函数的图象过点(3，9)，则其解析式为( B )
A.y＝x＋2 B.y＝x2
C.y＝eq \r(x) D.y＝x3
解析：设y＝xα，由题可知：3α＝9⇒α＝2，所以幂函数解析式为y＝x2.
2．在函数y＝eq \f(1,x2)，y＝5x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为( B )
A.0 B.1
C.2 D.3
解析：∵y＝eq \f(1,x2)＝x－2，∴是幂函数；y＝5x2由于出现系数5，因此不是幂函数；y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0，1)，所以常函数y＝1不是幂函数．
3．若幂函数的图象过点(3，eq \r(3))，则该幂函数的解析式是( B )
A.y＝x－1 B.y＝xeq \s\up6(\f(1,2))
C.y＝x2 D.y＝x3
解析：设y＝xα，则3α＝eq \r(3)，∴α＝eq \f(1,2)，∴y＝xeq \s\up6(\f(1,2)).
4．若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝16，则f(－4)＝16.
解析：设f(x)＝xα，∵f(4)＝16，
∴4α＝16，解得α＝2，∴f(x)＝x2，
∴f(－4)＝(－4)2＝16.
5．若幂函数y＝(2a2＋a)xa在(0，＋∞)上单调递减，则a＝－1.
解析：2a2＋a＝1，解得a＝－1或a＝eq \f(1,2).当a＝eq \f(1,2)时，y＝xeq \s\up6(\f(1,2))，在(0，＋∞)上单调递增，与已知不符，舍去；当a＝－1时，y＝x－1，在(0，＋∞)上单调递减，与已知相符，综上所述，a＝－1.
1．知识回顾
(1)幂函数的定义．
(2)常见幂函数的图象及性质．
(3)幂函数的图象和性质的应用．
2．易错提醒
易忽略题目中给出的条件以及幂函数的图象和性质．
课时作业25对应学生用书第269页
一、单项选择题
1．下列函数中不是幂函数的是( C )
A.y＝eq \r(x) B.y＝x3
C.y＝3x D.y＝x－1
解析：A选项中，y＝eq \r(x)＝xeq \s\up6(\f(1,2))，故它是幂函数．B选项是幂函数．C选项x的系数为3，所以它不是幂函数．D选项是幂函数．
2．图中C1，C2，C3为三个幂函数y＝xα在第一象限内的图象，则解析式中指数α的值依次可以是( D )
A.eq \f(1,2)，3，－1
B.－1，3，eq \f(1,2)
C.eq \f(1,2)，－1，3
D.－1，eq \f(1,2)，3
解析：由幂函数y＝xα在第一象限内的图象，结合幂函数的性质，可得题图中C1对应的α＜0，C2对应的0＜α＜1，C3对应的α＞1，结合选项知，指数α的值依次可以是－1，eq \f(1,2)，3.
3．已知幂函数y＝f(x)的图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(1,4)))，则f(2)＝( A )
A.eq \f(1,2) B.2
C.eq \f(\r(2),2) D.eq \r(2)
解析：设幂函数为y＝xα，∵幂函数的图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(1,4)))，∴eq \f(1,4)＝4α，∴α＝－1，∴y＝x－1，∴f(2)＝2－1＝eq \f(1,2).
4．已知幂函数f(x)＝x4－m(m∈N*)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增，则m＝( C )
A.1 B.2
C.1或3 D.3
解析：因为f(x)＝x4－m在(0，＋∞)上单调递增，所以4－m>0，所以m<4.又因为m∈N*，所以m＝1，2，3.又因为f(x)＝x4－m是奇函数，所以4－m是奇数，所以m＝1或3.
5．以下结论中，正确的为( D )
A.当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线
B.幂函数的图象都经过(0，0)，(1，1)两点
C.若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则在定义域内y随x的增大而增大
D.幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限
解析：当α＝0时，函数y＝xα的定义域为{x|x≠0，x∈R}，故A不正确；当α<0时，函数y＝xα的图象不过(0，0)点，故B不正确；幂函数y＝x－1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故C不正确；D正确．
二、多项选择题
6．已知函数y＝(m－1) xm2-m为函数，则该函数为( BC )
A.奇函数
B.偶函数
C.区间(0，＋∞)上的增函数
D.区间(0，＋∞)上的减函数
解析：y＝(m－1) xm2-m为幂函数，所以m－1＝1，即m＝2，y＝x2.设f(x)＝x2，定义域为R，f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，在(0，＋∞)为增函数．故选BC．
7．已知幂函数f(x)的图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,2)))，则( AD )
A.函数f(x)为奇函数
B.函数f(x)在定义域上为减函数
C.函数f(x)的值域为R
D.当x2>x1>0时，eq \f(f(x1)＋f(x2),2)>feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))
解析：设幂函数为f(x)＝xα，将eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,2)))代入解析式得eq \f(1,2)＝2α，故α＝－1，所以f(x)＝eq \f(1,x)，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，因为f(－x)＝－eq \f(1,x)＝－f(x)，故函数为奇函数，故A正确；函数f(x)＝eq \f(1,x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上都单调递减，但在定义域上不是减函数，故B错误；显然f(x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故C错误；当x2>x1>0时，
eq \f(f(x1)＋f(x2),2)－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))＝eq \f(\f(1,x1)＋\f(1,x2),2)－eq \f(1,\f(x1＋x2,2))＝eq \f(x1＋x2,2x1x2)－eq \f(2,x1＋x2)＝
eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1－x2))\s\up12(2),2x1x2(x1＋x2))>0，即满足eq \f(f(x1)＋f(x2),2)>feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))，故D正确．
三、 填空题
8．比较1.8－3，1.2－3，(eq \r(2))－3的大小，用“<”连接是1.8－3<(eq \r(2))－3<1.2－3.
解析：因为函数y＝x－3在x>0时单调递减，而1.8>eq \r(2)>1.2，故1.8－3<(eq \r(2))－3<1.2－3.
9．已知幂函数f(x)＝(m2＋m－1)xm在(0，＋∞)上是减函数，则m＝－2.
解析：由幂函数的定义可知，m2＋m－1＝1，解得m＝－2或m＝1，又f(x)在(0，＋∞)上是减函数，则m<0，所以m＝－2.
10．已知幂函数f(x)的图象经过点(9，3)，则函数f(x)＝xeq \s\up6(\f(1,2))，若f(a)f(b)＝3，则实数a＋2b的最小值是6eq \r(2).
解析：设幂函数f(x)＝xα，因为函数的图象过点(9，3)，所以f(9)＝9α＝3，解得α＝eq \f(1,2)，所以f(x)＝xeq \s\up6(\f(1,2))，又f(a)f(b)＝3，所以aeq \s\up6(\f(1,2))beq \s\up6(\f(1,2))＝3，且a>0，b>0，即ab＝9，所以a＋2b≥2eq \r(a•2b)＝6eq \r(2)，当且仅当a＝2b，即a＝3eq \r(2)，b＝eq \f(3\r(2),2)时取等号，所以a＋2b的最小值是6eq \r(2).
四、解答题
11．已知函数f(x)＝(m2＋m－1) xm2-2m-1，问当m取什么值时，函数f(x)是
(1)正比例函数；
(2)幂函数且在(0，＋∞)上为增函数．
解：(1)若f(x)是正比例函数，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2＋m－1≠0，,m2－2m－1＝1，))由m2－2m－1＝1得m2－2m－2＝0，解得m＝1＋eq \r(3)或m＝1－eq \r(3)，此时满足m2＋m－1≠0.故m＝1＋eq \r(3)或m＝1－eq \r(3).
(2)若f(x)是幂函数，则m2＋m－1＝1，即m2＋m－2＝0，此时m＝1或m＝－2，
当m＝1时，f(x)＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意，舍去；
当m＝－2时，f(x)＝x7在(0，＋∞)上单调递增，符合题意．故m＝－2.
12．已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a＋3)－eq \f(m,5)<(5－2a)－eq \f(m,5)的a的取值范围．
解：∵幂函数y＝x3m－9在(0，＋∞)上单调递减，∴3m－9<0，则m<3.
又m∈N*，所以m＝1或m＝2.
因为函数的图象关于y轴对称．
所以3m－9为偶数，故m＝1.
则原不等式可化为(a＋3)－eq \f(1,5)<(5－2a)－eq \f(1,5).
因为y＝x－eq \f(1,5)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，
所以a＋3>5－2a>0或5－2a解得eq \f(2,3)故实数a的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(a<－3，或\f(2,3)13．(多选题)已知幂函数f(x)＝(m2－2m－2)xm的定义域为R，则使得f(a)>f(b)成立的充分不必要条件可以为( BC )
A.a2>b2 B.eq \r(a)>eq \r(b)
C.ac2>bc2 D.|a|>|b|
解析：令m2－2m－2＝1，解得m＝－1或m＝3.当m＝－1时，f(x)＝x－1，其定义域不为R，故舍去．当m＝3时，f(x)＝x3在R上单调递增，f(a)>f(b)等价于a>b.a＝－2，b＝1时，a2>b2，aeq \r(b)得a>b≥0，但a＝2，b＝－1时，eq \r(b)无意义，故B正确；ac2>bc2得a>b，但a>b，c＝0时，ac2＝bc2，故C正确；a＝－2，b＝1时，|a|>|b|，a14．函数f(x)＝(m2＋m－1) xm2-m-2是幂函数，g(x)为定义在R上的奇函数，当x∈(0，＋∞)时，g(x)＝f(x)是减函数，则g(x)的解析式为g(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2，x∈(0，＋∞)，,0，x＝0，,－x－2，x∈(－∞，0))).
解析：由函数f(x)＝(m2＋m－1) xm2-m-2是幂函数，可得m2＋m－1＝1，解得m＝1或m＝－2，则f(x)＝x－2或f(x)＝x4，又当x∈(0，＋∞)时，f(x)是减函数，则f(x)＝x－2，g(x) 为定义在R上的奇函数，当x∈(0，＋∞)时，g(x)＝f(x)＝x－2，设x<0，则－x>0，则g(x)＝－g(－x)＝－(－x)－2＝－x－2，又g(0)＝0，则g(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2，x∈(0，＋∞)，,0，x＝0，,－x－2，x∈(－∞，0).))
15．已知幂函数f(x)＝(m－1)2 xm2-4m+2在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2x－k.
(1)当x∈[1，2)时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，设p：x∈A，q：x∈B，若p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围；
(2)设F(x)＝f(x)－kx＋1－k2，且|F(x)|在[0，1]上单调递增，求实数k的取值范围．
解：(1)因f(x)＝(m－1)2xm2-4m+2是幂函数，又函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1((m－1)2＝1，,m2－4m＋2>0，))解得m＝0，有f(x)＝x2，当x∈[1，2)时，f(x)∈[1，4)，即A＝[1，4)，
函数g(x)＝2x－k是R上的增函数，当x∈[1，2)时，g(x)∈[2－k，4－k)，即B＝[2－k，4－k)，
因p：x∈A，q：x∈B，p是q成立的必要条件，则B⊆A，显然B≠∅，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2－k≥1，,4－k≤4，))
解得0≤k≤1，
所以实数k的取值范围是[0，1]．
(2)由(1)知，F(x)＝x2－kx＋1－k2，二次函数F(x)的图象开口向上，对称轴为直线x＝eq \f(k,2)，
函数F(x)在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(k,2)))上单调递减，在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(k,2)，＋∞))上单调递增，因|F(x)|在[0，1]上单调递增，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(k,2)≤0，,F(0)＝1－k2≥0))
或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(k,2)≥1，,F(0)＝1－k2≤0，))解得－1≤k≤0或k≥2，
所以实数k的取值范围是[－1，0]∪[2，＋∞)．
3.4 函数的应用(一)
对应学生用书第080页
知识点一 常见的函数模型
知识点二 解决函数应用问题的步骤
利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：(1)审题；(2)建模；(3)求模；(4)还原．
这些步骤用框图表示如图：
对应学生用书第080页
类型一 一次函数模型
【例1】 某家报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份0.35元，卖出的价格是每份0.50元，卖不掉的报纸还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(30天)里有20天每天可以卖出报纸400份，其余10天每天只能卖出250份．若每天从报社买进报纸的数量相同，则每天应该从报社买进多少份报纸，才能使每月所获得的利润最大？最大利润为多少元？
【解】 设每天应从报社买进x份报纸，由题意知250≤x≤400，设每月所获得的利润为y元，根据题意得y＝0.5x×20＋0.5×250×10＋(x－250)×0.08×10－0.35x×30＝0.3x＋1 050，x∈[250，400]．
因为y＝0.3x＋1 050是定义域上的增函数，所以当x＝400时，ymax＝120＋1 050＝1 170(元)．故每天应该从报社买进400份报纸，才能使每月所获得的利润最大，最大利润为1 170元．
1．一次函数模型解决实际问题的原则
一次函数模型的应用层次要求不高，一般情况下按照“问什么，设什么，列什么”的原则来处理，求解过程也比较简单．
2.一次函数模型解决问题的注意点
(1)待定系数法是求一次函数解析式的常用方法．
(2)当一次项系数为正时，一次函数为增函数；当一次项系数为负时，一次函数为减函数．
【变式训练1】 为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分钟)与通话费用y(元)的关系如图所示．
(1)分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数解析式；
(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜．
解：(1)由题图可设y1＝k1x＋30(k1≠0)，y2＝k2x(k2≠0)，
把点B(30，35)，C(30，15)分别代入y1＝k1x＋30，y2＝k2x，得k1＝eq \f(1,6)，k2＝eq \f(1,2).
∴y1＝eq \f(1,6)x＋30(x≥0)，y2＝eq \f(1,2)x(x≥0)．
(2)令y1＝y2，即eq \f(1,6)x＋30＝eq \f(1,2)x，则x＝90.
当x＝90时，y1＝y2，两种卡收费一致；
当x<90时，y1>y2，使用便民卡便宜；
当x>90时，y1综上，当通话时间为90分钟时，两种卡一样；当通话时间小于90分钟时，使用便民卡便宜；当通话时间大于90分钟时，使用如意卡便宜．
类型二 二次函数模型
【例2】 企业经营一款节能环保产品，其成本由研发成本与生产成本两部分构成．生产成本固定为每台130元．根据市场调研，当该产品产量为x万台时，每万台产品的销售收入为I(x)万元．两者满足关系：I(x)＝220－x(0(1)甲企业独家经营，其研发成本为60万元．求甲企业能获得利润的最大值；
(2)乙企业见有利可图，也经营该产品，其研发成本为40万元，问：乙企业产量多少万台时获得的利润最大；(假定甲企业按照原先最大利润生产，并未因乙的加入而改变)
(3)由于乙企业参与，甲企业将不能得到预期的最大收益，因此会做相应调整，之后乙企业也会随之做出调整，最终双方达到动态平衡(在对方当前产量不变的情况下，己方达到利润最大)，求动态平衡时，两企业各自的产量和利润分别是多少．
【解】 (1)设利润为P(x)，则
P(x)＝x•I(x)－(60＋130x)＝－x2＋90x－60＝－(x－45)2＋1 965，
所以当x＝45时，P(x)max＝1 965.
所以，产量为45万台时，甲企业获利最大为1 965万元．
(2)设乙企业产量为x万台，此时甲依旧按照45万台产量生产，此时每万台产品的销售收入为I(x＋45)＝220－(x＋45)＝175－x.
P(x)＝x•I(x＋45)－(40＋130x)＝－x2＋45x－40＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(45,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(1 865,4).
所以当乙企业产量为22.5万台时，获得的利润最大．
(3)假设达到动态平衡时，甲企业产量a万台，乙企业产量b万台．
甲企业：P(a)＝a•I(a＋b)－(60＋130a)＝－a2＋(90－b)a－60.
当a＝eq \f(90－b,2)时利润最大．
乙企业P(b)＝b•I(a＋b)－(40＋130b)＝－b2＋(90－a)b－40.
当b＝eq \f(90－a,2)时利润最大．
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝\f(90－b,2)，,b＝\f(90－a,2)，))解得a＝b＝30，此时达到动态平衡．
此时甲企业产量为30万台，利润为840万元，乙企业产量为30万台，利润为860万元．
利用二次函数求最值的方法及注意点
(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题．
(2)注意点：取得最值时的自变量与实际意义是否相符．
【变式训练2】 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．
(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；
(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；
(3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
解：(1)根据题意，得y＝90－3(x－50)，化简，得y＝－3x＋240(50≤x≤55，x∈N)．
(2)因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润．
所以w＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9 600(50≤x≤55，x∈N)．
(3)因为w＝－3x2＋360x－9 600＝－3(x－60)2＋1 200，
所以当x<60时，w随x的增大而增大．
又50≤x≤55，x∈N，所以当x＝55时，w有最大值，最大值为1 125.所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，最大利润为1 125元．
类型三 分段函数模型
【例3】 某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的浓度y(单位：毫克/立方米)随着时间x(单位：小时)变化的关系如下：当0≤x≤4时，y＝eq \f(16,8－x)－1；当4(1)若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？
(2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒a(1≤a≤4)个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能够持续有效消毒，试求a的最小值．(参考数据：eq \r(2)≈1.4)
【解】 (1)因为一次喷洒4个单位的消化剂，
所以其浓度为
f(x)＝4y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(64,8－x)－4，0≤x≤4，,20－2x，4当0≤x≤4时，eq \f(64,8－x)－4≥4，解得x≥0，此时0≤x≤4，
当4综上0≤x≤8，
所以若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达8小时．
(2)设从第一次喷洒起，经x(6≤x≤10)小时后，
其浓度为g(x)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5－\f(1,2)x))＋aeq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(16,8－(x－6))) －1)＝
10－x＋eq \f(16a,14－x)－a＝14－x＋eq \f(16a,14－x)－a－4，
因为14－x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4，8))，a∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，4))，
所以14－x＋eq \f(16a,14－x)－a－4≥
2eq \r(（14－x）•\f(16a,14－x))－a－4＝8eq \r(a)－a－4，
当且仅当14－x＝eq \f(16a,14－x)，即x＝14－4eq \r(a)时，等号成立；
所以其最小值为8eq \r(a)－a－4，
由8eq \r(a)－a－4≥4，解得24－16eq \r(2)≤a≤4，
所以a的最小值为24－16eq \r(2)≈1.6.
应用分段函数时的三个注意点
(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．
(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．
(3)分段函数的值域或最值求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．
【变式训练3】 某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3千米(不超过3千米按起步价付费)；超过3千米但不超过8千米时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8千米时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．若某人乘坐出租车行驶了5.6千米，则需付车费14.59元，若某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此出租车行驶了9千米．
解析：设出租车行驶x千米时，付费y元，则
y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(9，08，))
当x＝5.6时，y＝8＋2.15×2.6＋1＝14.59.
由y＝22.6，知x>8，
由8＋2.15×5＋2.85(x－8)＋1＝22.6，解得x＝9.
对应学生用书第082页
1．已知某炮弹飞行高度h(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系式为h＝130t－5t2，则炮弹飞行高度高于240 m的时间长为( A )
A.22 s B.23 s
C.24 s D.25 s
解析：根据题意可得130t－5t2>240，解得22．某市生产总值两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( D )
A.eq \f(p＋q,2)
B.eq \f(（p＋1）（q＋1）－1,2)
C.eq \r(pq)
D.eq \r(（p＋1）（q＋1）)－1
解析：设年平均增长率为x，原生产总值为a，则有(1＋p)(1＋q)a＝(1＋x)2a，解得x＝eq \r(（1＋p）（1＋q）)－1.
3．小婷经营一花店，每天的房租、水电等固定成本为100元，每束花的进价为6元，若日均销售量Q(束)与销售单价x(元)的关系为Q＝100－5x，则当该店每天获利最大时，每束花应定价为( B )
A.15元 B.13元
C.11元 D.10元
解析：设每天获利y元，则y＝(100－5x)•(x－6)－100＝－5(x－13)2＋145，由x>0，Q＝100－5x≥0，得04．某品种鲜花进货价5元/枝，据市场调查，当销售价格x(元/枝)在x∈[5，15]时，每天售出该鲜花枝数p(x)＝eq \f(500,x－4)，若想每天获得的利润最多，则每枝销售价格应定为( D )
A.9元 B.11元
C.13元 D.15元
解析：设每天的利润为y元，则y＝(x－5)×eq \f(500,x－4)＝500×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,x－4)))，5≤x≤15，显然此函数在[5，15]上单调递增，故当x＝15时，y取得最大值．
5．加工爆米花时，爆开且不煳的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( B )
分钟 分钟
分钟 分钟
解析：根据题图，把(t，p)的三组数据(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)分别代入函数关系式，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0.7＝9a＋3b＋c，,0.8＝16a＋4b＋c，,0.5＝25a＋5b＋c，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－0.2，,b＝1.5，,c＝－2.0.))
∴p＝－0.2t2＋1.5t－2.0＝－eq \f(1,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(15,4)))eq \s\up12(2)＋eq \f(13,16).
∴当t＝eq \f(15,4)＝3.75时，p取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟．
1．知识回顾
(1)一次函数模型．
(2)二次函数模型．
(3)分段函数模型．
(4)幂函数模型．
2．易错提醒
函数的实际应用问题易忽略函数的定义域．
课时作业26对应学生用书第271页
一、单项选择题
1．某商店同时卖出两件外套，售价均为168元，以成本计算，一套盈利20%，另一套亏损20%，此时商店( C )
A.不亏不盈 B.盈利37.2元
C.亏损14元 D.盈利14元
解析：设两件外套的成本分别为a元，b元，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a（1＋20%）＝168，,b（1－20%）＝168，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝140，,b＝210，))
∴2×168－(a＋b)＝336－350＝－14，
∴此时商店亏损14元．
2．据调查，某存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中电动车存车费是每辆一次0.3元，自行车存车费是每辆一次0.2元．若自行车存车数为x辆次，存车总收入为y元，则y关于x的函数关系式是( D )
A.y＝0.1x＋800(0≤x≤4 000)
B.y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)
C.y＝－0.1x＋800(0≤x≤4 000)
D.y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)
解析：因为自行车为x辆，所以电动车为(4 000－x)辆，存车总收入y＝0.2x＋0.3(4 000－x)＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)．
3．甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( D )
A.甲比乙先出发
B.乙比甲跑的路程多
C.甲、乙两人的速度相同
D.甲先到达终点
4．国家决定对某药品分两次降价，假设平均每次降价的百分率为x.已知该药品的原价是m元，降价后的价格是y元，则y关于x的函数关系式是( A )
A.y＝m(1－x)2 B.y＝m(1＋x)2
C.y＝2m(1－x) D.y＝2m(1＋x)
解析：第一次降价后价格为m(1－x)，第二次降价后价格变为y＝m(1－x)(1－x)＝m(1－x)2.
5．某医学团队研制出预防某疾病的新药，服用x小时后血液中的残留量为y毫克，如图所示为函数y＝f(x)的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为( C )
A.上午10：00 B.中午12：00
C.下午4：00 D.下午6：00
解析：由图象知，当0≤x≤4时，设直线y＝k1x，把点(4，320)代入得k1＝80，所以y＝80x；当4eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4k2＋b＝320，,20k2＋b＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k2＝－20，,b＝400，))此时y＝f(x)＝－20x＋400，所以f(x)＝
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(80x，0≤x≤4，,－20x＋400，4二、多项选择题
6．已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元，某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如表所示：
则下列说法正确的是( BD )
A.买小包装实惠
B.买大包装实惠
C.卖3小包比卖1大包盈利多
D.卖1大包比卖3小包盈利多
解析：大包装300克8.4元，则等价于100克2.8元，小包装100克3元，则买大包装实惠，故A错误，B正确；卖1大包盈利8.4－0.7－1.8×3＝2.3(元)，卖3小包盈利3×(3－0.5－1.8)＝2.1(元)，则卖1大包比卖3小包盈利多，故C错误，D正确．
7．某外贸公司在30天内A商品每件的销售价格P(元)与时间t(天)的关系满足如图所示的函数，A商品的日销售量Q(万件)与时间t(天)的关系为Q＝40－t，则下列说法正确的是( AC )
A.第15天的日销售额最大
B.第20天的日销售额最大
C.最大日销售额为125万元
D.最大日销售额为120万元
解析：由题图可得当0所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝2，,6＝20a＋b，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝2，,a＝\f(1,5)，))
所以P＝eq \f(1,5)t＋2，当20≤t≤30时，可设P＝mt＋n，图象过点(20，6)，(30，5)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(6＝20m＋n，,5＝30m＋n，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝－\f(1,10)，,n＝8，))
所以P＝－eq \f(1,10)t＋8，
综上可得， P＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)t＋2，0又Q＝－t＋40(0eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)t＋2))（－t＋40），0当0三、 填空题
8．某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为y＝－eq \f(1,4)x＋50(0解析：设解析式为y＝kx＋b(k≠0)，其中x为每件产品的定价(单位：元)，y为每天售出的件数(单位：件)，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(30＝k×80＋b，,20＝k×120＋b，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－\f(1,4)，,b＝50，))
∴y＝－eq \f(1,4)x＋50(09．用一根长为12 m的铁丝弯成一个矩形的铁框架，则能弯成的框架的最大面积是9 m2．
解析：设矩形的一边长为x m，则与这条边垂直的边长为eq \f(12－2x,2) m，所以矩形面积S＝x•eq \f(12－2x,2)＝－x2＋6x(010．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费办法如下表：
若某月份甲、乙两户居民共缴纳水费76元，且甲户用水未超过12 m3，乙户用水未超过15 m3，则该月份甲户用水量为10 m3．(甲、乙两户的月用水量为整数)
解析：水费为76不是3的倍数，故乙户用水量超过12 m3，乙户用水12 m3的水费为36元，剩余40元，甲户最多水费为3×12＝36(元)，而乙户用水超过12 m3但不超过18 m3的部分费用最少为5元，最多为15元，作以下验证，若是5元，则甲户水费为35元，不合题意；若是10元，则甲户水费为30元，符合题意，此时甲户用水为10 m3时，乙户用水14 m3；若是15元，则甲户水费为25元，不合题意．所以，甲户用水为10 m3时，乙户用水14 m3满足题意．
四、解答题
11．据市场分析，某海鲜加工公司当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数；当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元，为二次函数的顶点．
(1)写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系式；
(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？
解：(1)设y＝a(x－15)2＋17.5(a≠0)，将x＝10，y＝20代入上式，得20＝25a＋17.5，
解得a＝eq \f(1,10).所以y＝eq \f(1,10)(x－15)2＋17.5(10≤x≤25)．
(2)设最大利润为Q(x)，
则Q(x)＝1.6x－y＝
1．6x－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,10)（x－15）2＋17.5))＝
－eq \f(1,10)(x－23)2＋12.9(10≤x≤25)．
当x＝23时，Q(x)取最大值．
所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元．
12．某科技企业决定开发生产一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x台需要另投入成本C(x)(万元)．当年产量不足80台时，C(x)＝eq \f(1,2)x2＋40x，当年产量不小于80台时，C(x)＝101x＋eq \f(8 100,x)－2 180，若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完．
(1)求年利润y(万元)关于年产量x(台)的函数关系式；
(2)年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？并求出这个最大利润．
解：(1)当0当x≥80时，
y＝100x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(101x＋\f(8 100,x)－2 180))－500＝
1 680－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(8 100,x)))，
于是y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x2＋60x－500，0(2)由(1)可知当0y＝－eq \f(1,2)(x－60)2＋1 300，
故当x＝60时，y取得最大值，为1 300，当x≥80时，
y＝1 680－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(8 100,x)))≤1 680－
2eq \r(x•\f(8 100,x))＝1 500，
当且仅当x＝eq \f(8 100,x)，即x＝90时，y取最大值，为1 500.
综上所述，当年产量为90台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大，最大利润为1 500万元．
13．(多选题)甲、乙两人沿同一方向从A地去B地，途中都使用两种不同的速度v1，v2(v1
A B C D
解析：甲的平均速度为eq \f(2v1v2,v1＋v2)，时间为eq \f(s,\f(2v1v2,v1＋v2))；乙的平均速度为eq \f(v1＋v2,2)，时间为eq \f(s,\f(v1＋v2,2))，其小于eq \f(s,\f(2v1v2,v1＋v2))，所以CD不正确．经分析知，A中图为甲、乙两人先使用速度v1，后使用速度v2；B中图为甲、乙两人先使用速度v2，后使用速度v1，AB均符合题意．故选AB．
14．某信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密的方法是英文的a，b，c，…，z的26个字母(不论大小写)依次对应1，2，3，…，26这26个自然数．
通过变换公式：
f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x＋1,2)（x∈N*，x≤26，x不能被2整除），,\f(x,2)＋13（x∈N*，x≤26，x能被2整除），))
将明文转换成密文，如8→eq \f(8,2)＋13＝17，即h变换成q；5→eq \f(5＋1,2)＝3，即e变换成c.按上述规律，若将明文译成的密文是shxc，则原来的明文是lve.
解析：由已知得加密变换公式为f(x)＝
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x＋1,2)（x∈N*，x≤26，x不能被2整除），,\f(x,2)＋13（x∈N*，x≤26，x能被2整除），))
又∵明文译成的密文是shxc，设密文s对应的明文为α，则f(α)＝19，若eq \f(α＋1,2)＝19，则α＝37>26，不符合要求，若eq \f(α,2)＋13＝19，则α＝12，即s对应的明文为l，同理可以确定出h对应的明文为，x对应的明文为v，c对应的明文为e，∴原来的明文是lve.
15．经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的日销售量(件)与价格(元)均为时间t(天)的函数，且日销售量近似满足g(t)＝80－2t，0eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(15＋\f(1,2)t，0(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．
解：(1)由已知得，y＝
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(15＋\f(1,2)t))（80－2t），0＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（t＋30）（40－t），0＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－t2＋10t＋1 200，0(2)由(1)知，①当0－(t－5)2＋1 225，
∴ymax＝1 225(当t＝5时取得)，
ymin＝1 200(当t＝10时取得)；
②当10∴y<1 200，
ymin＝600(当t＝20时取得)．
由①②知ymax＝1 225(当t＝5时取得)，
ymin＝600(当t＝20时取得)．
章末总结
对应学生用书第083页
对应学生用书第083页
专题一 函数的定义域、值域
求函数定义域的常用依据是分母不为0，偶次根式中被开方数大于或等于0等；由几个式子构成的函数，其定义域是使各式子有意义的集合的交集；函数的值域是在函数的定义域下函数值的取值范围，一般是利用函数的图象或函数的单调性求值域．
【例1】 已知函数f(x－2)的定义域为(－1，3)，则函数g(x)＝eq \f(f（－x）,\r(x－1))的定义域为( A )
A.(1，3) B.(－1，3)
C.(1，＋∞) D.(3，7)
【解析】 函数f(x－2)的定义域为(－1，3)，即－10解得x>1，所以g(x)＝eq \f(f（－x）,\r(x－1))的定义域为(1，3)．故选A．
专题二 函数的图象
会根据函数的解析式及性质分析函数的图象，利用函数的图象可以直观地观察函数值域、最值、单调性、奇偶性等，重点是一次函数、二次函数、反比例函数及幂函数图象．
【例2】 已知函数f(x)＝||x－1|－1|，x∈[0，2]．
(1)请用分段表示法把该函数写为f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1( ，0≤x≤1，, ，1(2)画出f(x)的大致图象并写出f(x)的单调区间．
【解】 (1)当0≤x≤1时，f(x)＝
||x－1|－1|＝|(1－x)－1|＝
|－x|＝x；当1||x－1|－1|＝|(x－1)－1|＝|x－2|＝2－x.
所以f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x，0≤x≤1，,2－x，1(2)作出函数f(x)的图象如下图所示：
由图可知，函数f(x)的单调递增区间为[0，1]，单调递减区间为[1，2]．
专题三 函数的性质
函数的性质主要有定义域、值域、单调性和奇偶性，利用函数的单调性和奇偶性求值、比较大小、解不等式是重点考查内容，且解不等式时经常结合图象，要注意定义域的影响；掌握单调性、奇偶性的判断和证明，会简单的综合运用，提升数学抽象、逻辑推理和直观想象核心素养．
【例3】 已知函数f(x)＝eq \f(ax＋b,2＋x2)是定义在[－1，1]上的奇函数，且f(1)＝eq \f(1,3).
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)用定义证明f(x)在[－1，1]上是增函数；
(3)若实数t满足不等式f(t－1)＋f(t)<0，求t的取值范围．
【解】 (1)因为函数f(x)＝eq \f(ax＋b,2＋x2)是定义在[－1，1]上的奇函数，所以f(0)＝eq \f(b,2)＝0，b＝0，
又f(1)＝eq \f(a,3)＝eq \f(1,3)，所以a＝1，
∴f(x)＝eq \f(x,2＋x2)，满足f(－x)＝－f(x)．
∴所以f(x)＝eq \f(x,2＋x2).
(2)证明：∀x1，x2∈[－1，1]，且－1≤x10，x1x2－2<0，所以f(x1)－f(x2)＝eq \f(x1,2＋xeq \\al(2,1))－eq \f(x2,2＋xeq \\al(2,2))＝eq \f(x1xeq \\al(2,2)＋2x1－xeq \\al(2,1)x2－2x2,（2＋xeq \\al(2,1)）（2＋xeq \\al(2,2)）)＝eq \f(（x2－x1）（x1x2－2）,（2＋xeq \\al(2,1)）（2＋xeq \\al(2,2)）)<0，
即f(x1)所以f(x)是增函数．
(3)不等式化为f(t－1)<－f(t)，因为f(x)是奇函数，
所以f(t－1)又f(x)是增函数且x∈[－1，1]，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(t－1<－t，,t－1≥－1，,－t≤1，))解得0≤t所以t的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))).
专题四 函数模型的应用
以现实生活为背景，解决生活中的成本最少、利润最高等简单应用问题，一般是通过构造一次函数、二次函数、幂函数、分段函数等数学模型，运用函数思想来处理．要求学生能将实际问题转化为熟悉的数学模型，建立合适的数学模型解决简单的实际问题．
【例4】 我国承诺2030年前达“碳达峰”，2060年实现“碳中和”，“碳达峰”就是我们国家承诺在2030年前，二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后再慢慢减下去；而到2060年，针对排放的二氧化碳，要采取植树、节能减排等各种方式全部抵消掉，这就是“碳中和”．某企业响应号召，生产上开展节能减排．该企业是用电大户，去年的用电量达到20万度，经预测，在去年基础上，今年该企业若减少用电x万度，今年的受损效益S(x)(万元)满足S(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(50x2，0≤x≤4，,100x－\f(400,x)＋500，4(1)减少用电量多少万度时，今年该企业增效效益达到544万元？
(2)减少用电量多少万度时，今年该企业总效益最大？
【解】 (1)易知Z(x)＝
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(50x，0≤x≤4，,－\f(400,x2)－\f(300,x)＋620，4因为当0≤x≤4时，Z(x)＝50x≤200，
所以由－eq \f(400,x2)－eq \f(300,x)＋620＝544，得19x2－75x－100＝0，解得x＝5.
即减少用电量5万度时，增效效益达到544万元．
(2)设企业总效益为Q(x)万元，
则Q(x)＝Z(x)－S(x)＋n(x)＝
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－50x2＋150x，0≤x≤4，,－\f(400,x2)＋\f(100,x)＋120，4当0≤x≤4时，Q(x)＝
－50eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(225,2)≤Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝eq \f(225,2)；
当4因为eq \f(225,2)综上，当减少用电8万度时，企业总效益最大．
第三章章末测试对应学生用书第274页
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列四组函数中，表示同一函数的一组是( A )
A.f(x)＝|x|，g(x)＝eq \r(x2)
B.f(x)＝eq \r(x2)，g(x)＝(eq \r(x))2
C.f(x)＝eq \f(x2－1,x－1)，g(x)＝x＋1
D.f(x)＝(eq \r(－x))2，g(x)＝eq \r(x2)
解析：f(x)和g(x)的定义域均为R，且g(x)＝eq \r(x2)＝|x|＝f(x)，所以A符合题意；f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≥0}，所以B不符合题意；f(x)的定义域为{x|x≠1}，g(x)的定义域为R，所以C不符合题意；f(x)的定义域为{x|x≤0}，g(x)的定义域为R，所以D不符合题意．
2．函数f(2x＋1)＝x2－2，则f(3)＝( A )
A.－1B.0
C.1D.3
解析：f(3)＝f(2×1＋1)＝12－2＝－1，故选A．
3．函数y＝(3－x)0＋eq \f(1,\r(2x＋3))的定义域为( B )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，＋∞))
B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，3))∪(3，＋∞)
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，3))∪(3，＋∞)
D.(3，＋∞)
解析：∵y＝(3－x)0＋eq \f(1,\r(2x＋3))，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3－x≠0，,2x＋3>0，))解得x>－eq \f(3,2)且x≠3，
∴函数y＝(3－x)0＋eq \f(1,\r(2x＋3))的定义域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，3))∪(3，＋∞)．故选B．
4．幂函数f(x)＝xα的图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，则f(2)＝( A )
A.eq \r(2)B.2
C.eq \f(1,2)D.eq \f(\r(2),2)
解析：由于幂函数f(x)＝xα的图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(α)＝eq \f(\r(2),2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up6(\f(1,2))⇒α＝eq \f(1,2)，所以f(x)＝xeq \s\up6(\f(1,2))，所以f(2)＝2eq \s\up6(\f(1,2))＝eq \r(2).
5．已知函数f(x)＝x2－kx－8在区间[5，20]上具有单调性，则实数k的取值范围是( A )
A.(－∞，10]∪[40，＋∞)
B.(－∞，－40]∪[－10，＋∞)
C.[10，＋∞)
D.[40，＋∞)
解析：由于函数f(x)＝x2－kx－8在区间[5，20]上具有单调性，对称轴为直线x＝eq \f(k,2)，所以eq \f(k,2)≤5或eq \f(k,2)≥20，解得k≤10或k≥40，所以k的取值范围是(－∞，10]∪[40，＋∞)．故选A．
6．若f(x)是偶函数且在[0，＋∞)上单调递增，又f(－2)＝1，则不等式f(x－1)<1的解集为( A )
A.{x|－1B.{x|x<－1，或x>3}
C.{x|x<－1，或0D.{x|x>1，或－3解析：由于函数y＝f(x)为偶函数，则f(2)＝f(－2)＝1，且函数y＝f(x)在[0，＋∞)上单调递增，由f(x－1)<1，可得f(|x－1|)7．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x，x≤0，,－x2＋2x，x>0，))方程f2(x)－bf(x)＝0，b∈(0，1)，则方程的根的个数是( D )
A.2B.3
C.4D.5
解析：因为f2(x)－bf(x)＝0，所以f(x)＝0或f(x)＝b，
作函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x，x≤0，,－x2＋2x，x>0))的图象如图．
结合图象可知，f(x)＝0有2个不同的根，f(x)＝b(08．定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足∀x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，eq \f(x1f(x1)－x2f(x2),x1－x2)
<0，且f(2)＝4，则不等式f(x)－eq \f(8,x)>0的解集为( C )
A.(4，＋∞)B.(0，4)
C.(0，2)D.(2，＋∞)
解析：由题意，设g(x)＝xf(x)，因为eq \f(x1f(x1)－x2f(x2),x1－x2)<0，即
eq \f(g(x1)－g(x2),x1－x2)<0，所以函数g(x)是减函数，不等式f(x)－eq \f(8,x)>0，即eq \f(xf(x)－8,x)>0，因为x∈(0，＋∞)，所以不等式等价于xf(x)－8>0，即xf(x)>8，又f(2)＝4，则g(2)＝2•f(2)＝8，所以不等式xf(x)>8的解集为(0，2)．
二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( BC )
A.y＝xB.y＝|x|＋1
C.y＝xeq \s\up6(\f(2,3))D.y＝－eq \f(1,x)
解析：对于A，y＝x是奇函数，故不符合题意；对于B，y＝|x|＋1是偶函数，在(0，＋∞)上单调递增，符合题意；对于C，y＝xeq \s\up6(\f(2,3))是偶函数，在(0，＋∞)上单调递增，符合题意；对于D，y＝－eq \f(1,x)是奇函数，不符合题意．
10．函数f(x)是定义在R上的奇函数，下列命题中正确的有( ABD )
A.f(0)＝0
B.若f(x)在[0，＋∞)上有最小值－1，则f(x)在(－∞，0]上有最大值1
C.若f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则f(x)在(－∞，－1]上单调递减
D.若x>0，f(x)＝x2－2x，则当x<0时，f(x)＝－x2－2x
解析：根据题意，依次分析选项：函数f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＝－f(x)，当x＝0时，有f(0)＝－f(0)，变形可得f(0)＝0，A正确；若f(x)在[0，＋∞)上有最小值－1，即x≥0时，f(x)≥－1，则有－x≤0，f(－x)＝－f(x)≤1，即f(x)在(－∞，0]上有最大值1，B正确；奇函数在对应的区间上单调性相同，则若f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则f(x)在(－∞，－1]上也单调递增，C错误；设x<0，则－x>0，则f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x，则f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x)＝－x2－2x，D正确．
11．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似表示为y＝eq \f(1,2)x2－200x＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．以下判断正确的是( AD )
A.该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低
B.该单位每月最低可获利20 000元
C.该单位每月不获利也不亏损
D.每月需要国家至少补贴40 000元才能使该单位不亏损
解析：由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为eq \f(y,x)＝eq \f(\f(1,2)x2－200x＋80 000,x)＝eq \f(1,2)x＋eq \f(80 000,x)－200≥2eq \r(\f(1,2)x×\f(80 000,x))－200＝200，当且仅当eq \f(1,2)x＝eq \f(80 000,x)，即x＝400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．设该单位每月获利为S元，则S＝100x－y＝100x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x2－200x＋80 000))＝－eq \f(1,2)(x－300)2－35 000，因为400≤x≤600，所以当x＝400时，S有最大值，Smax＝－40 000元．故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能不亏损．
12．对于定义域为D的函数y＝f(x)，若同时满足下列条件：①f(x)在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f(x)在[a，b]上的值域为[a，b]，那么把y＝f(x)(x∈D)称为闭函数．对于此新定义，下列结论正确的是( AC )
A.函数y＝x是闭函数
B.函数y＝x2＋1是闭函数
C.函数y＝－x2(x≤0)是闭函数
D.函数f(x)＝eq \f(x,1＋x)(x＞－1)是闭函数
解析：因为y＝x是R上的单调递增的一次函数，且在R上任意子区间都满足新定义，所以A正确；若函数是闭函数，则可设x∈[a，b]，y∈[a，b]，假设函数单调递增，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝a2＋1，,b＝b2＋1，))显然无解，若单调递减，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝b2＋1，,b＝a2＋1，))无解，所以B错误；函数是开口向下的二次函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，令f(x)＝－x2，若是闭函数，则一定有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f(a)＝a，,f(b)＝b，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－a2＝a，,－b2＝b，))解得满足新定义的闭区间是[－1，0]，此时a＝－1，b＝0，所以C正确；函数在(－1，＋∞)上单调递增，若满足新定义，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f(a)＝a，,f(b)＝b，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(a,a＋1)＝a，,\f(b,b＋1)＝b，))
解得a＝b，又a＜b，所以不存在区间满足新定义，所以D错误．
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋2ax＋3，x≤1，,ax＋1，x>1))是R上的减函数，则a的取值范围是－3≤a≤－1.
解析：因为函数f(x)是R上的减函数，所以有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(2a,2)≥1，,a<0，,12＋2a＋3≥a＋1，))
解得－3≤a≤－1.
14．已知f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－3，x>0，,g(x)，x<0))是奇函数，则f(－3)＝－6，f(g(－3))＝－33.
解析：因为函数f(x)是奇函数，所以f(－3)＝g(－3)＝－f(3)＝－6，所以f(g(－3))＝f(－6)＝－f(6)＝－33.
15．已知函数f(x)是R上的奇函数，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，f(－5)＝0，则不等式(x－3)f(x)>0的解集是(－5，0)∪(3，5)．
解析：根据题意，得函数f(x)是R上的奇函数，且f(－5)＝0，则f(5)＝－f(－5)＝0，又函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则在区间(0，5)上，f(x)>0，在区间(5，＋∞)上，f(x)<0，又函数为奇函数，则在区间(－5，0)上，f(x)<0，在区间(－∞，－5)上，f(x)>0，不等式(x－3)f(x)>0⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－3>0，,f(x)>0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－3<0，,f(x)<0，))则－516．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物：①如不超过200元，则不予优惠；②如超过200元但不超过500元按标价给予9折优惠；③如超过500元，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分，给予8折优惠．某人两次去购物，分别付款168元和423元，若他只去一次购买同样的商品，则应付款560.4元．
解析：由题意可知，设消费金额为x元，应付款为y元，
则y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x，0500，))
优惠前，第一次购物的消费金额为168元．第二次购物的消费金额为eq \f(423,0.9)＝470(元)．所以x＝168＋470＝638＞500，则y＝0.8×(638－500)＋450＝560.4(元)．
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分) 已知函数f(x)＝eq \f(x2＋a,x)(a∈R)，且f(1)＝5.
(1)求a的值；
(2)判断f(x)在区间(0，2)上的单调性，并用单调性的定义证明你的判断．
解：(1)由f(1)＝5得1＋a＝5，解得a＝4.
(2)f(x)在区间(0，2)内单调递减，证明如下：
由(1)得f(x)＝eq \f(x2＋4,x)＝x＋eq \f(4,x)，
对任意x1，x2∈(0，2)，且x1＜x2，
有f(x1)－f(x2)＝x1＋eq \f(4,x1)－x2－eq \f(4,x2)＝(x1－x2)＋eq \f(4(x2－x1),x1x2)＝
eq \f((x1－x2)(x1x2－4),x1x2)，
由x1，x2∈(0，2)，得0＜x1x2＜4，x1x2－4＜0，又由x1＜x2，得x1－x2＜0，
于是eq \f((x1－x2)(x1x2－4),x1x2)＞0，
即f(x1)＞f(x2)，
所以f(x)＝x＋eq \f(4,x)在区间(0，2)上单调递减．
18．(12分) 已知函数f(x)是一次函数，且满足f(x－1)＋f(x)＝2x－1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)判断函数g(x)＝eq \f(f(x),f(x)－1)在(1，＋∞)上的单调性，并用函数单调性的定义给予证明．
解：(1)设一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)，
由f(x－1)＋f(x)＝2x－1，可得a(x－1)＋b＋ax＋b＝2x－1，
整理得(2a－2)x＋2b－a＋1＝0，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a－2＝0，,2b－a＋1＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝0，))
所以f(x)＝x.
(2)g(x)＝eq \f(f(x),f(x)－1)＝eq \f(x,x－1)＝1＋eq \f(1,x－1).可判断g(x)＝1＋eq \f(1,x－1)在(1，＋∞)上单调递减，证明如下：
任取x1，x2∈(1，＋∞)且x1>x2，则g(x1)－g(x2)＝1＋eq \f(1,x1－1)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,x2－1)))＝eq \f(1,x1－1)－eq \f(1,x2－1)＝eq \f(x2－x1,(x1－1)(x2－1))，
因为x1>x2>1，所以x2－x1<0，x1－1>0，x2－1>0，
所以g(x1)－g(x2)<0，即g(x1)19．(12分) 已知函数f(x)＝eq \f(mx2＋2,3x＋n)是奇函数，且f(2)＝eq \f(5,3).
(1)求实数m和n的值；
(2)求函数f(x)在区间[－2，－1]上的最值．
解：(1)∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴eq \f(mx2＋2,－3x＋n)＝－eq \f(mx2＋2,3x＋n)＝eq \f(mx2＋2,－3x－n).
比较得n＝－n，n＝0.
又f(2)＝eq \f(5,3)，∴eq \f(4m＋2,6)＝eq \f(5,3)，解得m＝2.
∴实数m和n的值分别是2和0.
(2)由(1)知f(x)＝eq \f(2x2＋2,3x)＝eq \f(2x,3)＋eq \f(2,3x).
任取x1，x2∈[－2，－1]，且x1∵－2≤x11，x1x2－1>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴函数f(x)在[－2，－1]上单调递增．
∴f(x)max＝f(－1)＝－eq \f(4,3)，
f(x)min＝f(－2)＝－eq \f(5,3).
20．(12分) 某村充分利用自身资源，大力发展养殖业以增加收入．计划共投入80万元，全部用于甲、乙两个项目，要求每个项目至少要投入20万元．在对市场进行调研时，发现甲项目的收益y1与投入x(单位：万元)满足y1＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(5\r(x)＋20，20≤x<36，,50，36≤x≤60，))乙项目的收益y2与投入x(单位：万元)满足y2＝eq \f(1,2)x＋20.
(1)当甲项目的投入为25万元时，求甲、乙两个项目的总收益；
(2)问甲、乙两个项目各投入多少万元时，总收益最大？
解：(1)当甲项目投入25万元时，乙项目投入55万元，
甲、乙两个项目的总收益为(5eq \r(25)＋20)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×55＋20))＝92.5，
故甲、乙两个项目的总收益为92.5万元．
(2)设甲项目投入x万元，则乙项目投入(80－x)万元，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≥20，,80－x≥20，))解得20≤x≤60.
甲项目的收益为
y1＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(5\r(x)＋20，20≤x<36，,50，36≤x≤60，))
乙项目的收益为y2＝eq \f(1,2)(80－x)＋20＝60－eq \f(1,2)x，
∴甲、乙两个项目的总收益为f(x)＝y1＋y2＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(5\r(x)－\f(1,2)x＋80，20≤x<36，,110－\f(1,2)x，36≤x≤60.))
当20≤x<36时，
f(x)＝－eq \f(1,2)(eq \r(x)－5)2＋92.5，
∴当eq \r(x)＝5，即x＝25时，f(x)的最大值为92.5；
当36≤x≤60时，f(x)＝110－eq \f(1,2)x单调递减，
∴当x＝36时，f(x)的最大值为92.
综上，当x＝25时，f(x)的最大值为92.5，
故甲、乙两个项目分别投入25万元、55万元时，总收益最大．
21．(12分)已知二次函数f(x)＝x2－mx＋m－1(m∈R)．
(1)若F(x)＝xf(x)是奇函数，求m的值；
(2)f(x)在区间[－1，1]上的最小值记为g(m)，求g(m)的最大值．
解：(1)因为F(x)＝xf(x)是奇函数， 所以f(x)是偶函数，
即二次函数f(x)的对称轴为直线x＝－eq \f(b,2a)＝eq \f(m,2)＝0，即m＝0.
(2)f(x)的对称轴为直线x＝eq \f(m,2)，
当eq \f(m,2)∈(－1，1)，即m∈(－2，2)时，
f(x)min＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,2)))＝－eq \f(m2,4)＋m－1，即g(m)＝－eq \f(m2,4)＋m－1；
当eq \f(m,2)∈(－∞，－1]，即m∈(－∞，－2]时，f(x)min＝f(－1)＝1＋m＋m－1＝2m，故g(m)＝2m；
当eq \f(m,2)∈[1，＋∞)，即m∈[2，＋∞)时，f(x)min＝f(1)＝1－m＋m－1＝0.
综上，g(m)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2m，m≤－2，,－\f(m2,4)＋m－1，－2故m∈(－∞，－2]时，g(m)≤－4，
m∈[2，＋∞)时，g(m)＝0，
m∈(－2，2)时，g(m)的对称轴为直线m＝2，g(m)<－eq \f(4,4)＋2－1＝0，
所以g(m)的最大值为0.
22．(12分)函数f(x)对任意实数x，y恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0.
(1)判断f(x)的奇偶性；
(2)求证：f(x)是R上的减函数；
(3)若a∈R，求关于x的不等式f(ax2)＋f(x＋2)解：(1)取x＝y＝0，则f(0＋0)＝2f(0)，∴f(0)＝0.
取y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，即－f(x)＝f(－x)对任意x∈R恒成立，
∴f(x)为奇函数．
(2)证明：任取x1，x2∈(－∞，＋∞)，且x1则x2－x1>0，f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)<0，
∴f(x2)<－f(－x1)，
又f(x)为奇函数，－f(－x1)＝f(x1)，
∴f(x1)>f(x2)，
∴f(x)是R上的减函数．
(3)f(x)为奇函数，整理原式得f(ax2＋x＋2)∵f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，
∴ax2＋x＋2>x2－ax，即(a－1)x2＋(a＋1)x＋2>0，
①当a＝1时，原不等式的解为x>－1；
②当a>1时，原不等式化为(a－1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(2,a－1)))(x＋1)>0，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(2,a－1)))(x＋1)>0；
若a＝3，原不等式化为(x＋1)2>0，原不等式的解为x≠－1；
若a>3，则－eq \f(2,a－1)>－1，原不等式的解为x>－eq \f(2,a－1)或x<－1；
若1－1或x<－eq \f(2,a－1)；
③当a<1时，原不等式化为(a－1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(2,a－1)))(x＋1)>0
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(2,a－1)))(x＋1)<0；
则－eq \f(2,a－1)>－1，原不等式的解为－1综上所述：
当a<1时，原不等式的解集为
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(－1当a＝1时，原不等式的解集为{x|x>－1}；
当1eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x>－1，或x<－\f(2,a－1)))))；
当a＝3时，原不等式的解集为{x|x≠－1}；
当a>3时，原不等式的解集为
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x<－1，或x>－\f(2,a－1))))).
课标解读
素养目标
1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念．
2．体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用．
3．了解构成函数的要素．
4．能够将问题情景和函数关系进行相互转化．
1.通过对函数概念的理解，提升数学抽象的核心素养．
2．通过问题情景建立函数关系，提升数学建模的核心素养.
概念
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
三要素
对应关系
y＝f(x)，x∈A
定义域
x的取值范围是集合A
值域
与x对应的y的值的集合是C＝{f(x)|x∈A}
x
1
2
3
f(x)
2
1
1
x
1
2
3
…
y
1
3
5
…
x
01≤x<2
2≤x<3
3≤x≤4
y
1
2
3
4
课标解读
素养目标
1.会判断两个函数是否为同一个函数．
2．能正确使用区间表示数集．
3．会求一些简单函数的定义域与函数值．
1.通过对区间概念的理解及判断两个函数为同一函数，提升数学抽象的核心素养．
2．通过求一些简单函数的值域，提升逻辑推理、数学运算的核心素养.
定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a，b]
{x|a开区间
(a，b)
{x|a≤x半开半闭区间
[a，b)
{x|a半开半闭区间
(a，b]
{x|x≥a}
[a，＋∞)
{x|x>a}
(a，＋∞)
{x|x≤a}
(－∞，a]
{x|x(－∞，a)
前提条件
定义域相同
对应关系完全一致
结论
这两个函数是同一个函数
课标解读
素养目标
1.了解函数的三种表示方法及各自的优缺点．
2．能用图象法表示函数并能通过函数图象得到函数的值域.
结合实例，经历函数三种表示法的抽象过程，体会三种表示法的作用，发展学生的数学抽象和直观想象的核心素养.
表示法
定义
解析法
用解析式表示两个变量之间的对应关系
图象法
用图象表示两个变量之间的对应关系
列表法
列出表格来表示两个变量之间的对应关系
月饼数x/块
1
2
3
4
5
6
钱数y/元
6
12
18
24
30
36
行进站数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
票价
1
1
1
2
2
2
3
3
3
x
1
2
3
4
y
4
3
2
1
x
1
2
3
f(x)
2
3
0
x
1
2
3
4
f(x)
3
2
4
1
x
1
2
3
4
5
f(x)
5
4
3
2
1
x
5
4
3
2
1
g(x)
4
3
2
1
5
x
0
1
2
3
4
5
y
50
40
30
20
10
0
课标解读
素养目标
1.掌握利用图象的变换法作图．
2．会求函数的解析式．
在掌握图象的变换法的过程中，提升直观想象的核心素养；在掌握函数解析式的过程中，提升数学抽象、逻辑推理的核心素养.
课标解读
素养目标
1.会用解析法及图象法表示分段函数．
2．给出分段函数，能研究有关性质．
3．能用分段函数解决生活中的一些简单问题．
结合实例，加深对分段函数概念的理解及应用，提升逻辑推理、数学运算素养.
x
1
2
3
4
f(x)
2
4
3
1
g(x)
3
1
2
4
课标解读
素养目标
1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性．
2．理解函数单调性的作用和实际意义．
3．在理解函数单调性概念的基础上，理解函数单调性的作用，掌握函数单调性的应用．
1.结合实例，经历从具体的直观描述到形式的符号表达的抽象过程．体会用符号形式表达单调性定义的必要性．
2．在函数单调性的应用过程中，发展逻辑推理和数学运算核心素养.
课标解读
素养目标
借助函数图象，会用符号语言表达函数的最大值、最小值，理解它们的作用和意义．
通过图象经历函数最值的抽象过程，发展数学抽象、逻辑推理和数学运算核心素养.
最大值
最小值
条件
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足：
∀x∈D，都有f(x)≤M
∀x∈D，都有f(x)≥M
∃x0∈D，使得f(x0)＝M
结论
M是函数y＝f(x)的最大值
M是函数y＝f(x)的最小值
几何意义
f(x)图象上最高点的纵坐标
f(x)图象上最低点的纵坐标
课标解读
素养目标
1.结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义．
2．能判断函数的奇偶性，能运用奇偶函数的图象特征解决一些简单问题．
通过本节内容的学习，让学生结合实例，利用图象抽象出函数性质，提升直观想象和逻辑推理核心素养.
定义
偶函数
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数
奇函数
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数
非奇非偶函数
既不是奇函数又不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数
定义域特征
偶函数、奇函数定义域关于原点对称
等价形式
若f(x)≠0，则eq \f(f(－x),f(x))＝－1⇔f(x)为奇函数；eq \f(f(－x),f(x))＝1⇔f(x)为偶函数
课标解读
素养目标
1.掌握函数奇偶性的简单应用．
2．了解函数图象的对称轴、对称中心满足的条件．
1.通过函数奇偶性的应用，熟悉转化、对称等思想方法，提升逻辑推理核心素养．
2．通过函数图象的对称轴、对称中心条件，提升直观想象和数学抽象的核心素养.
课标解读
素养目标
1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式．
2．通过具体实例，结合y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝xeq \s\up6(\f(1,2))的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数．
以五个常见幂函数为载体，归纳幂函数的图象与性质，发展数学抽象、逻辑推理的核心素养.
幂函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝xeq \s\up6(\f(1,2))
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
(－∞，0)∪(0，＋∞)
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y∈R，且y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
x∈[0，＋∞)，增；x∈(－∞，0]，减
增
增
x∈(0，＋∞)，减；x∈(－∞，0)，减
公共点
都经过点(1，1)
课标解读
素养目标
1. 理解函数是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言及工具.
2.在实际情境中,会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律.
通过本节的学习，体会常见函数的变化异同，提升数学抽、数学建模、数据分析等核心素养.
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
分段函数模型
f(x)＝
幂函数模型
f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0)
型号
小包装
大包装
质量
100克
300克
包装费
0.5元
0.7元
销售价格
3.0元
8.4元
每户每月用水量x(m3)
每m3的水价
不超过12 m3的部分
3元
超过12 m3但不超过18 m3的部分
5元
超过18 m3的部分
8元