2024讲与练高中数学1(必修第一册·A版)3.2.1 第2课时　函数的最大(小)值

这是一份2024讲与练高中数学1(必修第一册·A版)3.2.1 第2课时　函数的最大(小)值，共6页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题， 填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题
1. 函数y＝x2＋2x－1在[0，3]上的最小值为( C )
A.0B.－4
C.－1D.－2
解析：因为y＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2，其图象的对称轴为直线x＝－1，所以函数y＝x2＋2x－1在[0，3]上单调递增，即当x＝0时，该函数取得最小值，最小值为－1.
2．若函数y＝ax＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是( B )
A.3B.±2
C.1D.0
解析：根据题意，当a>0时，函数y＝ax＋1在[1，2]上单调递增，所以2a＋1－(a＋1)＝2，解得a＝2.当a<0时，函数y＝ax＋1在[1，2]上单调递减，所以a＋1－(2a＋1)＝2，解得a＝－2.所以a＝±2，故选B．
3．函数y＝x2－2x，x∈[0，3]的值域为( D )
A.[0，3]B.[－1，0]
C.[－1，＋∞)D.[－1，3]
解析：∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0，3]，∴当x＝1时，函数取得最小值－1，当x＝3时，函数取得最大值3，故函数的值域为[－1，3]．
4．用长度为24 m的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙(平行于矩形的一条边)，要使矩形的面积最大，则每道隔墙的长度为( A )
A.3 mB.4 m
C.5 mD.6 m
解析：设每道隔墙长度为x m，场地面积为S m2，则S＝x•eq \f(24－4x,2)＝12x－2x2＝－2(x－3)2＋18.所以当x＝3时，S有最大值．故选A．
5．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x(其中销售量x的单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( C )
A.90万元B.60万元
C.120万元万元
解析：设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15－x)辆，公司获利为L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(19,2)))eq \s\up12(2)＋30＋eq \f(192,4)，∴当x＝9或10时，能获得最大利润，最大利润为120万元．
二、多项选择题
6．若函数f(x)＝x2－4x＋1在区间A上的值域为[－3，1]，则区间A可能为( ABC )
A.[0，4]B.[2，4]
C.[1，4]D.[－3，5]
解析：∵函数f(x)＝x2－4x＋1的图象是开口向上的抛物线，以直线x＝2为对称轴，∴函数f(x)在区间(－∞，2)上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增．当x∈[0，4]时，函数的最小值为f(2)＝－3，最大值为f(0)＝f(4)＝1，得函数的值域为[－3，1]；当x∈[2，4]时，函数的最小值为f(2)＝－3，最大值为f(4)＝1，得函数的值域为[－3，1]；当x∈[1，4]时，函数的最小值为f(2)＝－3，∵f(1)＝－2f(5)＝6，∴最大值为f(－3)＝22，得函数的值域为[－3，22]．根据以上的讨论可得区间A不可能为[－3，5]．故选ABC．
7．已知f(x)＝x，g(x)＝x2－2x，F(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(g(x)，f(x)≥g(x)，,f(x)，f(x)A.F(x)的最大值为3
B.F(x)的最小值为－1
C.F(x)无最小值
D.F(x)无最大值
解析：由f(x)≥g(x)得0≤x≤3；由f(x)3，所以F(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－2x，0≤x≤3，,x，x<0或x>3.))作出函数F(x)的图象(图略)，可得F(x)无最大值，无最小值．
三、 填空题
8．设函数y＝f(x)的定义域为[－4，6]，且在区间[－4，－2]上递减，在区间[－2，6]上递增，f(－4)解析：函数y＝f(x)在[－4，6]上的大致图象如图所示．
观察可知，f(x)min＝f(－2)．又由题意可知f(－4)9．若函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋6，x∈[1，2]，,x＋7，x∈[－1，1)，))则f(x)的最大值为10，最小值为6.
解析：x∈[1，2]时，2x＋6∈[8，10]；x∈[－1，1)时，x＋7∈[6，8)，因此最大值为10，最小值为6.
10．函数f(x)＝eq \f(x,x＋2)在区间[2，4]上的最大值为eq \f(2,3)，最小值为eq \f(1,2).
解析：f(x)＝eq \f(x,x＋2)＝eq \f(x＋2－2,x＋2)＝1－eq \f(2,x＋2)，在[2，4]上，若x越大，则x＋2越大，eq \f(2,x＋2)越小，－eq \f(2,x＋2)越大，1－eq \f(2,x＋2)越大，故函数f(x)在[2，4]上是增函数，∴f(x)min＝f(2)＝eq \f(2,2＋2)＝eq \f(1,2)，f(x)max＝f(4)＝eq \f(4,4＋2)＝eq \f(2,3).
四、解答题
11．已知f(x)＝eq \f(x＋1,x－1).
(1)判断f(x)的单调性并用定义法证明；
(2)求f(x)在区间[2，4]上的最大值和最小值．
解：(1)f(x)＝eq \f(x＋1,x－1)＝1＋eq \f(2,x－1)，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．
f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上单调递减，证明如下：
∀x1，x2∈(1，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝1＋eq \f(2,x1－1)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(2,x2－1)))＝eq \f(2(x2－x1),(x1－1)(x2－1))，
∵x1，x2∈(1，＋∞)，且x1∴x2－x1>0，x1－1>0，x2－1>0，
∴eq \f(2(x2－x1),(x1－1)(x2－1))>0，
∴f(x1)>f(x2)，
∴函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减，
同理可得函数f(x)在(－∞，1)上单调递减．
(2)由(1)得函数f(x)在[2，4]上单调递减，
∴f(x)max＝f(2)＝3，f(x)min＝f(4)＝eq \f(5,3).
12．设函数f(x)＝x2－4ax＋3.
(1)当a＝1时，求f(x)<0的解集；
(2)函数f(x)在区间[1，3]有单调性， 求实数a的取值范围；
(3)求函数f(x)在区间[1，3]上的最小值h(a)．
解：(1)当a＝1时，x2－4x＋3<0，∴1(2)f(x)＝(x－2a)2＋3－4a2，f(x)在区间[1，3]上单调，
则2a≤1或2a≥3，
解得a≤eq \f(1,2)或a≥eq \f(3,2).
即实数a的取值范围为a≤eq \f(1,2)或a≥eq \f(3,2).
(3)当a≤eq \f(1,2)时，2a≤1，f(x)在[1，3]上是增函数，h(a)＝f(1)＝4－4a；
当eq \f(1,2)当a≥eq \f(3,2)时，f(x)在区间[1，3]上是减函数，h(a)＝f(3)＝12－12a.
综上，h(a)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4－4a，a≤\f(1,2)，,3－4a2，\f(1,2)13．(多选题)设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ax－1，xA.－2B.－1
C.0D.1
解析：因为f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ax－1，x0，当x14．已知函数f(x)＝eq \f(1,a)－eq \f(1,x)(a>0，x>0)，则该函数为增函数(填“增”或“减”)；若f(x)<2x在(0，＋∞)上恒成立，则实数a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),4)，＋∞)).
解析：f(x)＝eq \f(1,a)－eq \f(1,x)(a>0)在(0，＋∞)上单调递增．f(x)<2x，即eq \f(1,a)－eq \f(1,x)<2x(a>0)在(0，＋∞)上恒成立，变形为eq \f(1,a)<2x＋eq \f(1,x)(a>0)在(0，＋∞)上恒成立，令h(x)＝2x＋eq \f(1,x)，x∈(0，＋∞)，则由对勾函数的性质得h(x)＝2x＋eq \f(1,x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))上单调递减，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，＋∞))上单调递增，故h(x)≥heq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))＝2eq \r(2)，所以eq \f(1,a)<2eq \r(2)(a>0)，解得a>eq \f(\r(2),4)，所以实数a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),4)，＋∞)).
15．平阳木偶戏又称傀儡戏、木头戏，是浙江省温州市的传统民间艺术之一，平阳木偶戏是以提线木偶为主，活跃于集镇乡村、广场庙会上，演绎着古今生活百态，其表演形式独特，活泼多样，具有浓厚的地方色彩和很高的观赏性与研究价值．现有一位木偶制作传承人想要把一块长为4 dm(dm是分米符号)，宽为3 dm的矩形木料沿一条直线MN切割成两部分来制作木偶的不同部位．若割痕MN(线段)将木料分为面积比为1∶λ的两部分(含点A的部分面积不大于含点C的部分面积，M，N可以和矩形顶点重合)，有如图三种切割方式，①M点在线段AB上，N点在线段AD上；②M点在线段AB上，N点在线段DC上；③M点在线段AD上，N点在线段BC上．设AM＝x dm，割痕MN(线段)的长度为y dm．
(1)当λ＝1时，请在以上三种方式中任意选择一种，写出割痕MN的取值范围；(无须求解过程，若写出多种以第一个答案为准)
(2)当λ＝2时，判断以上三种方式中哪一种割痕MN的最大值较小，并说明理由．
解：(1)选①：y＝5，选②：y∈[3，5]，选③：y∈[4，5]．
(2)选①：令AN＝z，则S△AMN＝eq \f(1,2)xz＝4，z＝eq \f(8,x)，y＝eq \r(x2＋z2)＝eq \r(x2＋\f(64,x2))，
∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0≤x≤4，,0≤z≤3，,z＝\f(8,x)，))∴eq \f(8,3)≤x≤4，
∴x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(eq \f(8,3)，2eq \r(2)))时，y＝f(x)为减函数，当x∈[2eq \r(2)，4]时，y＝f(x)为增函数．
x＝eq \f(8,3)时，y＝eq \f(\r(145),3)，当x＝4时，y＝2eq \r(5)，∴ymax＝2eq \r(5).
选②：令DN＝z，则S四边形AMND＝eq \f(1,2)(x＋z)×3＝4，z＝eq \f(8,3)－x，y＝eq \r((x－z)2＋9)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(8,3)))\s\up12(2)＋9)，
∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0≤x≤4，,0≤z≤4，,z＝\f(8,3)－x，))∴0≤x≤eq \f(8,3)，
∴当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(4,3)))时，y＝f(x)为减函数，当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(eq \f(4,3)，\f(8,3)))时，y＝f(x)为增函数，
∴x＝0或x＝eq \f(8,3)时，ymax＝eq \f(\r(145),3).
选③：令BN＝z，则S四边形AMNB＝eq \f(1,2)(x＋z)×4＝4，z＝2－x，y＝eq \r((x－z)2＋16)＝2eq \r((x－1)2＋4)，
∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0≤x≤3，,0≤z≤3，,z＝2－x，))∴0≤x≤2.
∴当x∈[0，1]时，y＝f(x)为减函数，当x∈[1，2]时，y＝f(x)为增函数，
∴当x＝0或x＝2时，ymax＝2eq \r(5).
综上所述，方式②割痕MN的最大值较小，值为eq \f(\r(145),3).