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中考数学压轴专题 圆中的最值模型之阿氏圆模型
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这是一份中考数学压轴专题 圆中的最值模型之阿氏圆模型，共11页。
【模型背景】已知平面上两点A、B，则所有满足 PA=k·PB（k≠1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。
【模型解读】如图 1 所示，⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB， 连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？
如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r，则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。
故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值，
其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。如图3所示：
注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：
在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．
【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短解题。
例1．（2020·广西中考真题）如图，在Rt中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的上任意一点，连接BP，CP，则BP+CP的最小值是_____．
例2．（2022·湖北·九年级专题练习）如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD﹣PC的最大值为_____．
例3．（2023·成都市·九年级专题练习）如图，已知菱形的边长为4，，的半径为2，P为上一动点，则的最小值_______．的最小值_______
例4.（2023·北京·九年级专题练习）如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则PA＋PB的最小值为________．
例5．（2022·江苏淮安·九年级期中）问题提出：如图1，在等边△ABC中，AB=12，⊙C半径为6，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+BP的最小值．
（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD=3，则有==，又∵∠PCD=∠BCP，∴△PCD∽△BCP，∴=，∴PD=BP，∴AP+BP=AP+PD．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为．
（2）自主探索：如图1，矩形ABCD中，BC=7，AB=9，P为矩形内部一点，且PB=3，AP+PC的最小值为．（3）拓展延伸：如图2，扇形COD中，O为圆心，∠COD=120°，OC=4，OA=2，OB=3，点P是上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．
例6．（2022·重庆·九年级专题练习）（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD＋的最小值为__，PD﹣的最大值为__．
（2）如图2，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD＋的最小值为__，PD﹣的最大值为__．
例7．（2022·江苏·苏州九年级阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在边CD上，且线段EF＝4，点G为线段EF的中点，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为 _____．
课后专项训练
1．（2023·广东·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP＋BP的最小值为（ ）
A．7B．5C．D．
2．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图，正方形ABCD的边长AB=8，E为平面内一动点，且AE=4，F为CD上一点，CF=2，连接EF，ED，则EFED的最小值为( )
A．6B．4C．4D．6
3．（2023·江苏常州·统考一模）如图，在中，点A、点在上，，，点在上，且，点是的中点，点是劣弧上的动点，则的最小值为 ．
4．（2023·浙江·九年级专题练习）如图所示，，半径为2的圆内切于．为圆上一动点，过点作、分别垂直于的两边，垂足为、，则的取值范围为 ．
5．（2023·湖南·九年级专题练习）如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则PA＋PB的最小值为 ．
6．（2023·山东·九年级专题练习）如图，在中，，以点B为圆心作圆B与相切，点P为圆B上任一动点，则的最小值是 ．
7．（2023·成都市·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（4，4），点P在半径为2的圆O上运动，则的最小值为 ____________．
8．（2023·山东·九年级专题练习）如图，点A、B在上，且OA＝OB＝6，且OA⊥OB，点C是OA的中点，点D在OB上，且OD＝4，动点P在上．求2PC＋PD的最小值．
9．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，已知菱形的边长为8，，圆的半径为4，点是圆上的一个动点，则的最大值为 ．
10．（2023·河北·模拟预测）如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=4，M点是BC的中点，A为圆心，AB为半径的圆交AD于点E．点P在弧BE上运动，则PM+DP的最小值为 ．
11.（2023·山东·九年级专题练习）如图，的半径为，，Q为上一动点，则的最小值 ．的最小值
12．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则PA＋PB的最小值为 ．
13．（2022·湖北武汉·校考三模）如图，在边长为6的正方形ABCD中，M为AB上一点，且BM＝2，N为边BC上一动点，连接MN，点B关于MN对称，对应点为P，连接PA，PC，则PA+2PC的最小值为 ．
14．（2023·山东·九年级专题练习）（1）如图1，已知正方形的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值，的最小值，的最大值．
（2）如图2，已知正方形的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，求的最小值，的最大值，的最小值．
（3）如图3，已知菱形的边长为4，，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值和的最大值．的最小值
15．（2023秋·广东广州·九年级统考期末）如图，四边形为平行四边形，以为直径的交于点，连接，，，．过点作直线．过点作，垂足为．
(1)求的值；(2)若，且与交于另一点，求的长；
(3)过点作，垂足为，当直线绕点旋转时，求的最大值．
16．（2023·山东济南·九年级校考阶段练习）如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B，在x轴上有一动点（），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．(1)求a的值和直线AB的函数表达式：(2)设△PMN的周长为，△AEN的周长为，若求m的值．(3)如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到，旋转角为（），连接、，求的最小值．
17．（2023·福建·九年级统考学业考试）如图，在平面直角坐标系中，已知一抛物线顶点为，抛物线与轴交于点，交轴于两点（在的左边），
（1）求出该抛物线的解析式；（2）已知点为线段上的一点且不与重合，作轴交直线于点，交抛物线于点，连接，．当是以为底边的等腰三角形时，为线段上一点，连接，求出的最小值；（3）若直线与抛物线的对称轴交于点，以为圆心1为半径作圆，为圆上一动点，求的最小值；
（4）如图，直线，点为直线上一动点，点在抛物线的对称轴上，作直线于点，交拋物线于，连接，，，当为等边时，直接写出点的坐标．
18．（2023·山西·校联考模拟预测）阅读以下材料，并按要求完成相应任务．阿波罗尼斯（ApllniusfPerga），古希腊人（公元前262~190年），数学家，写了八册圆锥曲线论著，其中有七册流传下来，书中详细讨论了圆锥曲线的各种性质，阿波罗尼斯圆是他的论著中一个著名的问题．一动点与两定点，的距离之比等于定比，则点的轨迹是以定比内分和外分线段的两个分点的连线为直径的圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称“阿氏圆”．
如图1，点，为两定点，点为动点，满足，点在线段上，点在的延长线上且，则点的运动轨迹是以为直径的圆．
下面是“阿氏圆”的证明过程（部分）：
过点作交的延长线于点．
∴，．
∴．∴．
又∵，∴．
∴．∴．∴．
如图2，在图1（隐去，）的基础上过点作交于点，可知，……
任务：（1）判断是否平分，并说明理由；（2）请根据上面的部分证明及任务（1）中的结论，完成“阿氏圆”证明的剩余部分；（3）应用：如图3，在平面直角坐标系中，，，，则点所在圆的圆心坐标为________．
19．（2022秋·浙江·九年级专题练习）已知：
图1 图2 图3
（1）初步思考：如图1， 在中，已知，BC=4，N为BC上一点且，试说明：
（2）问题提出：如图2，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值．（3）推广运用：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B﹦60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最大值．
【模型背景】已知平面上两点A、B，则所有满足 PA=k·PB（k≠1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。
【模型解读】如图 1 所示，⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB， 连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？
如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r，则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。
故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值，
其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。如图3所示：
注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：
在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．
【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短解题。
例1．（2020·广西中考真题）如图，在Rt中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的上任意一点，连接BP，CP，则BP+CP的最小值是_____．
例2．（2022·湖北·九年级专题练习）如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD﹣PC的最大值为_____．
例3．（2023·成都市·九年级专题练习）如图，已知菱形的边长为4，，的半径为2，P为上一动点，则的最小值_______．的最小值_______
例4.（2023·北京·九年级专题练习）如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则PA＋PB的最小值为________．
例5．（2022·江苏淮安·九年级期中）问题提出：如图1，在等边△ABC中，AB=12，⊙C半径为6，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+BP的最小值．
（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD=3，则有==，又∵∠PCD=∠BCP，∴△PCD∽△BCP，∴=，∴PD=BP，∴AP+BP=AP+PD．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为．
（2）自主探索：如图1，矩形ABCD中，BC=7，AB=9，P为矩形内部一点，且PB=3，AP+PC的最小值为．（3）拓展延伸：如图2，扇形COD中，O为圆心，∠COD=120°，OC=4，OA=2，OB=3，点P是上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．
例6．（2022·重庆·九年级专题练习）（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD＋的最小值为__，PD﹣的最大值为__．
（2）如图2，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD＋的最小值为__，PD﹣的最大值为__．
例7．（2022·江苏·苏州九年级阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在边CD上，且线段EF＝4，点G为线段EF的中点，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为 _____．
课后专项训练
1．（2023·广东·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP＋BP的最小值为（ ）
A．7B．5C．D．
2．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图，正方形ABCD的边长AB=8，E为平面内一动点，且AE=4，F为CD上一点，CF=2，连接EF，ED，则EFED的最小值为( )
A．6B．4C．4D．6
3．（2023·江苏常州·统考一模）如图，在中，点A、点在上，，，点在上，且，点是的中点，点是劣弧上的动点，则的最小值为 ．
4．（2023·浙江·九年级专题练习）如图所示，，半径为2的圆内切于．为圆上一动点，过点作、分别垂直于的两边，垂足为、，则的取值范围为 ．
5．（2023·湖南·九年级专题练习）如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则PA＋PB的最小值为 ．
6．（2023·山东·九年级专题练习）如图，在中，，以点B为圆心作圆B与相切，点P为圆B上任一动点，则的最小值是 ．
7．（2023·成都市·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（4，4），点P在半径为2的圆O上运动，则的最小值为 ____________．
8．（2023·山东·九年级专题练习）如图，点A、B在上，且OA＝OB＝6，且OA⊥OB，点C是OA的中点，点D在OB上，且OD＝4，动点P在上．求2PC＋PD的最小值．
9．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，已知菱形的边长为8，，圆的半径为4，点是圆上的一个动点，则的最大值为 ．
10．（2023·河北·模拟预测）如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=4，M点是BC的中点，A为圆心，AB为半径的圆交AD于点E．点P在弧BE上运动，则PM+DP的最小值为 ．
11.（2023·山东·九年级专题练习）如图，的半径为，，Q为上一动点，则的最小值 ．的最小值
12．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则PA＋PB的最小值为 ．
13．（2022·湖北武汉·校考三模）如图，在边长为6的正方形ABCD中，M为AB上一点，且BM＝2，N为边BC上一动点，连接MN，点B关于MN对称，对应点为P，连接PA，PC，则PA+2PC的最小值为 ．
14．（2023·山东·九年级专题练习）（1）如图1，已知正方形的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值，的最小值，的最大值．
（2）如图2，已知正方形的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，求的最小值，的最大值，的最小值．
（3）如图3，已知菱形的边长为4，，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值和的最大值．的最小值
15．（2023秋·广东广州·九年级统考期末）如图，四边形为平行四边形，以为直径的交于点，连接，，，．过点作直线．过点作，垂足为．
(1)求的值；(2)若，且与交于另一点，求的长；
(3)过点作，垂足为，当直线绕点旋转时，求的最大值．
16．（2023·山东济南·九年级校考阶段练习）如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B，在x轴上有一动点（），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．(1)求a的值和直线AB的函数表达式：(2)设△PMN的周长为，△AEN的周长为，若求m的值．(3)如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到，旋转角为（），连接、，求的最小值．
17．（2023·福建·九年级统考学业考试）如图，在平面直角坐标系中，已知一抛物线顶点为，抛物线与轴交于点，交轴于两点（在的左边），
（1）求出该抛物线的解析式；（2）已知点为线段上的一点且不与重合，作轴交直线于点，交抛物线于点，连接，．当是以为底边的等腰三角形时，为线段上一点，连接，求出的最小值；（3）若直线与抛物线的对称轴交于点，以为圆心1为半径作圆，为圆上一动点，求的最小值；
（4）如图，直线，点为直线上一动点，点在抛物线的对称轴上，作直线于点，交拋物线于，连接，，，当为等边时，直接写出点的坐标．
18．（2023·山西·校联考模拟预测）阅读以下材料，并按要求完成相应任务．阿波罗尼斯（ApllniusfPerga），古希腊人（公元前262~190年），数学家，写了八册圆锥曲线论著，其中有七册流传下来，书中详细讨论了圆锥曲线的各种性质，阿波罗尼斯圆是他的论著中一个著名的问题．一动点与两定点，的距离之比等于定比，则点的轨迹是以定比内分和外分线段的两个分点的连线为直径的圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称“阿氏圆”．
如图1，点，为两定点，点为动点，满足，点在线段上，点在的延长线上且，则点的运动轨迹是以为直径的圆．
下面是“阿氏圆”的证明过程（部分）：
过点作交的延长线于点．
∴，．
∴．∴．
又∵，∴．
∴．∴．∴．
如图2，在图1（隐去，）的基础上过点作交于点，可知，……
任务：（1）判断是否平分，并说明理由；（2）请根据上面的部分证明及任务（1）中的结论，完成“阿氏圆”证明的剩余部分；（3）应用：如图3，在平面直角坐标系中，，，，则点所在圆的圆心坐标为________．
19．（2022秋·浙江·九年级专题练习）已知：
图1 图2 图3
（1）初步思考：如图1， 在中，已知，BC=4，N为BC上一点且，试说明：
（2）问题提出：如图2，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值．（3）推广运用：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B﹦60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最大值．
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