湖南省长沙市雅礼中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题（Word版附解析）

这是一份湖南省长沙市雅礼中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题（Word版附解析），共15页。

1. 设，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解不等式可得集合，再根据集合间的运算可得解.
【详解】由，
又，
所以，
所以，
故选：A.
2. 下列函数中在定义域上既是奇函数又是增函数的为（ ）
A. y＝x＋1B. y＝－x2C. y＝x3D.
【答案】C
【解析】
【分析】依据奇偶性和单调性依次判断每个选项即可.
【详解】y＝x＋1是非奇非偶函数，
y＝－x2是偶函数，
y＝x3由幂函数的性质，是定义在R上的奇函数，且为单调递增，
在定义域为，不是定义域上的单调增函数，
故选：C
【点睛】此题考查函数奇偶性单调性的判断，要求对奇偶性和单调性的判断方式熟练掌握，是简单题目.
3. 设，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】
利用特殊值排除判断ABC，由不等式的性质判断D即可.
【详解】当时，不成立，故A错误；
当时，不成立，故B错误；
当时，不成立，故C错误；
，由不等式性质知，故D正确.
故选：D
4. 对于函数,“的图象关于轴对称”是“=是奇函数”的
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要
【答案】B
【解析】
【详解】由奇函数，偶函数的定义,容易得选项B正确.
5. 若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数函数、对数函数的性质比较大小.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
因为，且，所以，
所以，
故选：C.
6. 函数在的最小值是（ ）
A. 1B. C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】设，得到，进而得到，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】由题意，函数，
设，因为，则，
则函数，
当时，取得最小值.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，以及指数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数的图象与性质，以及结合二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查运算与求解能力.
7. 已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先可求出，再由得，由得，将其转化为、与的交点，数形结合即可判断.
【详解】解：由得，，
由得，由得.
在同一平面直角坐标系中画出、、的图象，
由图象知，，.
故选：B
【点睛】本题考查函数的零点，函数方程思想，对数函数、指数函数的图象的应用，属于中档题.
8. 已知是定义在R上的奇函数，若对任意，均有．且，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用函数单调性的定义以及函数的单调性和奇偶性综合解抽象函数不等式.
【详解】因为，所以，所以，
设函数，则函数在单调递增，且，
当时，不等式等价于，即，
即，解得，
又因为是定义在R上奇函数，所以，
所以当时，不等式无解，
因为是定义在R上奇函数，所以为偶函数，且在单调递减，
当时，不等式等价于，即，
即，解得，
综上不等式的解集为，
故选：D.
二、多选题 （本大题共4小题，每小题全对5分，选对不全对得2分，共20分）
9. 函数的零点所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】把函数的零点问题转化为函数和的图象的交点问题，数形结合即可得解.
【详解】如图，作出函数和的图象，
观察交点可得交点在和区间上，
故选：BC.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为
B. 若函数过定点，则函数经过定点
C. 幂函数 在是减函数
D. 图象关于点成中心对称
【答案】BD
【解析】
【分析】根据复合函数定义域判断A；根据函数图像平移判断BD；根据幂函数的性质判断C.
【详解】解：对于A，若函数的定义域为，则函数的定义域为，故错误；
对于B，函数向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到函数图像，由于过定点，故函数经过定点，正确；
对于C，幂函数 在是减函数，由于，定义域为，，为偶函数，故幂函数 在是增函数，故错误；
对于D，，其图像由向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到，且图像关于原点对称，故图像关于点成中心对称，正确.
故选：BD
11. 符号表示不超过的最大整数，如，，定义函数:，则下列命题正确的是（ ）
A. B. 当时，
C. 函数的定义域为，值域为D. 函数是增函数､奇函数
【答案】ABC
【解析】
【分析】将代入解析式，即可判断A项；当时，，得出，从而判断B项；由表示不超过的最大整数，得出，从而判断C项；取特殊值，判断D项.
详解】对于A项，，则A正确；
对于B项，当时，，得出，则B正确；
对于C项，函数的定义域为，因为表示不超过的最大整数，所以，则C正确；
对于D项，，
，
函数既不增函数也不是奇函数，则D错误；
故选：ABC
【点睛】本题主要考查了求函数值，解析式，定义域，值域，判断函数的单调性以及奇偶性，属于中档题.
12. 函数的定义域为，若存在区间使在区间上的值域也是，则称区间为函数的“和谐区间”，则下列函数存在“和谐区间”的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意，可知若在区间上的值域也是，则存在“和谐区间”，且，则或，再对各个选项进行运算求解，即可判断该函数是否存在“和谐区间”.
【详解】解：由题得，若在区间上的值域也是，则存在“和谐区间”，
可知，，则或，
A：，若，解得：，
所以存在“和谐区间”；
B：，若存在和谐区间，
则，故在为增函数，
故，解得：，
所以存在“和谐区间”；
C：，若存在和谐区间，则，
若，则，故在上为增函数，
故，得，故无解；
若，则，故在上为增函数，
同上，无解.
所以不存在“和谐区间”；
D：，函数在 单调递减，
则 ， 不妨令，
所以存在“和谐区间”；
综上得：存在“和谐区间”的是ABD.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题以函数的新定义为载体，考查函数的定义域、值域以及零点等知识，解题的关键是理解“和谐区间”的定义，考查运算能力以及函数与方程的思想.
三、填空题 （本大题共4小题，共20分）
13. 函数的定义域为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据对数的真数大于0、分母不为0可得答案.
【详解】要使函数有意义，
只需，解得且，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
14. 设，，若，则实数组成的集合_____．
【答案】
【解析】
【分析】先求出A的元素，再由B⊆A，分和B≠φ求出a值即可.
【详解】∵A＝{x|x2﹣8x+15＝0}，
∴A＝{3，5}
又∵B＝{x|ax﹣1＝0}，
∴①时，a＝0，显然B⊆A
②时，B＝{}，由于B⊆A
∴
∴
故答案为{}
【点睛】本题主要考查由集合间基本关系求参数值或范围的问题，属于基础题．
15. 设f(x)是奇函数，当x＞0时，f(x)＝lg2x，则当x＜0时，f(x)的表达式为_________________．
【答案】f(x)＝－lg2(－x)
【解析】
【分析】由题意结合奇函数的性质确定函数的表达式即可.
【详解】设，则，
结合奇函数的定义可知：.
【点睛】本题主要考查由函数的奇偶性求解函数的解析式的方法，属于基础题.
16. 古希腊数学家希波克拉底曾研究过如下图的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，.若以斜边为直径的半圆面积为，则以，为直径的两个半圆的弧长之和的最大值为______.

【答案】
【解析】
【分析】设，，所以，由以斜边为直径的半圆面积为可求得，再由基本不等式即可求得的最大值，即可求得弧长之和的最大值.
【详解】设，，所以，即，
因为以斜边为直径的半圆面积为，所以，所以，
因为，所以，当且仅当时等号成立，
所以以，为直径的两个半圆的弧长之和为，
即以，为直径的两个半圆的弧长之和的最大值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 计算下列各式：
（1）；
（2）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由指数幂的运算，即可得到结果；
（2）根据题意，由对数的运算，即可得到结果.
【小问1详解】
原式.
【小问2详解】
原式.
18. 求下列式子的最值．
（1）已知，求的最小值；
（2）已知，，且，求的最小值．
【答案】（1）
（2）9
【解析】
【分析】（1）利用基本不等式求解；
（2）利用基本不等式“1”妙用求解.
【小问1详解】
因为，所以，
，
当且仅当，即时取得等号，
所以函数的最小值为.
【小问2详解】
,
当且仅当，即，即时取得等号，
所以的最小值为9.
19. 已知函数．
（1）当时，求函数的值域；
（2）当时，求函数的单调区间．
【答案】（1）
（2）增区间为，减区间为
【解析】
【分析】（1）当时，可得出，求出的取值范围，再结合对数函数的单调性可得出函数的值域；
（2）当时，求出函数的定义域，再利用复合函数法可得出函数的增区间和减区间.
【小问1详解】
解：当时，，则，
所以，，即函数的值域为.
【小问2详解】
解：当时，，
由可得或，
所以，函数的定义域为，
因为内层函数在区间上为减函数，在上为增函数，
外层函数在上为增函数，
所以，函数的增区间为，减区间为.
20. 已知且满足不等式．
（1）求实数a的取值范围，并解不等式．
（2）若函数在区间有最小值为，求实数的值．
【答案】（1）,解集为.
（2）
【解析】
【分析】（1）根据指数函数的性质解不等式求得，再根据对数函数的性质解不等式；
（2）利用对数函数的单调性与最值的关系求参数的值.
【小问1详解】
由且满足不等式可得，
，解得，
由可得，
，解得，
所以原不等式的解集为.
【小问2详解】
因为,所以函数在定义域单调递减,
所以函数在区间有最小值为,
解得.
21. 已知为偶函数，为奇函数，且满足．
（1）求，；
（2）若，且方程有三个解，求实数的取值范围．
【答案】（1），
（2）或
【解析】
【分析】（1）结合函数奇偶性将代入条件中可得答案；
（2）转化为、共有三个解求的取值范围，结合图象可得答案.
【小问1详解】
因为为偶函数，为奇函数，所以，，
由①，
得即②，
①②可得，
①②可得；
【小问2详解】
由（1），
方程，
可得或，
即或，
当时，由下图可得与的图象有两个交点，
所以要使方程有三个解，
只需有一解即可，
即与的图象只有一个交点即可，
由图象可得或，
解得或.
综上，实数的取值范围为或．
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键点是转化为，有三个解求的取值范围，结合图象求答案.
22. 为了加强“平安校园”建设，有效遏制涉校案件的发生，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由子此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元，设屋子的左右两面墙的长度均为米.
（1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价.
（2）现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元，苦无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围.
【答案】（1）当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为28800元；（2）.
【解析】
【分析】（1）甲工程队的总造价为元，求出，再利用基本不等式求解；
（2）由题意可得对任意的恒成立，化简得恒成立，利用基本不等式求函数的最小值得解.
【详解】（1）甲工程队的总造价为元，
则，
.
当且仅当，即时等号成立.
即当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为28800元.
（2）由题意可得，对任意的恒成立.
即，从而恒成立，
令，，
故.所以.