湖南省名校联合体2023-2024学年高二上学期期中数学试卷（Word版附解析）

这是一份湖南省名校联合体2023-2024学年高二上学期期中数学试卷（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时量：120分钟满分：150分
得分：____________
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1.已知复数满足，则的虚部是
A.B.1C.D.
2.等差数列中，，则的前2023项和为
A.1011B.2022C.4046D.8092
3.设；，若是的充分不必要条件，则的取值范围是
A.B.C.D.
4.下列说法正确的是
A.过，两点的直线方程为
B.过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为
C.点关于直线的对称点为
D.直线与两坐标轴围成的三角形的面积是8
5.溶液酸碱度是通过pH计量的，pH的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.已知某品牌苏打水中氢离子的浓度为摩尔/升，计算这种苏打水的pH值为（精确到0.001）（参考数据：）
6.已知实数，且满足，若不等式恒成立，则实数的最大值为
A.9B.12C.16D.25
7.已知函数（），则
A.存在实数，使函数没有零点
B.当时，对，都有成立
C.当时，方程有4个不同的实数根
D.当时，方程有2个不同的实数根
8.已知双曲线（，）的上下焦点分别为，，点在的下支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，若恒成立，则的离心率的值可能为
A.B.C.2D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.某学校对高一学生选科情况进行了统计，发现学生选科仅有物化生、政史地、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选考物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则
A.该校高一学生总数为800
B该校高一学生中选考物化政组合的人数为96
C.该校高一学生中选考物理的人数比选考历史的人数多80
D.用比例分配的分层随机抽样方法从该校高一学生抽取20人，则生史地组合抽取6人
10.圆和圆的交点为，，则
A.公共弦所在直线的方程为
B.线段中垂线方程为
C.公共弦的长为
D.为圆上一动点，则到直线距离的最大值为
11.已知，，为同一平面内的单位向量，，，且与的夹角为锐角，则
A.与的夹角为B.
C.D.
12.如图，已知点是棱长为2的正方体的底面内（包含边界）一个动点，下列说法正确的是
A.过、、三点的平面截正方体所得的截面图形为三角形或四边形
B.当点到、、三点的距离相等时，三棱锥的外接球的面积为
C.若点到直线的距离与点到的距离相等，则点的轨迹为抛物线的一部分
D.若点到点的距离是点到的距离的两倍，则点的轨迹的长度为
选择题答题卡
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知，则__________.
14.已知函数的定义域为，且函数为奇函数，若，则___________.
15.已知动直线与圆相交于点、，点为直线上的动点，则的最小值为________.
16.已知为坐标原点，直线与抛物线交于，两点，且，点为点在直线上的射影，则点到直线的距离的最大值为___________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）等差数列满足，，前项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）求的最大值.
18.（本小题满分12分）的内角，，的对边分别为，，，为中点，设.
（1）求；
（2）若的面积等于，求的周长的最小值.
19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，点为棱上的点，且.
（1）证明：；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
20.（本小题满分12分）某高校承办了杭州亚运会志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.
（1）求，的值；
（2）估计这100名候选者面试成绩的65%分位数（分位数精确到0.1）；
（3）在第四，第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自同一组的概率.
21.（本小题满分12分）函数和的图象关于原点对称，且.
（1）求函数的解析式；
（2）解不等式；
（3）若在上是增函数，求实数的取值范围.
22.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知直线与椭圆交于点，（在轴上方），且.设点在轴上的射影为，三角形的面积为1（如图1）.
（1）求椭圆的方程；
（2）设平行于的直线与椭圆相交，其弦的中点为.
①求证：直线的斜率为定值；
②设直线与椭圆相交于两点，（在轴上方），点为椭圆上异于，，，一点，直线交于点，交于点，如图2，求证：为定值.
名校联考联合体2023年秋季高二年级第二次联考
数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1.B 【解析】，所以的虚部为1.
2.C 【解析】数列是等差数列，故，故
3.A 【解析】若是的充分不必要条件，且等号不同时成立，解得.
4.D 【解析】对于A，当或时，不存在选项中的两点式直线方程，故A错误；对于B，当直线过原点时，满足题意，此时直线方程为，故B不正确；对于C，设点关于直线的对称点为，则解得即点关于直线的对称点为，故C错误；对于D，直线在轴上的截距为4，在轴上的截距为，所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积是，故D正确.
5.C 【解析】由题意得苏打水的.
6.D 【解析】即求的最小值.
，
当且仅当，即，时，等号成立.因不等式恒成立，只需，因此，故实数的最大值为25.
7.C 【解析】对于A：作出函数和的图象（如图所示），当时，函数只有1个零点，
当时，函数有2个零点，当时，函数只有1个零点，故A错误；
对于B：当，都有成立时，则函数单调递增，而时，函数先增后减再增，当时，函数不是增函数，B错误；
对于C：时，令得，，
当时，方程有两个解，当时，方程有两个解，
所以方程有4个不同的实数根，故C正确；
对于D：当时，方程的根为的根，令，
作出，的图象，可得函数与有三个交点，其中包括，即方程有三个根.
8.A 【解析】如图，过点作渐近线的垂线，垂足为，
设，则点到渐近线的距离.
由双曲线的定义可得，故，
所以，即的最小值为，
因为恒成立，所以恒成立，即恒成立，
所以，，即，即，
所以，，即，解得.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.AC 【解析】对于A，根据条形图可知：政史地人数为200，由扇形图知：这个组合所占比例为25%，所以该校高一学生总数为，A正确；
对于B，根据条形图可知：生史地人数为160，所以它所占比例为，所以物化地和物化政组合占比均为，所以该校高一学生中选考物化政组合的人数为，B错误；
对于C，该校高一学生中，选考历史的人数为，选考物理的人数为，，所以C正确；
对于D，因为生史地组合的人数占比为，所以用分层随机抽样方法从该校高一学生中抽取20人，则生史地组合抽取人，D错误.
10.AB 【解析】对于选项A，因为圆，，
两式作差可得公共弦所在直线的方程为，即，故A正确；
对于选项B，圆的圆心为，，
则线段中垂线的斜率为，即线段中垂线方程为，整理可得，故B正确；
对于选项C，圆心到的距离为，
又圆的半径，所以，故C不正确；
对于选项D，为圆上一动点，圆心到的距离为，
又圆的半径，所以到直线距离的最大值为，故D错误.
11.AD 【解析】由题意可设，，，因为，为单位向量，
所以解得即.又因为与的夹角为锐角，
所以，所以，因为，所以与的夹角为，所以A选项正确；
因为，所以B选项错误；
因为，所以C选项错误；
因为，所以D选项正确.
12.ABC 【解析】对于A选项，若点为点（或点），则截面为三角形，若为其它点则为四边形，故A对；对于B选项，满足条件的点为中点，设中点为，外接球球心为，半径为，可知，，三点共线（如右图），
∴，得，，故B对；对于C选项，等价于点到点的距离等于点到直线的距离，所以点的轨迹为抛物线的一部分，故C对；对于D选项，由，满足阿氏圆，故轨迹为一段圆弧，其半径为，圆心角为，圆弧长，故D错.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分﹐共20分.
13. 【解析】.
14. 【解析】已知函数为奇函数，则，即，又，则.又，，故.
15.2 【解析】容易知道圆心到动直线距离为定值，所以设线段的中点为，则，，点在以为圆心，为半径的圆上，，当直线时，，.
16.8 【解析】由题可知直线斜率存在，设直线，，，联立方程：整理得：，，，.
，得或（舍）.故直线，
当时，点，点到直线的距离为；
当时，直线，又直线，消去整理得：，
即此时点的轨迹方程为，（或者利用直线过定点结合，得出点的轨迹为以为直径的圆），
点到直线距离的最大值为，综合可知点到直线的距离的最大值为8.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.【解析】（1）等差数列满足，，设首项为，公差为，
则，解得所以.
（2）当时，，当时，，
故的最大值为，又，所以.
18.【解析】（1）因为.
由正弦定理与诱导公式可得.
显然，所以，所以，
∵，所以，∴.
（2）依题意，即，∴.
所以，当且仅当时取等号.
又由余弦定理得，∴.
当且仅当时取等号.所以的周长最小值为.
19.【解析】（1）由为矩形可知：，
又因为，，，平面，所以平面，
又，所以面，又面，故.
（2）由（1）可知，，，所以，
在中，，所以；
又，，，面，所以面；
故以点为坐标原点，建立空间直角坐标系（如图）.
则，，，，，
又在中，，则，，，.
设面法向量，则即故，
设直线与面所成角为，则.
20.【解析】（1）因为第三、四、五组的频率之和为0.7，所以，解得，
所以前两组的频率之和为，即，所以；
（2）前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75，所以第65百分位数在第三组，
且为；
（3）第四、第五两组志愿者分别有20人，5人，故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为，，，，第五组志愿者人数为1，设为，这5人中选出2人，所有情况有，，，，，，，，，共有10种情况，
其中选出的两人来自同一组的有，，，，，，共6种情况，
故选出的两人来自同一组的概率为.
21.【解析】（1）设函数的图象上任意一点关于原点的对称点为，
则即.
∵点在函数的图象上，∴，即，故.
（2）由，可得，
当时，，此时不等式无解.
当时，，解得.
因此，原不等式的解集为.
（3），
①当时，在上是增函数，∴.
②当时，对称轴的方程为.
ⅰ）当时，，解得.
ⅱ）当时，，解得.综上，.
22.【解析】（1）由题意，可设，可得，
所以，故，即；
又椭圆经过，即，解得；
故所求椭圆的方程为：.
（2）证明：设平行于的直线的方程为，且，
①联立得到，所以，；
故，直线的斜率为（定值）.
②由题意可知，，，
联立方程组得，.
设，先考虑直线斜率都存在的情形：直线，
联立方程组：得，
直线，联立方程组：得，
则，
，
所以.
当直线斜率不存在时结果仍然成立.为定值.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
得分
答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
A
D
C
D
C
A
AC
AB
AD
ABC