新疆维吾尔自治区普通高考2022届高三第一次适应性检测数学（理）试题(含答案)

这是一份新疆维吾尔自治区普通高考2022届高三第一次适应性检测数学（理）试题(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、已知集合,,则集合中元素的个数为( )
A.2B.3C.4D.5
2、若复数z的共轭复数是,且,,则( )
A.B.C.D.
3、已知,是平行四边形的两个内角,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4、下列函数中,其图象关于原点中心对称的是( )
A.B.
C.D.
5、斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”,它的画法是：以斐波那契数1,1,2,3,5,8,…为边长的正方形拼成长方形,然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧,这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.自然界存在很多斐波那契螺旋线的图案,例如向日葵,鹦鹉螺等.如图为该螺旋线的前一部分,若用接下来的一段圆弧所对应的扇形作圆锥的侧面,则该圆锥的母线与底面所形成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
6、如图,一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格,并且总是向右或右上或右下移动,而一条移动路线由若干次移动构成,如1→3→4→5→6→7就是一条移动路线,则从数字“1”到“7”,漏掉两个数字的移动路线条数为( )
A.5B.6C.7D.8
7、德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,是解析数论的创始人之一.以其命名的函数,称为狄利克雷函数,则关于函数,下列说法正确的是( )
A.的定义域为
B.的值域为
C.,
D.任意一个非零有理数T,对任意恒成立
8、如图,若在正六边形ABCDEF内任取一点,则该点恰好取自图中阴影部分的概率是( )
A.B.C.D.
9、已知函数,将函数的图象向右平移个单位长度后,得到函数的图象,若,则的最小值为( )
A.B.C.5D.
10、已知a,b为正实数,直线与曲线相切,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
11、若双曲线的左右焦点分别为,,点P为C的左支上任意一点,直线l是双曲线的一条渐近线,,垂足为Q.当的最小值为6时,的中点在双曲线C上,则C的方程为( )
A.B.C.D.
12、设,,,则( )
A.B.C.D.
二、填空题
13、已知F为椭圆的右焦点,P为C上的一点,若,则点P的坐标为____________.
14、若两个单位向量,满足,则___________.
15、在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,,,则角A的大小为____________.
三、双空题
16、如图,平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的,将它沿虚线折起来,可以得到如图所示粽子形状的六面体,则该六面体的表面积为______;若该六面体内有一小球,则小球的最大表面积为______.
四、解答题
17、某学校为了解学生中男生的体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)是否存在较好的线性关系,搜集了7位男生的数据,得到如下表格:
根据表中数据计算得到y关于x的线性回归方程为
（1）求;
（2）已知,且当时,回归方程的拟合效果非常好;当时,回归方程的拟合效果良好.判断该线性回归方程的拟合效果是非常好还是良好,说明你的理由（的结果保留到小数点后两位）.
参考数据:
18、在四棱锥中，底面ABCD，E为AC的中点，，.
(1)求证：；
(2)若，，求二面角的余弦值.
19、已知数列满足,.
(1)求数列的通项公式;
(2)若正项数列满足,记,求数列的前n项和.
20、已知实数,设函数,是函数的导函数.
(1)证明：存在唯一零点;
(2)证明：.
21、圆心为的圆与抛物线相交于A,B,C,D四个点.
(1)求圆的半径r的取值范围;
(2)当四边形ABCD面积最大时,求对角线AC与BD的交点P的坐标.
22、在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为（其中）.
(1)求曲线C的直角坐标方程;
(2)若为曲线C上一点,当取得最大值时,求点M的坐标.
23、已知函数.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若区间为不等式的解集的子集,求a的取值范围.
参考答案
1、答案：A
解析：集合,,
即集合中共有2个元素.
故选：A.
2、答案：C
解析：由题意,不妨假设 ,则 ,且 ,
, , ;
故选：C.
3、答案：A
解析：由题意知,,
若“”,则“”必成立;
但是“”,有“”或“”,
所以“”是“”成立的充分不必要条件.
故选：A.
4、答案：C
解析：对A：因为定义域为,且,所以函数为偶函数,其图象关于y轴对称,故选项A错误;
对B：因为定义域为,且,所以函数为偶函数,其图象关于y轴对称,故选项B错误;
对C：因为定义域为R,
且,所以函数为奇函数,其图象关于原点中心对称,故选项C正确;
对D：因为定义域为R,且,所以函数为偶函数,其图象关于y轴对称,故选项D错误.
故选：C.
5、答案：D
解析：由斐波那契数的规律可知,从第三项起,每一个数都是前面两个数之和,
即接下来的圆弧对应的圆面半径是,
圆锥的母线长为13,
对应的弧长是,
设圆锥底面半径为r,则,解得,
所以该圆锥的母线与底面所形成角的余弦值为.
故选：D.
6、答案：B
解析：由题意1和7是不能漏掉的,所以由以下路线：
,,,,,共6条,
故选：B.
7、答案：D
解析：因为,所以函数的定义域为R,值域为,故A、B错误;
因为或且0与1均为有理数,所以或,故C错误;
对于任意一个非零有理数T,若x为有理数,则也为有理数,则;
若x为无理数,则也为无理数,则;
综上可得任意一个非零有理数T,对任意恒成立,即D正确;
故选：D.
8、答案：B
解析：记阴影部分为六边形LJKLMN,则六边形LJKLMN为正六边形,
设,,
在中,由余弦定理得：,
,
,,
故所求概率.
故选：B.
9、答案：A
解析：由题可得,又,
函数为偶函数,
,即,
时,有最小值为.
故选：A.
10、答案：D
解析：函数的导函数为,令,解得,所以切点为,代入,得,
a、b为正实数,,
则,
令,,则,
则函数在上单调递增,所以,即,
.
故选：D.
11、答案：B
解析：,
,
又,,
双曲线的渐近线方程为：,
即,
焦点到渐近线的距离为,
即的最小值为b,
即,
不妨设直线OQ为：,
,
点,,的中点为,
将其代入双曲线C的方程,得：,
即,
解得：
又,,
,
故双曲线C的方程为.
故选：B.
12、答案：A
解析：由,得,即,所以,
所以,则,即;
由,即;
设,则,
所以在上单调递增,且,
所以当时,即,
当时,即,
又,则,
所以,即,
综上,.
故选：A.
13、答案：
解析：由题意,,设,
则,
解得,即.
故答案为：.
14、答案：
解析：由得,,
所以,,
.
故答案为：.
15、答案：
解析：由,得,,
所以,
由正弦定理,得,又,
所以或（舍去）
故答案为：.
16、答案：,
解析:（1）由题意知,因为,所以该六面体的表面积为.
（2）由图形的对称性得,小球的体积要达到最大,即球与六个面都相切时,
每个三角形面积是,正四面体的高为,
故正四面体的体积为,所以六面体体积是.
由于图像的对称性,内部的小球要是体积最大,就是球要和六个面相切,连接球心和五个顶点,把六面体分成了六个三棱锥,设球的半径为,
所以,所以球的表面积.
故答案为: ;.
17、答案：（1）;
（2）该线性回归方程的拟合效果是良好的;理由见解析.
解析:（1）由题中数据可得:,
,于是得,解得,
所以.
（2）由（1）知,,
则有,即,
所以该线性回归方程的拟合效果是良好的.
18、答案：(1)证明见解析
(2)
解析： (1)证明：因为E为AC中点，且，所以，
由底面ABCD，底面ABCD，所以，
又，AC，平面PAC，
所以平面PAC，平面PAC，所以；
(2)以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
由，，
得，，，，，
则，，
设平面PCD的一个法向量为，
则，得 ，令，得，
设平面PED的一个法向量为，
则，得 ，令，得，
所以，
由图可知，二面角的平面角为锐角.
故二面角的余弦值为.
故答案为：证明见解析，.
19、答案：(1);
(2).
解析：(1)依题意,,由得：,
则当n为奇数,时,
,满足上式,
当n为偶数,时,
,满足上式,
即当n为奇数时,,当n为偶数时,,
所以.
(2)因为正项数列满足,即,解得,则,
于是得,
则,
所以数列的前n项和是.
20、答案：(1)证明见解析;
(2)证明见解析.
解析：（1）由,得,
且在R上单调递增.
设,则,
因此当时,,单调递减,当时,,单调递增,
所以,即,
又由,
,
所以在上存在唯一零点,
故存在唯一零点.
（2）令,
要证,考虑到,则可证,
即证.
令,,则,
故在上单调递增,于是.
综上所述,即成立.
21、答案：(1)
(2)
解析：（1）设圆的方程为,
联立得（*）
故当时有两个不相等实数根
即 ,即直线 与函数 有两个交点,
函数 图像如下：
, ;
（2）如图,设,,M、N分别为AB、CD与x轴的交点.
由AB,CD关于x轴对称,所以点P在x轴上,
B,C点的坐标分别为 ,
直线AC的方程为：,
令,整理得,故,
.
（其中由第（1）问（*）式可知,）
令,,即,
令,则,
当时,,则单调递增;
当时,,则单调递减;
因此当时,有最大值,即四边形ABCD面积最大,此时;
故答案为： , .
22、答案：(1);
(2).
解析：（1）由得,
又,,
则,
即,
所以曲线C的直角坐标方程为.
（2）设,,,
则,
其中满足,.
当时,取最大值.
此时,.
所以点M的坐标为.
23、答案：(1);
(2).
解析：（1）当时,函数,
可表示为,
由,则或或,
解得：或或,
故不等式的解集为.
（2）由区间为不等式的解集的子集,
即当时,恒成立,
又时,,,故,,
不等式等价于,解得,
又因为当时不等式恒成立,所以,解得.
故a的取值范围为.
序号
1
2
3
4
5
6
7
身高x(cm)
166
173
174
178
180
183
185
体重y(kg)
57
62
59
71
67
75
78