2023-2024学年海南省琼海市高三上学期第二次月考数学质量检测模拟试题（含解析）

这是一份2023-2024学年海南省琼海市高三上学期第二次月考数学质量检测模拟试题（含解析），共18页。试卷主要包含了单项选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．满足的集合 M 共有（ ）
A．6个B．7个
C．8个D．15个
2．若，则（ ）
A．2B．4C．3D．5
3．某圆台的侧面展开图为如图所示的扇环（实线部分），已知该扇环的面积为，两段圆弧所在圆的半径分别为1和2，则扇环的圆心角的大小为（ ）

A．B．C．D．
4．三角函数的发展过程中，托勒密做出了杰出的贡献，托勒密的《天文学大成》中有一张弦表，被认为是最早的正弦表．据书中记载，为了度量圆弧与弦长，托勒密采用了巴比伦人的60进位法，把圆周360等分，把圆的半径60等分，即用半径的作为单位来度量弦长，其中圆心角所对应的弦长表示为．建立了半径与圆周的度量单位以后，托勒密先着手计算一些特殊角所对应的弦长，比如角所对的弦长正好是正六边形外接圆的半径，则角所对应的弦长为60个单位，即，由此可知，的值为（ ）
A．B．C．D．
5．已知为等差数列，为其前项和，，则（ ）
A．36B．45C．54D．63
6．已知x，且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．已知，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知椭圆C：的左右焦点分别为，，点P是C上的一个动点，若椭圆C上有且仅有4个点P满足是直角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题所给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9．《黄帝内经》中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要（子时是指23点到次日凌晨1点）.相关数据表明，入睡时间越晚，沉睡时间越少，睡眠指数也就越低.根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体的睡眠指数统计如下图，则下列说法错误的是（ ）
A．在睡眠指数的人群中，早睡人数多于晚睡人数
B．早睡人群睡眠指数主要集中在
C．早睡人群睡眠指数的极差比晚睡人群睡眠指数的极差小
D．晚睡人群睡眠指数主要集中在
10．已知函数，则（ ）
A．在是增函数B．有极大值点，且
C．的极小值点，且D．没有零点
11．若，曲线C的方程为，则（ ）
A．当时，曲线C表示圆
B．当时，曲线C表示两条直线
C．当时，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆
D．当时，曲线C表示焦点在y轴上的双曲线
12．如图，在正方体中，，分别是棱，上的动点，且，则下列结论中正确的是（ ）

A．，，，四点共面
B．
C．三棱锥的体积与点的位置有关
D．直线与直线所成角正切值的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．曲线在点处的切线方程为 .
14．的展开式中项的系数为 ．（用数字作答）
15．从装有3个红球和4个蓝球的袋中，每次不放回地随机摸出一球．记“第一次摸球时摸到红球”为A，“第二次摸球时摸到蓝球”为B，则 ．
16．已知，是圆：上的两个不同的点，若，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知等差数列满足，，且数列是公比为2的等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，记数列的前n项和为，求.
18．在中，内角，，的对边分别为，，，且满足.
(1)求；
(2)若内角的角平分线交于点，且，求的面积的最小值.
19．如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，，将沿BD折起到的位置，使．

(1)求证：平面平面ABD；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
20．2022年卡塔尔世界杯决赛圈共有32支球队参加，欧洲球队有13支：其中有5支欧洲球队闯入8强.比赛进入淘汰赛阶段后，必须要分出胜负.淘汰赛规则如下：在比赛常规时间90分钟内分出胜负；比赛结束，若比分相同.则进入30分钟的加时赛.在加时赛分出胜负，比赛结束，若加时赛比分依然相同，就要通过点球大战来分出最后的胜负.点球大战分为2个阶段，第一阶段：共5轮，双方每轮各派1名球员，依次踢点球，以5轮的总进球数作为标准，5轮合计踢进点球数更多的球队获得比赛的胜利.如果第一阶段的5轮还是平局，则进入第二阶段：在该阶段双方每轮各派1名球员，依次踢点球，如果在一轮里，双方都进球或者双方都不进球，则继续下一轮，直到某一轮里，一方罚进点球，另一方没罚进，比赛结束，罚进点球的一方获得最终的胜利.
(1)根据题意填写下面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断32支决赛圈球队“闯入8强”与“是欧洲球队”是否有关.
(2)甲、乙两队在淘汰赛相遇，经过120分钟比赛未分出胜负，双方进入点球大战.已知甲队球员每轮踢进点球的概率为，乙队球员每轮踢进点球的概率为，每轮每队是否进球相互独立，在点球大战中，两队前3轮比分为，试求出甲队在第二阶段第一轮结束后获得最终胜利的概率.
参考公式.
21．已知函数，．
(1)证明：对于，，都有．
(2)当时，直线：与曲线和均相切，求直线的方程．
22．已知直线：与双曲线：相交于两个不同的点，，线段的垂直平分线分别与，轴相交于，两点．
(1)若，且点，都在双曲线的右支上，求的取值范围；
(2)若（为坐标原点）的面积为，且，求的取值范围．
欧洲球队
其他球队
合计
闯入强
未闯入强
合计
1．C
【分析】根据子集的关系，一一列举即可.
【详解】由题可知集合 M 中必含元素a，且为的子集，
可按元素个数分类依次写出集合 M 为，，，，，，，共8个.
故选：C.
2．C
【分析】由复数的四则运算化简，公式法求复数的模.
【详解】由，则，
所以，所以．
故选：C
3．D
【分析】根据题意，结合扇形的面积公式，列出方程，即可求求解.
【详解】由该扇环的面积为，两段圆弧所在圆的半径分别为1和2，
可得，解得，
即扇环的圆心角的大小为.
故选：D.
4．B
【分析】根据题意，得到角所对应的弦长为正八边形的边长，结合余弦定理，即可求解.
【详解】由题意，可得角所对应的弦长为正八边形的边长，
设正八边形的外接圆半径为，
由余弦定理，，
所以．
故选：B．
5．B
【分析】根据题意求出首项及公差，再根据等差数列前项和公式即可得解.
【详解】设公差为，
由，
得，解得，
所以，
所以.
故选：B.
6．C
【分析】求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】因为，所以，则“”两边同除以即可得到“”，反过来同乘以即可，故“”是“”的充要条件．
故选：C.
7．D
【分析】将条件中两式平方相加后整理即可得答案.
【详解】，
，
两式相加得，
.
故选：D.
8．B
【分析】由数形结合可知，点不是直角顶点，则由，确定离心率的取值范围.
【详解】当和垂直于时，恰有4个点满足是直角三角形，
由条件可知，点不是直角顶点，则以为直径的圆与椭圆无交点，
则，得，解得：，
所以椭圆离心率的取值范围是.
故选：B
9．BCD
【分析】根据统计图表一一判断即可.
【详解】由图知，通过比较折线图中中两条折线的高低可知，早睡人数多于晚睡人数，故选项A正确；
早睡人群睡眠指数主要集中在，晚睡人群睡眠指数主要集中在，选项B错误，选项D错误；
由图可看出，早睡人群睡眠指数的极差和晚睡人群睡眠指数的极差的大小无法确定，故选项C错误．
故选：BCD.
10．ACD
【分析】求导，利用导数研究函数的单调性，极值，最值，进而判断选项得出答案.
【详解】，当时，，故A正确；
令，解得，
当时，；当时，，故无极大值点，
有极小值点，
又，所以，故B错误，C正确；
当时，单调递减，当时，单调递增，
故，则没有零点，故D正确．
故选：ACD.
11．AB
【分析】根据直线、圆、椭圆、双曲线的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，，，
即，表示圆，A选项正确.
B选项，，，
即，所以，表示两条直线，B选项正确.
C选项，，，
，方程即，
表示焦点在轴上的椭圆，C选项错误.
D选项，，，
方程即，
表示焦点在轴上的双曲线，D选项错误.
故选：AB
12．ABD
【分析】A选项，根据正方体的性质得到，然后根据基本事实判断即可；B选项，根据正方体的性质得到平面，然后根据线面垂直的性质得到；C选项，根据三棱锥的体积公式判断；D选项，根据异面直线所成角的定义得到为直线与直线所成角，然后判断正切值的最大值即可.
【详解】
在上取点，使，
因为为正方体，所以，，，四边形为平行四边形，
所以，，则，，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为为正方体，，所以四边形为平行四边形，
所以，所以，，，四点共面，故A正确；
连接，，
因为为正方体，所以，平面，
因为平面，所以，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以，故B正确；
因为为正方体，所以为定值，点到平面的距离为正方体的棱长，也为定值，所以三棱锥的体积为定值，与点的位置无关，故C错；
在取点，使得，
因为为正方体，所以，所以或其补角为直线与直线所成角，
因为为正方体，所以平面，平面，
因为平面，所以，，
因为的最大值为，所以的最大值为，故D正确.
故选：ABD.
13．
【分析】首先求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再用点斜式计算可得；
【详解】解：因为，所以，所以，
即在点处的切线斜率为，故在点处的切线方程为，即，
故．
14．
【分析】根据给定条件，求出二项式展开式的通项，再求出指定项的系数作答.
【详解】因为的展开式的通项为，
所以项的系数为．
故
15．
【分析】根据独立事件概率乘法公式结合条件概率分析运算.
【详解】由题意可得：，
所以.
故答案为.
16．
【分析】为和到直线距离之和的倍，是的中点到直线距离的倍，利用点轨迹，求取值范围.
【详解】由题知，圆的圆心坐标，半径为2，因为，所以．
设为的中点，所以，所以点的轨迹方程为．
点的轨迹是以为圆心半径为的圆.
设点，，到直线的距离分别为，，，
所以，，，
所以．
因为点到直线的距离为，所以，
即，所以．
所以的取值范围为．
故
思路点睛：
利用的几何意义，问题转化为为和到直线距离之和，再转化为的中点到直线距离，由点轨迹是圆，可求取值范围.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的通项公式列方程，解得，然后写通项即可；
（2）根据题意得到，然后利用错位相减的方法求和即可.
【详解】（1）设数列的公差为，则，解得，
所以.
（2）因为数列是公比为2的等比数列，所以，，
，
，
两式相减得：
，
所以.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理进行边角之间互化，再根据三角恒等变化化简求值；
（2）利用三角形面积公式得到，从而利用基本不等式求得，由此可得面积的最小值.
【详解】（1）由正弦定理可得，,
所以，即，
因为是的内角，所以，
得，所以，
所以.
（2）因为，平分，所以，又，
则由，得，
所以，
又，则，得，
当且仅当时，等号成立，
所以，
故最小值为.
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取中点，根据二面角的定义或通过证明平面来证得平面平面．
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值．
【详解】（1）如图，取中点，连接OA，OP．
因为四边形ABCD是边长为2的菱形，，所以、是边长为2的正三角形，
因为O是BD中点，所以，
因为，所以，同理可得，因为，
所以，则，由二面角定义可得平面平面ABD．
或：又因为，平面ABD，平面，
所以平面，因为，所以平面平面．
（2）以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
设平面PAD的一个法向量为，
由得，
令得，则，
设直线AB与平面PAD所成的角为，
则．
所以直线AB与平面PAD所成角的正弦值为．

20．(1)列联表见解析，认为“闯入8强”与“是欧洲球队”无关
(2)
【分析】（1）根据题意填写列联表，然后计算根据临界值表判断即可；
（2）分别求出双方进入第二阶段和第二阶段第一轮甲队进球乙队未进球的概率，然后求甲队在第二阶段第一轮结束后获得最终胜利的概率即可.
【详解】（1）下面为列联表：
零假设支决赛圈球队闯入8强与是否为欧洲球队无关，
，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，
即认为“闯入8强”与“是欧洲球队”无关.
（2）记“双方进入第二阶段比赛”为事件，“第二阶段第一轮甲队进球乙队未进球”为事件，则“甲队在第二阶段第一轮结束后获得最终胜利”为事件，有，
要进入第二阶段比赛，即第一阶段五轮为平局，比分可能为，则
，，
故.
21．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由得，根据转化为证明，构造函数后利用导函数证不等式.
（2）先设的切线方程为，结合其和也相切，联立后根据二次方程有唯一解可得，利用的性质，求出即可.
【详解】（1）因为，所以，即．
当时,，
欲证，，只需证在上恒成立．
令，，
当时，当且仅当即时等号成立，
故，
所以函数在区间上单调递增，所以，所以．
综上所述，对于，，都有．
（2）当时，，设直线与曲线的切点为，
因为，所以曲线在点的切线方程为，
联立方程，得，
由，得，即．
由（1）知，函数在上单调递增，且，
所以方程有且只有一个实根，
所以，即，
代入得，
所以直线的方程为．
22．(1)
(2)
【分析】（1）通过联立方程组，利用判别式结合双曲线渐近线的位置，求的取值范围；
（2）设点设直线方程，利用韦达定理表示出线段的垂直平分线方程，得到，两点坐标，由的面积结合判别式求的取值范围.
【详解】（1）双曲线：渐近线方程为，
当时，直线的方程为，
由，得，
由，解得，
因为点，都在右支上，所以．
所以的取值范围为．
（2）
设，，把代入并整理得，
由，得，
设线段的中点为，则，，
所以线段的垂直平分线的方程为，
所以点的坐标为，点的坐标为，
因为的面积为，所以，
整理得，所以，
所以，解得或，
所以的取值范围为．
方法点睛：
解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
欧洲球队
其他球队
合计
进入强
未进入强
合计