2023-2024学年上海市黄浦区高一上学期期中数学质量检测模拟试题（含解析）

这是一份2023-2024学年上海市黄浦区高一上学期期中数学质量检测模拟试题（含解析），共12页。试卷主要包含了不等式的解集为 ，已知正实数x，y满足，已知，则 .，一元二次不等式的解集是，则，已知，则 ，方程的解集为 .等内容，欢迎下载使用。

一､填空题（本大题共有12题，每题3分，满分36分）
1．设集合，集合，则 ．
2．不等式的解集为 ．
3．函数（且）的图像一定过点 .
4．已知正实数x，y满足：，则的最大值为 .
5．已知，则 .
6．一元二次不等式的解集是，则
7．已知，则 （用表示）．
8．用反证法证明命题“若，则或”，则应假设 .
9．方程的解集为 .
10．若关于的不等式有唯一实数解，则实数的值是 .
11．已知集合，集合，定义为中元素的最小值，当取遍的所有非空子集时，对应的的和记为，则 .
12．若不等式对任意的恒成立，则的最大值为 .
二､选择题（本大题共有4题，每题3分，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分.
13．下列函数是幂函数的是（ ）
A．B．C．D．
14．“”是“”成立的
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
15．长征五号遥五运载火箭创下了我国运载火箭的最快速度，年月日，它成功将嫦娥五号探测器送入预定轨道在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量M（单位：）、火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是.若火箭的最大速度为，则燃料质量与火箭质量（除燃料外）的比值约为（参考数据：）（ ）
A．B．C．D．
16．已知，那么，当代数式取最小值时，的值为（ ）
A．B．C．D．
三､解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17．集合，集合.
(1)若“”是真命题，求实数的取值范围；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.
18．已知关于的不等式的解集为或.
(1)求的值；
(2)当且满足时，有恒成立，求实数的取值范围.
19．已知幂函数在上为严格减函数.
(1)求实数的值；
(2)若，求实数的取值范围.
20．某医学专家为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行试验，经检测，病毒细胞的个数与天数的记录如下表：
已知该病毒细胞在小白鼠体内的个数超过的时候小白鼠将死亡，但注射某种药物，可杀死其体内该病毒细胞的.
(1)为了使小白鼠在试验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物(精确到天，)?
(2)第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命(精确到天)?
21．对在直角坐标系的第一象限内的任意两点，作如下定义：，那么称点是点的“上位点”，同时点是点的“下位点”.
(1)试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；
(2)设､､､均为正数，且点是点的上位点，请判断点是否既是点的“下位点”又是点的“上位点”，如果是请证明，如果不是请说明理由；
(3)设正整数满足以下条件：对任意实数，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值.
天数
病毒细胞的个数
1．
【分析】利用并集的定义直接求解即得.
【详解】集合，，所以.
故答案为.
2．
【分析】利用绝对值不等式的解法求解.
【详解】由得，解得，
故不等式的解集为.
故答案为.
3．
【分析】根据指数函数的性质计算可得.
【详解】函数（且），令可得，
即函数恒过点.
故
4．
【分析】利用不等式，直接计算即可.
【详解】，
当且仅当，即时取得等号；
故的最大值为；
故答案为.
5．1
【分析】首先利用指数和对数互化得到，，再利用换底公式即可得到答案.
【详解】由可知，，
所以.
故
6．0
【分析】利用三个二次关系计算即可.
【详解】由题意可知的两个根分别是，且，
故，所以.
故0
7．
【分析】根据对数运算求得正确答案.
【详解】.
故
8．且
【分析】根据反证法的基本思想判断即可.
【详解】用反证法证明命题“若，则或”，则应假设且.
故且
9．
【分析】利用绝对值三角不等式，转化原方程，解不等式得到方程的解集.
【详解】由绝对值三角不等式可得：，
当且仅当，即时，等号成立，
故的解集为.
故答案为.
10．
【分析】分当，，，由求解.
【详解】解：当时，，不符合题意；
当时，，
因为有唯一实数解，
所以，即，解得或（舍去）；
当时，，
因为有唯一实数解，
所以，即，解得或（舍去），
所以实数的取值为.
故
11．120
【分析】确定最小值分别为时相应的集合A的个数，再求和即可.
【详解】设，对M的任意非空子集A共有个，
其中最小值为1的有，最小值为2的有个，…，最小值为6的只有个，
．
故120
12．
【分析】令，由题意，得到以，其零点，确定，得到，将转化为表示，然后由基本不等式求解最值即可．
【详解】令，时，恒成立，
若，时必有，不合题意，
所以，其零点，
由题意，函数的图象不穿过轴，则有两个正的零点且它们相同，
所以，化简可得，则，所以，
因为，则，
当且仅当，即时取等号，
所以的最大值为．
故．
13．A
【分析】由幂函数的定义可判断各选项.
【详解】由幂函数的定义,形如，叫幂函数，
对A，，故A正确；B，C，D均不符合.
故选：A．
14．A
先求出命题所对应的集合，讨论集合之间的包含关系，得出结论．
【详解】解：，
，，
“”是“”成立的充分非必要条件，
故选：．
本题考查解不等式，简易逻辑，属于基础题．
15．C
由，进而可解得的值.
【详解】由，可得，.
故选：C.
16．D
【分析】根据题意，由基本不等式有，，结合以及两个不等式等号成立的条件可求出、的值，从而可求出的值．
【详解】由，得，所以，当且仅当，即时等号成立．
所以，
其中第一个不等式的等号当且仅当时成立，第二个不等式的等号当且仅当时成立．
所以当取最小值时，有，即．
所以．
故选：D
17．(1)
(2)
【分析】（1）代入即可解；
（2）根据“”是“”的必要不充分条件，可得，结合包含关系即可求解.
【详解】（1）若“”是真命题，则，解得.
实数的取值范围是.
（2）由，
“”是“”的必要不充分条件，则，
则等号不能同时取到，解得，
则实数的取值范围
18．(1)
(2)
【分析】（1）得到为方程的两个根，由韦达定理求出答案；
（2）在（1）的基础上，利用基本不等式“1”的妙用得到，只需，求出答案.
【详解】（1）由题意得为方程的两个根，
则，解得；
（2）由（1）得，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
要想恒成立，只需，解得，
故实数的取值范围是.
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据幂函数定义先求出，在根据幂函数性质检验的值是否满足题意；
（2）根据幂函数性质求解即可.
【详解】（1）因为函数是幂函数，
所以，得或，
因为幂函数在上为严格减函数，所以不符合题意，
所以.
（2）由（1）可得
设函数，
因为函数在上严格单调递减，
所以，得，
所以实数的取值范围是.
20．(1)第天
(2)第天
【分析】（1）建立第一次注射药物前病毒细胞个数关于天数的函数关系式，由此可得，左右取对数后，结合对数运算性质可求得结果；
（2）结合（1）中关系式可构造不等式，解不等式可求得结果.
【详解】（1）由题意知：第一次注射药物前病毒细胞个数关于天数的函数关系式为，
为了使小白鼠在试验过程中不死亡，则，，
解得：，又，第一次最迟应在第天注射该种药物．
（2）由题意知：注射药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞个数为，
则再经过天后小白鼠体内的病毒细胞个数为，
由得，，
即，，
再经过天必须注射药物，即第二次最迟应在第天注射该种药物.
21．(1)一个“上位点”的坐标为，一个“下位点”的坐标为（答案不唯一，符合题意即可）；
(2)是，证明见解析；
(3)4047
【分析】（1）由上位点、下位点的概念即可得解；
（2）由上位点、下位点的概念结合作差法即可得证；
（3）结合（2）中结论，可得，，再证明当时不合题意即可得解．
【详解】（1）由可知，点的一个“上位点”的坐标为，一个“下位点”的坐标为.
（2）是，证明如下：
､､､均为正数，点是点的“上位点”， ，，
，
，点是点的“下位点”，
．
点是点的“上位点”；
点既是点的“下位点”又是点的“上位点”；
（3）对任意实数，总存在正整数，
使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，
若正整数满足条件：在时恒成立，
由（2）中的结论可知，，时满足条件，
若，由于存在的情况，
则不恒成立，
因此，的最小值为4047．