2024喀什地区巴楚县高二上学期10月期中数学试题含解析

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一、单选题（每道题5分，共60分）
1. 对于空间向量，，若，则实数（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据，知它们的坐标对应成比例，求出实数的值.
【详解】因为，所以，即，所以.
故选：D.
【点睛】本题主要考查是空间向量的平行或共线的坐标运算，是基础题.
2. 在直三棱柱中，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间向量线性运算的性质进行求解即可.
【详解】由已知得，
故选：C
3. 过点的直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据两点的斜率公式即可求解.
【详解】根据两点的斜率公式可得.
故选：B.
4. 与向量同向的单位向量的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】与向量同向的单位向量为，求解即可．
【详解】因为，所以与向量同向的单位向量为．
故选：A.
5. 直线与直线的交点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】通过联立方程组求得正确答案.
【详解】由解得，
所以交点为.
故选：B
6. 已知直线：，：，若，则的值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据两直线垂直的公式计算即可.
【详解】因为直线：，：，，
所以，解得.
故选：C.
7. 经过点，且与直线平行的直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，设所求直线方程为，将点代入求参数，即得方程.
【详解】令所求直线方程为，则，
所以，所求直线为（或）.
故选：A
8. 已知为平面内三点，直线的方向向量为，直线与平面的位置关系是（ ）
A. B. 或
C. D. 与相交，但与不垂直
【答案】C
【解析】
【分析】计算的法向量为，得到平面的法向量与直线的方向向量平行，得到答案.
【详解】设平面的法向量为，则，
取得到，故平面的法向量与直线的方向向量平行，故.
故选：C.
9. 已知，，则等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出向量的坐标，然后利用数量积夹角坐标公式直接计算即可.
【详解】因为，，所以，，
所以.
故选：C
10. 已知直线，则下列结论正确的个数是（ ）
①直线的截距为1
②过点与直线平行的直线方程为
③若直线，则
A 3B. 2C. 1D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据直线的方程得到横纵截距，即可判断①；设与直线平行的直线方程为，然后将代入得到，即可得到过与直线平行的直线方程，即可判断②；根据两直线垂直时斜率相乘为-1判断③.
【详解】直线的方程为，令，则，令，则，所以直线的横纵截距都为-1，故①错；
设与直线平行的直线方程为，将代入得到，解得，所以过与直线平行的直线方程为，故②正确；
直线的斜率为，直线的斜率为，，所以，故③正确.
故选：B.
11. 经过两点的直线的斜率是12，则等于（ ）
A. B. C. 3D. 1
【答案】A
【解析】
分析】由斜率公式可得答案.
【详解】由题可得，由斜率公式，
.
故选：A
12. 在长方体中，，，为的中点，则点到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法求点到平面的距离.
【详解】如图所示，

以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
所以，，，，
则，，
设是平面的一个法向量，则，
令，则，
又，
所以点到平面的距离为，
故选：D.
二、填空题（每道题5分，共20分）
13. 直线的倾斜角为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据直线方程的特征进行求解即可.
【详解】因为直线与横轴垂直，
所以直线的倾斜角为，
故答案为：
14. 已知点，，则线段中点的坐标为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用中点坐标公式直接求解作答.
【详解】点，，所以线段中点的坐标为.
故答案为：
15. 已知空间三点在直线OA上有一点H满足，则点H的坐标为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据空间向量垂直的坐标表示公式进行求解即可.
详解】设，，
因为，所以，即，
因为直线OA上有一点H，
所以，即，显然，
所以，代入中，
得，所以点H的坐标为，
故答案为：
16. 在下列命题中，所有正确命题的序号是___________.
①不存在同时经过两条异面直线的平面.
②如果两条直线与第三条直线所成的角相等，那么这两条直线平行.
③与两条异面直线都垂直的直线有无数条.
④如果两个角的两条边对应平行，那么这两个角相等.
【答案】①③
【解析】
【分析】根据异面直线的定义判断①；根据正方体同一顶点出发的三条棱可以得到反例判断②；根据异面直线能够平移成相交直线可判断③；根据等角定理可判断④.
【详解】对于①，不同在任何一个平面的两条直线叫做异面直线，所以①错误；
对于②，正方体同一顶点出发的三条棱两两相互垂直，所成角相等但不平行，所以②错误；
对于③，有无数条直线垂直与两条异面直线都平行的平面，所以③正确；
对于④，根据等角定理：如果两个角的两条边对应平行，那么这两个角相等或互补，所以④错误；
故答案为：①③
三、解答题（17、18、19每题10分，20题12分，21、22每题14分，共70分）
17. 如图，已知三点，，．

（1）求直线AB，BC，CA的斜率；
（2）求直线BC，CA的倾斜角．
【答案】（1），，；
（2）直线BC的倾斜角为，直线CA的倾斜角为.
【解析】
【分析】（1）利用两点式求直线斜率；
（2）由所求的对应直线斜率，结合倾斜角范围及斜率、倾斜角关系求倾斜角大小.
【小问1详解】
直线AB的斜率；
直线BC的斜率；
直线CA的斜率．
【小问2详解】
设直线BC的倾斜角为，由，则倾斜角．
设直线CA的倾斜角为，由，则倾斜角．
18. 如图所示，在底面是矩形的四棱锥中，⊥底面，E，F分别是的中点，，.

求证：
（1）平面；
（2）平面⊥平面.
【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,利用，得到，根据线面平行的判定定理即可证明；
（2）利用向量的坐标运算得到，从而得到平面，再根据面面垂直的判定定理即可证明.
【小问1详解】
以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，,，，，
∴，，，
，，，.
，，
即，又⊂平面，平面，
∴平面.
【小问2详解】
，
，
∴，即
又平面，平面，
∴平面.
∵平面，
∴平面⊥平面.
19. 直线：与直线：的交点为M，求点M到直线的距离.
【答案】
【解析】
【分析】先联立直线方程求出点M坐标，再利用点到直线的距离公式计算即可.
【详解】由，解得，所以交点.
因为，所以，即点M到直线的距离为.
20. （1）直线经过点，斜率是，写出直线的点斜式方程
（2）直线经过点，平行于轴，写出直线的方程；
（3）直线经过点，，写出直线的一般式方程；
（4）直线在轴、轴上的截距分别是，，写出直线s的斜截式方程．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4） ．
【解析】
【分析】根据直线方程的点斜式、一般式和斜截式方程，逐个求解，即可得到答案.
【详解】（1）由直线l经过点，斜率是，可得其点斜式为.
（2）由直线m经过点，平行于x轴，所以直线的方程为.
（3）由直线经过点，，可得直线的斜率为，
则直线，直线的一般式方程为.
（4）由直线在轴、 轴上的截距分别是和，可直线的方程为，
所以直线的斜截式方程为.
21. 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点．

（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求得直线的方向向量和平面的法向量，计算后即可证明；
（2）根据线面角的向量求法即可求解.
【小问1详解】

以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
因为为棱的中点，为棱的中点，所以，
所以，
设平面一个法向量为，
则，令，则，
因为，所以，
因为平面，所以平面.
【小问2详解】
由（1）得，，
设直线与平面所成的角为，
则.
22. 如图，四棱锥中，平面，底面四边形为矩形，，，，为中点，为靠近的四等分点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量垂直即可求解线线垂直，进而由线面垂直的判断求解，
（2）利用法向量的夹角即可求解.
【小问1详解】
因为平面，四边形为矩形，因此两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
,
,
因为，
所以，即
因为，
所以，即
又因为，平面，平面
因此平面
【小问2详解】
因为平面，所以为平面的一个法向量
由（1）知为平面的一个法向量.