江苏省苏州市2023-2024高三上学期期中调研数学试卷及答案

这是一份江苏省苏州市2023-2024高三上学期期中调研数学试卷及答案，共12页。试卷主要包含了11等内容，欢迎下载使用。

注 意 事 项
学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：
1．本卷共6页，包含单项选择题(第1题第8题)、多项选择题(第9题第12题)、填空题(第13题第16题)、解答题(第17题第22题)．本卷满分150分，答题时间为120分钟．答题结束后，请将答题卡交回．
2．答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置．
3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．
4．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1．下列条件中，使得“”成立的充分不必要条件是
A． B． C． D．
2．已知集合，，且，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
3．已知，则的值为
A． B． C． D．
4．已知a，b是两个单位向量，且=60°，若c=2a-b，则 cs=
A． B． C． D．
5．在△ABC中，，AB边上的高等于，则
A． B． C． D．
6．已知曲线在点处的切线方程为，则
A． B． C． D．
7．满足的实数对，构成的点()共有
A．1个 B．2个 C． 3个 D．无数个
8．已知，，，则
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
9．已知复数满足，则
A．
B．的虚部为
C．
D．
10．函数，则
A．的一个周期为
B．是增函数
C．的图象关于点对称
D．将函数的图象向右平移个单位长度可得到的图象
11．在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，点在对角线上，则
A．三棱锥体积为
B．点到平面的距离为
C．的最小值为
D．四面体外接球的表面积为
12．对于数列，若存在正数，使得对一切正整数，都有，则称数列为有界数列；若这样的正数不存在，则称数列为无界数列．下列说法正确的有
A．等比数列的公比为，若，则是有界数列
B．若数列的通项，则是有界数列
C．若正项数列满足：，则是无界数列
D．若数列满足：，且，则是有界数列
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
13．已知等差数列的前项和为，若，，则 ▲ ．
14．如图，由3个全等的钝角三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，若，，则的面积为 ▲ ．
（第14题图） （第15题图）
15．如图，一个半径为3的半圆，C、D两点为直径AB的三等分点，E、F两点为弧AB上的三等分点，则= ▲ .
16．已知函数，若,且，则的取值范围为 ▲ ，的取值范围为 ▲ . （本小题第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)
已知函数.
（1）求的最小值及取得最小值时的取值集合；
（2）若的图象向右平移个单位后得到的函数恰好为偶函数，求的最小值．
▲▲▲
(本小题满分12分)
在①∠BAC的平分线长为；②D为BC中点，AD=；③AH为BC边上的高，AH=
这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
△ABC中，角A,B,C的对边为,,，已知=2，.
（1）求c;
（2）若 ，求∠BAC的大小.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
▲▲▲
19．(本小题满分12分)
如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，平面平面，，，，.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．
▲▲▲
20．(本小题满分12分)
已知函数满足．
（1）求的单调区间；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
▲▲▲
21．(本小题满分12分)
已知为数列的前项和，，．
（1）求的通项公式；
（2）若,，求数列的前项和．
▲▲▲
22．(本小题满分12分)
已知函数．
（1）若在区间上有极值，求实数的取值范围；
（2）当时，求证：有两个零点，，且．
▲▲▲
2023～2024学年第一学期高三期中调研试卷
数学参考答案及评分建议 2023.11
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．
13．20 ; 14．; 15．; 16． ，
四、解答题：本大题共6小题，共计70分．
17．（本小题满分10分）
解：（1）因为，…………………………………………… 2分
当即时，f (x)取得最小值－2， ……………… 4分
所以f (x)的最小值为－2，此时x的取值集合为． ……………… 5分
（2）设的图象向右平移个单位后得到函数，则，
因为为偶函数，所以，即，
所以恒成立，所以， ……………………… 8分
所以， ………………………………………………………………… 9分
又因为，所以．…………………………………………………………… 10分
18．(本小题满分12分)
解：（1）由=2及得，即，……… 2分
由余弦定理得，…………………………………………… 4分
所以． …………………………………………………………………………………… 5分
（2）若选①，记∠BAC=2θ，∠BAC的平分线交BC于D，则有，
………………………………………………………………………………………… 6分
即，………………………………………………… 7分
即 即，所以， ……………… 9分
因为，所以 从而即，………………………………… 11分
所以.…………………………………………………………………………… 12分
若选②，由于D为BC中点，所以， ………………………………… 6分
即， ………………………………………………………… 7分
又因为，，，所以， …………………………… 9分
即，所以， …………………………………… 11分
又因为，所以. ……………………………………………… 12分
若选③，由于AH为BC边上的高，
在中，，所以，…………… 7分
在中，，所以， …………… 9分
所以，
由余弦定理得，………………………… 11分
又因为，所以. ……………………………………………… 12分
19．(本小题满分12分)
解：（1）因为平面平面，平面PDB 平面ABCD=BD，，平面ABCD
所以AC⊥平面PDB，………………………………………………………………………… 1分
又因为平面，所以AC⊥PD， ………………………………………………… 2分
又因为，，平面，平面，
所以PD⊥平面，……………………………………………………………………… 4分
z
（2）
由（1）知PD⊥平面，
又AD 平面，AB平面，
所以PD⊥AD，PD⊥AB，
过引，则有AZ⊥AD，AZ⊥AB，
又因为，即，
以为原点，以为轴，以为轴，以为轴建立空间直角坐标系， …… 5分
设，则，，，，,
所以，，,
由于，所以，
所以，即，……………………………………………………………………… 7分
从而，则，……………………………………………………… 8分
设平面PDC的一个法向量为，则有即
取，解得即， ……………………………………………… 9分
同理，可求得平面的一个法向量为， ………………………………… 10分
所以 ………………………………………………………… 11分
设二面角的平面角为，为钝角，
所以二面角的平面角余弦值为. ………………………………………… 12分
20．(本小题满分12分)
解：（1）因为，所以， ……………………………………… 1分
，则，
当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增．
所以， ………………………………………………………… 3分
即恒成立，
所以的单调递增区间为，无单调递减区间．………………………………… 5分
（2）由题意在区间上恒成立，
即恒成立，即在区间上恒成立，……………… 6分
令，，只需，…………………………………………… 7分
有，，…………………………………… 8分
令，，有，从而， ………………… 9分
所以当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减， …………………………………… 10分
所以 ，………………………………………………………………… 11分
所以.………………………………………………………………………………… 12分
21．(本小题满分12分)
解：（1）法一: 当时，，即，由，得，
由，得，
两式相减得：．又，满足上式．
所以当时， ， ………………………………………………………… 1分
又当时，，
两式相减得：，………………………………………………………… 2分
所以数列的奇数项是以为首项，4为公差的等差数列，
所以 (n为奇数)， …………………………………… 3分
数列的偶数项是以为首项，4为公差的等差数列，
所以 (n为偶数)， …………………………………… 4分
所以，即的通项公式是．………………………………………… 5分
法二：因为，所以， ……… 2分
因为，所以，即，……………………………………………… 3分
当时， ，………………………………………… 4分
当时，适合上式，所以的通项公式是. ………………………… 5分
（2）因为，所以：
当时，……①
当时，……②
①、②两式相减得：，………………………………………………… 6分
因为，，所以，
因为，所以当为奇数时，， ………………………………… 7分
当为偶数时，，
所以，………………………………………………………… 8分
所以， ………………………………………………………………… 9分
( = 1 \* rman i)当n为偶数时，
． ………… 10分
( = 2 \* rman ii)当n为奇数时，
． ……… 11分
综上, .……………………………………………………… 12分
22．(本小题满分12分)
解：（1）因为，
所以， ………………………… 1分
= 1 \* GB3 ①当时，
所以在上单调递减，所以在上无极值点，………………………… 2分
= 2 \* GB3 ②当时，当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
所以的极小值点为，无极大值点，
因为在上有极值，所以，
所以 . …………………………………………………………………………… 4分
（2）当时，，
由(1)知：，，
令，，则
因为，恒成立，所以在上单调递减
所以即， ………………………………………………… 5分
因为，
由(1)知：在上单调递减，且，
所以在上存在唯一的零点，使，…………………………………… 6分
因为，
又，所以，
由(1)知在上单调递增，且，
所以在上存在唯一的零点，使．
所以有两个零点，. ……………………………………………………… 7分
下面证明：
设，则
．
两式相减：
即
所以， ……………………………………………………………… 8分
因为
所以
，…………… 9分
要证：，即证：，
只要证：，即证：. …………………… 10分
令，即证：，．
令，，则，恒成立
所以在上单调递减，所以．
即成立，
故有两个零点，，且. …………………………… 12分
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
答 案
D
C
D
B
D
A
C
B
题 号
9
10
11
12
答 案
AD
AC
BCD
ABD