2023-2024学年湖北省武汉市高三上学期第二次月考数学质量检测模拟试题（含解析）

这是一份2023-2024学年湖北省武汉市高三上学期第二次月考数学质量检测模拟试题（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，已知为等差数列，，则，已知，且，则的最大值为，如图，已知，是双曲线C等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
一、单项选择题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数，则的共轭复数为（ ）
A．B．C．D．
3．已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A．B．
C．D．
4．按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27，31，37，m，42，49；乙组：24，n，33，44，48，52，若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数都分别对应相等，则（ ）
A．60B．65C．70D．71
5．已知为等差数列，，则（ ）
A．12B．24C．26D．36
6．关于的不等式在恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，已知，是双曲线C：的左、右焦点，以为圆心的圆与双曲线左右两支交于P、Q两点，且则双曲线C的离心率为（ ）

A．B．C．D．
二、多项选择题
9．关于二项式的展开式，下列结论正确的是（ ）
A．展开式所有项的系数和为B．展开式二项式系数和为
C．展开式中第5项为D．展开式中不含常数项
10．如图为襄阳凤雏大桥，连接襄阳襄城、樊城，既缓解交通压力又是汉江上美丽的风景线，她的悬链类似双曲函数的图像．常见的有双曲正弦函数，双曲余弦函数．下列结论正确的是（ ）
A．
B．双曲正弦函数是奇函数，双曲余弦函数是偶函数
C．若点P在曲线上，为曲线在点P处切线的倾斜角，则
D．
11．设，过定点A的动直线：与过定点B的动直线：交于点P，则下列说法正确的有（ ）
A．B．面积的最大值为
C．D．的最大值为
12．如图，正方体的棱长为4，点E、F、G分别在棱、、上，满足，，记平面与平面的交线为，则（ ）
A．存在使得平面截正方体所得截面图形为四边形
B．当时，三棱锥体积为
C．当时，三棱锥的外接球表面积为
D．当时，直线与平面所成的角的正弦值为
三、填空题：
13．抛物线的焦点坐标是 .
14．在圆锥中，为底面圆心，为圆锥的母线，且，若棱锥为正三棱锥，则该圆锥的体积为 ．
15．已知，函数在上单调递减，则实数的取值范围是 ．
16．对于任意的实数、，函数满足关系式，则 ．
四、解答题：
17．已知数列首项，且满足．
(1)求证：数列为等比数列，并求的通项；
(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围．
18．在中，内角的对边分别为角的平分线交于，，．
(1)若，求a的值；
(2)求面积的最小值．
19．如图，平面，，，，，．
(1)求点到平面的距离；
(2)当平面与平面垂直时，求线段的长．
20．移动物联网广泛应用于生产制造、公共服务、个人消费等领域．截至2022年底，我国移动物联网连接数达亿户，成为全球主要经济体中首个实现“物超人”的国家．现有年移动物联网连接数与年份代码的散点图，其中年份对应的分别为．
(1)根据参考数据计算样本相关系数（精确到）；
(2)令变量，，利用（1）中结论求关于的经验回归方程，并预测年移动物联网连接数．
附注：（i）回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为，，样本相关系数；
（ii）参考数据：，，，
21．已知椭圆经过点，离心率为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点P作两条互相垂直的弦PA，PB分别与椭圆C交于A，B.
（i）证明直线AB过定点；
（ii）求点P到直线AB距离的最大值.
22．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)设在处的切线方程为，若，要么恒成立，要么恒成立，求实数a的取值范围．
1．A
【分析】解不等式求出集合，根据并集的定义即可求解.
【详解】解：
，
，
所以.
故选：A．
2．C
【分析】根据共轭复数的定义以及复数四则运算，即可求得结果.
【详解】因为，
所以．
故选：C．
3．B
【分析】根据投影向量的公式计算即可.
【详解】在上的投影向量为．
故选：B.
4．D
【分析】利用百分位数的定义即可得解.
【详解】因为甲组：27，31，37，m，42，49；乙组：24，n，33，44，48，52，
由，得第30百分位数是第2个数据，故,
由，得第50百分位数是第3与4个数据平均值，解得．
所以.
故选：D．
5．A
【分析】根据等差数列的性质即可求解.
【详解】因为,
所以．
故选：A．
6．B
【分析】分离参数，构造函数，求导，根据导数求函数的最值.
【详解】由不等式在恒成立，
得在上恒成立，
设，，
设，恒成立，
所以在上单调递增，
且，
所以当时，，即，单调递减，
当时，，即，单调递增，
又，，
所以，
又在上恒成立，
所以，
故选：B.
7．B
【分析】由条件可得，然后化为，利用均值不等式可得出答案.
【详解】，即；
即，故
令，则（当且仅当时等号成立）
故选：B．
8．D
【分析】延长与双曲线交于点，根据双曲线的对称性设，分别求出，，从而得出，在中，由勾股定理可得出答案.
【详解】长与双曲线交于点，因为，根据对称性可知.
设，则，可得，即.
所以，则，.
即，可得.
在中，由勾股定理得，即，解得．
故选：D．

9．BCD
【分析】选项A，取验证即可，选项B二项式系数和为验证即可，利用二项式展开式的通项求解即可，利用C选项的展开式通项公式验证即可.
【详解】A选项：取．有，A错，
B选项：展开式二项式系数和为，B对，
C选项：由，
则时即为第5项为，C对，
D选项：由C选项可知恒成立，D对，
故选：BCD.
10．ABC
【分析】对于A,D直接代入验证即可；对于 B，利用奇偶性的定义即可判断；对于C，利用导数的几何意义结合基本不等式及正切函数的性质即可判断.
【详解】选项A中：左边，A对；
选项B中：关于对称且有.
恒成立，所以双曲正弦函数是奇函数，双曲余弦函数是偶函数，B对；
选项C中：设，则，即，所以，C对；
选项D中：左边，右边，左边≠右边，D错
故选：ABC
11．BCD
【分析】由题意知直线分别过定点，，及，由勾股定理及两点间的距离公式即可求得，即可判断A的正误；再由三角形的面积公式及基本不等式可求得面积的最大值，可判断B正误；由基本不等式推论即可求得，可判断C的正误；由勾股定理及两点间的距离公式可求得，设，，在由三角函数，即可求得的最大值.
【详解】A中：直线：，令，则，则定点，
：，化简得，令，则，则，
当时，直线：，直线：，此时两直线垂直，
当，，显然，两直线垂直，
综上两直线互相垂直，则；
B中：，
当且仅当时等号成立，B对；
C中：由，知：知：，当且仅当时等号成立，C对.
对于D，在中，，
设，，，
所以，当且仅当时等号成立，故D正确．
故选：BCD．
12．BD
【分析】对于，对分情况讨论，图形展示即可；
对于， 当时，，得出平面 ，利用等体积可求体积；
对于，当时，三棱锥的外接球心在过线段的中点，且垂直于平面的直线上，可求出，得表面积；
对于，求出的方向向量与平面法向量，利用向量公式可得答案.
【详解】设正方体的棱长为4，以为原点，以、、所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
对于A选项，时，在点，，由可知，所以截面即为四边形；由图形知，截面为五边形或六边形．故A错误．
对于B选项，当时，，所以，所以平面，，又平面，
所以，三棱锥体积为，故B正确．
对于C选项，当时，且平面，
所以根据球的性质容易判断，三棱锥的外接球的球心在过线段的中点，且垂直于平面的直线上，
，，所以的中点，可记球心，，
外接球的半径，解得，，
所以三棱锥的外接球表面积为，故C错误．
对于D选项，当时，，，，，，
所以，，，设平面的一个法向量为，
则，令，则，，所以可取，
由平面知，平面的法向量为，
记平面与平面的交线的一个方向向量为，
则，令，则，，所以可取，
又平面的法向量为
，则，，，设与平面所成的角为，
则，故D正确．
故选：BD．
13．
【分析】将抛物线的方程化为标准形式，即可求解出焦点坐标.
【详解】因为抛物线方程，焦点坐标为，且，
所以焦点坐标为，
故答案为.
14．##
【分析】根据解：根据棱锥为正三棱锥，得到，，再根据，求得底面半径即可.
【详解】因为棱锥为正三棱锥，
所以，，
因为，，由勾股定理得，
即圆锥的底面圆半径，
所以．
故
15．
【分析】依题意，化简，根据正弦函数得单调区间，列出区间端点满足的不等式求解即可.
【详解】依题意，，
因为，且函数在上单调递减，
所以当时，，
所以，解得：，，
因为，则需要满足，且，，
所以，，即，
所以.
故答案为.
16．
【分析】先令，可得恒成立，再用赋值法即可得答案.
【详解】依题意，取，有，则恒成立，
取，则.
故答案为.
17．(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）根据等比数列的定义证明即可，再利用等比数列的通项即可求得数列的通项；
（2）结合（1）中的结论，分离参数即可得解.
【详解】（1）由，取倒数得：，变形得：，
又，则，
所以数列是以首项为，公比为的等比数列，
所以，
所以.
（2）由（1）知，
若，则，
所以
而是上的递减数列，
所以，故．
18．(1)
(2)
【分析】（1）由三角形面积相等列出等式，代入可得的值，余弦定理可求得.
（2）由（1）可得，结合基本不等式求出的范围，代入面积公式可求出最小值.
【详解】（1）∵平分线为，由，
得，若，则，则．
在中，由余弦定理，所以．
（2）因为，则,即，当且仅当时等号成立．因此.
19．(1)
(2)
【分析】（1）依题意，证明平面，结合，可知点到平面的距离为线段的长，从而得出答案；
（2）建立空间直角坐标系，设出点，然后求出平面和平面的一个法向量分别为和，再根据两平面互相垂直时，两个法向量也互相垂直，求解即可.
【详解】（1）∵平面，平面，
∴，
又，、平面，且，
∴平面，
又
∴点到平面距离为：；（也可利用等体积法求距离）
（2）依题意，以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系（如图）：
可得，，，，，
设，则，
则有，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，可得：，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，可得：，
因为平面与平面垂直，
所以，
解得：，
所以，线段的长为.
20．(1)
(2)关于的经验回归方程，预测年移动物联网连接数亿户
【分析】（1）求出的值，可求得，将相关数据代入相关系数公式，可求得的值；
（2）将参考数据代入最小二乘法公式，求出的值，可得出回归直线方程，再将代入回归直线方程，可得结果.
【详解】（1）解：根据给定数据．因为，
所以，
所以.
（2）解：由（1）知，
所以关于的经验回归方程，
又，所以当时，则，
，所以预测年移动物联网连接数亿户．
21．（1）；（2）（i）证明见解析；（ii）.
（1）由题意可得关于，，的方程组，结合的关系，则椭圆方程可求；
（2）（i）当直线的斜率存在时，设其方程为，代入椭圆方程，利用根与系数的关系结合可得，讨论或，即可求出直线过定点；（ii）可知当时，求出点到的距离．求解当直线的斜率不存在时，点到直线的距离，由此可得点到直线距离的最大值．
【详解】解：（1）由题意，得，又因为，得，，
所以，椭圆的方程为.
（2）（i）当直线AB斜率存在时，
设其方程为，
代入椭圆方程，
整理得，
由，
得，
设，，
则，，
因为，
所以，
即，①
其中，，
代入①，整理得，
即，
当时，直线AB过点P，不合题意，
所以，
此时，直线AB的方程为，
所以直线过定点.
当直线AB斜率不存在时，
设其方程为，
代入解得或（舍去），
综上所述，直线AB恒过定点.
（ii）当时，
点到的最大距离为．
当直线的斜率不存在时，
设其方程为，
代入解得或舍去．
当时，
点到直线的距离为．
综上，点到直线距离的最大值为．
易错点睛：本题考查了椭圆方程的求解和直线与椭圆的位置关系. 讨论直线的斜率是否存在是易错点.
22．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）先求出导函数，再对二次项系数，分情况讨论，即可判断函数的单调性；
（2）构造函数借助单调性即可解决.
【详解】（1）函数的导函数,
当时，，
由得，得，
所以在单调递增，在单调递减；
当时，令，
当时，，
令，得
其中，
当时，，此时；
当时，，此时；
所以在单调递增，在单调递减；
当时，，
若时，有，
令，得
其中，
当时，，此时；
当或时，，此时；
所以在单调递增，在，单调递减；
若时，有，恒成立，恒成立，
所以在单调递减；
综上：当时，在单调递增，在单调递减；
当时，在单调递增，在单调递减；
当时，在单调递增，在，单调递减；
当，在单调递减．
（2），．
令 ，
，
①时．恒成立，
在处的切线：，即，
即，
因为恒成立．则在上为增函数，令，
即，
，
当时，；当时，
所以在上单调递增，在上单调递减；
所以，即恒成立.
因此不符合题意．
②当时，，
令，可得，
令时，有
当，即时，，
当，即时，，
所以在单调递增，在单调递减，
在点处的切线：，
，
即，
令，
即，
则，
当时，，故；
所以在上单调递减，
所以，即，
所以，当时，恒成立，
当时，，故，
所以在上单调递减；
所以，即，
所以，当时，恒成立，
所以存在，使得，恒成立．
所以满足条件．
综合①②讨论可知：．
方法点睛：含有参数的函数单调性的求解，一般要进行分类讨论，分类讨论的依据主要有：①核心函数是否是二次函数；②核心函数有没有零点；③核心函数的零点间的大小关系如何；④核心函数最高次项的系数的符合等.