2023自治区乌兰察布集宁区二中高一上学期期中考试数学试题含解析

这是一份2023自治区乌兰察布集宁区二中高一上学期期中考试数学试题含解析，文件包含内蒙古自治区乌兰察布市集宁区第二中学2022-2023学年高一上学期期中考试数学试题含解析docx、内蒙古自治区乌兰察布市集宁区第二中学2022-2023学年高一上学期期中考试数学试题无答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共17页， 欢迎下载使用。

一、单选题（本大题共12小题，共60分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若、是全集的真子集，则下列五个命题：①；②；③；④；⑤是的必要不充分条件其中与命题等价的有（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】B
【解析】
【分析】根据韦恩图和集合的交、并、补运算的定义逐一判断可得选项.
【详解】解：由得韦恩图：
或
对于①，等价于，故①正确；
对于②，等价于，故②不正确；
对于③，等价于，故③正确；
对于④，与A、B是全集的真子集相矛盾，故④不正确；
对于⑤，是的必要不充分条件等价于BA，故⑤不正确，
所以与命题等价的有①③，共2个，
故选：B.
2. 有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不正确的是（ ）
A ①③B. ②④⑤C. ①②⑤⑥D. ③④
【答案】D
【解析】
【分析】根据集合相等的定义、子集的定义、空集的性质，结合元素与集合的关系进行判断即可.
【详解】对①：因为集合元素具有无序性，显然①正确；
对②：因为集合，故正确，即②正确；
对③：空集是一个集合，而集合是以为元素的一个集合，因此，故③不正确；
对④：是一个集合，仅有一个元素0，但是空集不含任何元素，于是，故④不正确；
对⑤：由④可知，非空，于是有，因此⑤正确；
对⑥：显然成立，因此⑥正确．
综上，本题不正确的有③④，
故选：D
3. 下列说法正确的是
A. 0与的意义相同B. 高一（1）班个子比较高的同学可以形成一个集合
C. 集合是有限集D. 方程的解集只有一个元素
【答案】D
【解析】
【详解】因为0是元素，是含0的集合，所以其意义不相同；因为“比较高”是一个不确定的概念，所以不能构成集合；当时，，故集合是无限集；由于方程可化为方程，所以（只有一个实数根），即方程的解集只有一个元素，应选答案D．
4. 已知集合，，且，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由得到，建立不等式，即可求出的取值范围．
【详解】解：，，且
所以，当时，解得；
当时，
解得
故选：B
【点睛】本题考查集合的包含关系，考查解不等式，属于基础题．
5. 若全集，，，则集合等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意结合集合间的运算逐项分析判断．
【详解】因为全集，，，
因为，，，，
，，
则集合 ，
故A、B、C错误，D正确.
故选：D．
6. 设，若关于的不等式在上有解，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式等价变形，转化为对勾函数在上的最值，即可求解.
【详解】由在上有解，得在上有解，
则，由于，而在单调递增，
故当时，取最大值为，故，
故选：C
7. 设，若关于的不等式在上有解，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式等价变形，转化为对勾函数在上的最值，即可求解.
【详解】由在上有解，得在上有解，
则，由于，而单调递增，
故当时，取最大值为，故，
故选：C
8. 已知二次方程的一个根为1，则另一个根为（ ）
A. B. C. 2D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据韦达定理可求另外一根．
【详解】设另一根为x，由韦达定理可知，，
即，
故选：A．
9. 下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】判断函数的定义域与对应法则是否相同即可．
【详解】对于A，，定义域和对应法则不一样，故不为同一函数；
对于B，，定义域不同，故不为同一函数；
对于C，，定义域和对应法则均相同，故为同一函数：
对于D，，定义域不同，故不为同函数．
故选：C．
10. 已知函数则等于（ ）
A. 4B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据分段函数的定义域，先求得，再求即可.
【详解】因为函数
所以，
所以，
故选：D
11. 设，，，则下列说法错误的是（ ）
A. ab的最大值为B. 的最小值为
C. 的最小值为9D. 的最小值为
【答案】D
【解析】
【分析】利用基本不等式证明选项AC正确，D错误；利用不等式证明选项B正确.
【详解】因为，，，
则，当且仅当时取等号，所以选项A正确；
因为，
故，当且仅当时取等号,即最小值，所以选项B正确；
，
当且仅当且即，时取等号，所以选项C正确；
，
故，当且仅当时取等号，即最大值，所以选项D错误．
故选：D．
12. 如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为，则函数的图象可能为
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先求出的解析式，在求其解析式的时候，关键是要根据题中所给的图，对t的取值进行恰当的分类，然后分类讨论，给出分段函数的解析式后，再根据解析式画出函数的图像，求得结果.
【详解】分两种情况讨论：
（1）当时，可以求得直角三角形的两条直角边分别为，
从而可以求得，
（2）当时，阴影部分可以看做大三角形减去一个小三角形，
可求得，
所以，
从而可选出正确的图象，
故选A.
【点睛】该题所考查的是有关函数图象的选择问题，涉及到的知识点有三角形的面积公式，有关函数解析式的求法，根据解析式选择合适的函数图象，属于 中档题目.
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 方程的解集为，方程的解集为，已知，则_______________．
【答案】
【解析】
【详解】由，将代入得解得
则方程可以化简为，，
方程可以化简为，，
所以
14. 若时，的最大值是____________.
【答案】-7
【解析】
【分析】变换，直接利用均值不等式得到答案.
【详解】.
当且仅当，即时等号成立.
故答案为：
15. 若，则关于的不等式的解集为__________．
【答案】
【解析】
【分析】由可得，则可求出一元二次不等式的解．
【详解】，，则，
，
或．
故答案为：．
16. 函数的最小值为____________．
【答案】
【解析】
【分析】将函数构造成的形式，用换元法令，在定义域上根据新函数的单调性求函数最小值，之后可得原函数最小值。
【详解】由题得，，令，则函数在递增，可得的最小值为，则的最小值为.
故答案为：
【点睛】本题考查了换元法，以及函数的单调性，是基础题。
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 设全集，集合，.
（1）求及；
（2）求.
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据集合的交并集运算求解即可；
（2）根据集合的补集的运算和交集的运算求解即可.
【详解】解：（1）因为，，
所以，
（2）因，所以，
所以.
18. 已知命题：和命题：
（1）若，且和都是真命题，求实数的取值范围.
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由一元二次不等式可得命题：，命题：，即可得解；
（2）由命题间的关系转化条件为，即可得解.
【详解】不等式即，解得，
不等式即，解得，
则命题：，命题：，
（1）当时，命题：，命题：，
若和都是真命题，则；
（2）因为是的充分不必要条件，所以，
所以且等号不同时成立，解得，
所以实数的取值范围为.
19. 已知函数．
（1）根据定义证明在上为增函数；
（2）若对，恒有，求实数的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用函数的单调性的定义，即可作出证明；
（2）由（1）得到在是增函数，求得函数的最大值，列出不等式，即可求解.
【详解】（1）任取，，且，
则
因为，所以且，所以．
即，即．
所以在上是增函数．
（2）由（1）可得函数在是增函数，所以．
所以，解得，所以取值范围是．
20. 比较大小.
（1）比较与的大小；
（2），，比较与的大小.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）采用作差法比较大小：将减去的结果与比较大小，即可比较出大小关系；
（2）采用作差法比较大小：将减去的结果与比较大小，即可比较出大小关系.
【详解】（1）因为，
又，
所以，
所以；
（2）因，
又，，
所以，
所以
21. 已知非空集合，．
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由交集、补集的运算求解即可；
（2）转化为集合间关系后列式求解.
【小问1详解】
当时，，，
则或,
；
【小问2详解】
是非空集合，“”是“”的充分不必要条件，则是Q的真子集，
所以且与不同时成立，解得，
故a的取值范围是.
22. 设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．
（1）若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【答案】（1）（2，3）；（2）（1，2]．
【解析】
【分析】先由p、q分别解出对应的不等式：
（1）若a＝1，且p∧q为真，取交集，求出x的范围；
（2）由p是q的必要不充分条件，得到两个解集的包含关系，求出a的范围.
【详解】解：p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，解得a＜x＜3a．
命题q：实数x满足．化为，解得，即2＜x≤3．
（1）a＝1时，p：1＜x＜3．
p∧q为真，可得p与q都为真命题，则，解得2＜x＜3．
实数x的取值范围是（2，3）．
（2）∵p是q的必要不充分条件，∴，又a＞0，解得1＜a≤2．
∴实数a的取值范围是（1，2]．
【点睛】结论点睛：有关充要条件类问题的判断，一般可根据如下规则判断：
(1)若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
(2)若是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；
(3)若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
(4)若是的既不充分又不必要条件，对应集合与对应集合互不包含．