浙江省杭州市六县九校2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题（Word版附解析）

这是一份浙江省杭州市六县九校2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题（Word版附解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023学年第一学期六县九校联盟期中联考
高二年级数学学科 试题
考生须知：
1 ．本卷共 4 页满分 150 分，考试时间 120 分钟；
2 ．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3 ．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；
4 ．考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
2.若平面α的一个法向量为n=(1,2,1)，A(1,0,-1)，B(0,-1,1)，A∉α，B∈α，则点A到平面α的距离为( )
A. 1 B. C. D.
3. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是( )
A. B. C. D.
4.已知两条直线l1:ax+y-1=0和l2:x+ay+1=0(a∈R)，下列不正确的是( )
A. “a=1”是“l1//l2”的充要条件B. 当l1//l2时，两条直线间的距离为 2
C. 当l2斜率存在时，两条直线不可能垂直D. 直线l2横截距为1
5.从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是（ ）
A. B. C. D.
6.已知F 1，F 2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1=60°，则C的离心率为 ( )
A. B. C. D.
7．若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的范围是（ ）
A． B．C．D．
8. 已知，，则的最小值为（ ）
A. 8 B. C. 2 D.
二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
9．已知平面内的两个向量的，则平面的一个法向量可以是（ ）
A. B. C. D.
10．已知直线的倾斜角等于，且经过点，则下列结论中正确的有( )
A. 的一个方向向量为 B. 直线与两坐标轴围成三角形的面积为
C.与直线垂直 D. 与直线平行
11.下列说法正确的是( )
A. 甲乙两人独立地解题，已知各人能解出的概率分别是0.5，0.25，则题被解出的概率是0.625
B. 若A，B是互斥事件，则P(AB)=P(A)P(B)
C. 某校200名教师的职称分布情况如下：高级占比20%，中级占比50%，初级占比30%，现从中抽取50名教师做样本，若采用分层抽样方法，样本按比例分配，则初级教师应抽取15人
D. 一位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生相邻的概率是34
12.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案(如图1).把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ）

A. QC=AD+2AB+2AA1 B. 若M为线段CQ上的一个动点，则BM⋅BD的最大值为2
C. 点P到直线CQ的距离是 173 D. 异面直线CQ与AD1所成角的正切值为 17
非选择题部分
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.某地一年之内12个月的降水量分别为：71，66，64，58，56，56，56，53，53，51，48，46，则该地区的月降水量75%分位数 .
14.已知A(1,1)，B(2,3)及x轴上的动点P，则|PA|+|PB|的最小值为 .
15.已知圆C1：x2+y2-4x+2y=0与圆C2：x2+y2-2y-4=0相交于A、B两点，则圆C：(x+3)2+(y-3)2=1上的动点P到直线AB距离的最大值为 .
16．已知椭圆的左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线交椭圆于两点，直线与椭圆的另一个交点为C，若，则椭圆的离心率为 .
四、解答题：本大题共6小题，共70分其中第17题10分，其余每题12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
（3）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率.
已知在△ABC中，A(0,1)，B(4,-1)，C(2,1)．
(Ⅰ)求边AB的垂直平分线的方程；(Ⅱ)求△ABC的外接圆的方程．
19. 已知直线过点P，
（1）求在坐标轴上截距相等的直线的方程。
（2）若直线与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程。
20.已知x2+y2-4x+2my+2m2-2m+1=0m∈R表示圆C的方程．
(1)求实数m的取值范围； (2)当圆C的面积最大时，求过点A4,-4的圆的切线方程．
(3)P为圆上任意一点，已知B6,0，在(2)的条件下，求PA2+PB2的最小值.
21.如图在四棱锥A-BCDE中，CD//EB，CD=1,EB=2，CB⊥BE，AE=AB=BC= 2，AD= 3，O是AE的中点．
(Ⅰ)求证：DO//平面ABC；
(Ⅱ)在棱BE上是否存在点M，使得半平面ADM与半平面ABC所成二面角的余弦值为453 53，若存在，求EM:MB，若不存在，说明理由.
22. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，坐标原点到直线的距离为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知定点，若直线与椭圆相交于两点，试判断是否存在实数，使得以为直径的圆过定点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
2023学年第一学期六县九校联盟期中联考
高二年级数学学科 参考答案
命题：文昌中学 叶洪清 联系电话 18069876909
审稿：萧山十中 陈元江 联系电话 13968014050
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。

13. 61 14. 15. 7 22+1 16.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本题 10 分）
（1）因为，
所以.………………………………………………………2分
（2）由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为，
所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为.……………6分
（3）受访职工评分在[50，60)的有：50×0.006×10=3(人)，
即为；
受访职工评分在[40，50)有： 50×0.004×10=2(人)，即为.
从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是
又因为所抽取2人的评分都在[40，50)的结果有1种，即，
故所求的概率为.……………………………………………10分
18.【答案】解：(Ⅰ)设AB的中点坐标为：E(2,0)，
由于A(0,1)，B(4,-1)，
所以kAB=-12，
所以AB的垂直平分线的方程为y=2(x-2)，
整理得：2x-y-4=0．
(Ⅱ)由于A(0,1)，C(2,1)，
所以AC的垂直平分线的方程为x=1．
所以2x-y-4=0 x=1 ，
解得x=1 y=-2 ，
即外接圆的圆心为(1,-2)，
圆的半径为r= 12+(-2-1)2= 10．
所以圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=10．
【解析】本题考查的知识要点：直线的方程的求法，圆的方程，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
(Ⅰ)直接利用点的坐标求出直线的斜率，进一步求出直线的方程；
(Ⅱ)首先求出中垂线的交点，即求出外接圆圆心的坐标，进一步求出圆的半径，最后求出圆的方程．
（本题 12 分）(1)当截距为零时，直线方程为
当截距不为零时，令方程为，代入点，可得，此时直线方程为分
设直线的方程为，由题意可得
令，则，令，则，即，从而当且仅当，即时取到12，所以直线方程为分
20.【答案】解：(1)由题可知：x-22+y+m2=3+2m-m2，
该方程表示圆，则3+2m-m2>0，
即m2-2m-3<0，解得-1则实数m的取值范围为-1,3；
(2)令y=3+2m-m2=-m-12+4，m∈-1,3 ，
开口向下，对称轴为m=1∈-1,3，
当m=1时，圆C的面积取得最大值，此时圆的方程为x-22+y+12=4，
当切线的斜率不存在时，切线方程为x=4满足题意；
当切线的斜率存在时，设切线方程为y+4=kx-4，即kx-y-4k-4=0．
圆心2,-1到切线的距离等于半径长，
即2k+1-4k-4 1+k2=2，解得k=-512，
即切线方程为y+4=-512x-4，即5x+12y+28=0；
综上所述，所求切线方程为x=4和5x+12y+28=0；
(3)设Px,y，
则PA2+PB2=x-42+y+42+x-62+y2=2x-52+y+22+10，
设M5,-2，则x-52+y+22表示圆C上的点P与点M的距离的平方，
由(2)知C2,-1，
又CM= 5-22+-2+12= 10>2，则点M在圆C外面，
所以PMmin=CM-2= 10-2，
则PA2+PB2min=2 10-22+10=28-8 10+10=38-8 10．
则PA2+PB2的最小值为38-8 10．

【解析】本题考查圆的方程，圆的切线以及点到圆上的点的最值问题．
(1)根据方程表示圆，列出不等式，从而可得答案；
(2)求出圆C的面积取得最大值，m的值，即半径最大时，m的值，再分切线斜率存在和不存在两种情况讨论即可得解；
(3)设Px,y，则PA2+PB2=2x-52+y+22+10，设M5,-2，则x-52+y+22表示圆C上的点P与点M的距离的平方，求出PM的最小值，即可得解．
21.【答案】解：(Ⅰ)取AB中点F，连接CF、OF，
∵O，F分别为AE，AB的中点，∴OF//BE，且OF=12BE，
又∵CD//EB，CD=12EB，∴OF//CD，且OF=CD，
∴四边形OFCD为平行四边形，
∴DO//CF，而CF⊂平面ABC，DO⧸⊂平面ABC，
∴DO//平面 ABC
(Ⅱ)取EB中点G，连接AG、DG，
∵AE=AB= 2,BE=2，∴▵ABE为等腰直角三角形，∴BE⊥AG，AG=1，
又∵AD= 3,DG=BC= 2，∴AG2+DG2=DA2，∴DG⊥AG，
∵DG//BC，CB⊥BE∴BE⊥DG，DG⊥AG
BE∩AG=G，BE、AG⊂平面ABE，
∴DG⊥平面ABE，而BE⊂平面ABE，故DG⊥BE，
以G为原点，以GB,GA,GD方向分别为x轴、y轴、z轴，
建立如图所示空间直角坐标系．
G(0,0,0)，A(0,1,0)，D(0,0, 2)，E(-1,0,0)，O(-12,12,0)，AD=(0,-1, 2) ，DC=(1,0,0)
OD=(12,-12, 2)
故平面ACD的一个法向量为n=(0, 2,1)，
∴d=|DO⋅n|n||= 66.
故点O到平面ACD的距离为 66.
(Ⅲ)设点Ma,0,0在棱BE上，AD=(0,-1, 2)，AM=(a,-1,0)
设面ADM的一个法向量为n1=(x,y,z)，
n⋅AD=-y+ 2z=0, n⋅AM=ax-y=0,
∴取y=2，面ADM的一个法向量为n1=(2a,2, 2)
同理：面ABC的一个法向量为n2=(1,1,0)
令半平面ADM与半平面ABC所成二面角的平面角为θ，θ为锐角，
∴cs θ=cs=2a+2 2 4a2+64 5353.
21a2+106a+5=0即a=-15，a=-21(舍)
此时EM:MB=2:3
故当EM:MB=2:3时，半平面ADM与半平面ABC所成二面角的余弦值为453 53
22 .(本小题12分)解(1) 已知直线，则由题意可得
且，解得，所以椭圆方程为. …………………5分
假设存在实数，使得以CD为直径的圆过定点E. 联立与椭圆方程，可得. 设，则
又，，要使以CD为直径的圆过点,当且仅当,即，
,
代入并整理可得，成立，
综上可得存在.,使得以CD为直径的圆过定点E.……………………………………………12分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
B
A
B
B
D
B
C
题号
9
10
11
12
答案
BC
AC
AC
BCD