黑龙江省哈尔滨市第三中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（Word版附解析）

这是一份黑龙江省哈尔滨市第三中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（Word版附解析），共31页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

考试说明：
（1）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟；
（2）第Ⅰ卷，第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 抛物线的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
2. 双曲线的焦点坐标为（ ）
A. B.
C D.
3. 若点到点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程是（ ）
A. B. C. D.
4. 若直线与直线平行，则的值为（ ）
A. 3B. C. 3或D. 2
5. 如图，一抛物线型拱桥的拱顶比水面高2米，水面宽度米．水面下降1米后水面宽（ ）米
A. B. C. D.
6. 已知双曲线，直线，若直线与双曲线两个交点分别在双曲线的两支上，则的取值范围是（ ）
A. 或B.
C. 或D.
7. 已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合．斜率为的直线经过点，且与的交点为．若，则直线的斜率为（ ）
A. 1B. C. D.
8. 已知圆，若曲线上存在四个点，过点作圆的两条切线，为切点，满足，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知圆，圆，则（ ）
A. 圆与圆内切
B. 直线是两圆一条公切线
C. 直线被圆截得的最短弦长为
D. 过点作圆的切线有两条
10. 已知同时为椭圆与双曲线左右焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点，椭圆与双曲线的离心率分别为为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 若，则
C. 若，则D. 若则
11. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两个不同点，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最小值是6B. 若点，则的最小值是4
C. D. 若，则直线的斜率为
12. 已知为坐标原点，分别是双曲线的左，右焦点，直线与双曲线交于两点，．为双曲线上异于的点，且与坐标轴不垂直，过作平分线的垂线，垂足为，则下列结论正确的是（ ）
A. 双曲线的离心率为B. 双曲线的渐近线方程是
C. 直线与的斜率之积为4D. 若，则的面积为4
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上．
13. 设点为圆上一点，则点到直线距离的最小值为______．
14. 已知椭圆的离心率为，点为其长轴两端点，点为椭圆上异于的一点，则直线和的斜率之积等于______．
15. 已知直线与椭圆相交于两点，且线段的中点在直线上，则此椭圆的离心率为______．
16. 抛物线的焦点为，准线为，,是抛物线上的两个动点，且满足.设线段的中点在上的投影为，则的最大值是___________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知直线．
（1）若经过两点的直线与直线垂直，求此时直线的斜率；
（2）时，若点关于直线的对称点为点，求线段的长度．
18. 已知半径为4的圆与双曲线的渐近线相切，且圆心在轴正半轴上．
（1）求圆的方程；
（2）经过点，且斜率为的直线交圆于两点，若，求直线的方程．
19. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且的面积为（为坐标原点）．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）抛物线的准线与轴交于点，过点的直线交抛物线于两点，若以为直径的圆过点，求直线的方程．
20. 已知椭圆的中心在坐标原点，两焦点在轴上，离心率为，点在上，且的周长为6．
（1）求椭圆标准方程；
（2）过点的直线交椭圆于两点，求面积的取值范围．
21. 已知双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，且双曲线经过点．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设为双曲线上异于点的两点，记直线的斜率为，若．求直线恒过的定点．
22. 有一个半径为的圆形纸片，设纸片上一定点到纸片圆心的距离为，将纸片折叠，使圆周上一点与点重合，以点所在的直线为轴，线段的中点为原点建立平面直角坐标系．记折痕与的交点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）为曲线上第一象限内的一点，过点作圆的两条切线，分别交轴于两点，且，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，直线与曲线交于两点，且直线的倾斜角互补，判断直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．哈三中2023—2024学年上学期高二学年期中考试
数学试卷
考试说明：
（1）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟；
（2）第Ⅰ卷，第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 抛物线的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线的准线方程即可求解.
【详解】抛物线中，，所以，
故抛物线的准线方程为，即，
故选：C
2. 双曲线的焦点坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将双曲线的方程化为标准方程判断焦点位置，写出焦点坐标即可.
【详解】因为双曲线方程为，
化为标准方程为：，所以，
由于焦点在轴上，所以焦点坐标为：.
故选：C.
3. 若点到点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线的定义即可求解.
【详解】由于点到点的距离比它到直线的距离小1，故点到点的距离比它到直线的距离相等，
故点是在以为焦点，以为准线的抛物线上，
故轨迹为，
故选：A
4. 若直线与直线平行，则的值为（ ）
A. 3B. C. 3或D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据两条直线平行的充要条件，列出方程组，解出即可.
【详解】因为两条直线平行，
所以，解得，
故选：
5. 如图，一抛物线型拱桥的拱顶比水面高2米，水面宽度米．水面下降1米后水面宽（ ）米
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知条件求出抛物线方程即可.
【详解】如图建系，设抛物线方程为
由可得
所以抛物线方程为，和相交于
故水面宽米
故选：C.
6. 已知双曲线，直线，若直线与双曲线的两个交点分别在双曲线的两支上，则的取值范围是（ ）
A. 或B.
C. 或D.
【答案】B
【解析】
【分析】联立直线与双曲线方程，再结合一元二次方程判别式及韦达定理列式求解即得.
【详解】由消去y并整理得：，
由直线与双曲线的两个交点分别在双曲线的两支上，
得，解得，
所以的取值范围是.
故选：B
7. 已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合．斜率为的直线经过点，且与的交点为．若，则直线的斜率为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由椭圆与抛物线的定义与性质计算即可.
【详解】由椭圆方程可知，则，
由题意可设直线的方程为：，，
与抛物线方程联立可知，即，
又，
所以.
故选：D
8. 已知圆，若曲线上存在四个点，过点作圆的两条切线，为切点，满足，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，根据题意利用推出，确定在圆上，继而将问题转化为和有两个交点的问题，利用圆心到直线的距离小于半径，即可求得答案.
【详解】设，由题意知，则，
则，
即，
整理得，解得或，
由于在圆外，故，则，
即的轨迹方程为圆，
曲线过定点，由射线和射线组成，
且和关于直线对称，
结合图象可知要使曲线上存在四个点满足题意，
需使得和有两个交点，
故需有且，解得，
即，
故选：B
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于要满足曲线上存在四个点，使得，因而要由此推出的轨迹方程，进而将问题转化为和有两个交点的问题，即可求解.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知圆，圆，则（ ）
A. 圆与圆内切
B. 直线是两圆的一条公切线
C. 直线被圆截得的最短弦长为
D. 过点作圆的切线有两条
【答案】BCD
【解析】
【分析】由两圆的标准方程得出圆心和半径，利用圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系和点与圆的位置关系分别判断即可．
【详解】由题意得，圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径；
对于A，，，即，两圆外切，故A错误；
对于B，圆心到直线的距离，则与圆相切，
圆心到直线的距离，则与圆相切，
所以是两圆的一条公切线，故B正确；
对于C，直线恒过点，连接，过作，交于圆于点，如图所示，则即为直线被圆截得的最短弦，
则，由勾股定理得，，则，
所以直线被圆截得最短弦长为，故C正确；
对于D，因为，所以在圆外部，
所以过点作圆的切线有两条，故D正确；
故选：BCD．
10. 已知同时为椭圆与双曲线的左右焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点，椭圆与双曲线的离心率分别为为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 若，则
C. 若，则D. 若则
【答案】AB
【解析】
【分析】利用椭圆与双曲线的定义及性质，结合余弦定理，三角形三边关系计算即可.
【详解】对于A项，由题意可设，则，故A正确；
对于B项，在中，设，则有，
由余弦定理可知，
显然，故B正确；
对于C项，若，
结合B项及勾股定理可知，
，故C错误；
对于D项，若，
则，故D错误.
故选：AB
11. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两个不同点，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最小值是6B. 若点，则的最小值是4
C. D. 若，则直线的斜率为
【答案】ABD
【解析】
【分析】A，根据结合基本不等式即可判断；B，由抛物线定义知当三点共线时；C，D，设直线方程，联立抛物线，应用韦达定理即可求解.
【详解】对A，设，
因为这些倾斜角不为0，
则设直线的方程为，联立抛物线得，
则，
所以，
则（当且仅当时等号成立），A正确；
对B，如图抛物线准线，要使其最小，
即三点共线时取得最小值，
即，B正确；
对C，由，C错误；
对D，
，解得,D正确
故选：ABD.
12. 已知为坐标原点，分别是双曲线的左，右焦点，直线与双曲线交于两点，．为双曲线上异于的点，且与坐标轴不垂直，过作平分线的垂线，垂足为，则下列结论正确的是（ ）
A. 双曲线的离心率为B. 双曲线的渐近线方程是
C. 直线与的斜率之积为4D. 若，则的面积为4
【答案】BCD
【解析】
【分析】由直线斜率为可知，不妨设在第一象限，即可得到，代入双曲线方程，即可得到关于的方程，从而求出离心率，则渐近线方程可求，即可判断A、B，则双曲线方程可化为，设，根据对称性得，利用点差法判断C，求出动点的轨迹方程，即可得到，从而求出的面积，即可判断D.
【详解】依题意得直线与双曲线两交点关于原点对称，不妨设在第一象限，
由，所以，
设，由直线斜率为可知，
则，，则，
代入双曲线方程有，
即，化简得，
化简得，，解得，则，故A错误；
由，所以，所以双曲线的渐近线方程是，故B正确；
由，则双曲线方程可化为，
设，根据对称性得，
根据点在双曲线上则有，
①②得，即，
，故C正确；

点关于的角平分线的对称点在直线的延长线上，
故，
又是中位线，故，
点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，则点的轨迹方程为，
因为，所以，所以双曲线方程为，
所以，则，又，
所以，故D正确；
故选：BCD
【点睛】关键点睛：由直线的斜率表示出点坐标，从而求出离心率是解决ABC的关键，D选项的关键是求出动点的轨迹方程.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上．
13. 设点为圆上一点，则点到直线距离的最小值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】先判断圆与直线相离，故而圆上的点到直线的距离的最小值等于圆心到直线距离.
【详解】由圆的圆心为，半径为
所以圆心到直线的距离为：
，
所以圆与直线相离，
所以圆上的点到直线的距离的最小值为：
，
故答案为：.
14. 已知椭圆离心率为，点为其长轴两端点，点为椭圆上异于的一点，则直线和的斜率之积等于______．
【答案】或
【解析】
【分析】讨论若的大小，若，设，根据点在椭圆上可得，结合化简可得，再根据椭圆离心率求出，同理可求时情况，即可得答案.
【详解】由题意知若，则不妨取，
设，则，则，
则，
由于椭圆的离心率为，
即，即，
故；
若，则不妨取，
设，则，则，
则，
由于椭圆离心率为，
即，即，
故，
故答案为：或
15. 已知直线与椭圆相交于两点，且线段的中点在直线上，则此椭圆的离心率为______．
【答案】##
【解析】
【分析】联立，得到线段的中点为，设与的交点分别为，，利用点差法能求出椭圆的离心率.
【详解】联立得：，
所以直线与直线的交点坐标为，
所以线段的中点为，
设与的交点分别为，，
所以，，
则，，
分别把，代入到椭圆得：
，两式相减得：，
因为直线为：，所以，
且，所以，
所以，即，所以，
所以，所以，所以.
故答案为：
16. 抛物线的焦点为，准线为，,是抛物线上的两个动点，且满足.设线段的中点在上的投影为，则的最大值是___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据抛物线的定义和几何性质，可得，，可得，进而可得的最大值为.
【详解】
如图，过点作，过作，设，，
则由抛物线的定义知，，
由题意知，
因得，
，
因，当且仅当，即时等号成立，
所以，，
所以，
故答案为：
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知直线．
（1）若经过两点的直线与直线垂直，求此时直线的斜率；
（2）时，若点关于直线的对称点为点，求线段的长度．
【答案】（1）
（2）5
【解析】
分析】（1）根据两点坐标求解斜率，即可根据垂直关系求解，
（2）根据点关于直线对称，求解，即可由两点间距离公式求解.
【小问1详解】
由得，
由于，所以，
【小问2详解】
当时，
设点关于直线的对称点为点，则
，解得,
故，所以
18. 已知半径为4的圆与双曲线的渐近线相切，且圆心在轴正半轴上．
（1）求圆的方程；
（2）经过点，且斜率为的直线交圆于两点，若，求直线的方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）相切转化为距离关系即可.
（2）弦长转化为圆心到直线的距离即可.
【详解】（1）因为圆心点在轴正半轴上，设圆心．圆的标准方程为：．
双曲线的渐近线方程为：．
因为双曲线的渐近线与圆相切，所以圆心到双曲线一条渐近线的距离与圆的半径相等．
，解得，
所以圆心坐标为，圆的标准方程为
（2）如图，设直线的斜率为，则直线的方程为：，即．
因为直线截圆所得线段长度，
设圆心到直线的距离为，则，解得．
由解得或．
故直线的方程为：或
19. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且的面积为（为坐标原点）．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）抛物线的准线与轴交于点，过点的直线交抛物线于两点，若以为直径的圆过点，求直线的方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）利用三角形面积公式及点在抛物线上可列方程组，解得，确定抛物线方程；
（2）设直线方程，直曲联立，结合可求出直线方程.
【小问1详解】
由已知可知，
所以，所以．
又点在抛物线上，所以，
又，所以，所以抛物线的标准方程为．
【小问2详解】
由题意，，
当直线斜率为0时，显然不成立，
所以直线斜率不为0，设直线方程为，
设
由消元得，
所以，，
因直线交抛物线于两点，
所以，
解得，即或,
因为以为直径的圆过点,
所以
又
所以
所以，
所以符合题意，
所以直线的方程为，即或.
20. 已知椭圆的中心在坐标原点，两焦点在轴上，离心率为，点在上，且的周长为6．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线交椭圆于两点，求面积的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据椭圆离心率为，的周长为6求出可得答案；
（2）当的斜率不存在时，令求出可得的面积；当的斜率存在时，设与椭圆方程联立，利用弦长公式求出、点到直线的距离公式求出点到直线的距离，可得的面积为，令得，再由的范围可得答案．
【小问1详解】
设椭圆的半长轴长、半短轴长、半焦距分别为，
因为，则，
因为，则，即，
于是，解得，从而，
因为椭圆的焦点在轴上，所以椭圆的标准方程是；
【小问2详解】
由（1）知，，故，
当的斜率不存在时，令得，，故，
故，故的面积为，
当的斜率存在时，设，
联立得，
因为直线过椭圆内的点，所以，设，
则，
则
，
设点到直线的距离为，则，
故的面积为，
令，则，
则，
因为，所以，故，
，
故，
综上：面积的取值范围是．
【点睛】关键点点睛：第二问的关键点是利用弦长公式求出、点到直线的距离公式求出点到直线的距离，可得的面积．
21. 已知双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，且双曲线经过点．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设为双曲线上异于点的两点，记直线的斜率为，若．求直线恒过的定点．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据焦点坐标以及经过的点，代入即可求解，
（2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，根据两点斜率公式求解两直线的斜率，代入韦达定理化简即可求解.
【小问1详解】
椭圆的焦点坐标为
故为双曲线的焦点，故双曲线，
设双曲线的方程为：，代入点，，可得或，又因为双曲线中，故，双曲线方程为．
【小问2详解】
当直线斜率为0时，易得直线方程为：，此时，符合，此时直线经过，
直线斜率不为0时，设直线，联立直线与双曲线方程可得：．
设，则直线斜率，直线斜率．由易知：．代入可得：．又因为．
原式可转化为，
由韦达定理可得：，代入式子中化简可得：．故或．
若，直线为，恒过点，
若，直线方程为，直线恒过定点，
与题目中为异于的点矛盾，故直线恒过定点为．
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的定点问题：一般常采用两种方式：
参数法：通过设点或者设参数，建立一个直线系或者曲线系方程，得到一个关于定点坐标的方程式，将复杂的问题转化为简单的计算问题，
特殊一般法，从特殊位置入手，找到定点，再证明该定点与变量无关.
22. 有一个半径为的圆形纸片，设纸片上一定点到纸片圆心的距离为，将纸片折叠，使圆周上一点与点重合，以点所在的直线为轴，线段的中点为原点建立平面直角坐标系．记折痕与的交点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）为曲线上第一象限内的一点，过点作圆的两条切线，分别交轴于两点，且，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，直线与曲线交于两点，且直线的倾斜角互补，判断直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）是定值，
【解析】
【分析】（1）根据椭圆定义可得答案；
（2）设点，，求出直线的方程，根据圆心到直线的距离为1可知为方程的两个实根，从而可得，再由点在椭圆上，可得答案；
（3）设，且，与椭圆方程联立，根据直线的倾斜角互补，可得或代入直线方程可得答案.
【小问1详解】
由题意可知，，
所以点轨迹是以为焦点，为长轴长的椭圆，
所以曲线的方程，即椭圆方程为；
【小问2详解】
由（1）可知的方程为，设点，，
则直线的方程为，即，
因为圆心到直线的距离为1，即，
即，
即，同理；
由此可知，为方程的两个实根，
所以；
，
因为点在椭圆上，则，则，
则，
则，因为，则，即，
故存在点满足题设条件；
【小问3详解】
由（1）可知的方程为，由题意，直线斜率存在，
设，且，
联立方程组，整理得，
则，可得，
且，
因为直线的倾斜角互补，所以，
可得，
整理得，
代入可得，
即，即，
解得或，
当时，即，可得，即，
此时直线经过点，不符合题意，所以直线的斜率为．