2023-2024学年安徽省芜湖二十九中八年级（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年安徽省芜湖二十九中八年级（上）期中数学试卷，共30页。

A．B．
C．D．
2．（4分）以下长度的线段能和长度为2，6的线段组成三角形的是（ ）
A．2B．4C．6D．9
3．（4分）点O是△ABC内一点，OA、OC分别平分∠BAC、∠BCA，∠B＝64°，则∠O＝（ ）
A．116°B．122°C．136°D．152°
4．（4分）下列条件中，不能说明△ABC为等边三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B＝60°B．∠B+∠C＝120°
C．∠B＝60°，AB＝ACD．∠A＝60°，AB＝AC
5．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝48°．按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB，AC于点E，F；②分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点G；③作射线AG交BC边于点D，则∠ADC的度数为（ ）
A．66°B．62°C．58°D．54°
6．（4分）如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣6，3），则B点的坐标是（ ）
A．（2，4）B．（1，4）C．（3，6）D．（1，5）
7．（4分）如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，从点A开始，把若干根相同小棒（AA1＝A1A2＝…）顺次连接摆放在边AB，AC之间，并使小棒两端分别落在边AB，AC上，在△ABC内（不包括边）摆放最后一根小棒时，其端点恰好能与点B或点C重合，则此时△ABC内（不包括边）顺次连接了（ ）
A．3根小棒B．4根小棒C．5根小棒D．6根小棒
8．（4分）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．下列五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤△CPQ是等边三角形．其中正确结论的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
9．（4分）如图所示，在△ABC中，∠A：∠B：∠BCA＝1：2：3，CD⊥AB于D，AB＝12，则DB等于（ ）
A．3B．4C．6D．9
10．（4分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF分别交AB、AC边于点E、F，点K为EF上一动点，则BK+CK的最小值是以下哪条线段的长度（ ）
A．EFB．ABC．ACD．BC
二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）已知点A（a+1，﹣2）与点B（﹣1，1﹣b）关于x轴对称，则a+b＝ ．
12．（5分）如图，直线l1∥l2，将等边三角形如图放置若∠α＝25°，则∠β等于 ．
13．（5分）如图，在△ABC中，BC＝15厘米，BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长为 ．
14．（5分）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条直平分线分别交BC于点D、E．已知△ADE的周长为13cm．
（1）线段BC＝ ；
（2）分别连接OA、OB、OC，若∠DOE＝80°，则∠BAC＝ ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）（1）若多边形的内角和为1620°，求此多边形的边数；
（2）一个n边形的每个外角都相等，如果它的内角与相邻外角的度数之比为3：1，求n的值．
16．（8分）如图所示的坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标依次为A（﹣1，2），B（﹣4，1），C（﹣2，﹣2）．
（1）请在这个坐标系中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）分别写出A1、B1、C1的坐标；
（3）求△ABC的面积．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）△ABC中，AD为BC边上的中线，已知AB＝5，AC＝3，求线段AD的长的取值范围．
18．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE＝CE．求证：
（1）△AEF≌△CEB；
（2）AF＝2CD．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）小明在学习中遇到这样一个问题：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交BC的延长线于点E，猜想∠B、∠ACB、∠E的数量关系．
（1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试从具体的情况开始探索，若∠B＝35°，∠ACB＝85°．则∠E＝ ．
（2）小明继续探究，设∠B＝α，∠ACB＝β（B＞α），当点P在线段AD上运动时，求∠E的大小．（用含α、β的代数式表示）
20．（10分）如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ＝3，PE＝1．
（1）求证：AD＝BE；
（2）求AD的长．
六、（本题满分12分）
21．（12分）在四边形ABCD中，∠A＝100°，∠D＝140°．
（1）如图①，若∠B＝∠C，则∠B＝ 度；
（2）如图②，作∠BCD的角平分线CE交AB于点E．若CE∥AD，求∠B的大小；
（3）如图③，作∠ABC和∠DCB的角平分线交于点E，求∠BEC的度数．
七、（本题满分12分）
22．（12分）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
八、（本题满分14分）
23．（14分）定义：如图（1），若分别以△ABC的三边AC，BC，AB为边向三角形外侧作正方形ACDE，BCFG和ABMN，则称这三个正方形为△ABC的外展三叶正方形，其中任意两个正方形为△ABC的外展双叶正方形．
（1）作△ABC的外展双叶正方形ACDE和BCFG，记△ABC，△DCF的面积分别为S1和S2．
①如图（2），当∠ACB＝90°时，求证：S1＝S2．
②如图（3），当∠ACB≠90°时，S1与S2是否仍然相等，请说明理由．
（2）已知△ABC中，AC＝3，BC＝4，作其外展三叶正方形，记△DCF，△AEN，△BGM的面积和为S，请利用图（1）探究：当∠ACB的度数发生变化时，S的值是否发生变化？若不变，求出S的值；若变化，求出S的最大值．
2023-2024学年安徽省芜湖二十九中八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的.
1．（4分）如图，七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板．下列由七巧板拼成的表情图中，是轴对称图形的为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的定义去逐一判断即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，不符合题意，
B、不是轴对称图形，不符合题意，
C、是轴对称图形，符合题意，
D、不是轴对称图形，不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查了利用轴对称设计图案，轴对称图形的定义，正确理解定义是解题的关键．
2．（4分）以下长度的线段能和长度为2，6的线段组成三角形的是（ ）
A．2B．4C．6D．9
【分析】利用三角形三边关系判断即可，两边之和＞第三边＞两边之差．
【解答】解：∵两边的长度为2，6，
∴4＜第三边＜8，
∴能与3，5能组成三角形的是，6，
故选：C．
【点评】考查了三角形三边关系，利用三边关系判断时，常用两个较小边的和与较大的边比较大小．两个较小边的和＞较大的边，则能组成三角形，否则，不可以．
3．（4分）点O是△ABC内一点，OA、OC分别平分∠BAC、∠BCA，∠B＝64°，则∠O＝（ ）
A．116°B．122°C．136°D．152°
【分析】在△ABC中，利用三角形内角和定理，可求出∠BAC+∠BCA的度数，结合角平分线的定义，可得出∠OAC+∠OCA的度数，再在△OAC中，利用三角形内角和定理，即可求出∠O的度数．
【解答】解：在△ABC中，∠B＝64°，
∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠B＝180°﹣64°＝116°．
∵OA、OC分别平分∠BAC、∠BCA，
∴∠OAC＝∠BAC，∠OCA＝∠BCA，
∴∠OAC+∠OCA＝∠BAC+∠BCA＝（∠BAC+∠BCA）＝×116°＝58°．
在△OAC中，∠OAC+∠OCA＝58°，
∴∠O＝180°﹣（∠OAC+∠OCA）＝180°﹣58°＝122°．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键．
4．（4分）下列条件中，不能说明△ABC为等边三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B＝60°B．∠B+∠C＝120°
C．∠B＝60°，AB＝ACD．∠A＝60°，AB＝AC
【分析】根据等边三角形的判定定理可得出答案．
【解答】解：A．∵∠A＝∠B＝60°，
∴∠C＝60°，
∴∠A＝∠B＝∠C，
∴△ABC是等边三角形．
故A选项不符合题意；
B．∵∠B+∠C＝120°，
∴∠A＝60°，
∴△ABC不一定是等边三角形，
故B选项符合题意；
C．∵∠B＝60°，AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形．
故C选项不符合题意；
D．∵∠A＝60°，AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形．
故D选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了等边三角形的判定，三角形内角和定理，能熟记定理的内容是解此题的关键．
5．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝48°．按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB，AC于点E，F；②分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点G；③作射线AG交BC边于点D，则∠ADC的度数为（ ）
A．66°B．62°C．58°D．54°
【分析】由作图方法可得AG是∠CAB的角平分线，进而根据∠BAC＝48°，求得∠CAD，再根据三角形的内角和定理，即可求解．
【解答】解：由题意可知：AG是∠CAB的角平分线，
∵∠BAC＝48°，
∴．
∵∠C＝90°，
∴∠CDA＝90°﹣24°＝66°．
故选：A．
【点评】本题考查作图—角平分线，与角平分线有关的三角形的内角和定理，掌握基本作图是解题的关键．
6．（4分）如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣6，3），则B点的坐标是（ ）
A．（2，4）B．（1，4）C．（3，6）D．（1，5）
【分析】先判断出△ADC≌△CEB，再由全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标．
【解答】解：如图，过A作AD⊥OC于D，过点B作BE⊥OC于E，
∵点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣6，3），
∴OC＝2，AD＝3，OD＝6，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠CAD＝90°∠ACD+∠BCE＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
在△ADC和△CEB中，，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴DC＝BE，AD＝CE＝3，
∴CD＝OD﹣OC＝4，OE＝CE﹣OC＝AD﹣OC＝3﹣2＝1，
∴BE＝6，
∴则B点的坐标是（1，4）
故选：B．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定、坐标与图形特点，本题能根据AAS证明两三角形全等是关键，利用坐标与图形特点根据坐标写出线段的长，反之，能根据线段的长写出B的坐标，注意象限的符号问题．
7．（4分）如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，从点A开始，把若干根相同小棒（AA1＝A1A2＝…）顺次连接摆放在边AB，AC之间，并使小棒两端分别落在边AB，AC上，在△ABC内（不包括边）摆放最后一根小棒时，其端点恰好能与点B或点C重合，则此时△ABC内（不包括边）顺次连接了（ ）
A．3根小棒B．4根小棒C．5根小棒D．6根小棒
【分析】根据等腰三角形的性质及外角定理，列不等式求解．
【解答】解：∵AA1＝A1A2，∠A＝15°，
∴∠A1A2A＝∠A＝15°，
∴∠A2A1C＝∠A+∠A1A2A＝30°，
∴A2A3＝A1A2，
∴∠A2A3A＝∠A2A1C＝30°，
∴∠A2A3C＝∠A+∠A2A3A＝45°，
……，
∴15°n＜（90°﹣15°），
解得：n＜5，
∴n的最大整数解为：4，
故选：B．
【点评】本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键．
8．（4分）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．下列五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤△CPQ是等边三角形．其中正确结论的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】由△ABC和△CDE都是等边三角形，得CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，则∠ACD＝∠BCE＝60°+∠DCB，即可证明△ACD≌△BCE，得AD＝BE，可判断①正确；
由∠BCQ＝180°﹣∠ACB﹣∠DCE＝60°，得∠ACP＝∠BCQ，可证明△APC≌△BQC，得AP＝BQ，可判断③正确；
由CP＝CQ，∠PCQ＝60°，证明△CPQ是等边三角形，可判断⑤正确；
由∠QPC＝∠ACP＝60°，证明PQ∥AE，可判断②正确；
由∠PCD＝60°，∠QCE＝60°，得∠PCD＝∠QCE，可证明△PCD≌△QCE，得DP＝QE，假设DE＝DP，则DE＝QE，根据三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角可推导出∠DCE＜60°，与△CDE是等边三角形相矛盾，可见DE≠DP，可判断④错误，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE＝60°+∠DCB，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠PAC＝∠QBC，∠CDP＝∠CEQ，
故①正确；
∵∠BCQ＝180°﹣∠ACB﹣∠DCE＝60°，
∴∠ACP＝∠BCQ，
在△APC和△BQC中，
，
∴△APC≌△BQC（ASA），
∴AP＝BQ，CP＝CQ，
故③正确；
∵∠PCQ＝60°
∴△CPQ是等边三角形，
故⑤正确；
∵∠QPC＝∠ACP＝60°，
∴PQ∥AE，
故②正确；
∵∠PCD＝60°，∠QCE＝60°，
∴∠PCD＝∠QCE，
在△PCD和△QCE中，
，
∴△PCD≌△QCE（ASA），
∴DP＝QE，
假设DE＝DP，则DE＝QE，
∴∠EQD＝∠EDC＝60°，
∵∠DCE＜∠EQD，
∴∠DCE＜60°，
与已知条件△CDE是等边三角形相矛盾，
∴DE≠DP，
故④错误，
故选：C．
【点评】此题重点考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，正确地找到三对全等三角形并且证明△ACD≌△BCE、△APC≌△BQC、△PCD≌△QCE是解题的关键．
9．（4分）如图所示，在△ABC中，∠A：∠B：∠BCA＝1：2：3，CD⊥AB于D，AB＝12，则DB等于（ ）
A．3B．4C．6D．9
【分析】求出∠A＝30°，在Rt△ACB中，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BC，再在Rt△BDC中，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出DB即可得解．
【解答】解：∵在△ABC中，∠A：∠B：∠BCA＝1：2：3，
∴∠ACB＝90°，∠A＝30°，∠B＝60°，
∵AB＝12，
∴BC＝6，
∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝90°，
∴∠BCD＝30°，
∴BD＝3．
故选：A．
【点评】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．
10．（4分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF分别交AB、AC边于点E、F，点K为EF上一动点，则BK+CK的最小值是以下哪条线段的长度（ ）
A．EFB．ABC．ACD．BC
【分析】连接AK，根据线段垂直平分线的性质得到AK＝BK，求得BK+CK＝AK+CK，得到AK+CK的最小值＝BK+CK的最小值，于是得到当AK+CK＝AC时，AK+CK的值最小，即BK+CK的值最小，即可得到结论．
【解答】解：连接AK，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AK＝BK，
∴BK+CK＝AK+CK，
∴AK+CK的最小值＝BK+CK的最小值，
∵AK+CK≥AC，
∴当AK+CK＝AC时，AK+CK的值最小，即BK+CK的值最小，
∴BK+CK的最小值是线段AC的长度，
故选：C．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，线段垂直平分线的性质，三角形的三边关系，熟知线段垂直平分线的性质是解答此题的关键．
二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）已知点A（a+1，﹣2）与点B（﹣1，1﹣b）关于x轴对称，则a+b＝ ﹣3 ．
【分析】依据横坐标相等，纵坐标互为相反数列式求值即可．
【解答】解：∵点A（a+1，﹣2）与点B（﹣1，1﹣b）关于x轴对称，
∴a+1＝﹣1，1﹣b＝2，
∴a＝﹣2，b＝﹣1，
∴a+b＝﹣1﹣2＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题主要考查了关于x轴对称的点的坐标特征：关于x轴对称的两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数．
12．（5分）如图，直线l1∥l2，将等边三角形如图放置若∠α＝25°，则∠β等于 35° ．
【分析】过点B作直线BD∥l1，交AC于点D，由直线BD∥l1，利用“两直线平行，同位角相等”，可求出∠ABD的度数，结合等边三角形的性质，可求出∠CBD的度数，由直线BD∥l1，直线l1∥l2，可得出直线BD∥l2，再利用“两直线平行，同位角相等”，即可求出∠β的度数．
【解答】解：过点B作直线BD∥l1，交AC于点D，如图所示.
∵直线BD∥l1，
∴∠ABD＝∠α＝25°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝60°﹣25°＝35°．
∵直线BD∥l1，直线l1∥l2，
∴直线BD∥l2，
∴∠β＝∠CBD＝35°．
故答案为：35°．
【点评】本题考查了平行线的性质以及等边三角形的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
13．（5分）如图，在△ABC中，BC＝15厘米，BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长为 15cm ．
【分析】根据平行线的性质可证明△DPB和△EPC为等腰等角线，从而将△PDE的周长转化为BC的长．
【解答】解：∵BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠APB＝∠PBD，∠ACP＝∠PCE，
∵PD∥AB，PE∥AC，
∴∠ABP＝∠BPD，∠ACP＝∠CPE，
∴∠PBD＝∠BPD，∠PCE＝∠CPE，
∴BD＝PD，CE＝PE，
∴△PDE的周长＝PD+DE+PE＝BD+DE+EC＝BC＝15cm．
故答案为：15cm．
【点评】本题考查平行线的性质和等腰三角形的判定与性质，解题关键是根据图形熟练运用平行线的性质进行角的转化．
14．（5分）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条直平分线分别交BC于点D、E．已知△ADE的周长为13cm．
（1）线段BC＝ 13cm ；
（2）分别连接OA、OB、OC，若∠DOE＝80°，则∠BAC＝ 100° ．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得DA＝DB，EA＝EC，即可得到BC＝DB+DE+EC＝AD+DE+EA＝13cm；
（2）根据四边形内角和定理即可解决问题．
【解答】解：（1）∵OM是线段AB的垂直平分线，ON是线段AC的垂直平分线，
∴DA＝DB，EA＝EC，
∵△ADE的周长13cm，
∴DA+DE+EA＝13cm，
∴BC＝DB+DE+EC＝DA+DE+EA＝13（cm），
故答案为：13cm；
（2）如图，
∵OM⊥AB，ON⊥AC，
∴∠OMA＝∠ONA＝90°，
∵∠DOE＝80°，
∴∠BAC＝360°﹣90°﹣90°﹣80°＝100°，
故答案为：100°．
【点评】本题主要考查了垂直平分线的性质，熟记线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解决问题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）（1）若多边形的内角和为1620°，求此多边形的边数；
（2）一个n边形的每个外角都相等，如果它的内角与相邻外角的度数之比为3：1，求n的值．
【分析】（1）根据多边形的内角和计算公式作答；
（2）先根据多边形的内角和外角的关系，求出一个外角．再根据外角和是固定的360°，从而可代入公式求解．
【解答】解：（1）设此多边形的边数为n，则
（n﹣2）•180°＝1620，
解得n＝11．
故此多边形的边数为11；
（2）设多边形的一个内角为3x度，则一个外角为x度，依题意得
3x+x＝180，
解得x＝45．
360°÷45°＝8．
故这个多边形的边数是8．
【点评】考查了多边形的内角和定理，多边形的内角和外角的关系，外角和是固定的360°．
16．（8分）如图所示的坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标依次为A（﹣1，2），B（﹣4，1），C（﹣2，﹣2）．
（1）请在这个坐标系中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）分别写出A1、B1、C1的坐标；
（3）求△ABC的面积．
【分析】（1）分别作出点A，B，C关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可得；
（2）由（1）中所作图形可得答案；
（3）利用割补法求解可得．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．
（2）由图知，A1的坐标为（1，2）、B1的坐标为（4，1）、C1的坐标为（2，﹣2）；
（3）△A1B1C1的面积为3×4﹣×1×4﹣×1×3﹣×2×3＝．
【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）△ABC中，AD为BC边上的中线，已知AB＝5，AC＝3，求线段AD的长的取值范围．
【分析】延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，证△ADC≌△EDB，推出EB＝AC，根据三角形的三边关系定理求出即可．
【解答】解：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∵BD＝CD，∠ADC＝∠BDE，AD＝DE，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴EB＝AC，根据三角形的三边关系定理：
5﹣3＜AE＜5+3，
∴1＜AD＜4．
故线段AD的长的取值范围为：1＜AD＜4．
【点评】本题主要考查对全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，能推出5﹣3＜AE＜5+3是解此题的关键．
18．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE＝CE．求证：
（1）△AEF≌△CEB；
（2）AF＝2CD．
【分析】（1）由AD⊥BC，CE⊥AB，易得∠AFE＝∠B，利用全等三角形的判定得△AEF≌△CEB；
（2）由全等三角形的性质得AF＝BC，由等腰三角形的性质“三线合一”得BC＝2CD，等量代换得出结论．
【解答】证明：（1）∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠BCE+∠CFD＝90°，∠BCE+∠B＝90°，
∴∠CFD＝∠B，
∵∠CFD＝∠AFE，
∴∠AFE＝∠B
在△AEF与△CEB中，
，
∴△AEF≌△CEB（AAS）；
（2）∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BC＝2CD，
∵△AEF≌△CEB，
∴AF＝BC，
∴AF＝2CD．
【点评】本题主要考查了全等三角形性质与判定，等腰三角形的性质，运用等腰三角形的性质是解答此题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）小明在学习中遇到这样一个问题：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交BC的延长线于点E，猜想∠B、∠ACB、∠E的数量关系．
（1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试从具体的情况开始探索，若∠B＝35°，∠ACB＝85°．则∠E＝ 25 ．
（2）小明继续探究，设∠B＝α，∠ACB＝β（B＞α），当点P在线段AD上运动时，求∠E的大小．（用含α、β的代数式表示）
【分析】（1）先根据三角形的内角和定理求得∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求得∠DAC的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出∠ADC的度数，进一步求得∠E的度数；
（2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系．
【解答】解：（1）∵∠B＝35°，∠ACB＝85°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC＝30°，
∴∠PDE＝∠B+∠BAD＝65°，
∵PE⊥AD，
∴∠E＝90°﹣∠PDE＝25°；
故答案为：25；
（2）数量关系：∠E＝（∠ACB﹣∠B）；理由如下：
设∠B＝α，∠ACB＝β，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，
∵∠B+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴∠CAB＝180°﹣α﹣β．
∴∠BAD＝（180°﹣x﹣y）．
∴∠PDE＝∠B+∠BAD＝α+（180°﹣α﹣β）＝90°+（α﹣β），
∵PE⊥AD，
∴∠PDE+∠E＝90°，
∴∠E＝90°﹣[90°+（α﹣β）]＝（β﹣α）．
【点评】此题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的外角的性质，直角三角形的性质等知识，本题综合性强，有一定难度．
20．（10分）如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ＝3，PE＝1．
（1）求证：AD＝BE；
（2）求AD的长．
【分析】（1）根据等边三角形的三条边都相等可得AB＝CA，每一个角都是60°可得，∠BAE＝∠ACD＝60°，然后利用“边角边”证明△ABE和△CAD全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠CAD＝∠ABE，然后求出∠BPQ＝60°，再根据直角三角形两锐角互余求出∠PBQ＝30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BP＝2PQ，再根据AD＝BE＝BP+PE代入数据进行计算即可得解．
【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝CA＝BC，∠BAE＝∠ACD＝60°；
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴AD＝BE；
（2）解：∵△ABE≌△CAD，
∴∠CAD＝∠ABE，
∴∠BPQ＝∠ABE+∠BAD＝∠BAD+∠CAD＝∠BAE＝60°；
∵BQ⊥AD，
∴∠AQB＝90°，
∴∠PBQ＝90°﹣60°＝30°，
∵PQ＝3，
∴在Rt△BPQ中，BP＝2PQ＝6，
又∵PE＝1，
∴AD＝BE＝BP+PE＝6+1＝7．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，熟记性质并求出BP＝2PQ是解题的关键．
六、（本题满分12分）
21．（12分）在四边形ABCD中，∠A＝100°，∠D＝140°．
（1）如图①，若∠B＝∠C，则∠B＝ 60 度；
（2）如图②，作∠BCD的角平分线CE交AB于点E．若CE∥AD，求∠B的大小；
（3）如图③，作∠ABC和∠DCB的角平分线交于点E，求∠BEC的度数．
【分析】（1）根据四边形内角和为360°解决问题；
（2）由CE∥AD推出∠DCE+∠D＝180°，所以∠DCE＝40°，根据CE平分∠BCD，推出∠BCD＝80°，再根据四边形内角和为360°求出∠B度数；
（3）根据多边形内角和公式，角平分线定义求解即可．
【解答】解：（1）∵∠A＝100°，∠D＝140°，∠B＝∠C，
∴∠B＝∠C＝×（360°﹣100°﹣140°）＝60°，
故答案为60；
（2）∵CE∥AD，
∴∠DCE+∠D＝180°，
∵∠D＝140°，
∴∠DCE＝40°，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCD＝80°，
∴∠B＝360°﹣（100°+140°+80°）＝40°；
（3）在四边形ABCD中，∠A＝100°，∠D＝140°，
∴∠ABC+∠BCD＝360°﹣（100°+140°）＝120°，
∵∠ABC和∠BCD的角平分线交于点E，
∴∠EBC+∠ECB＝60°，
∴∠BEC＝180°﹣60°＝120°．
【点评】本题考查了多边形内角与外角以及平行线的性质，熟练运用多边形内角性质和平行线的性质是解题的关键．
七、（本题满分12分）
22．（12分）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
【分析】（1）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得证；
（2）根据全等易得∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，结合（1）中的结论可得∠ADO为90°，那么可得所求三角形的形状；
（3）根据题中所给的全等及∠AOB的度数可得∠AOD的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可．
【解答】证明：（1）∵△BOC≌△ADC，
∴OC＝DC，
∵∠OCD＝60°，
∴△OCD是等边三角形．
解：
（2）△AOD是直角三角形．
理由如下：
∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC＝60°，
∵△BOC≌△ADC，α＝150°，
∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，
∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°，
∴△AOD是直角三角形．
（3）∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝∠ODC＝60°．
∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α，
∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，
∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°，
∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°．
①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°，
∴α＝125°．
②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°，
∴α＝140°．
③当∠ADO＝∠OAD时，
α﹣60°＝50°，
∴α＝110°．
综上所述：当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．
【点评】综合考查了全等三角形的性质及等腰三角形的判定；注意应分类探讨三角形为等腰三角形的各种情况．
八、（本题满分14分）
23．（14分）定义：如图（1），若分别以△ABC的三边AC，BC，AB为边向三角形外侧作正方形ACDE，BCFG和ABMN，则称这三个正方形为△ABC的外展三叶正方形，其中任意两个正方形为△ABC的外展双叶正方形．
（1）作△ABC的外展双叶正方形ACDE和BCFG，记△ABC，△DCF的面积分别为S1和S2．
①如图（2），当∠ACB＝90°时，求证：S1＝S2．
②如图（3），当∠ACB≠90°时，S1与S2是否仍然相等，请说明理由．
（2）已知△ABC中，AC＝3，BC＝4，作其外展三叶正方形，记△DCF，△AEN，△BGM的面积和为S，请利用图（1）探究：当∠ACB的度数发生变化时，S的值是否发生变化？若不变，求出S的值；若变化，求出S的最大值．
【分析】（1）由正方形的性质可以得出AC＝DC，BC＝FC，∠ACB＝∠DCF＝90°，就可以得出△ABC≌△DFC而得出结论；
（2）如图3，过点A作AP⊥BC于点P，过点D作DQ⊥FC交FC的延长线于点Q，通过证明△APC≌△DQC就有DQ＝AP而得出结论；
（3）如图1，根据（2）可以得出S＝3S△ABC，要使S最大，就要使S△ABC最大，当∠AVB＝90°时S△ABC最大，就可以求出结论．
【解答】（1）证明：如图1，∵正方形ACDE和正方形BCFG，
∴AC＝DC，BC＝FC，∠ACD＝∠BCF＝90°，
∵∠ACB＝90°，∴∠DCF＝90°，
∴∠ACB＝∠DCF＝90°．
在△ABC和△DFC中，
，
∴△ABC≌△DFC（SAS）．
∴S△ABC＝S△DFC，
∴S1＝S2．
（2）S1＝S2．
理由如下：
解：如图3，过点A作AP⊥BC于点P，过点D作DQ⊥FC交FC的延长线于点Q．
∴∠APC＝∠DQC＝90°．
∵四边形ACDE，BCFG均为正方形，
∴AC＝CD，BC＝CF，
∵∠ACP+∠ACQ＝90°，∠DCQ+∠ACQ＝90°．
∴∠ACP＝∠DCQ．
在△APC和△DQC中
，
∴△APC≌△DQC（AAS），
∴AP＝DQ．
∴BC×AP＝DQ×FC，
∴BC×AP＝DQ×FC
∵S1＝BC×AP，S2＝FC×DQ，
∴S1＝S2；
（3）由（2）得，S是△ABC面积的三倍，
要使S最大，只需三角形ABC的面积最大，
∴当△ABC是直角三角形，即∠ACB＝90°时，S有最大值．
此时，S＝3S△ABC＝3××3×4＝18．
【点评】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，直角三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时证明三角形全等是关键．