2023~2024学年八年级上册期中复习数学卷（浙教版）

这是一份2023~2024学年八年级上册期中复习数学卷（浙教版），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，作图题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．下列图标是节水、绿色食品、回收、节能的标志，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列长度的三条线段，首尾顺次相连能组成三角形的是（ ）
A．2，3，6B．4，4，8C．5，9，14D．6，12，13
3．若点 A(m−n,m−2n) 与点 B(m−3n,1−12m) 关于 y 轴对称，则点 P(m,n) 所在象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．某品牌自行车进价为每辆800元，标价为每辆1 200元．店庆期间，商场为了答谢顾客，进行打折促销活动，但是要保证利润率不低于5%，则最多可打（ ）折．
A．六B．七C．八D．九
5．根据下列已知条件，能画出惟一的△ABC的是（ ）
A．AB=3cm，BC=7cm，AC=4cm
B．AB=3cm，BC=7cm，∠C=40°
C．∠A=30°，AB=3cm，∠B=100°
D．∠A=30°，∠B=100°，∠C=50°
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于 12 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D.若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积为（ ）
A．15B．30C．45D．60
7．下列命题：①全等三角形的对应角相等；②线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；③等腰三角形的两个底角相等．其中逆命题是真命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
8．如图，AF//CD，CB平分∠ACD，BD平分∠EBF，且BC⊥BD，下列结论：
①BC平分∠ABE；②AC//BE；③∠CBE+∠D=90°；④∠DEB=2∠ABC，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，且BD⊥AC，F在BC上，E为AF的中点，连接DE，若BF=DE，AC=23DE，BD=6，则AB的长为（ ）
A．36B．43C．42D．9
10．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点Q是直线y=3x上的一个动点，以AQ为边，在AQ的右侧作等边△APQ，使得点P落在第一象限，连接OP，则OP+AP的最小值为（ ）
A．6B．43C．8D．63
二、填空题
11．已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a+b−c|+|a−b−c|的结果为 ．
12．如图，在△ABC中，∠1=100°，∠C=80°，∠2=12∠3，BE平分∠ABC.则∠4的度数为 ．
13．如图，已知圆柱的底面直径BC为6π，高AB为5，一只小虫在圆柱表面爬行，从C点爬到A点，则这只小虫爬行的最短路程是 ．
14．如图所示，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分别是AB、AC的垂直平分线，点E和点N在BC上，则∠EAN= ．
15．关于x的不等式组2x−3≤5−x+a<2只有4个整数解，则a的取值范围是 ．
16．Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点．
（1）如图1，若DE⊥BC与E，DF⊥AC于F，DF=4，则AB= ；
（2）如图2，若点P是CD的中点，且CP=52，PA2+PB2= ．
三、计算题
17．解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来：
（1）x+1>010−2x>0
（2）5x−1>3(x+1)2x−13−5x+12≤1
四、作图题
18．如图，在3×6的方格纸中，已知格点P和线段AB.
⑴画一个锐角三角形（顶点均在格点上且不与点A，B重合），使P为其中一边的中点.
⑵再画出该三角形关于直线AB对称的图形.
五、解答题
19．已知：如图，点D为线段BC上一点，BD=AC，∠E=∠ABC，DE∥AC．求证：DE=BC．
20．如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，满足CD=BA，过点C作CE//AB，且CE=BC，连接DE并延长，分别交AC，AB于点F，G．
（1）求证：△ABC≌△DCE；
（2）若BD=12，AB=2CE，求BC的长度．
21．某旅游景点的一个商场为了抓住国庆节长假这一旅游旺季的商机，决定购进甲，乙两种纪念品，若购进甲种纪念品1件、乙种纪念品2件，需要160元；购进甲种纪念品2件，乙种纪念品3件，需要280元.
（1）购进甲乙两种纪念品每件各需要多少元?
（2）该商场决定购进甲乙两种纪念品共100件，并且考虑市场需求和资金周转，用于购买这些纪念品的资金不少于6000元，同时甲种纪念品又不能超过60件，则该商场共有几种进货方案?
（3）若销售每件甲种纪念品可获利30元，每件乙种纪念品可获利12元，在第（2）问中的各种进货方案中，哪种方案获利最大?最大利润是多少元?
22． 下面是小明同学证明定理时使用的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
23．已知△ABC中，AB=AC，BM⊥AC于点M，点D在直线BC上，DE⊥AB，垂足为点E，DF⊥AC，垂足为点F．
（1）如图1，点D在边BC上时，小明同学利用①三角形全等知识和②图形等面积法两种方法发现了DE，DF，BM三线段之间的数量关系，请直接写出三线段之间的数量关系是 ；
（2）如图2，图3，当点D在点B左边或者在点C右边的直线上时，问题（1）中DE，DF，BM三线段的数量关系是否还成立？若成立请选择一个图形进行证明，若不成立，请在图2或图3中选择一个图形，写出三线段新的数量关系，并进行证明．
24．已知△ABC．
（1）如图1，按如下要求用尺规作图：
①作出△ABC的中线CD；
②延长CD至E，使DE=CD，连接AE；（不要求写出作法，但要保留作图痕迹．）
（2）如图2，若∠ACB=90°，CD是中线．试探究CD与AB之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若∠ACB=45°，AC=BC，CD是△ABC的中线，过点B作BE⊥AC于E，交CD于点F，连接DE．若CF=4，求DE的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、此选项中的图案是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、此选项中的图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、此选项中的图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，据此一一判断得出答案.
2．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A.2+3<6，A选项不能构成三角形，不符合题意；
B.4+4=8，B选项不能构成三角形，不符合题意；
C.5+9=14，C选项不能构成三角形，不符合题意；
D.6+12=18>13，D选项能构成三角形，符合题意；
故答案为：D
【分析】利用三角形三边的关系逐项判断即可。
3．【答案】A
【知识点】点的坐标；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A和点B关于y轴对称，
∴m−n+m−3n=0m−2n=1−12m ，解得 m=2n=1 ，
∴P(2,1) 在第一象限.
故答案为：A.
【分析】关于y轴对称点坐标的特征：横坐标互为相反数，纵坐标相等，据此得出方程组，求出解即可.
4．【答案】B
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】设自行车最多可以打x折，
根据题意可得：1200×x10−800≥800×5%，
解得：x≥7，
∴自行车最多可以打七折，
故答案为：B.
【分析】设自行车最多可以打x折，根据“保证利润率不低于5%”列出不等式1200×x10−800≥800×5%，再求解即可.
5．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；作图-三角形
【解析】【解答】解：A、虽然是边边边，但是三角形的一边得长等于另两边的和，因此构不成三角形，故不能；
B、已知的是AB和BC，如果按全等三角形的判定依据，只有知道∠B的值才能确定全等，故不能；
C、符合全等三角形的ASA，故能作出唯一的三角形；
D、知道3个角的度数，只能证明相似，不能得到全等．故不能；
故选C．
【分析】考虑是否符合符合三角形全等的判定依据即可．
6．【答案】B
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：作DE⊥AB于E，
由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=DC=4，
∴△ABD的面积= 12 ×AB×DE=30，
故答案为：B.
【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE=DC=4，根据三角形的面积公式计算即可.
7．【答案】C
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：①全等三角形的对应角相等，其逆命题为：三个角对应相等的三角形全等，逆命题是假命题；
②线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，其逆命题为：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，逆命题是真命题；
③等腰三角形的两个底角相等，其逆命题为：两角相等的三角形是等腰三角形，逆命题是真命题.
故答案为：C．
【分析】一个命题包括题设与结论两部分，将一个命题的题设与结论互换位置，即可得出该命题的逆命题，据此分别得出原命题的逆命题，再根据全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质一一判断即可．
8．【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】解：①由题意可得：
∠EBD=∠FBD
∵BC⊥BD
∴∠CBE+∠EBD=90°
∴∠ABC+∠FBD=90°
∴∠CBE=∠ABC
∴ BC平分∠ABE
①正确
②∵AF∥CD
∴∠ABC=∠BCE
∵CB平分∠ACD
∴∠BCE=∠ACB
∴∠ABC=∠ACB
∵∠CBE=∠ABC
∴∠CBE=∠ACB
∴AC∥BE
②正确
③∵AF∥CD
∴∠D=∠DBF
∵∠EBD=∠FBD
∴∠D=∠EBD
∵∠CBE+∠EBD=90°
∴∠CBE+∠D=90°
③正确
④∵BD平分∠EBF
∴∠ABC=∠CBE
∵AF∥CD
∴∠BCE=∠ABC
∵∠DEB=∠BCE+∠CBE
∴∠DEB=2∠ABC
④正确
故答案为：D
【分析】根据平行线的判定定理和性质，垂直定义，角平分线性质，三角形的内角和定理即可求出答案。
9．【答案】A
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定（ASA）；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵BD平分∠ABC交AC于点D，且BD⊥AC，
∴∠ABD=∠CBD，∠ADB=∠CDB=90°，
又BD=BD，
∴△ABD≌△CBD(ASA)，
∴AD=CD，AB=BC，
∵E为AF的中点，
∴CF=2DE，
设DE=a，则AC=23a，AD=CD=3a，BF=DE=a，
∴AB=BC=3a，
在Rt△ABD中，(3a)2=(3a)2+62，
解得a=6，
∴AB=36，
故答案为：A.
【分析】根据角平分线的概念可得∠ABD=∠CBD，根据垂直的概念可得∠ADB=∠CDB=90°，利用ASA证明△ABD≌△CBD，得到AD=CD，AB=BC，由中点的概念可得CF=2DE，设DE=a，则AC=23a、AD=CD=3a、BF=DE=a，AB=BC=3a，然后在Rt△ABD中，根据勾股定理求出a的值，进而可得AB的长.
10．【答案】C
【知识点】平行线的判定；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，作∠OAM＝60°，边AM交直线OQ于点M，作直线PM，
由直线y=3x可知，∠MOA＝60°，
∴∠MOA＝∠OAM＝60°，
∴△OAM是等边三角形，
∴OA＝OM，
∵△APQ是等边三角形，
∴AQ＝AP，∠PAQ＝60°，
∴∠OAQ＝∠MAP，
∴△OAQ≌△MAP（SAS），
∴∠QOA＝∠PMA＝60°＝∠MAO，
∴PM∥x轴，即点P在直线PM上运动，
过点O关于直线PM的对称点B，连接AB，AB即为所求最小值，
此时，在Rt△OAB中，OA＝4，∠BAO＝60°，
∴∠OBA＝30°，
∴AB＝2OA＝8.
故答案为：C.
【分析】如图，作∠OAM＝60°，边AM交直线OQ于点M，作直线PM，易证△OAM是等边三角形，根据等边三角形的性质得OA＝OM，AQ＝AP，∠PAQ＝60°，从而利用SAS证明△OAQ≌△MAP，根据全等三角形的性质得∠QOA＝∠PMA＝60°＝∠MAO，从而得出PM∥x轴，即点P在直线PM上运动，再根据轴对称最值问题，作点O关于直线PM的对称点B，连接AB，根据含30度角直角三角形的性质，求出AB的长即可．
11．【答案】2b
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵a，b，c是△ABC的三条边长，
∴a+b-c＞0，a-b-c＜0，
∴|a+b-c|+|a-b-c|
=a+b-c-a+b+c
=2b．
故答案为：2b．
【分析】根据三角形的三边关系可得a+b-c＞0，a-b-c＜0，利用绝对值的性质进行化简即可.
12．【答案】45°
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【解答】∵∠1是△ACD的外角，
∴∠1=∠C+∠3，
∵∠1=100°，∠C=80°，
∴∠3=∠1-∠C=100°-80°=20°，
∵∠2=12∠3，
∴∠2=12∠3=12×20°=10°，
∴∠ABC=180°-（∠C+∠BAC）=180°-（∠C+∠2+∠3）=180°-（80°+10°+20°）=70°，
∵BE平分∠ABC.
∴∠ABE=12∠ABC=12×70°=35°，
∴∠4=∠2+∠ABE=10°+35°=45°，
故答案为：45°.
【分析】先利用三角形的内角和求出∠3的度数，再求出∠2的度数，再利用三角形的内角和求出∠ABC的度数，利用角平分线的定义求出∠ABE的度数，最后利用三角形的外角求出∠4的度数即可.
13．【答案】34
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解：把圆柱侧面展开，点A、C的最短距离为线段AC的长，如图所示：
∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=5，圆柱的底面直径BC为6π，
∴BC=12×π×6π=3，
∴AC=AB2+BC2=52+32=34，
∴一只小虫在圆柱表面爬行，从C点爬到A点，则这只小虫爬行的最短路程为34，
故答案为：34．
【分析】将立体几何转换为平面几何，再利用勾股定理求出AC的长即可。
14．【答案】32°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠BAC=106°，
∴∠B+∠C=180°−106°=74°，
∵EF垂直平分AB，MN垂直平分AC，
∴AE=BE，AN=CN，
∴∠B=∠BAE，∠C=∠NAC，
∴∠BAE+∠NAC=∠B+∠C=74°，
∴∠EAN=106°−74°=32°.
故答案为：32°.
【分析】根据三角形内角和定理求出∠B+∠C度数，利用线段垂直平分线的性质得AE=BE，AN=CN，由等边对等角得∠B=∠BAE，∠C=∠NAC，从而求出∠BAE+∠NAC度数，进而根据角的和差求得∠EAN度数.
15．【答案】2【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解： 解不等式2x−3≤5，得x≤4，
解不等式−x+a<2，得a-2＜x，
∴不等式组的解为：a-2＜x≤4，
∵关于x的不等式组2x−3≤5−x+a<2只有4个整数解，
∴这4个整数分别是4，3，2，1，
∴0≤a−2<1
解得2故答案为：2【分析】先解得不等式组的解，再根据整数解的个数，列出关于待定字母的不等式组（连不等式），解这个不等式组（连不等式）即可.
16．【答案】（1）10
（2）62.5
【知识点】勾股定理；直角三角形的性质；三角形的综合
【解析】【解答】解：（1）∵DE⊥BC，DF⊥AC，
∴∠DEF=∠DFC=∠ACB=90°，
∴四边形DECF为矩形，
∴DE=CF=3，
在Rt△DFC中，由勾股定理可得CD=5，
∵D点是斜边AB的中点，
∴AB=2CD=10；
故答案为：10.
（2）过点D作DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，过点P作PG⊥BC，PH⊥AC，垂足分别为G，H，则四边形CGPH为矩形，如图：
∴PG=CH，CG=PH，
∵D点是Rt△ABC的斜边AB的中点，
∴CD=BD，
∴BE=CE，
∵P点为CD的中点，DE⊥BC，PG⊥BC，
∴点G是CE的中点，
∴CE=2EG=2CG，
∴BE=CE=2EG，
∴BG=BE+EG=3EG=3CG=3PH，
同理可得到AH=3PG，
∴PA2+PB2=BG2+PG2+AH2+PH2=（3PH）2+PG2+（3PG）2+PH2=10×522=62.5，
故答案为：62.5.
【分析】（1）先利用勾股定理求出CD的长，再利用直角三角形斜边上中线的性质可得AB=2CD=10；
（2）先利用矩形的性质和直角三角形斜边上中线的性质求出BG=3PH，AH=3PG，再将其代入PA2+PB2计算即可.
17．【答案】（1）解：x+1>0①10−2x>0②，
解不等式①得：x>−1
解不等式②得：x<5
所以不等式组的解集为−1把解集在数轴上表示出来，如图：
（2）解：5x−1>3(x+1)①2x−13−5x+12≤1②
解不等式①得x>2，
解不等式②得x≥−1
所以不等式组的解集为x>2，
把解集在数轴上表示出来，如图：
【知识点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】（1）按照大小小大取中间，先求出不等式组的解集，然后将解集表示在数轴上即可；
（2）按照同大取大的技巧，先求出不等式组的解集，然后将解集表示在数轴上即可.
18．【答案】解：⑴如图所示，△DCE即为所求（答案不唯一）；
⑵如图所示，△FGH即为所求.
【知识点】作图﹣轴对称；作图-三角形
【解析】【分析】（1）锐角三角形的三个角均为锐角，据此作图；
（2）分别找出锐角三角形的三个顶点关于直线AB的对称点，然后顺次连接即可.
19．【答案】证明：∵DE∥AC，
∴∠EDB=∠C，
∵∠EDB=∠C∠E=∠ABCBD=AC，
∴△BED≌△ABC(AAS)，
∴DE=BC．
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】根据两直线平行，同位角相等得到∠EDB=∠C，结合∠E=∠ABC，BD=AC，由AAS即可得到△BED≌△ABC，由全等三角形的对应边相等即可得到证明．
20．【答案】（1）证明：∵CE//AB，
∴∠B=∠ECD，
在△ABC与△DCE中，
AB=CD∠B=∠ECDBC=CE，
∴△ABC≌△DCE(SAS)
（2）解：∵△ABC≌△DCE，∴AB＝DC，BC＝CE，
∵AB＝2CE，∴CD＝2BC，
∴BD＝CD+BC＝3BC
∵BD＝12
∴BC＝4
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】
（1）结合已知条件用SAS证明即可。
（2）根据三角形全等可得出AB＝DC，BC＝CE，再结合AB＝2CE推导出CD＝2BC，BD＝3BC，从而推导出结果。
21．【答案】（1）解：设购进甲种纪念品每件需要x元，购进乙种纪念品每件需要y元，
根据题意，得x+2y=1602x+3y=280，
解得x=80y=40，
答：购进甲种纪念品每件需要80元，购进乙种纪念品每件需要40元；
（2）解：设购进甲种纪念品m件，则购进乙种纪念品(100-m)件，
根据题意得80m+40100−m≥6000m≤60，
解得50≤m≤60，
∵m为整数，
∴m=50，51，52，53，54，55，56，57，58，59，60，
∴该商场共有11种进货方案；
（3）解：设利润为w元，
则w=30m+12（100-m）=18m+1200，
∴当m取最大值时，w最大，
∴当m=60时，获得利润最大，最大利润w=18×60+1200=2280元，
答：购进甲种纪念品60件，乙种纪念品40件时获利最大，最大利润是2280元.
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】 （1）设购进甲种纪念品每件需要x元，购进乙种纪念品每件需要y元，根据题意列出方程组，解方程组求出x，y的值，即可得出答案；
（2）设购进甲种纪念品m件，则购进乙种纪念品(100-m)件，根据题意列出不等式组，解不等式组求出m的取值范围，再求出其整数解，即可得出答案；
（3）设利润为w元，根据题意列出w关于m的关系式，得出当m取最大值时，w最大，把m=60代入关系式进行计算，即可得出答案.
22．【答案】解：若选择方法一：
如图：延长BC到点D，使得CD=BC，连接AD，
∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，
∴∠B=90°−∠BAC=60°，∠ACD=180°−∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠ACB=90°，
∵AC=AC，
∴△BCA≌△DCA(SAS)，
∴AD=AB，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB=BD，
∵BC=CD=12BD，
∴BC=12AB；
若选择方法二：
如图，在线段AB上取一点D，使得BD=BC，连接CD，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=90°−∠A=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BC=BD=DC，∠BCD=60°，
∴∠DCA=∠ACB−∠BCD=30°，
∴∠DCA=∠A=30°，
∴DC=DA，
∴BC=BD=DA=12AB，
即BC=12AB．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】方法一：先利用“SAS”证出△BCA≌△DCA，可得AD=AB，再证出△ABD是等边三角形，可得AB=BD，再结合BC=CD=12BD，即可得到BC=12AB；
方法二：在线段AB上取一点D，使得BD=BC，连接CD，先求出∠DCA=∠A=30°，利用等角对等边的性质可得DC=DA，再求出BC=BD=DA=12AB即可.
23．【答案】（1）BM=DE+DF
（2）解：不成立．连接AD．当点D在点B左边的直线上时，如图．
∵SΔACD−SΔABD=SΔABC，
∴12AC⋅DF−12AB⋅DE=12AC⋅BM，
∵AB=AC，
∴DF−DE=BM；
当点D点C右边的直线上时，如图．
∵SΔABD−SΔACD=SΔABC，
∴12AB⋅DE−12AC⋅DF=12AC⋅BM，
∵AB=AC，
∴DE−DF=BM．
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：（1）连接AD，如图，
∵S△ABC=S△ABD+S△ACD，
∴12AC·BM=12AB·DE+12AC·DF，
∵AB=AC，
∴BM=DE+DF，
故答案为：BM=DE+DF.
【分析】（1）连接AD，根据S△ABC=S△ABD+S△ACD，可得12AC·BM=12AB·DE+12AC·DF，由AB=AC可得BM=DE+DF；
（2） 选图2，连接AD．根据SΔACD−SΔABD=SΔABC，可得12AC⋅DF−12AB⋅DE=12AC⋅BM，由AB=AC可得DF−DE=BM；
选图3，连接AD，由SΔABD−SΔACD=SΔABC，可得12AB⋅DE−12AC⋅DF=12AC⋅BM，由AB=AC可得DE−DF=BM．
24．【答案】（1）解：①如图1所示，线段CD即为所求．
作法：1．分别以A，B为圆心，大于12AB为半径画弧，交于两点，
2．连接这两点与AB交于点D，
3．连接CD，
线段CD即为所求．
②如图1中，线段DE，AE即为所求．
作法：1．延长线段CD至点E，使DE=CD，
2．连接AE，
线段DE，AE即为所求；
（2）解：AB与CD的数量关系是：AB=2CD，理由如下：
如图，延长CD至E，使DE=DC，连接BE，
∵CD是中线，
∴AD=BD，
在△ADC和△BDE中，
AD=BD∠ADC=∠BDEDC=DE，
∴△ADC≌△BDE(SAS)，
∴∠E=∠ACD，AC=BE，
∴AC∥BE，
∴∠ACB+∠EBC=180°，
∵∠ACB=90°，
∴∠EBC=90°，
在△ACB和△EBC中，
AC=BE∠ACB=∠EBCCB=BC，
∴△ACB≌△EBC(SAS)，
∴AB=CE，
∵CE=2CD，
∴AB=2CD．
（3）解：如图3中，
∵BE⊥AC，∠ACB=45°，
∴∠CEB=∠BEA=90°，∠ECB=∠EBC=45°，
∴EC=EB，
∵AC=BC，CD是中线，
∴CD⊥AB，
∵∠CEF=∠BDF=90°，∠CFE=∠BFD，
∴∠ECF=∠ABE，
在△CEF和△BEA中，
∠ECF=∠EBACE=BE∠CEF=∠BEA，
∴△CEF≌△BEA(ASA)，
∴CF=AB=4，
∵AD=BD，∠AEB=90°，
∴DE=12AB=2．
【知识点】平行线的性质；三角形的角平分线、中线和高；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）①先分别以A，B为圆心，大于12AB为半径画弧，交于两点，然后连接这两点与AB交于点D，进而连接CD，线段CD即为所求；
②如图1中，线段DE，AE即为所求；
（2）AB与CD的数量关系是：AB=2CD，理由如下：延长CD至E，使DE=DC，连接BE，先根据中线的性质即可得到AD=BD，进而根据三角形全等的判定与性质证明△ADC≌△BDE(SAS)即可得到∠E=∠ACD，AC=BE，再根据平行线的性质结合题意即可得到∠EBC=90°，进而证明△ACB≌△EBC(SAS)即可得到AB=CE，从而结合题意即可求解；
（3）如图3，先根据三角形中线的性质结合题意即可得到∠ECF=∠ABE，进而证明△CEF≌△BEA(ASA)即可得到CF=AB=4，再根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求解。定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．
求证：BC=12AB．
方法一
证明：如图，延长BC到点D，使得CD=BC，连接AD．
方法二
证明：如图，在线段AB上取一点D，使得BD=BC，连接CD．