黑龙江省哈尔滨第九中学2022届高三第二次模拟考试数学（理）试题(含答案)

这是一份黑龙江省哈尔滨第九中学2022届高三第二次模拟考试数学（理）试题(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2、已知某公交车早晨5点开始运营，每分钟发一班车，小张去首发站坐车，等车时间少于5分钟的概率为( )
A.B.C.D.
3、若x，y满足约束条件，则的最小值为( )
A.1B.2C.3D.4
4、已知抛物线的焦点是F，点P的坐标为.若，则a的值是( )
A.4B.3C.4或-4D.3或
5、已知数列满足，，且.若，则正整数( )
A.B.C.D.
6、年1月3日，嫦娥四号探测器在月球背面预选着陆区成功软着陆，并通过鹊桥中继卫星传回了世界第一张近距离拍摄的月背影像图，揭开了古老月背的神秘面纱.如图所示，地球P和月球Q都绕地月系质心O做圆周运动，，，设地球质量为M，月球质量为m，地月距离为R，万有引力常数为G，月球绕O做圆周运动的角速度为，且，则( )
A.B.
C.D.
7、有甲、乙、丙、丁四位同学竞选班长，其中只有一位当选.有人走访了四位同学，甲说：“是乙或丙当选”，乙说：“甲、丙都未当选”，丙说：“我当选了”，丁说：“是乙当选了”，若四位同学的话只有两句是对的，则当选的同学是( )
A.甲B.乙C.丙D.丁
8、函数在区间上的所有零点之和等于( )
A.B.0C.3D.2
9、习近平总书记在全国教育大会上发表重要讲话，称教育是国之大计，党之大计.哈九中落实讲话内容，组织研究性学习.在研究性学习成果报告会上，有A、B、C、D、E、F共6项成果要汇报，如果B成果不能最先汇报，而A、C、D按先后顺序汇报（不一定相邻），那么不同的汇报安排种数为( )
A.100B.120C.300D.600
10、窗的运用是中式园林设计的重要组成部分，在表现方式上常常运用象征、隐喻、借景等手法，将民族文化与哲理融入其中，营造出广阔的审美意境.从窗的外形看，常见的有圆形、菱形、正六边形、正八边形等.已知圆O是某窗的平面图，O为圆心，点A在圆O的圆周上，点P是圆O内部一点，若，且，则的最小值是( )
A.3B.4C.9D.16
11、偶函数满足，当时，，不等式在上有且只有100个整数解，则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
12、在钝角中，a，b，c分别是的内角A，B，C所对的边，点G是的重心，若，则的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、填空题
13、复数z满足（其中i为虚数单位），则_________.
14、在1和9之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则中间三个数的积等于_________.
15、双曲线（，），P为双曲线C上的一点，若点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为1，则双曲线的半焦距c的取值范围_________.
16、在梯形中，，，M为的中点，将沿直线翻折成，当三棱锥的体积最大时，过点M的平面截三棱锥的外接球所得截面面积的最小值为_________.
三、解答题
17、2021年6月17日9时22分，我国酒泉卫星发射中心用长征2F遥十二运载火箭，成功将神舟十二号载人飞船送入预定轨道，顺利将聂海胜、刘伯明、汤洪波3名航天员送入太空，发射取得圆满成功，这标志着中国人首次进入自己的空间站.某公司负责生产的A型材料是神舟十二号的重要零件，该材料应用前景十分广泛.该公司为了将A型材料更好地投入商用，拟对A型材料进行应用改造、根据市场调研与模拟，得到应用改造投入x（亿元）与产品的直接收益y（亿元）的数据统计如下：
当时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：，模型②：；当时，确定y与x满足的线性回归方程为.
（1）根据下列表格中的数据，比较当时模型①，②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对A型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益；
（2）为鼓励科技创新，当应用改造的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，以回归方程为预测依据，根据（1）中选择的拟合精度更高更可靠的模型，比较投入17亿元与20亿元时公司收益（直接收益＋国家补贴）的大小.
附：刻画回归效果的相关指数，且当越大时，回归方程的拟合效果越好.用最小二乘法求线性回归方程的截距：..
18、已知数列满足，.
（1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）记，求的前n项和.
19、三棱锥中，，平面平面ABC，，，E，F分别为PC和PB的中点，平面平面.
（1）证明：直线；
（2）设M是直线l上一点，且直线PB与平面AEF所成的角为，直线PM与直线EF所成的角为，满足，求的值.
20、在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右顶点分别为A、B，右焦点F，且椭圆过点、，过点F的直线l与椭圆交于P、Q两点（点P在x轴的上方）.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线AP、BQ的斜率分别为、，是否存在常数，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
21、已知函数在处的切线方程为.
（1）求a，b的值；
（2）若方程有两个实数根，，
①证明：；
②当时，是否成立？如果成立，请简要说明理由.
22、在直角坐标系中，曲线经过伸缩变换后得到曲线，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：.
（1）写出曲线的参数方程和直线l的直角坐标方程；
（2）在曲线上求一点P，使点P到直线l的距离最小.
23、已知函数，.
（1）当时，解不等式；
（2）若在时有解，求实数a的取值范围.
参考答案
1、答案：D
解析：由得，则.
故选：D.
2、答案：B
解析：若小张等车时间少于5分钟，则他至多在发车前5分钟到达车站即可，
由几何概型的概率公式可知，小张等车时间少于5分钟的概率为.
故选：B.
3、答案：A
解析：根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域如阴影部分，可以看出当经过点B时，目标函数取得最小值，则，此时.
故选：A.
4、答案：D
解析：由题意知，则，所以.
故选：D.
5、答案：C
解析：由知，数列是等差数列，首项是，公差是，所以，所以可化为，解得，故选C.
6、答案：B
解析：对于AB选项，，由可得，，
所以，，所以，，A错B对；
对于C选项，由可得，C错；
对于D选项，由，可得，
所以，得，D错.
故选：B.
7、答案：C
解析：若甲当选，则都说假话，不合题意；
若乙当选，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，不符合题意；
若丁当选，则甲、丁、丙都说假话，乙说真话，不符合题意；
故当选是丙.
故选：C.
8、答案：D
解析：令，则，，得，，因为，所以，，所以所有零点之和为.
故选：D.
9、答案：A
解析：先排B元素，有5种排法，然后排剩余5个元素共，由于A、C、D顺序确定，所以不同的排法共有.
故选：A.
10、答案：A
解析：因为，所以，
所以，即，则.
因为点P是圆O内部一点，所以，所以，
则，
当且仅当时，等号成立，故的最小值是3，
故选：A.
11、答案：C
解析：由题意，函数为偶函数，所以，
所以，所以是周期函数，且周期为8，且关于对称，
又由在上含有50个周期，且在每个周期内都是对称图形，
关于x的不等式在上有且只有100个整数解，
所以关于x不等式在上有且只有1个整数解，
当时，，则，令，解得，
所以当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
因为当时，，且，，，所以当时，可得，
当时，在上有且只有3个整数解，不合题意；
所以，
由，可得或，
因为，当时，令，可得，
当时，，且在为增函数，
所以在上无整数解，所以在上有一个整数解，
因为，
所以在上有一个整数解，这个整数解只能为，
从而有且，解得，
即实数a的取值范围是.
故选：C.
12、答案：C
解析：延长交于D，如下图所示：
G为的重心，D为中点且，
，，；
在中，；
在中，；
，，
即，整理可得：，C为锐角；
设A为钝角，则，，，
，，解得：，
，，
由余弦定理得：，
又C为锐角，，即的取值范围为.
故选：C.
13、答案：
解析：，.
另解：.
故答案为：.
14、答案：27
解析：设公比为q，插入的三个数分别为，，，
因为，，所以，得，
所以，
故答案为：27.
15、答案：
解析：由题意，双曲线，可得其渐近线方程为，
设，可得点P到两条渐近线的距离分别为，，
因为点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为1，
可得，
又由，可得，所以，
即，即，所以，当且仅当时等号成立，
所以双曲线的半焦距c的取值范围.
故答案为：.
16、答案：
解析：如下图所示，连接，则，
则，故，
设二面角的平面角为，设三棱锥的高为h，则，
，
当且仅当时，等号成立，即当平面平面时，三棱锥的体积最大，
，，，故为等腰直角三角形，且，
在梯形中，，则，所以，，
在中，，，，
由余弦定理可得，故，，
因为平面平面，平面平面，，平面，平面，
平面，则，
因为，，平面，
平面，所以，，
记中点为O，由得O为三棱锥的外接球的球心，
且球的半径为，
设与过点M的平面所成的角为，设点O到截面的距离为d，
则，
故截面圆的半径为，
当且仅当时，过点M的平面截三棱锥外接球O所得截面面积最小，
所以截面圆面积的最小值为.
故答案为：.
17、
（1）答案：对A型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益为（亿元）
解析：对于模型①，对应的，
故对应的，
故对应的相关指数，
对于模型②，同理对应的相关指数，
故模型②拟合精度更高、更可靠.
故对A型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益为（亿元）.
另解：本题也可以根据相关系数的公式，直接比较79.13和20.2的大小，从而说明模型②拟合精度更高、更可靠.
（2）答案：投入17亿元比投入20亿元时收益小
解析：当时，
后五组的，，
由最小二乘法可得，
故当投入20亿元时公司收益（直接收益＋国家补贴）的大小为：
，
故投入17亿元比投入20亿元时收益小.
18、
（1）答案：证明见解析，
解析：当时，，得，
当时，有，，
相除得
整理为：，
即，
为等差数列，公差，首项为；
所以，整理为：.
（2）答案：
解析：，
，
.
19、
（1）答案：证明见解析
解析：证明：E、F分别为PB、PC的中点，，
又面EFA，面EFA，面EFA，
又面ABC，面面，；
（2）答案：1
解析：以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CA所在直线为y轴，过C垂直于面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
设，，，，
设平面AEF的一个法向量为，有，
则平面AEF的一个法向量为，
，，
，
，，，
，即存在M满足题意，此时.
20、
（1）答案：
解析：因为椭圆过点、，则有，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）答案：存在，
解析：设存在常数，使得.
由题意可设直线l的方程为，点，，
则，又由得，，
且，
.
又因为，即，即，
所以
即
，
即，所以存在常数使得.
21、答案：（1），
（2）①证明见解析，②成立，理由见解析
解析：（1），
因为函数在处的切线方程为，
所以，，
，或，（舍），
所以，；
（2）①证明：由（1）可知，，
令，
则，令，得，
所以函数在上递减，在上递增，
所以，
即，
又，，，，
且，，
，使得，即，即，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
所以
，
，，
令，，
则，，
所以函数在上递增，
故，
所以，
即，
；
②成立，理由如下：
当直线过，时割线方程为，
得，
当直线过，时割线方程为，
得，
.
22、
（1）答案：（为参数），
解析：由题意，曲线的参数方程为（为参数），
经过伸缩变换后，曲线的参数方程为（为参数）.
因为，
所以由，，化为直角坐标方程为，
所以，曲线的参数方程为（为参数）.
直线l的直角坐标方程为.
（2）答案：点P的坐标为
解析：设，
点P到直线l的距离为，
（其中，，），
当时，即，时，点P到直线l的距离d取到最小值，
此时，，，
，，
所以，点P的坐标为.
23、答案：（1）
（2）
解析：（1）当时，，
当时，恒成立；
当时，由，得.
综上，以不等式的解集为；
（2），即，
又因为，则，
整理得，则，
即在有解，则
所以实数a的取值范围为.
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
x
2
3
4
6
8
10
13
21
22
23
24
25
y
15
22
27
40
48
54
60
68.5
68
67.5
66
65
回归模型
模型①
模型②
回归方程
79.13
20.2