2023-2024学年江苏省南京市秦淮区重点中学八年级（上）10月月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南京市秦淮区重点中学八年级（上）10月月考数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下面四个图形分别是不可回收垃圾、可回收垃圾、有害垃圾、其它垃圾的标志，这四个标志中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.如图，▵ABC≌▵ADE，若∠AED=100∘，∠B=25∘，则∠A的度数为
( )
A. 25∘B. 45∘C. 50∘D. 55∘
3.以下列长度的线段为边，能构成直角三角形的是( )
A. 2，3，4B. 3，4，5C. 4，5，6D. 5，6，7
4.如图，用直尺和圆规作一个角的平分线，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，由作图所得条件，判定三角形全等运用的方法是( )
A. SSSB. SASC. ASAD. AAS
5.如图，AC、DF相交于点G，且AC=DF．D、C是BE上两点，∠B=∠E=∠1.若BE=l，AB=m，EF=n，则CD的长为
( )
A. l−mB. l−nC. m+n−lD. m−n+l
6.如图，O为▵ABC内的一点，D为AB边上的一点，OD=OB，OA=OC，∠AOC=∠BOD=90∘，连接CD.下列结论：①AB=CD；②AB⊥CD；③∠AOD+∠OCD=45∘；④S▵BOC=S▵AOD.其中所有正确结论的序号是
( )
A. ①②B. ①③C. ①②③D. ①②③④
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
7.比较大小：39________2．
8.下列五个数 4，2π，227，38，3.1415926中，是无理数的有_________个．
9.等边三角形是一个轴对称图形，它有___________条对称轴．
10.被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积为249900m2，请将249900精确到万位，并用科学记数法表示为________．
11.如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，AC=DF，只需补充条件________，就可以根据“HL”得到Rt△ABC≌Rt△DEF．
12.如图，在Rt▵ABC中，∠ACB=90∘.以AB、AC为边的正方形的面积分别为S1、S2，若S1=20，S2=11，则BC的长为______．
13.如图，△ABC≌△ADE，若∠B=45°，∠C=30°，则∠DAE的度数为_____°．
14.如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3=_____°．
15.如图，▵DEF的3个顶点分别在小正方形的顶点(格点)上，这样的三角形叫做格点三角形，若在图中再画1个格点▵ABC(不包括▵DEF))，使▵ABC和▵DEF全等，这样的格点三角形能画______个．
16.如图，ΔABC中，AB=12，AC=16，BC=20.将ΔABC沿射线BM折叠，使点A与BC边上的点D重合，E为射线BM上一个动点，当ΔCDE周长最小时，CE的长为__．
三、解答题（本大题共10小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题8.0分)
计算：
(1) 9+3−27；
(2) 32−3−43+1．
18.(本小题8.0分)
求下面各式中的x：
(1)4x2=9．
(2)(x−1)3+8=0．
19.(本小题8.0分)
如图，AB=CD，∠B=∠C，点F、E在BC上，BF=CE.求证：AE=DF．
20.(本小题8.0分)
如图，点C在线段AB上，AD//EB，AC=BE，AD=BC，CF平分∠DCE.求证：CF⊥DE于点F．
21.(本小题8.0分)
如图，在Rt▵ABC中，∠ACB=90∘，AB=10，BC=6，CD⊥AB于点D，分别求出AC、CD的长．
22.(本小题8.0分)
如图，在Rt▵ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC.点C在直线l上，分别过点A、B作AD⊥直线l于点D，BF⊥直线l于点F．
(1)求证：DF=AD+BF；
(2)设▵ACD三边分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理．
23.(本小题8.0分)
请利用直尺与圆规用两种不同的方法作∠AOB的平分线OC.(不写作法，保留作图痕迹)
24.(本小题8.0分)
如图所示，在▵ABC中，AB=5，BC=6，AC= 13，求▵ABC的面积．

某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
25.(本小题8.0分)
张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
(1)请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n(n>1)的代数式表示：
a=_______，b= _______，c=_______；
(2)猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形并证明你的猜想．
26.(本小题8.0分)
【旧题重现】
(1)《学习与评价》P19有这样一道习题：
如图①，AD、A′D′分别是▵ABC和▵A′B′C′的BC、B′C′边上的中线，AD=A′D′，AB=A′B′，BC=B′C′，求证：▵ABC≌▵A′B′C′．
证明的途径可以用下面的框图(图②)表示，请填写其中的空格．
【深入研究】
(2)如图③，AD、A′D′分别是▵ABC和▵A′B′C′的BC、B′C′边上的中线，AD=A′D′，AB=A′B′，AC=A′C′，判断▵ABC与▵A′B′C′是否仍然全等，并说明理由．

【类比思考】
(3)下列命题中是真命题的是______(填写相应的序号)
①两角和第三个角的角平分线分别相等的两个三角形全等；
②一边和这条边上的中线以及高分别相等的两个三角形全等；
③斜边和斜边上的高分别相等的两个直角三角形全等；
④两边和第三边上的高分别相等的两个三角形全等；
⑤底边和一腰上的中线分别相等的两个等腰三角形全等．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】A、不是轴对称图形，故选项错误；
B、不是轴对称图形，故选项错误；
C、是轴对称图形，故选项正确；
D、不是 轴对称图形，故选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查的是轴对称图形的概念，解题的关键是寻找对称轴，图形的两部分折叠后可重合．
2.【答案】D
【解析】【分析】根据全等三角形的性质可得∠D=∠B=25∘，再由三角形内角和定理，即可求解．
【详解】解：∵▵ABC≌▵ADE，∠B=25∘，
∴∠D=∠B=25∘，
∵∠AED=100∘，
∴∠A=180∘−∠D−∠AED=55∘．
故选：D
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理逐项分析判断即可．
【详解】∵22+32≠42,不能构成直角三角形，故 A选项错误；
∵32+42=52, 可以构成直角三角形，故B选项正确；
∵42+52≠62, 不能构成直角三角形，故C选项错误；
∵52+62≠72, 不能构成直角三角形，故D选项错误；
故选B．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．如果两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
4.【答案】A
【解析】【分析】易知：OB=OA，BC=AC,OC=OC，因此符合SSS的条件．
【详解】解：连接BC，AC，
由作图知：在▵OAC和▵OBC中，
AO=BOCO=COAC=BC,
∴▵OAC≌▵OBC(SSS)，
故选：A．
【点睛】本题考查的是作图−基本作图，要清楚作图时作出的线段OB与OA、BC与AC是相等的．熟练掌握三角形全等的判定条件是解答此题的关键．
5.【答案】C
【解析】【分析】首先根据题意证明出▵ABC≌▵DEFAAS，然后根据全等三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵∠B=∠E=∠1，∠1=∠DGC
∴∠B=∠DGC
∵∠A+∠B+∠ACB=180∘，∠EDF+∠DGC+∠ACB=180∘
∴∠A=∠EDF
又∵∠B=∠E，AC=DF
∴▵ABC≌▵DEFAAS
∴AB=DE,BC=EF
∴CD=BC+DE−BE=n+m−l．
故选：C．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，线段的和差计算，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定．
6.【答案】D
【解析】【分析】由题意易证△AOB≌△COD，然后可判断①②，根据全等三角形的性质及三角形外角的性质可判断③，过点D作DE⊥OA于E，过点B作BF⊥CO交CO的延长线于点F，证明▵ODE≌▵OBF，根据全等三角形的性质可得DE=BF，利用三角形的面积公式可求解．
【 详解】解：∵∠AOC=∠BOD=90∘，
∴∠AOC+∠AOD=∠BOD+∠AOD，
∴∠AOB=∠COD，
∵OB=OD，OA=OC，
∴▵AOB≌▵CODSAS，
∴AB=CD，∠ABO=∠CDO，∠BAO=∠DCO，故①正确；
∵∠BOD=90∘，OB=OD，
∴∠CDO+∠BDO=∠ABO+∠BDO=90∘,∠BDO=∠DBO=45∘，
∴AB⊥CD，故②正确；
∵∠BDO=∠BAO+∠AOD=45∘，
∴∠AOD+∠OCD=45∘，故③正确；
过点D作DE⊥OA于E，过点B作BF⊥CO交CO的延长线于点F，如图所示：
∴∠F=∠DEO=90∘，
∵∠AOC=∠BOD=90∘，
∴∠AOF−∠DOF=∠BOD−∠DOF，
∴∠BOF=∠DOE，
∵OB=OD，
∴▵ODE≌▵OBFAAS，
∴DE=BF，
∵OA=OC，
∴OA⋅DE=OC⋅BF，
∵S▵BOC=12OC⋅BF,S▵AOD=12OA⋅DE，
∴S▵BOC=S▵AOD，故④正确；
故选D．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质是解题的关键．
7.【答案】>
【解析】【分析】先计算39的值，然后与2比较大小．
【详解】解：39≈2.0801，
∴22，
故答案为>．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，题目比较简单．
8.【答案】1
【解析】【分析】根据无限不循环小数叫做无理数进行判断．
【详解】解：2π是无理数，
故答案为1．
【点睛】掌握无理数的定义是本题的解题关键．
9.【答案】【答案】3
【解析】【分析】根据轴对称图形的概念识别和等边三角性质的性质回答即可．
【详解】解：∵等边三角形三条边上的高线所在直线均为对称轴，
∴等边三角形有3条对称轴．
故答案为3．
【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质及轴对称图形的判断，熟练掌握轴对称图形的定义是解题关键．
10.【答案】【答案】2.5×105
【解析】【分析】根据四舍五入，可得精确到万位的数，根据科学记数法表示的方法，可得答案．
【详解】解：将249900精确到万位，并用科学记数法表示为2.5×105，
故答案为2.5×105．
【点睛】此题主要考查了科学记数法与近似数，注意对一个数进行四舍五入时，若要求近似到个位以前的数位时，首先要对这个数用科学记数法表示．
11.【答案】AB=DE
【解析】【分析】“HL”定理是指斜边和一组直角对应相等的两个直角三角形全等，由此增加条件即可．
【详解】解：∵△ABC和△DEF均为直角三角形，且AC=DF，
∴需要增加它们的斜边对应相等即可利用“HL”定理，即：AB=DE；
故答案为 ：AB=DE．
【点睛】本题考查“HL”定理，理解“HL”定理的意义以及组成条件是解题关键．
12.【答案】3
【解析】【分析】根据勾股定理求出BC2，则可得出答案．
【详解】解：在Rt▵ABC中，∠ACB=90∘，
∵S1=20，S2=11，
∴BC2=AB2−AC2=20−11=9，
∴BC=3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
13.【答案】105
【解析】【分析】根据三角形的内角和定理求出∠BAC的度数，再根据全等三角形的对应角相等可得答案．
【详解】解：∠BAC=180°−∠B−∠C=105°，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠DAE=∠BAC=105°，
故答案为105．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和全等三角形的性质，熟记三角形的内角和是180°是解题关键．
14.【答案】135
【解析】【分析】如图，利用“边角边”证明▵ABC和▵DEA全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠4，然后求出∠1+∠3=90∘，再判断出∠2=45∘，然后计算即可得解．
【详解】解：标注字母，如图所示，
在▵ABC和▵DEA中，
AB=DE∠ABC=∠DEA=90∘BC=EA,
∴▵ABC≌▵DEASAS，
∴∠1=∠4，
∵∠3+∠4=90∘，
∴∠1+∠3=90∘，
又∵∠2=45∘，
∴∠1+∠2+∠3=90∘+45∘=135∘．
故答案为：135．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，网格结构，准确识图并判断出全等三角形是解题的关键．
15.【答案】3
【解析】【分析】本题考查的是用SSS判定两三角形全等．认真观察图形可得答案．
【详解】解：如图所示，可作3个全等的三角形．

▵DEF≌▵B1C1A1，▵DEF≌▵BAC2，▵DEF≌▵ABC3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查作图−应用与设计作图、全等三角形的判定，注意观察图形，数形结合是解决本题的关键．
16.【答案】10
【解析】【分析】根据翻折的性质及勾股定理的逆定理可得▵ABC为直角三角形，设CE=x，则AE=DE=16−x，然后再由勾股定理可得答案．
【详解】解：由题意可知，A、D两点关于射线BM对称，
∴CΔCDE=CD+DE+CE=CD+AE+CE，
∵CD为定值，
要使ΔCDE周长最小，即DE+CE最小，亦即：AE+CE最小，
∴AC与射线BM的交点，即为使ΔCDE周长最小的点E，
∵AB=12，AC=16，BC=20.且122+162=202，
∴AB2+AC2=BC2，
∴ΔABC为直角三角形，
∴∠BAC=∠BDE=∠CDE=90∘，
∵AB=BD=12，
∴CD=BC−BD=8，
设CE=x，则AE=DE=16−x，
RtΔCDE中，CE2=DE2+CD2，
即x2=(16−x)2+82，
∴x=10，
∴CE=10．
故答案为：10．
【点睛】此题考查的是翻折变换、勾股定理的逆定理及轴对称性质，掌握其性质是解决此题关键．
17.【答案】(1)0； (2)8．
【解析】【分析】(1)利用算术平方根和立方根的性质计算即可求解；
(2)利用二次根式的乘法和立方根的性质计算即可求解．
【小问1详解】
解： 9+3−27=3−3=0；
【小问2详解】
解： 32−3−43+1=3−(−4)+1=8．
【点睛】本题考查了算术平方根、立方根，掌握相关运算法则是解题的关键．
18.【答案】(1)x=±32；(2)x=−1．
【解析】【分析】(1)直接利用平方根的定义开平方得出答案；
(2)直接利用立方根的定义开立方得出答案．
【详解】(1)4x2=9，
则x2=94，
故x=±32；
(2)(x−1)3+8=0，
(x−1)3=−8，
解得：x=−1．
【点睛】此题主要考查了立方根和平方根，正确把握相关定义是解题关键．
19.【答案】见解析
【解析】【分析】由“SAS”可证▵ABE≌▵DCF，可得结论．
【详解】证明：∵BF=CE，
∴BE=CF，
在▵ABE和▵DCF中，
AB=CD∠B=∠CBE=CF,
∴▵ABE≌▵DCF(SAS)，
∴AE=DF．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
20.【答案】见解析
【解析】【分析】根据平行线性质得出∠A=∠B，根据SAS证▵ACD≌▵BEC，推出MB//GD//NC，根据等腰三角形的三线合一定理推出即可．
【详解】∵AD//BE，
∴∠A=∠B．
在▵ACD和▵BEC中
∵AD=BC∠A=∠BAC=BE,
∴▵ACD≌▵BECSAS，
∴DC=CE
∵CF平分∠DCE，
∴CF⊥DE(三线合一)．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的性质等知识点，关键是求出MB//GD//NC，主要考查了学生运用定理进行推理的能力．
21.【答案】8，4.8
【解析】【分析】根据∠ACB=90∘，勾股定理，求出AC；再根据三角形的面积公式：SΔABC=12AC⋅BC=12AB⋅CD，即可
【详解】解：∵∠ACB=90∘，
∴AB2=AC2+BC2，
∵AB=10，BC=6，
∴102=AC2+62，
∴AC=8，
∵CD⊥AB，
∴S▵ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CD，
∴12×8×6=12×10×CD，
∴CD=4.8．
【点睛】本题考查直角三角形的知识，解题的关键是掌握勾股定理的运用，直角三角形的面积．
22.【答案】(1)见解析 (2)见解析
【解析】【分析】(1)通过AAS证明△ACD≌△CBF，得CD=BF，AD=CF，即可得出结论；
(2)利用等面积法证得勾股定理．
【小问1详解】
∵AD⊥l，BF⊥l，
∴∠ADC=∠CFB=90∘．
∵∠ACF=∠ADC+∠DAC=90∘+∠DAC，
又∠ACF=∠ACB+∠FCB=90∘+∠FCB，
∴∠DAC=∠FCB．
∵在▵ACD和▵CBF中
∠ADC=∠CFB∠DAC=∠FCBAC=CB
△ACD≌△CBFAAS
∴CD=BF，AD=CF．
∴DF=CF+CD=AD+BF．
【小问2详解】
由(1)知：CD=BF=a，AD=CF=b，AC=BC=c．
∴S梯形ABFD=12a+ba+b=12a2+ab+12b2．
又S梯形ABFD=S△ACD+S△CBF+S△ABC=12ab+12ab+12c2=ab+12c2．
∴12a2+ab+12b2=ab+12c2．
整理，得a2+b2=c2．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理的证明，证明△ACD≌△CBF是解题的关键．
23.【答案】见解析．
【解析】【分析】按照角平分线的作图方法画图或利用全等三角形和等腰三角形的性质画图即可．
【详解】如图所示．
【点睛】本题考查了角平分线的画法，解题关键是明确角平分线的画法，熟练掌握全等三角形和等腰三角形的性质．
24.【答案】9
【解析】【分析】利用BC的长表示出CD的长，利用勾股定理得出x的值，再求出AD，并利用三角形面积求法得出答案．
【详解】解：∵BC=6，BD=x，
∴CD=6−x，
∵AD⊥BC，
∴AD2=AC2−CD2，AD2=AB2−BD2，
∴( 13)2−(6−x)2=52−x2，
解得：x=4，
∴AD= AB2−BD2= 52−42=3，
∴S▵ABC=12BC•AD=12×6×3=9．
【点睛】此题主要考查了勾股定理以及三角形面积求法，正确得出AD的长是解题关键．
25.【答案】(1)n2−1，2n，n2+1；(2)见详解．
【解析】【分析】结合表中的数据，观察a，b，c与n之间的关系，可直接写出答案；
(2)分别求出a2+b2，c2，比较即可．
【详解】解：(1)由题意有：n2−1，2n，n2+1；
(2)猜想为：以a，b，c为边的三角形是直角三角形．
证明：∵a=n2−1，b=2n；c=n2+1，
∴a2+b2=(n2−1)2+(2n)2=n4−2n2+1+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2．
而c2=(n2+1)2．
∴根据勾股定理的逆定理可知以a，b，c为边的三角形是直角三角形．
26.【答案】(1)①BD=12BC；②B′D′=12B′C′；③AD=A′D′；④∠B=∠B′；(2)全等，理由见解析；(3)①②③⑤．
【解析】【详解】(1)根据三角形中线的 定义及全等三角形的判定与性质可得出答案；
(2)延长AD至E，使DE=AD，连接BE，延长A′D′至E′，使D′E′=A′D′，连接B′E′，证明▵ADC≌▵EDBSAS.由全等三角形的性质得出AC=EB，∠DAC=∠E，同理A′C′=E′B′，∠D′A′C′=∠E′，证明▵ABE≌▵A′B′E′SSS.得出∠BAE=∠B′A′E′，∠E=∠E′，则可证明▵ABC≌▵A′B′C′SAS；
(3)根据全等三角形的判定方法可得出结论．
【解答】(1)证明，如下：
∵AD是▵ABC的中线，
∴BD=12BC，
∵A′D′分别是▵A′B′C′的中线，
∴B′D′=12B′C′，
∵BC=B′C′，
∴BD=B′D′，
在▵ABD和▵A′B′D′中，
BD=B′D′AD=A′D′AB=A′B′,
∴▵ABD≌▵A′B′D′SSS，
∴∠B=∠B′，
在▵ABC和▵A′B′C′中，
AB=A′B′∠B=∠B′BC=B′C′,
∴▵ABC≌▵A′B′C′SAS，
故答案为：①BD=12BC；②B′D′=12B′C′；③AD=A′D′；④∠B=∠B′；
(2)解：▵ABC与▵A′B′C′仍然全等，理由如下：
延长AD至E，使DE=AD，连接BE，延长A′D′至E′，使D′E′=A′D′，连接B′E′
∵AD和A′D′分别是▵ABC和▵A′B′C′的BC和B′C′边上的中线，
∴BD=CD，B′D′=C′D′，
在△ADC和▵EDB中，
AD=DE∠ADC=∠BDEBD=CD,
∴▵ADC≌▵EDBSAS，
∴AC=EB，∠DAC=∠E，
同理A′C′=E′B′，∠D′A′C′=∠E′，
∵AC=A′C′，
∴EB=E′B′，
∵AD=A′D′，AD=DE，A′D′=D′E′，
∴AE=A′E′，
∵AB=A′B′，
∴▵ABE≌▵A′B′E′SSS，
∴∠BAE=∠B′A′E′，∠E=∠E′，
∴∠DAC=∠D′A′C′，
∴∠BAC=∠B′A′C′，
又AB=A′B′，AC=A′C，
∴▵ABC≌▵A′B′C′SAS．
(3)解：①两角和第三个角的角平分线分别相等的两个三角形全等，正确，符合题意；
②一边和这条边上的中线以及高分别相等的两个三角形全等，正确，符合题意；
③斜边和斜边上的高分别相等的两个直角三角形全等，正确，符合题意；
④两边和第三边上的高分别相等的两个三角形全等，说法错误，
如图，在▵ABC与▵ABC′中，AB=AB，AC=AC′，高AD相同，但是▵ABC与▵ABC′不全等．
故④不符合题意；
⑤底边和一腰上的中线分别相等的两个等腰三角形全等，正确，符合题意．
故答案为：①②③⑤．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
n
2
3
4
5
…
a
22−1
32−1
42−1
52−1
…
b
4
6
8
10
…
c
22+1
32+1
42+1
52+1
…