2023-2024学年江苏省苏州市工业园区重点学校九年级（上）10月月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省苏州市工业园区重点学校九年级（上）10月月考数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.将一元二次方程5x2−1=4x化成一般形式后，它的二次项系数是5，则一次项系数是
( )
A. −4B. 4C. −1D. 1
2.一元二次方程3x2−mx−3=0有一根是x=1，则另一根是
( )
A. x=1B. x=−1C. x=2D. x=4
3.将x2−6x−4=0进行配方变形，下列正确的是
( )
A. (x−6)2=13B. (x−6)2=9C. (x−3)2=13D. (x−3)2=9
4.一元二次方程x2−8x+16=0根的情况是
( )
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有一个实数根D. 没有实数根
5.将抛物线y=4x2向上平移6个单位，再向右平移9个单位，得到的抛物线的解析式为
( )
A. y=4(x+9)2+6B. y=4(x−9)2+6
C. y=4(x+9)2−6D. y=4(x−9)2−6
6.2019年在武汉市举行了军运会．在军运会比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y=−14x2+34x+1的一部分(如图)，其中出球点B离地面O点的距离是1米，球落地点A到O点的距离是
( )
A. 1米B. 3米C. 4米D. 2516米
7.若一个二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过五个点A−1,n、B3,n、C0,y1、D−2,y2和E2.5,y3，则下列关系正确的是
( )
A. y1>y2>y3B. y2>y3>y1C. y1y1>y2
8.已知点Mx1,y1,Nx2,y2在抛物线y=mx2−2m2x+mm≠0上，当x1+x2>4且x1( )
A. 02D. m<−2
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9.有一人患了流感，经过两轮传染后，共有100人患了流感．假设每轮传染中，平均一个人传染了x个人，则依题意可列方程为 ．
10.二次函数y=2(x−4)2+3的开口方向是 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．
11.如图所示是一座抛物线拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，则当水面上升3m时，水面的宽度是 米．
12.第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图这个图案绕着它的中心旋转后能够与它本身重合，则旋转角α最小可以为 度．
13.抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表，则抛物线与x轴的交点坐标为 ．
14.如图，将▵ABC绕点A按逆时针方向旋转100∘，得到▵AB1C1，若点B1在线段BC的延长线上，则∠BB1C1的大小是 度．
15.如图一段抛物线：y=−xx−30≤x≤3，记为C1，它与x轴交于点O和A1：将C1绕A1旋转180∘得到C2，交x轴于A2：将C2绕A2旋转180∘得到C3，交x轴于A3，如此进行下去，直至得到C11，若点P31,m在第11段抛物线C11上，则m的值为 ．
16.如图：已知二次函数y=ax2+bx+ca≠0过−1,−2，对称轴为直线x=2.并且二次函数与x轴的一个交点位于0和1之间．①4a−2b+c<0；②b<1；③a+b+cb−a的最大值为3；④对于任意实数t，一定有at2+bt≤4a+2b.上述结论正确的是 (填序号)．
三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题8.0分)
解下列方程：
(1)2x2−4x+1=0； (2)x2x+4=10+5x．
18.(本小题8.0分)
已知二次函数y=x2+2x−3图象的顶点为D，与x轴交于点A、B(A左B右)，与y轴交于点C．
(1)请先画出抛物线的大致图象，并直接写出A、B、D三点的坐标；
(2)当−219.(本小题8.0分)
已知关于x的方程k+2x2+k−1x−3=0．
(1)求证：无论k为何实数，方程总有实数根；
(2)若方程有两实数根分别为x1和x2，且1x1+1x2=3，求k的值．
20.(本小题8.0分)
如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点▵ABC(顶点在网格线的交点上)的顶点A、C的坐标分别为A−3,5、C0,3．

(1)请在网格所在的平面内画出平面直角坐标系，并直接写出点B的坐标：
(2)将▵ABC绕着原点O顺时针旋转90∘得▵A1B1C1，画出▵A1B1C1：
(3)在x轴上是否存在点P，使PA+PC的值最小，若存在请直接写出点P的坐标；若不存在请说明理由．
21.(本小题8.0分)
(本题9分)如图，要利用一面墙(墙长为50米)建羊图，用总长100米的围栏围成大小相同的矩形羊圈．
(1)若总面积为400平方米，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？
(2)当羊圈的边长AB，BC各为多少米时，总面积S有最大值？最大值时多少？
22.(本小题8.0分)
(本题10分)因为疫情的影响，市民出行需要佩戴口罩，商场根据市民需要，代理销售一种口罩，进货价为20元/包，经市场销售发现：销售单价为30元/包时，每周可售出200包，每涨价1元，每周少售出5包，若供货厂家规定市场价不得低于30元/包，且商场每周完成不少于150包的销售任务．
(1)试确定周销量y(包)与销售单价x(元/包)之间的函数关系式，并直接写出售价x的范围；
(2)试确定商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w(元)与售价x(元/包)之间的函数关系式：
(3)当售价x(元/包)定为多少元时，商场每周销售这种防尘口罩索获得的利润w(元)最大？最大利润是多少？
23.(本小题8.0分)
(10分)已知为0,2，▵ABO是等边三角形，P是x轴上个动点(不与O点重合)，将段AP绕A点按逆时针转60∘，P点的对应点为点Q连接OQ,BQ．

备用图
(1)点B的坐标为______．
(2)①如图1，当点P在x轴负半轴运动时，求证：∠ABQ=90∘；
(2)当点P在x轴正半轴运动时，①中的结论是否仍然成？请补全备用图，作出判断(不需说明理由)；
(3)点P运动的过程中，▵OBQ是直角三形，直接写出点P的坐标．
24.(本小题8.0分)
(本题12分)已知二次函数y=x2+2bx−3b
(1)当该二次函数的图像经过点A1,0，求该二次函数的表达式
(2)在(1)的条件下，二次函数图象与另一个交点为点B，与y轴的交为点C，点P从点A出发在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在段BC上以1个单位长度的速度向点C运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求▵BPQ面积的最大值；
(3)若对满足x≥1的任意实数x，都使得y≥0成立，求实数b的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】直接利用一元二次方程一般形式分析得出答案．
【解答】 解：将一元二次方程5x2−1=4x化成一般形式5x2−4x−1=0，故一次项系数是−4．
故选：A．
【点评】 此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确整理为一般式是解题关键．
2.【答案】B
【解析】【分析】设方程的另一个根为t，根据根与系数的关系得1×t=−1，然后解一次方程即可．
【解答】 解：设方程的另一个根为t，
根据根与系数的关系得1×t=−33=−1，
解得t=−1，所以方程的另一个根为−1.故选：B．
【点评】 本题考查了根与系数的关系：若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．
3.【答案】C
【解析】【分析】因为(x−3)2=x2−6x+9，则有x2−6x=(x−3)2−9,x2−6x−4=(x−3)2−9−4=(x−3)2−13，进而可把x2−6x−4=0进行配方变形．
【解答】 解：∵x2−6x−4
=(x−3)2−9−4
=(x−3)2−13，
∴x2−6x−4=0进行配方变形为(x−3)2=13.故选：C．
【点评】 本题考查了一元二次方程配方法的应用，综合性较强，难度适中．
4.【答案】B
【解析】【分析】利用一元二次方程根的判别式Δ=b2−4ac判断方程的根的情况．①当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ<0时，方程无实数根．
【解答】 解：根据题意可得，a=1,b=−8,c=16，
∵Δ=b2−4ac=(−8)2−4×1×16=0,
∴有两个相等的实数根．故选：B．
【点评】 本题主要考查了根的判别式，熟练应用根的判别式进行计算是解决本题的关键．
5.【答案】B
【解析】【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律解题．
【解答】 解：根据“左加右减，上加下减”的平移规律知：将抛物线y=4x2向上平移6个单位，再向右平移9个单位，得到的抛物线的解析式为y=4(x−9)2+6.故选：B．
【点评】 主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
6.【答案】C
【解析】【分析】根据解析式的顶点式得出函数最大值即可．
【解答】 解：令y=0，则−14x2+34x+1=0，
解得x1=4,x2=−1，
∴球落地点A到O点的距离是4米，故选：C．
【点评】 本题主要考查二次函数的应用，利用函数的性质求最值是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】【分析】由A,B两点的纵坐标相同，可得A,B两点关于对称轴对称，可求对称轴为直线x=1，根据二次函数的d对称性和增减性即可判断．
【解答】 解：∵A−1,n、B3,n，
∴对称轴为直线x=1；∵a>0，
∴在对称轴的左侧，y随x的增大而减小．
∵E2.5,y3关于对称轴的对称点为−0.5,y3，且−2<−0.5<0<1，
∴y2>y3>y1.故选：B．
【点评】 本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，利用了二次函数的对称性和增减性．
8.【答案】A
【解析】【分析】方法一：根据题意和题目中的抛物线，可以求得抛物线的对称轴，然后分类讨论即可得到m的取值范围．
方法二：根据x1+x2>4且x10，然后利用分类讨论的方法，即可得到m的取值范围．
【解答】 解：方法一：∵抛物线y=mx2−2m2x+mm≠0，
∴该抛物线的对称轴为直线x=−−2m22m=m，
∵当x1+x2>4且x1∴当m>0时，0<2m≤4，解得0当m<0时，2m>4，此时m无解；
由上可得，m的取值范围为0方法二：由y1mx22−2m2x2+n−mx12−2m2x1+n>0，
整理，得：mx2−x1x2+x1−2m>0，
∵x1+x2>4且x1∴当m>0时，则x2+x1−2m>0，
即2m≤4，解得m≤2，∴0当m<0时，则x2+x1−2m<0，此时无解；
由上可得，0【点评】 本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
9.【答案】(1+x)+x(1+x)=100
【解析】【分析】 由于每轮传染中平均一个人传染的人数是x人，那么经过第一轮后有1+x人患了流感，经过第二轮后有1+x+x1+x人患了流感，再根据经过两轮传染后共有100人患了流感即可列出方程．
【解答】 解：依题意得1+x+x1+x=100．
故答案为：1+x+x1+x=100．
【点评】 本题考查了一元二次方程的运用，解此类题关键是根据题意分别列出不同阶段患了流感的人数．
10.【答案】向上
直线x=4
(4,3)

【解析】【分析】 由抛物线的解析式可求得其开口方向、对称轴及顶点坐标，可求得答案．
【解答】 解：∵y=2(x−4)2+3，
∴抛物线开口向上，对称轴为x=4，顶点坐标为4,3，
故答案为：向上，直线x=4,4,3．
【点评】 本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a(x−h)2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为h,k．
11.【答案】6
【解析】【分析】先建立适当坐标系，再用待定系数法求函数解析式，令y=3，求出x即可．
【解答】 解：以水面AB所在直线为x轴，过拱顶且垂直于AB的直线为y轴建立如图所示坐标系：
根据题意知，A−6,0,B6,0,C0,4，
设抛物线解析式为y=ax2+4，
把点−6,0代入解析式得：a×(−6)2+4=0，
解得a=−19，
∴抛物线的解析式为y=−19x2+4，
当水面上升3米时，y=3，
则−19x2+4,=3，解得x=±3，
∴水面的宽度为3−−3=6(米)，故答案为：6．
【点评】 本题主要考查的是二次函数的应用，建立坐标系确定抛物线解析式是解题的关键．
12.【答案】60
【解析】【分析】先求出正六边形的中心角，再根据旋转变换的性质解答即可．
【解答】 解：根据题意得：该图形可以看作为一个正六边形，
∵360∘÷6=60∘，∴旋转角α最小可以为60∘，故答案为：60．
【点评】 本题考查的是旋转对称图形、正多边形的性质，求出正六边形的中心角是解题的关键．
13.【答案】(−2,0),(3,0)
【解析】 【分析】 根据表格可以求出抛物线的对称轴为x=12，则可得出答案．
【解答】 解：∵抛物线经过点0,6,1,6，
∴抛物线的对称轴是直线x=12，
∵抛物线经过点−2,0，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为3,0，
∴抛物线与x轴的交点坐标为−2,0,3,0.故答案为：−2,0,3,0．
【点评】 本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点．
14.【答案】80
【解析】【分析】由旋转的性质可知∠B=∠AB1C1,AB=AB1，由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠B=∠BB1A=∠AB1C1=40∘，从而可求得∠BB1C1=80∘．
【解答】 解：由旋转的性质可知：∠B=∠AB1C1,AB=AB1,∠BAB1=100∘，
∵AB=AB1,∠BAB1=100∘
∴∠B=∠BB1A=40∘∴∠AB1C1=40∘
∴∠BB1C1=∠BB1A+∠AB1C1=40∘+40∘=80∘故答案为：80．
【点评】 本题主要考查的是旋转的性质，由旋转的性质得到▵ABB1为等腰三角形是解题的关键．
15.【答案】2
【解析】【分析】求出抛物线C1与x轴的交点坐标，观察图形可知第偶数号抛物线都在x轴下方，然后求出到抛物线平移的距离，再根据向右平移以及沿x轴翻折，表示出抛物线C11的解析式，然后把点P的坐标代入计算即可得解．
【解答】 解：令y=0，则−xx−3=0，
解得x1=0,x2=3，∴A13,0,
由图可知，抛物线C11在x轴上方，
相当于抛物线C1向右平移3×10=30个单位，再沿x轴翻折得到，
∴抛物线C11的解析式为y=−x−30x−30−3=−x−33x−30，
∵P31,m在第11段抛物线C11上，
∴m=−31−3331−30=2.故答案为：2．
【点评】 本题考查了二次函数图象与几何变换，利用点的变化确定函数图象的变化更简便，平移的规律：左加右减，上加下减．
16.【答案】①④
【解析】【分析】由图象可知，当x=−2时，y<0，即4a−2b+c<0，可判定①正确；由对称轴为直线x=2，得b=−4a，而二次函数y=ax2+bx+ca≠0过−1,−2，可得c=−2−5a，根据c<0，得a>−25，故b<85，判断②错误；由a+b+cb−a=a−4a−2−5a−4a−a=−8a−2−5a=85+25a，且a<0，可得a+b+cb−a<85，判断③错误；根据抛物线对称轴为直线x=2，开口向下，知x=2时，函数有最大值y=4a+2b+c，可得at2+bt+c<4a+2b+c，从而可判断④正确．
【解答】 解：由图象可知，当x=−2时，y<0，
∴4a−2b+c<0，故①正确；
∵对称轴为直线x=2，
∴−b2a=2∴b=−4a∵二次函数y=ax2+bx+ca≠0过−1,−2，
∴a−b+c=−2∴c=−2−5a∵c<0，∴−2−5a<0，解得a>25，
∴−4a<85，∴b<85，故②错误；
∵b=−4a,c=−2−5a，
∴a+b+cb−a=a−4a−2−5a−4a−a=−8a−2−5a=85+25a，且a<0，可得a+b+cb−a<85，故③错误；
∵抛物线对称轴为直线x=2，开口向下，
∴x=2时，函数有最大值y=4a+2b+c，
∴对于任意实数t，一定有at2+bt+c≤4a+2b+c，
∴at2+bt≤4a+2b，故④正确；∴正确的有①④，故答案为：①④．
【点评】 本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是数形结合思想的应用．
17.【答案】【解答】 解：(1)2x2−4x+1=0,12
x2−2x=−12，x2−2x+1=−12+1，即(x−1)2=12，
∴x−1=± 22，∴x1=1+ 22,x2=1− 22；
(2)x2x+4=10+5x，
2xx+2−5x+2=0，
x+22x−5=0，
∴x+2=0或2x−5=0，∴x1=−2,x2=52．

【解析】【分析】(1)应用配方法解一元二次方程即可．
(2)应用因式分解法解一元二次方程即可．
【点评】 本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
18.【答案】【解答】 解：(1)当x=0时，y=x2+2x−3=−3，则C0,−3，
∵y=x2+2x−3=(x+1)2−4，
∴顶点D的坐标为−1,−4，
当y=0时，x2+2x−3=0，解得x1=−3,x2=1，
∴A−3,0,B1,0，
如图，
(2)当x=−2时，y=−3；当x=2时，y=5，
而x=−1时，y有最小值−4，
所以当−2故答案为：−4≤y<5．

【解析】【分析】 (1)先计算x=0得到y=−3，则C点坐标为0,−3，再把一般式配成顶点式得到顶点D的坐标为(−1,−4)，接着解方程x2+2x−3=0得A−3,0,B1,0，然后利用描点法画出函数图象；
(2)先计算出x=−2和x=2对应的函数值，然后结合函数图象写出当−2【点评】 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
19.【答案】【解答】 (1)证明：①当k+2=0时，即k=−2时，
方程化为k−1x−3=0,−3x−3=0，
解得x=−1，∴方程有1个解；
②k+2≠0时，方程k+2x2+k−1x−3=0，
Δ=(k−1)2−4k+2×−3=k2+10k+25，
∵Δ=k2+10k+25=(k+5)2≥0，∴方程有实数根，
综上所述，无论k为何实数，方程总有实数根；
(2)解：根据根与系数关系有，
x1+x2=−k−1k+2,x1x2=−3k+2，
∵1x1+1x2=3，
∴x1+x2x1x2=3.即−k−1k+2−3k+2,=3，
∵k+2≠0，∴k=10．

【解析】【分析】(1)分两种情况讨论：①k+2=0时，转化为一元一次方程，然后求证；②k+2≠0时，通过判别式Δ≥0，来证明即可；
(2)条件1x1+1x2=3，可化为x1+x2x1x2=3.根据根与系数关系，即可求出k的值．
【点评】 本题考查了根与系数的关系，综合性较强，难度较大．
20.【答案】【解答】 解：(1)由A、C的坐标分别为A−3,5、C0,3，可得平面直角坐标系如图所示，点B的坐标为(−2,1)；
(2)如图：▵A1B1C1即为所求作；
(3)
存在点P−98,0，使得PA+PC的值最小，
作点C关于x轴的对称点C2，连接AC2，则AC2交x轴于点P，
∵C0,3，点C2为点C关于x轴的对称点，
∴C20,−3，∵A−3,5,C20,−3，
设直线AC2的解析式为：y=kx+b，将A−3,5,C20,−3代入解析式中，
可得，−3k+b=50k+b=−3解得，k=−83,b=−3,
∴直线AC2的解析式为：y=−83x−3令y=0，得x=−98，
故存在P−98,0，使得PA+PC的值最小．

【解析】【分析】(1)根据A、C的坐标确定平面直角坐标系的原点位置，从而画出平面直角坐标系，并得到点B的坐标(2)根据旋转的定义作图即可
(3)根据图形对称性质，作点C关于x轴的对称点C2，连接AC2，则AC2交x轴于点P，此时PA+PC的值最小．此时由A−3,5,C20,−3，求得直线AC2的解析式，进而求出直线AC2与x轴的交点，即得P点坐标．
【点评】 本题考查了平面直角坐标系，图形的旋转及对称性质，熟练掌握图形的旋转及对称变换是解题的关键．
21.【答案】【解答】 解：(1)设AB=xm，则BC=100−4xm．
∵100−4x<50．∴x≥12.5，
由题意知，x100−4x=400.即x2−25x+100=0.解得：x1=20,x2=5(舍)，
∴AB=20m,BC=100−4×20=20m
答：羊圈的边长AB长为20m．BC的长为20m；
(2)设AB=xm，则BC=100−4xm，则S=x100−4x=−4x2+100x.=−4x−2522+625．
当x=252时，Smax=625
答：当羊圈的边长AB为252m，BC为50m时，总面积S有最大值，最大值是625m2

【解析】【分析】 (1)设AB=xm，则BC=100−4x，根据墙长可得x的范围，由矩形面积公式列出关于x的方程，解之可得：(2)设羊圈的面积为y，由矩形面积公式得出函数解析式，继而配方成顶点式后可得最值
【点评】 本题主要考查一元二次方程和二次函数的应用。根据题意列出一元二次方程或函数解析式，并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键
22.【答案】【解答】 解：(1)根据题意得：y=200−x−30×5=−5x+350，
∵商场每周完成不少于150包的销售任务，
∴−5x+350≥150，解得：x≤40，
∵供货厂家规定市场价不得低于30元/包，∴30≤x≤40，
即周销售量y(包)与售价单价x(元/包)之间的函数关系式为y=−5x+35030≤x≤40
(2)根据题意得：w=x−20−5x+350=−5x2+450x−7000，
即所获得的利润w(元)与售价x(元/包)之间的函数关系式为w=−5x2+450x−7000；
(3)w=−5x2+450x−7000=−5(x−45)2+3125，
∴当x=45时，w有最大值，最大值为3125，
即当售价定为45元时，商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润最大？最大利润是3125元．

【解析】【点评】 本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，可以写出相应的函数解析式，并确定自变量的取值范围以及可以求出函数的最值．
【分析】(1)根据题意可以直接写出y与x之间的函数关系式；
(2)根据题意可以直接写出w与x之间的函数关系式，由供货厂家规定市场价不得低于30元/包，且商场每周完成不少于150包的销售任务可以确定x的取值范围；
(3)根据第(2)问中的函数解析式和x的取值范围，可以解答本题．
23.【答案】【解答】 解：(1)如图1，过点B作BC⊥x轴于点C，
∵▵AOB为等边三角形，且OA=2，
∴∠AOB=60∘,OB=OA=2，
∴∠BOC=30∘，而∠OCB=90∘，
∴BC=12OB=1,OC= 3∴点B的坐标为B 3,1；
(2)∵▵APQ、▵AOB均为等边三角形，
∴AP=AQ、AO=AB、∠PAQ=∠OAB，∴∠PAO=∠QAB，
在▵APO与▵AQB中，AP=AQ∠PAO=∠QAB,AO=AB
∴▵APO≌▵AQBSAS，∴∠ABQ=∠AOP=90∘；
(3)当点P在x轴正半轴上时，∵∠OAB=60∘，
∴将AP绕点A逆时针旋转60∘时，点Q在点B上方，∴OQ和AB必相交，
当点P在x轴负半轴上时，点Q在点B的下方，
∵AB//OQ,∠BQO=90∘,∠BOQ=∠ABO=60∘．
在Rt▵BOQ中，OB=2,∠OBQ=90∘−∠BOQ=30∘，∴BQ= 3，
由(2)可知，▵APO≌▵AQB，∴OP=BQ= 3，
∴此时P的坐标为− 3,0．

图1 图2

【解析】【分析】(1)如图，作辅助线；证明∠BOC=30∘,OB=2，借助直角三角形的边角关系即可解决问题；
(2)证明▵APO≌▵AQB，得到∠ABQ=∠AOP=90∘，即可解决问题；
(3)根据点P在x的正半轴还是负半轴两种情况讨论，再根据全等三角形的性质即可得出结果．
【点评】 此题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质，旋转得性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，含30度角的直角三角形的性质，解(1)的关键是求出OC，解(2)的关键是判断出∠PAO=∠QAB，解(3)的关键是求出BQ，是一道中等难度得中考常考题．
24.【答案】
【解答】 解：(1)把点A1,0代入y=x2+2bx−3b得：1+2b−3b=0，
解得：b=1，∴二次函数的表达式为：y=x2+2x−3．
(2)如图1，对函数y=x2+2x−3，
当x=0时，y=−3，当y=0时，x1=−3,x2=1，
∴C0,−3,B−3,0,A1,0，∴AB=4,OB=OC=3,BC=3 2，
过点Q作QN⊥AB于点N，
∴sin∠NBQ=sin∠OBC，∴NQQB=OCBC,
设运动时间为t，则：BQ=t,AP=2t，
∴BP=4−2t,NQt=33 2，∴NQ= 22t，
∴S▵BPQ=12×BP×NQ=124−2t× 22t= 22(t−1)2+ 22，
∴当t=1时，▵BPQ面积的最大值为 22．
(3)①∵二次函数y=x2+2bx−3b的图象开口向上，
∴当二次函数y=x2+2bx−3b的图象与x轴没有交点或只有1个交点时，x≥1总有y≥0成立(如图2)；
此时Δ≤0，即(2b)2−4−3b≤0，解得−3≤b≤0；
②当二次函数y=x2+2bx−3b的图象与x轴有2个交点时，
Δ=(2b)2−4−3b>0，可得b>0或b<−3，
设此时两交点为x1,0,x2,0，则x1+x2=−2b,x1⋅x2=−3b，
要使x≥1的任意实数x，都有y≥0，需x1≤1,x2≤1，即x1−1≤0,x2−1≤0(如图3)，
∴x1−1+x2−1≤0且x1−1⋅x2−1≥0，
∴−2b−2≤0且−3b−−2b+1≥0，
解得−1≤b≤1，∴此时0总上所述，对满足x≥1的任意实数x，都使得y≥0成立，则−3≤b≤1．

【解析】【分析】(1)把点A1,0代入解析式，求出b，得到解析式；
(2)过点Q作QN⊥AB于点N，利用相似表达出▵BPQ的高，然后表示出▵BPQ的面积，利用二次函数的性质求出最大面积；
(3)分类讨论，函数图象与x轴有一个交点和没有交点时，x≥1的任意实数x，都有y≥0成立，若函数图象与x轴有两个交点，则需满足两交点的横坐标均不大于1，列出不等式即可求b的取值范围．
x
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
−2
−1
0
1
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
y
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
0
4
6
6
⋅⋅⋅⋅⋅⋅