2023-2024学年江苏省南通市海安市曲塘片九年级（上）10月月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南通市海安市曲塘片九年级（上）10月月考数学试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.已知点A(1,a)、点B(b,2)关于原点对称，则a+b的值为
( )
A. 3B. −3C. −1D. 1
3.用配方法解方程x2−4x+2=0，下列配方正确的是
( )
A. (x−2)2=2B. (x+2)2=2C. (x−2)2=-2D. (x−2)2=6
4.在某次聚会上每两个人都握了一次手，所有人共握手28次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是：
( )
A. x(x−1)=28B. 12x(x−1)=28C. x(x+1)=28D. 12x(x+1)=28
5.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象如图所示，那么下列结论中正确的是( )
A. a>0B. b<0C. c<0D. b=-2a
6.如图，等边△OAB的边OB在x轴上，点B坐标为(2,0)，以点O为旋转中心，把△OAB逆时针转90°，则旋转后点A的对应点A’的坐标是
( )
A. (−1, 3)B. ( 3,−1)C. (− 3,1)D. (−2,1)
7.若二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象经过A(−10,y1)，B(2,y2)，C(−1,y3)，D(−5,y3)四点，则y1，y2，y3的大小关系正确的是( )
A. y18.把一个足球垂直于水平地面上踢，该足球距离地面的高度h(米)与所经过的时间t(秒)之间的关系为h=10t−t2(0≤t≤8).若存在两个不同的t的值，使足球离地面的高度均为a(米)，则a可能是
( )
A. 30B. 21C. 15D. 12
9.二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值如下表：
下列说法正确的是( )
A. 抛物线的开口向下B. 当x>−3时，y随x的增大而增大
C. 二次函数的最小值是−2D. 抛物线的对称轴是直线x=−52
10.如图，在矩形ABCD中，AB=4cm．BC=8cm，点P,Q同时从点B出发、终点都是点D.速度都是1cm/s，点P的运动路径是BA→AD，点Q的运动路径是BC→CD.设线段PQ与PQ左侧矩形的边围成的阴影部分面积为S，则面积S与运动时间t之间的函数图象为
( )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11.抛物线y=-(x−3)2+2的顶点坐标是 ．
12.已知点A(−1,t)，在抛物线y=-3x2+2上，则t的值为 ．
13.若m、n是方程x²−3x−1=0的解，则m²−4m−n的值是 ．
14.某种商品的价格是2元，准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都是x，经过两次降价后的价格y(单位：元)与x之间的函数关系式为 ．
15.二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，若关于x的一元二次方程ax2+bx+m=0的两个实数根异号，则m的取值范围是 ．
16.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c(a> 0)的部分图象如图所示，其对称轴为直线x= 2，与y轴交于点(0,−2)，则当y<−2时，x的取值范围是
17.如图，在RtΔABC中，∠C=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A’B’C，M、M’分别是AB、A’B’的中点，若AC=4，BC=2，则线段MM’的长为 ．
18.新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数y=x2−x−c(c为常数)在−2三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
19.解下列方程：
(1)(3x−1)2=2(3x−1)；
(2)2x2−4x+1=0．
四、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20.(本小题8.0分)
已知关于x的一元二次方程x2+2x+k−2=0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若k为非负整数，且该方程的根都是整数，求k的值．
21.(本小题8.0分)
某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了39m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙(墙长15m)围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场(如图所示)．

(1)若要建的矩形养鸡场面积为120m2，求鸡场的长AB和宽BC；
(2)该扶贫单位想要建一个130m2的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由．
22.(本小题8.0分)
如图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，

(1)以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°到△AD’E’，画出旋转后的图形．
(2)作∠EAE’的角平分线交BC于点G，连接EG，则EG与DE、BG有什么数量关系？说明理由．
(3)连接BD分别交AG、AE于点M、N，若BM=3，DN=4，求MN的长．
23.(本小题8.0分)
2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某旅游商店以每件50元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件80元的价格出售，每日可售出200件．从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，日销售量就会增加20件．
(1)设定价为x元，日销售量为y件．试用含x的式子表示y，y= ；
(2)当该吉祥物售价为多少元时，日销售利润达7500元？
(3)请你测算一下，该商场如何定价，可使日销售利润最多？
24.(本小题8.0分)
如图，已知抛物线经过两点A(−3,0)，B(0,3)，且其对称轴为直线x=−1．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)直线x=m(在A、B之间)交抛物线于M点，交直线AB于N，用m表示线段MN的长．
(3)若点P是抛物线上点A与点B之间的动点(不包括点A，点B)，求△PAB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
25.(本小题8.0分)
二次函数y=(m+1)x2−2(m+1)x−2m+4．
(1)求该二次函数图象的对称轴；
(2)若图象过点A(−2,n)，且−4(3)若点P(x1,y1),Q(2,y2)在该二次函数图象上，且y1≤y2，求x1的取值范围．
26.(本小题8.0分)
定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．
例如，点(1,1)是函数y=12x+12的图象的“等值点”．
(1)判断函数y=x+2的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
(2)求函数y=x2−2的图象的“等值点”坐标；
(3)若函数y=x2−2的图象记为W1，将其沿直线x=m翻折后的图象记为W2.当W1，W2两部分组成的图象上恰有3个“等值点”时，请直接写出m的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】中心对称图形定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；轴对称图形定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据定义逐项判定即可得出结论．
【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查中心对称图形与轴对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形与轴对称图形的定义是解决问题的关键．
2.【答案】B
【解析】【分析】由关于原点对称的两个点的坐标之间的关系直接得出a、b的值即可．
【详解】解：∵点A(1,a)、点B(b,2)关于原点对称，
∴a=-2，b=-1，
∴a+b=-3．
故选：B．
【点睛】本题考查关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的两个点，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数．
3.【答案】A
【解析】【分析】根据配方法求解即可．
【详解】解：x2−4x+2=0
x2−4x=-2，
x2−4x+4=-2+4，
(x−2)2=2．
故选A．
【点睛】题目主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．
4.【答案】B
【解析】【分析】如果有x人参加了聚会，则每个人需要握手(x−1)次，x人共需握手x(x−1)次；而每两个人都握了一次手，因此要将重复计算的部分除去，即一共握手：12x(x−1)次；已知“所有人共握手28次”，据此可列出关于x的方程．
【详解】解：设x人参加这次聚会，则每个人需握手：(x−1)次，
根据题意得：12x(x−1)=28．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象一元二次方程的应用，关键是理清题意，找对等量关系，需注意的是本题中“每两人都握了一次手”的条件，类似于球类比赛的单循环赛制．
5.【答案】D
【解析】【分析】根据二次函数的图象逐一判断即可．
【详解】解：由图可知：抛物线开口向下，
∴a<0，
故A错误，不符合题意；
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，
∴c>0，
故C错误，不符合题意；
∵对称轴为直线x=1，
∴-b2a=1，
即b=-2a，
故D正确，符合题意；
∵a<0，−b2a=1，
∴b>0，
故B错误，不符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，从图象中获取信息并结合图象去分析是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】【分析】如图，过点A作AE⊥OB于E，过点A′作A′H⊥x轴于H.利用全等三角形的性质解决问题即可．
【详解】解：如图，过点A作AE⊥OB于E，过点A′作A′H⊥x轴于H．
∵B(2,0)，△AOB是等边三角形，
∴OA=OB=AB=2，
∵AE⊥OB，
∴OE=EB=1，
∴AE= AO2−OE2= 22−12= 3，
∵A′H⊥OH，
∴∠A′HO=∠AEO=∠AOA′=90°，
∴∠A′OH+∠AOE=90°，∠AOE+∠OAE=90°，
∴∠A′OH=∠OAE，
∴△A′OH≌△OAE(AAS)，
∴A′H=OE=1，OH=AE= 3，
∴A′(− 3,1)，
故选：C．
【点睛】本题考查坐标与图形变化−旋转，等边三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
7.【答案】A
【解析】【分析】先根据二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象经过C(−1,y3)，D(−5,y3)求出对称轴，再根据函数图象判断即可．
【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象经过C(−1,y3)，D(−5,y3)，
∴二次函数对称轴为直线x=−1−52=-3，
∵a<0，
∴抛物线开口向下，
∵−3−(−10)>2−(−3)>−3−(−1)，
∴y1，y2，y3的大小关系为y1故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，能够找出对称轴是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】【分析】根据题意可知10t−t2=a，然后根据一元二次方程根的判别式及二次函数的性质可得a的范围，进而问题可求解．
【详解】解：由题意得：a≥0，则方程10t−t2=a有两个不相等的实数根，
∴Δ=b2−4ac=100−4a>0，
解得a<25，
∴0≤a<25，
∵0≤t≤8，对称轴为直线t=5，
∴当t=8时，则h=80−64=16=a，
∴16≤a<25，
∴符合题意的只有B选项；
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意得到相应方程及将实际问题转化为方程问题．
9.【答案】D
【解析】【分析】先根据表格求出抛物线的解析式，之后再根据二次函数的性质一一判定即可．
【详解】解：将点(−4,0)、(−1,0)、(0,4)代入到二次函数y=ax2+bx+c中，
得：0=16a−4b+c0=a−b+c4=c，解得：a=1b=5c=4,
∴二次函数的解析式为y=x ²+5x+4．
A. a=1>0，抛物线开口向上，A不正确；
B. −b2a=−52，当x⩾−52时，y随x的增大而增大，B不正确；
C. y=x²+5x+4=(x+52) ²−94，二次函数的最小值是−94，C不正确；
D. −b2a=−52，抛物线的对称轴是x=−52，D正确．
故选D．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，利用待定系数法求得抛物线解析式是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】【分析】分0≤t≤4,4【详解】解：当0≤t≤4时，点P在AB上，点Q在BC上，此时阴影部分为Rt△PBQ，
由题意：PB=BQ=tcm，
∴S=12BP×BQ=12t2．
此时的函数图象为顶点在原点，开口向上的抛物线的一部分；
当4由题意：BQ=tcm,AP=(t−4)cm，
∴S=12(AP+BQ)×AB=12(2t−4)×4=4t−8，
此时的函数图象为直线S=4t−8的一部分，是一条线段；
当8由题意：PD=DQ=(12−t)cm，
∴S=S矩形ABCD−S△PDQ=8×4−12DP×DQ=12−12(12−t)2，
此时的函数图象为抛物线S=-12(12−t)2+12的一部分，
综上，面积S与运动时间t之间的函数图象为：A．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，一次函数的图象，二次函数的图象，三角形、矩形，梯形的面积．利用分类讨论的思想分情形求得S与t的关系式是解题的关键．
11.【答案】(3,2)
【解析】【分析】根据抛物线的顶点式写出顶点坐标即可．
【详解】解：由y=-(x−3)2+2得到顶点坐标是(3,2)，
故答案为：(3,2)
【点睛】此题考查了二次函数的顶点式，熟练掌握二次函数顶点式的性质是解题的关键．
12.【答案】−1
【解析】【分析】将A点坐标代入即可．
【详解】解：因为点A在抛物线y=-3x2+2的图象上，
所以−3×(−1)2+2=t．
得t=-3+2=-1．
故答案为：−1．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，将点的坐标代入后的正确计算是解题的关键．
13.【答案】−2
【解析】【分析】先根据一元二次方程根的定义得到m2=3m+1，则m2−4m−n可变形为−(m+n)+1，再根据根与系数的关系得到m+n=3，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵m是方程x2−3x−1=0的解，
∴m2−3m−1=0，
∴m2=3m+1，
∴m2−4m−n=3m+1−4m−n=-(m+n)+1，
∵m、n是方程x2−3x−1=0的解，
∴m+n=3，
∴m2−4m−n=-(m+n)+1=-3+1=-2．
故答案为：−2．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，解题的关键是掌握若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=-ba，x1x2=ca．
14.【答案】y=2(1−x)2
【解析】【分析】根据题意可得第一次降价后的价格为2(1−x)，第二次降价后价格为2(1−x)(1−x)，进而可得y与x之间的关系式．
【详解】解：每次降价的百分率都是x，经过两次降价后的价格y，
则y=2(1−x)2，
故答案为：y=2(1−x)2．
【点睛】本题考查了列二次函数关系式，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
15.【答案】m<0
【解析】【分析】可得ax2+bx=-m，令y1=-m，可得一元二次方程ax2+bx+m=0的两个实数根异号，就是抛物线y=ax2+bx与直线y1=-m交点的横坐标异号，据此结合图象即可求解．
【详解】解：由ax2+bx+m=0得
∴ax2+bx=-m，
令y1=-m，
∵一元二次方程ax2+bx+m=0的两个实数根异号，
∴抛物线y=ax2+bx与直线y1=-m交点的横坐标异号，
如图，
由图可得：
抛物线y=ax2+bx与直线y1=-m交点在x轴上方时，
交点的横坐标异号，
∴-m>0
解得：m<0；
故答案：m<0．
【点睛】本题考查了二次函数中数形结合能力，利用二次函数图象根据方程根的情况确定参数的取值范围，掌握解法是解题的关键．
16.【答案】0【解析】【分析】根据题意和图像，函数与y轴交于点(0,−2)，其关于对称轴的对称点为(4,−2)，y<−2即为图像上两点以下的部分，即可判断出x的范围．
【详解】∵函数图像与y轴交点为(0,−2)，对称轴为x=2，
∴交点关于对称轴的对称点坐标为(4,−2)，
当y<−2时，在函数图像上处于(0,−2)、(4,−2)两点以下，如图，
此区间x的范围为：0故答案为：0【点睛】本题考查了二次函数图像，关键在于灵活利用函数图像对称的性质和从图像获得变量的范围．
17.【答案】 10
【解析】【分析】连接CM，CM’，可求AB=2 5，从而可求CM=CM’=12AB= 5，可得∠MCM’=90°，即可求解．
【详解】解：如图，连接CM，CM’，

∵AC=4，BC=2，∠C=90°，
∴AB= AC2+BC2
= 42+22=2 5，
由旋转得：A’B’=AB=2 5，
∠A’CB’=∠ACB=90°
∵M、M’分别是AB、A’B’的中点，
∴CM=CM’=12AB= 5，
M’是M的对应点，
∴∠MCM’=90°，
∴MM’= CM2+CM’2
= 2CM= 10；
故答案为： 10．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形的特征，作出辅助线，掌握性质是解题的关键．
18.【答案】−4【解析】【分析】由题意得二倍点所在直线为y=2x，则联立直线解析式与抛物线解析式可得方程有两个不相等的实数根；根据图示可得x=-2和x=4时，抛物线上的点与直线y=2x的位置关系，即可建立不等式求解．
【详解】解：由题意得：二倍点所在直线为y=2x
令x=-2，则y=-4；令x=4，则y=8
设A(−2,-4),B(4,8)，如图所示：
联立y=x2−x−c和y=2x
则有：x2−3x−c=0
∵二次函数y=x2−x−c(c为常数)在−2∴Δ=b2−4ac=9−4c>0
解得：c<94
由图可得：(−2)2−(−2)−c> -442−4−c>8
解得：c> -4
综上所述：−4故答案为：−4【点睛】本题考查一次函数与二次函数的综合题．得出二倍点所在直线为y=2x，掌握数形结合的数学思想是解题关键．
19.【答案】【详解】(1)解：(3x−1)2=2(3x−1)，
∴(3x−1)2−2(3x−1)=0，
∴(3x−1)(3x−1−2)=0，
解得：x1=13,x2=1；
(2)2x2−4x+1=0，
∴x2−2x+12=0，
∴x2−2x=-12，
∴x2−2x+1=-12+1，
∴(x−1)2=12，
∴x−1=± 22，
∴x1=1+ 22,x2=1− 22．

【解析】【分析】(1)因式分解法解方程即可；
(2)配方法解方程即可．
【点睛】本题考查解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．
20.【答案】(1)k<3
(2)k=2

【解析】【分析】(1)由一元二次方程根的判别式：Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；据此即可求解；
(2)原方程化为(x+1)2=3−k，可得3−k是整数的平方，可求k取0、1、2，进行逐一判断即可求解．
【详解】(1)解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴Δ=22−4(k−2)>0，
解得：k<3，
故k的取值范围：k<3．
(2)解：原方程可化为(x+1)2=3−k，
∵方程的根都是整数，
∴3−k是整数的平方，
∵k为非负整数，
∴k取0、1、2，
∴当k=2时，
3−k=3−2=12，
当k取0、1时，不符合条件，
故k的值为2．
【点睛】本题考查了由一元二次方程根的判别式求参数的取值范围，一元二次方程根的定义，掌握根的判别式是解题的关键．
21.【答案】(1)长AB为15m，宽BC为8m
(2)想法不能实现

【解析】【分析】(1)设BC=xm，则可表示出长AB，由面积关系即可列出方程，解方程即可．
(2)设BC=xm，则可表示出长AB，由面积关系即可列出方程，根据方程是否有解或方程的解是否符合题意，即可作出判断．
【详解】(1)解：设BC=xm，则AB=(39−3x)m，
由题意得：x(39−3x)=120，
整理得：x2−13x+40=0，
解得：x1=5,x2=8，
当x=5时，39−3x=24>15，不符合题意；当x=8时，39−3x=15，符合题意；
答：鸡场的长AB和宽BC分别为15m与8m．
(2)解：设BC=xm，则AB=(39−3x)m，
由题意得：x(39−3x)=130，
整理得：3x2−39x+130=0，
Δ=(−39)2−4×3×130=1521−1560<0，
方程无实数解；
所以想法不能实现．
【点睛】本题考查了一元二次方程与图形，正确列出方程是解题的关键．
22.【答案】(1)见详解
(2)DE+BG=EG，理由见详解
(3)5

【解析】【分析】(1)按要求作图即可求解；
(2)可证E’G=DE+BG，再证△E’AG≌△EAG(SAS)，从而可得EG=E’G，即可求解．
(3)在AE’上截取AF=AD，连接BF、FM，可证△BAF≌△DAN(SAS)，可得MF=MN，BF=DN=4，∠ABF=∠ADN=45°，由MF= BF2+BM2即可求解．
【详解】(1)解：如图，
(2)解：DE+BG=EG，理由如下：
如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠D=90°，
由旋转得：∠EAE’=∠AD’E’=∠D=90°，
AE’=AE，DE=D’E’，
∴∠AD’E’+∠ABC=180°，
∴E’、B(D’)、C三点共线，
∴BE’=DE，
∴E’G=BE’+BG
=DE+BG，
∵AG平分∠EAE’，
∴∠E’AG=∠EAG，
在△E’AG和△EAG中
AE’=AE∠E’AG=∠EAGAG=AG,
∴△E’AG≌△EAG(SAS)，
∴E’G=EG，
∴DE+BG=EG．
(3)解：如图，在AE’上截取AF=AD，连接BF、FM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABD=∠ADB=45°，
由旋转得：∠BAF=∠DAN，
在△BAF和△DAN中
AB=AD∠BAF=∠DANAF=AD,
∴△BAF≌△DAN(SAS)，
∴MF=MN，BF=DN=4，
∠ABF=∠ADN=45°，
∴∠EBM=∠ABF+∠ABD=90°，
∴MF= BF2+BM2，
= 42+32=5，
∴MN=5．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键．
23.【答案】(1)−20x+1800
(2)65元
(3)每件售价为70元时

【解析】【分析】(1)销售量=降价前每日销售量+降价所增加的销售量，据此即可求解；
(2)每件所获利润×日销售量=7500元，据此即可求解；
(3)设日销售利润为W元，日销售利润=每件所获利润×日销售量，据此即可求解．
【详解】(1)解：y=200+20(80−x)
=-20x+1800，
故答案：−20x+1800；
(2)解：由题意得
(x−50)(−20x+1800)=7500，
整理得：x2−140x+4875=0，
解得：x1=65，x 2=75，
∵降价促销，
∴x 2=75舍去
∴x=65，
答：该吉祥物售价为65元时，日销售利润达7500元．
(3)解：设日销售利润为W元，由题意得
W=(x−50)(−20x+1800)
=-20(x−70)2+8000，
∵-20<0，
∴当x=70时，W最大=8000(元)；
答：每件售价为70元时，可使日销售利润最多．
【点睛】本题考查一次函数在销售问题的应用，一元二次方程在销售问题中应用，二次函数在销售问题中的应用，找出等量关系式是解题的关键．
24.【答案】(1)y=-x2−2x+3
(2)MN=-m2−3m
(3)当点P(−32,154)时，S△PAB有最大值278．

【解析】【分析】(1)抛物线经过两点A(−3,0)，对称轴为直线x=−1，则抛物线与x轴另外一个交点坐标为：(1,0)，即可求解；
(2)用m分别表示出点M、N坐标，进而表示出MN长；
(3)过点P作y轴的平行线交AB于点H，由S△PAB=12PH×OA=-32x2−92x，即可求解．
【详解】(1)∵抛物线经过两点A(−3,0)，对称轴为直线x=−1，则抛物线与x轴另外一个交点坐标为：(1,0)，
则抛物线的表达式为：y=a(x+3)(x−1)=a(x2+2x−3)，
又∵抛物线经过B(0,3)，所以−3a=3，解得：a=-1，
∴抛物线的表达式为：y=-(x+3)(x−1)=-x2−2x+3；
(2)设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵A(-3,0)，B(0,3)，
∴−3k+b=0b=3,
∴直线AB为y=x+3，
当x=m时，点M(m,-m2−2m+3)，则点N(m,m+3)，
则MN=(−m2−2m+3)−(m+3)=-m2−3m，
(3)过点P作y轴的平行线交AB于点H，
直线AB的表达式为：y=x+3，
设点P(x,-x2−2x+3)，则点H(x,x+3)，
则S△PAB=12PH×OA=12×(−x2−2x+3−x−3)×3=-32x2−92x，
∵32<0，∴S△PAB有最大值278，此时x=-32，
点P(−32,154)．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形的面积计算等，其中(3)在坐标系中利用三角形面积等于水平宽×铅直高的一半表示是常用方法．
25.【答案】(1)x=1
(2)−6(3)m> -1时，0≤x1≤2；m< -1时x1≤0或x1≥2

【解析】(1)根据x=-b2a计算即可；
(2)将A(−2,n)代入二次函数解析式中得n的表达式，从而得到mn的表达式，根据二次函数的图象得到mn的取值范围；
(3)二次函数的图象分开口向上和开口向下两种情况，分别计算x1的取值范围即可．
【详解】(1)解：对称轴为直线x=-−2(m+1)2(m+1)=1；
(2)解：将A−2,n代入二次函数解析式中得：
n=4(m+1)+4(m+1)−2m+4=6m+12，
∴mn=m(6m+12)=6m2+12m=6(m+1)2−6，
∵二次函数的二次项系数不等于0，
∴m+1≠0，
∴m≠−1，
∴mn> -6；
∵mn=6(m+1)2−6，且−4∴当m=3时，mn=6×(3+1)2−6=90，
∴mn<90，
综上所述，−6(3)当m+1>0时，即m> -1时，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x=1，
点Q2,y2关于对称轴x=1的对称点为Q’(0,y2)，
∵y1≤y2，
∴0≤x1≤2；
当m+1<0时，即m< -1时，二次函数的图象开口向下，对称轴为直线x=1，
点Q2,y2关于对称轴x=1的对称点为Q’(0,y2)，
∵y1≤y2，
∴x1≤0或x1≥2
综上所述，m> -1时，0≤x1≤2；m< -1时x1≤0或x1≥2．
【点睛】本题考查了二次函数的对称轴，二次函数的图象与性质，体现了分类讨论和数形结合的数学思想，第(3)问进行分类讨论是解题的关键．
26.【答案】(1)不存在，理由见详解
(2)(−1,-1)，(2,2)
(3)−98或−1或2

【解析】【分析】(1)当y=x时，可得x=x+2，即可求解；
(2)当y=x时，可得x2−x−2=0，即可求解；
(3)可求W2=(x−2m)2−2，由“等值点”定义可得：二次函数图象与直线y=x图象的交点为对应的“等值点”，可得x2−(4m+1)x+4m2−2=0，从而可求Δ=8m+9，分类讨论①当Δ<0时，可求W1，W2两部分组成的图象只有2个“等值点”(−1,-1)，(2,2)；②当Δ=0时，可求W1，W2两部分组成的图象有3个“等值点”−74,-74，(−1,-1)，(2,2)；③当Δ>0时，(ⅰ)当m=-1时，(ⅱ)当m=2时，(ⅲ)当−982时；即可求解．
【详解】(1)解：不存在，理由如下：
当y=x时，
x=x+2，
∴0=2，不成立，
∴y=x+2不存在“等值点”．
(2)解：当y=x时，
x=x2−2，
整理得：x2−x−2=0，
x1=-1，x2=2，
∴“等值点”为(−1,-1)，(2,2)．
(3)解：∵将W1沿直线x=m翻折后的图象记为W2，
∴可设W2=(x−k)2−2，
由y=x2−2可得顶点(0,2)，
∴k+02=m，
∴k=2m，
∴W2=(x−2m)2−2，
由(2)得W1一定有2个“等值点”(−1,-1)，(2,2)，
∴(−1,-1)，(2,2)是W1，W2两部分组成的图象的“等值点”，
由“等值点”定义可得：二次函数图象与直线y=x图象的交点为对应的“等值点”，
∴(x−2m)2−2=x，
整理得：x2−(4m+1)x+4m2−2=0，
∴Δ=−(4m+1)2−44m2−2
=8m+9，
①当Δ<0时，
即：8m+9<0，
解得：m< -98，
∴此时方程无实根，
∴如图，此时二次函数图象与直线y=x图象没有交点，

∴W2的图象没有“等值点”，
∴W1，W2两部分组成的图象只有2个“等值点”(−1,-1)，(2,2)；
②当Δ=0时，
即：8m+9=0，
解得：m=-98，
∴此时方程有两个相等的实根，
∴如图，此时二次函数图象与直线y=x图象有一个交点，

∴x2+72x+4916=0，
解得：x1=x2=-74，
∴W2的图象有一个“等值点”为−74,-74，
∴W1，W2两部分组成的图象有3个“等值点”−74,-74，(−1,-1)，(2,2)；
③当Δ>0时，
即：8m+9>0，
解得：m> -98，
∴此时方程有两个不相等的实根，
∴如图，此时二次函数图象与直线y=x图象有两个交点，

∴W2的图象有2个“等值点”，
(ⅰ)当m=-1时，
如图，

∴W2的图象经过(−1,-1)
∴x2+3x+2=0，
解得：x1=-1，x2=-2，
∴W2的图象有2个“等值点”(−1,-1)，(−2,-2)，
∴W1，W2两部分组成的图象3个“等值点”(−1,-1)，(2,2)，(−2,-2)；
(ⅱ)当m=2时，
如图，

W2的图象经过(2,2)时，
∴x2−9x+14=0，
解得：x1=2，x2=7，
∴W2的图象有2个“等值点”(2,2)，(7,7)，
∴W1，W2两部分组成的图象3个“等值点”(−1,-1)，(2,2)，(7,7)；
(ⅲ)当−98如图，

∴W2的图象有2个“等值点”，
∴W1，W2两部分组成的图象4个“等值点”；
(ⅲ)当−1如图，

∴W2的图象有2个“等值点”，
∴W1，W2两部分组成的图象4个“等值点”；
(ⅲ)当m>2时，
如图，

∴W2的图象有2个“等值点”，
∴W1，W2两部分组成的图象4个“等值点”；
综上所述：当m的值为−98或−1或2，
【点睛】本题考查了二次函数在新定义中的应用，一元二次方程的应用，二次函数图象与一次函数图象交点个数判断方法，理解新定义，掌握判断方法是解题的关键．
x
…
−5
−4
−3
−2
−1
0
…
y
…
4
0
−2
−2
0
4
…