2023-2024学年江苏省苏州市吴中区重点大学附属中学九年级（上）10月月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省苏州市吴中区重点大学附属中学九年级（上）10月月考数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是
( )
A. x−1=0B. x3+x=3C. x2+3x−5=0D. ax2+bx+c=0
2.抛物线y=-2(x−2)2−5的顶点坐标是
( )
A. (−2,5)B. (2,5)C. (−2,-5)D. (2,-5)
3.一元二次方程x2−5x+2=0根的判别式的值是
( )
A. 33B. 23C. 17D. 17
4.将抛物线y=x2向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是
( )
A. y=(x−3)2+4B. y=(x+3)2+4C. y=(x+3)2−4D. y=(x−3)2−4
5.在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+k与y=kx+a(a≠0)的图象可能是
( )
A. B.
C. D.
6.如图是某月的月历表，在此月历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6，7，8，13，14，15，20，21，22).若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，设这个最小数为x，则下列方程正确的是( )
A. x+(x+7)=192B. x(x+7)=192
C. x+(x+16)=192D. x(x+16)=192
7.已知二次函数y=ax2−2ax+4的图象开口向上，若点A−2,y1,B−1,y2,C5,y3都在该函数图象上，则y1,y2，y3三者之间的大小关系是( )
A. y18.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，有下列说法：
①若a−b+c=0，则方程ax2+bx+c=0(a≠0)必有一个根为1；
②若方程ax2+c=0有两个不相等的实数根，则方程ax2+bx+c=0(a≠0)必有两个不相等的实数根；
③若c是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根，则b2−4ac=(2ax0+b)2；其中正确的是
( )
A. ②③④B. ②④C. ②D. ①②④
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9.若x=1是关于x的一元二次方程x2+nx−6=0的一个根，则n= ．
10.方程xm+4+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m= ．
11.二次函数y=-x2−3x+4的最大值是 ．
12.已知抛物线y=x2−3x−2023与x轴的一个交点为(a,0)，则代数式a2−3a−2024的值为 ．
13.已知关于x的方程mx2+n=0的解是：x1=-3，x2=1，则关于x的方程m(x−5)2+n=0的解是 ．
14.若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程x2−10x+m=0的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为 ．
15.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC=8 2cm,AD为BC边上的高，动点P从点A出发，沿A到的D方向以1cm/s的速度向点D运动，设△ABP的面积为S1，矩形PDEF的面积为S2，运动时间为t秒(016.如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1=x2(x≥0)与y=14x2(x≥0)交于B，C两点，过点C作y轴的平行交y1于点D，直线DE/\!/AC，交y2于点E，则DEAB= ．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
17.解方程：
(1)x2−4x−3=0；
(2)(3x−1)2=2(3x−1)．
四、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18.(本小题8.0分)
已知函数y=(m−2)x|m|+8x−5是二次函数．
(1)求m的值：
(2)写出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标．
19.(本小题8.0分)
已知关于x的方程14x2−(m−2)x+m2=0．
(1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
(2)若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出此时方程的解．
20.(本小题8.0分)
学校拓展小组研制了绘图智能机器人(如图1)，顺次输入点P1，P2，P3的坐标，机器人能根据图2，绘制图形.若图形是线段，求出线段的长度；若图形是抛物线，求出抛物线的函数关系式.请根据以下点的坐标，求出线段的长度或抛物线的函数关系式．
(1)P1(4,0)，P2(0,0)，P3(6,6)．
(2)P1(0,0)，P2(4,0)，P3(6,6)．
21.(本小题8.0分)
已知抛物线y=-x2+2x+2．
(1)求抛物线与x轴交点坐标；
(2)当1(3)当2≤y≤3时，求x的取值范围．
22.(本小题8.0分)
2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．
(1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率．
(2)从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客．经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？
23.(本小题8.0分)
我们规定：对于任意实数a、b、c、d有[a,b]*[c,d]=ac−bd，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：[3,2]*[5,1]=3×5−2×1=13．
(1)若[−4x,3]*[3x,2]=-30，求x的值：
(2)已知关于x的方程[x,2x−1]*[mx+1,m]=0；有两个实数根，求m的取值范围．
24.(本小题8.0分)
项目式学习：
25.(本小题8.0分)
阴阳观念是具有鲜明中国特色的哲学思想，它几乎渗透到社会生活、文学艺术、医学等许多方面，以至形成“阴阳对偶律”，比如说“阴阳对偶律”导致左右相对的形式在中国装饰艺术中地位突出，对偶的神兽或神人往往相对而列，多半会形成左右相对(包含左右对称)的样式，对偶在数学上也多有渗透，下面我们就研究下多项式中的对偶．
对于x的多项式x2−2x+3，由于x2−2x+3=(x−1)2+2，所以x−1取任意一对互为相反数时，例如当x−1=±2时，即x=3或−1时，x2−2x+3的值均为6.那么我们称x2−2x+3关于x=1对偶，在学习二次函数时，我们知道二次函数y=x2−2x+3的对称轴是直线x=1，从“形”的角度看，多项式x2−2x+3的对偶即二次函数数y=x2−2x+3图像的对称性．
定义：对于关于x的多项式，若当x−t取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于x=t对偶，例如：x2−2x+3关于x=1对偶。运用此定义解决下列问题：
(1)多项式x2−8x+10关于_______对称；
(2)当x=m或4−m时，关于x的多项式2x2+bx+c的值相等，求b的值；
(3)若整式(2x2+8x+8)(x2−6x+9)关于x=n对偶，求n的值．
26.(本小题8.0分)
如图，二次函数y=14x2+bx−8的图象与x轴相交于点A、B两点，其中A(−4,0)，顶点为C点．

(1)求二次函数的解析式；
(2)D是第三象限抛物线上的一点，且点D在直线y=52x上．将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D，已知在x=k的左侧，平移前后的两条抛物线y都随x的增大而减小，求k的取值范围_______；
(3)将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落在原抛物线上，连接PC、QC、PQ，已知∠QPC=90°，求点P的坐标．(提示：平移前后的抛物线均与y=14x2全等)
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【详解】解：A.是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B.方程的最高次数是3次，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C.符合定义，是一元二次方程，故本选项符合题意；
D.当a=0时，方程ax2+bx+c=0不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
2.【答案】D
【解析】【分析】根据二次函数性质，由顶点式直接写出顶点坐标即可．
【详解】解：因为抛物线y=-2(x−2)2−5，
所以抛物线y=-2(x−2)2−5的顶点坐标是(2,-5)．
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数性质，由顶点式直接写出顶点坐标是解题关键．
3.【答案】C
【解析】【分析】直接利用一元二次方程根的判别式△=b2−4ac求出答案．
【详解】解：∵a=1，b=-5，c=2，
∴△=b2−4ac=(−5)2−4×1×2=17．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的根的判别式，正确记忆公式是解题关键．
4.【答案】A
【解析】【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．
【详解】解：将抛物线y=x2向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的函数表达式为：y=(x−3)2+4．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．
5.【答案】D
【解析】【分析】对比各个选项中二次函数和一次函数图象的规律，可分别得到各个函数系数的取值范围；通过函数系数对比，即可得到答案．
【详解】解：A选项中，y=ax2+k开口朝上，与y轴交点在原点下方，∴a>0，k<0，
而y=kx+a函数y随x增大而增大，与y轴交点在原点下方，∴k>0，a<0，
∴A选项不符合题意；
B选项中，y=ax2+k开口朝上，与y轴交点在原点上方，∴a>0，k>0，
而y=kx+a函数y随x增大而减少，与y轴交点在原点上方，∴k<0，a>0，
∴B选项不符合题意；
C选项中，y=ax2+k开口朝下，与y轴交点在原点下方，∴a<0，k<0，
而y=kx+a函数y随x增大而减少，与y轴交点在原点上方，∴k<0，a>0，
∴C选项不符合题意；
D选项中，y=ax2+k开口朝下，与y轴交点在原点上方，∴a<0，k>0，
而y=kx+a函数y随x增大而增大，与y轴交点在原点下方，∴k>0，a<0，
∴D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的知识；求解的关键是熟练掌握二次函数、一次函数图象的性质，从而完成求解．
6.【答案】D
【解析】【分析】由圈出的9个数可知最大数与最小数的差为16，设这个最小数为x，则圈出的9个数中最大数为x+16，由“最大数与最小数的积为192”即可列出方程，得到答案．
【详解】解：由圈出的9个数可知：最大数与最小数的差为：22−6=16，
设这个最小数为x，则圈出的9个数中最大数为x+16，
根据题意得：x(x+16)=192，
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意得出圈出的9个数中最大数与最小数的差为16是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】【分析】根据二次函数y=ax2−2ax+4的图象与性质，结合题意即可判断y1,y2和y3的大小．
【详解】解：二次函数y=ax2−2ax+4的图象开口向上，对称轴是x=-−2a2a=1，
且|-2−1|=3,|-1−1|=2,|5−1|=4,
若点A−2,y1,B−1,y2,C5,y3都在函数图象上，
则y2故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
8.【答案】B
【解析】【分析】将x=1代入计算判断①；再根据方程ax2+c=0有两个不相等的实数根，得b2−4ac>0，
可判断②；再将x=c代入方程，并根据c的情况判断③；最后根据一元二次方程的求根公式计算判断④即可．
【详解】当x=1时，a+b+c=0，不能确定a−b+c=0是否正确，可知①不正确；
因为方程ax2+c=0有两个不相等的实数根，所以b2−4ac=-4ac>0．
由ax2+bx+c=0(a≠0)，得b2−4ac>0，
所以这个方程有两个不相等的实数根．
可知②正确；
因为c是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根，
所以ac2+bc+c=0，
当c=0时，不能有ac+b+1=0．
所以③不正确；
若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根，
则x0=−b+ b2−4ac2a，
整理，得 b2−4ac=2ax0+b，
即b2−4ac=(2ax0+b)2．
可知④正确．
所以正确的有②④．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根，求根公式，一元二次方程根的判别式等，理解方程的根与系数的关系是解题的关键．

9.【答案】5
【解析】【分析】把x=1代入x2+nx−6=0即可求解．
【详解】解：由题意得：12+n−6=0，解得：n=5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
10.【答案】−2
【解析】【分析】根据一元二次方程的定义，即可求解．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
【详解】解：∵方程xm+4+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，
∴m+4=2，
解得：m=-2，
故答案为：−2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
11.【答案】254
【解析】【分析】利用配方法把二次函数一般式化为顶点式，即可求解．
【详解】解：利用配方法，将一般式化成顶点式：
y=-x2−3x+4=-(x+32)2+254
∵二次函数开口向下，
∴顶点处取最大值，
即当x=-32时，最大值为254．
故答案为：254．
【点睛】本题考查二次函数的相关知识．将一般式化为顶点式，顶点处取到最值．其中配方法是解决问题的关键，也是易错点．
12.【答案】−1
【解析】【分析】利用待定系数法以及整体代入的思想解决问题即可．
【详解】解：∵抛物线y=x2−3x−2023与x轴的一个交点为(a,0)，
∴a2−3a−2023=0，
∴a2−3a=2023，
∴a2−3a−2024=2023−2024=−1．
故答案为：−1．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，代数求值等知识，解题的关键是学会利用整体代入的思想解决问题．
13.【答案】x1=2,x2=6
【解析】【分析】根据方程mx2+n=0的解是：x1=-3和x2=1，可以将m(x−5)2+n=0的解看成为关于(x−5)的解为x1=-3和x2=1，代入化解即可．
【详解】解：∵方程mx2+n=0的解是：x1=-3和x2=1，
∴关于(x−5)的方程m(x−5)2+n=0的解为x−5=-3和x−5=1，
解得x1=2,x2=6．
故答案为：x1=2,x2=6．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的整体带入思想，把已知的相关条件相互转化是解题的关键．
14.【答案】 14
【解析】【分析】设菱形的两条对角线长分别为a、b，利用根与系数的关系及对角线与菱形面积的关系得等式，再根据菱形的边长与对角线的关系求出菱形的边长．
【详解】解：设菱形的两条对角线长分别为a、b，
由题意得：a+b=10ab=m,
∵菱形面积为11，
∴12ab=11，解得：ab=22，
∴菱形的边长为 (a2)2+(b2)2=12 a2+b2=12 (a+b)2−2ab=12 100−44= 14，
故答案为： 14．
【点睛】本题主要考查了根与系数的关系及菱形的性质，掌握菱形对角线与菱形的面积、边长间的关系，根与系数的关系及等式的变形是解决本题的关键．
15.【答案】6
【解析】【分析】利用三角形的面积公式以及矩形的面积公式，表示出S1和S2，然后根据S1=2S2，即可列方程求解．
【详解】解：∵Rt△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC=8 2cm,AD为BC边上的高，
∴AD=BD=CD=12BC=12× 8 22+8 22=8cm,
又∵AP=t，则S1=12AP⋅BD=12×8×t=4t,PD=8−t，
∵PE/\!/BC,
∴△APE∽△ADC,
∴PEDC=APAD=t8,
∴PE=AP=t
∴S2=PD⋅PE=(8−t)⋅t,
∵S1=2S2,
∴4t=2(8−t)⋅t
解得：t=6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，以及直角三角形的性质，正确表示出S1和S2是关键．
16.【答案】2
【解析】【分析】法一：特值法：假设C的横坐标为1，则得出C1,14，根据DE/\!/AC/\!/x轴，得出E点纵坐标为1，B点纵坐标为14，分别代入y=14x2和y=x2中得，E(2,1)，B12,14，进而求比值即可求解；法二：设Ca,14a2，同法一，得出Da,a2,E2a,a2,B12a,14a2，进而求比值，即可求解．
【详解】解：(法一特值法)：
假设C的横坐标为1，
将x=1代入y=14x2得，C1,14；
∵CD垂直于x轴，所以D点横坐标为1
将x=1代入y=x2得，D(1,1)
∵DE/\!/AC/\!/x轴，
∴E点纵坐标为1，B点纵坐标为14，
分别代入y=14x2和y=x2中得，E(2,1)，B12,14，
∴DE=1,AB=12．
∴DEAB=2；
法二：设Ca,14a2，同法一，Da,a2,E2a,a2,B12a,14a2，
此时AB=12a,DE=a，
∴DEAB=2
故答案为：2．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据平行于x轴的点的纵坐标相同，平行于y轴的点的横坐标相同，用点A的纵坐标表示出各点的坐标是解题的关键．
17.【答案】(1)x1=2+ 7,x2=2− 7；
(2)x1=13,x2=1

【解析】【分析】(1)利用配方法解方程即可；
(2)利用因式分解法解方程即可．
【详解】(1)解：x2−4x−3=0，
移项得，x2−4x=3，
配方得，x2−4x+4=3+4，
即(x−2)2=7，
开平方得，x−2=± 7，
∴x1= 7+2，x2=2− 7；
(2)解：(3x−1)2=2(3x−1)，
移项得，(3x−1)2−2(3x−1)=0，
因式分解得，(3x−1)(3x−3)=0，
∴3x−1=0或3x−3=0，
∴x1=13，x2=1．
【点睛】本题考查一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
18.【答案】(1)m=-2；
(2)对称轴：直线x=1，顶点坐标(1,-1)．

【解析】【分析】(1)根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数，可得答案；
(2)根据(1)的结论得出解析式，化为顶点式，即可求解
【详解】(1)解：由y=(m−2)x|m|+8x−5是二次函数，得
|m|=2且m−2≠0．
解得m=-2；
(2)解：当m=-2时，
这个函数为y=-4x2+8x−5
=-4x2−2x+1−1
=-4(x−1)2−1
∴对称轴：直线x=1，顶点坐标(1,-1)．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
19.【答案】(1)m<1
(2)m=1，x1=x2=-2

【解析】【分析】(1)根据方程有两个不相等的实数根可知Δ>0，求出m的取值范围即可；
(2)根据方程有两个相等的实数根可得出Δ=0，求出m的值，进而可得出方程的解．
【详解】(1)解：∵方程有两个不相等的实数根，14x2−(m−2)x+m2=0
∴Δ>0，即Δ=−(m−2)2−4×14×m2>0，
∴−4m+4>0，
解得m<1；
(2)∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ=0，即Δ=−(m−2)2−4×14×m2=0，
∴−4m+4=0，
解得m=1，
∴方程可化为14x2+x+1=0，
解得x1=x2=-2．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式及解一元二次方程，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac的关系是解题的关键．

20.【答案】(1)绘制线段P1P2，P1P2=4
(2)绘制抛物线y=12x2−2x

【解析】【分析】(1)P1(4,0)，P2(0,0)，4−0=4>0，绘制线段P1P2，P1P2=4．
(2)P1(0,0)，P2(4,0)，P3(6,6)，0−0=0，绘制抛物线，用待定系数法求函数解析式即可．
【详解】(1)∵P1(4,0)，P2(0,0)，4−0=4>0，
∴绘制线段P1P2，P1P2=4．
(2)∵P1(0,0)，P2(4,0)，P3(6,6)，0−0=0，
∴绘制抛物线，
设y=ax(x−4)，把点(6,6)坐标代入得a=12，
∴y=12x(x−4)，即y=12x2−2x．
【点睛】本题属于新定义问题，考查待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是弄懂程序框图．
21.【答案】(1)1+ 3,0，1− 3,0；
(2)2(3)0≤x≤2．

【解析】【分析】(1)令y=0，解出方程，即可求解；
(2)根据二次函数的性质，可得当x<1时，y随x的增大而增大，当x≥1时，y随x的增大而减小，且函数的最大值为3，即可求解；
(3)当y=2时，可得x=0或2，即可求解．
【详解】(1)解：令y=0，则−x2+2x+2=0，
解得：x1=1+ 3,x2=1− 3，
∴抛物线与x轴交点坐标为1+ 3,0，1− 3,0；
(2)解：∵y=-x2+2x+2=-(x−1)2+3，且−1<0，
∴当x<1时，y随x的增大而增大，当x≥1时，y随x的增大而减小，且函数的最大值为3，
当x=2时，y=-(2−1)2+3=2，
∴当1(3)解：当y=2时，−x2+2x+2=2，
解得：x=0或2，
∴当2≤y≤3时，x的取值范围为0≤x≤2．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
22.【答案】(1)该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为25％
(2)该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元

【解析】【分析】(1)设4月份到6月份的月平均增长率为x，根据4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件，可列方程256(1+x)2=400，求解即可；
(2)设该款吉祥物降价y元，根据单个商品的利润×销售量=总利润列方程求解即可．
【详解】(1)解：设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为x．
则256(1+x)2=400
解得x1=14=25％，x2=-94(舍去)
答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为25％．
(2)解：设该款吉祥物降价y元．
则(58−35−y)(400+20y)=8400
解得y1=8，y2=-5(舍去)
∴58−8=50元，
答：该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键．
23.【答案】(1)x=± 2
(2)m≤14且m≠0

【解析】【分析】(1)根据题意列出关于x的方程，求解方程即可；
(2)根据题意列出关于x的方程，结合方程有两个实数根可知方程为一元二次方程，根据判别式及一元二次方程的定义求解即可．
【详解】(1)解：∵[−4x,3]*[3x,2]=-30，
∴-12x2−6=-30，
整理得x2−2=0，
解得x=± 2；
(2)∵[x,2x−1]*[mx+1,m]=0，
∴x(mx+1)−(2x−1)m=0，
整理得mx2+(1−2m)x+m=0，
∵方程有两个实数根，
∴mx2+(1−2m)x+m=0是一元二次方程，
∴Δ=b2−4ac≥0且m≠0，
即(1−2m)2−4m2≥0，
解得m≤14且m≠0．
【点睛】本题考查阅读理解，解一元二次方程，判别式求字母的值，根据一元二次方程根的情况利用判别式列不等式是解决本题的关键．
24.【答案】(1)S甲=S乙=S丙=S丁；(2)2米；(3)60米．
【解析】【分析】(1)通过计算面积比较求解；
(2)根据草坪的面积列方程求解；
(3)设矩形宽AB=x，长BC=y.根据题意列得2x+y=220，由x=0.618y代入求出y，即可得到x的值．
【详解】(1)设小路的宽度为a米，
S甲=40a+30a−a2=-a2+70a，
S乙=40a+30a−a2=-a2+70a，
S丙=40a+30a−a2=-a2+70a，
S丁=40a+30a−a2=-a2+70a，
∴S甲=S乙=S丙=S丁；
(2)设小路的宽为xm，则(40−x)(30−x)=1064，
解得：x=2或x=68(不合题意，舍去)，
答：小路的宽为2m；
(3)设矩形宽AB=x，长BC=y．
∴2x+y=220，
∵x=0.618y
∴2×0.618y+y=220
解得y≈98
∴x≈60，
AB应设计成60米．
【点睛】此题考查了平移的知识，列代数式，解一元二次方程，解一元一次方程，正确理解题意掌握各知识点是解题的关键．

25.【答案】(1)x=4；
(2)b=-8；
(3)n=12．

【解析】【分析】(1)对多项式进行配方，根据新定义判断即可；
(2)求出当x=m或4−m时，多项式2x2+bx+c的对称轴，令对称轴x=2即可求解；
(3)对多项式进行配方，根据新定义判断即可．
【详解】(1)解：x2−8x+10=(x−4)2−6，
∴多项式关于x=4对偶，
故答案为：x=4．
(2)解：由题意x对=m+(4−m)2=2=−b4，
∴b=−8，
故答案为；b=-8．
(3)解：原式=2(x+2)2(x−3)2=2[(x+2)(x−3)]2，
∴x对=(−2)+32=12，
∴(2x2+8x+8)(x2−6x+9)关于x=12对偶，
∴n=12，
故答案为：n=12．
【点睛】本题主要考查了配方法的应用，二次函数的性质，解一元二次方程，因式分解的应用，正确理解题意是解题的关键．
26.【答案】(1)y=14x2−x−8；
(2)k≤−6；
(3)6,−5或(−2,−5)．

【解析】【分析】(1)将(−4,0)代入y=14x2+bx−8即可求得b；
(2)联立y=52x和y=14x2−x−8，解方程组求得点D坐标，设新抛物线设为：y=14(x+m)2−9，将点D坐标代入求得m的值，进一步得出结果；
(3)作PV⊥CQ于V，设P(t,14t2−t−8)，从而得出平移后的抛物线为：y=14(x−t)2+14t2−t−8，进而表示出Q的坐标，计算得出QV=CV，从而得出PV=CV=QV，由此列出|t−2|=14t2−t+1，求得t的值，进一步得出结果．
【详解】(1)将(−4,0)代入y=14x2+bx−8得b=-1，
∴y=14x2−x−8；
(2)联立y=52x和y=14x2−x−8得D(−2,−5)．
∵y=14x2−x−8=14(x−2)2−9
∴设平移后的抛物线表达式为y=14(x+m)2−9，
将x=-2,y=-5代入得m=6或m=2(舍去)，
∴y=14(x+6)2−9
∴k≤6；

(3)如图，作PV⊥CQ于V，
设P(t,14t2−t−8)，
∴平移后的抛物线为：y=14(x−t)2+14t2−t−8，

当x=2时，y=12t2−2t−7,
∴Q(2,12t2−2t−7)，
∵14>0，
∴∠CPQ=90°，
∵QV=12t2−2t−7−14t2−t−8=14t2−t+1，
CV=14t2−t−8−(−9)=14t2−t+1，
∴QV=CV，
∴PV=CV=QV，
∴|t−2|=14t2−t+1，
∴t1=6,t2=-2,t3=t4=1(舍去)，
当t=6时，y=14×62−6−8=−5；
当t=-2时，y=14×(−2)2−(−2)−8=−5；
∴P(6,−5)或(−2,−5).
【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，平移的性质，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，解决问题的关键是掌握二次函数的图像和性质.
项目主题
“亚运主题”草坪设计
项日情境
迎亚运，展风采，同学们正在参与一块长为40米，宽为30米的矩形“亚运主题”草坪方案设计的项目学习，以下为项目学习小组对草坪设计的研究过程．
活动任务一
请设计两条相同宽度的小路连接矩形草坪两组对边，小组内同学们设计的方案主要有甲、乙、丙、丁四种典型的方案．
甲：直径简洁型乙：斜径笔直型丙：曲径通幽型丁：弧径优美型
驱动问题一
(1)项目小组设计出来的四种方案小路面积S甲，S乙，S丙，S丁的大小有何关系？
活动任务二
为施工方便，学校选择甲种方案设计，并要求除小路后草坪面积约为1064平方米．
驱动问题二
(2)请计算小路的宽度是多少？
活动任务三
为了布置设计好的杭州亚运元素，同学们打算建一个面积为6000m2的矩形油菜花田ABCD(如图)，花田一面靠亚运宜传主题墙(墙足够长)，另外三面用篱笆围成．
驱动问题三
(3)数学之星小明查阅资料发现：短边为长边的0.618倍的矩形称为黄金矩形，黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦．
为了使长220米的篱笆恰好用完同时围住花田的三面，且矩形的形状更接近黄金矩形．AB应设计成多少米？