2023-2024学年江苏省苏州市姑苏区重点学校八年级（上）10月月考数学试卷（含解析）

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一、选择题（本大题共8小题，共24分）
1.下列图形中，属于轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.的平方根是( )
A. B. C. D.
3.下列各式中运算正确的是( )
A. B. C. D.
4.下列各数：中，无理数的个数是
( )
A. 个B. 个C. 个D. 个
5.如图，在中，，为的中点，连接，则的度数为
( )
A. B. C. D.
6.若一个正数的平方根是与，则的值是
( )
A. B. C. D.
7.如图，是等边形内一点，连接、、，：：：：，以为边在形外作≌，连接，则以下结论错误的是( )
A. 是正三角形B. 是直角三角形
C. D.
二、非选择题（共96分）
8.如图，点、在线段的同侧，，，，是的中点，，则长的最大值是( )
A. B. C. D.
9.等腰三角形的一个角是，则它的底角度数是_______．
10.若，则________．
11.如图，在和中，，是的中点，连接、若，则的长为_____．
12.如图，在中，，，、的平分线相交于点，过点，且，分别交、于点、则的周长为________．
13.如图，数轴上的点表示的数是，，垂足为，且，以点为圆心．为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为_______．
14.与互为相反数，则______．
15.我国古代数学著作九章算术中“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”今译：一根竹子高丈，折断后竹子顶端落地，离竹子底端尺处．折断处离地面的高度是多少尺？丈尺
16.如图，在正方形网格中，点，，，，是格点，则的度数为_____________
17.在中，，，高，则的长______．
18.如图，三角形纸片，点是边上一点，连接，把沿着翻折，得到，与交于点，连接交于点若，，，的面积为，则点到的距离为______．
19.计算题：．
20.已知的平方根为，的立方根为，若是的整数部分，求的平方根．
21.如图，中，，的垂直平分线分别交、于点、．
若，求的度数；
若，的长为，求的周长．
22.如图，有一张四边形纸片，经测得，，，．
求、两点之间的距离．
求这张纸片的面积．
23.如图，在中，，于点，平分，、相交于点．
若，求的度数；
证明是等腰三角形．
24.中日钓鱼岛争端持续，我海监船加大钓鱼岛海域的巡航维权力度．如图，，海里，海里，钓鱼岛位于点，我国海监船在点处发现有一不明国籍的渔船，自点出发沿着方向匀速驶向钓鱼岛所在地点，我国海监船立即从处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点处截住了渔船．
请用直尺和圆规作出处的位置；不写作法，保留作图痕迹
求我国海监船行驶的航程的长．
25.在苏教版七下第九章的学习中，对同一个图形的面积可以从不同的角度思考，用不同的式子表示．
用不同的方法计算图的面积得到等式：___________________．
图是由两个边长分别为、、的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，从整体看它又是一个直角梯形，用不同的方法计算这个图形的面积，能得到等式：________________结果为最简
根据上面两个结论，解决下面问题：
在直角中，，三边长分别为、、，已知，，求的值．
如图，四边形中，对角线，互相垂直，垂足为，，在直角中，，，若的周长为，则的面积___________．
26.如图，在中，，，点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动．设点的运动时间为秒．
当点在的延长线上运动时，的长为___；用含的代数式表示
若点在的角平分线上，求的值；
在整个运动中，直接写出是等腰三角形时的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【详解】解：、不是轴对称图形，故本选项不符合；
B、是轴对称图形，故本选项符合；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合．
故选：．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2.【答案】
【解析】【分析】依据平方根的定义求解即可．
【详解】，
的平方根是．
故选：．
【点睛】本题主要考查的是平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键．
3.【答案】
【解析】【分析】根据平方根的定义：如果一个数的平方等于，即，那么这个数就是的平方根；算术平方根的定义：如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数就是的算术平方根；立方根的定义：如果一个数的立方等于，即，那么这个数就是的立方根；据此判断即可．
【详解】解：、，计算正确，符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误与，不符合题意；
故选：．
【点睛】本题考查了平方根，算术平方根，立方根的知识，熟记相关定义是解本题的关键．
4.【答案】
【解析】【分析】根据“无限不循环的小数是无理数”判断求解．
【详解】解：，
则无理数有，共个，
故选：．
【点睛】本题考查了无理数，理解无理数的意义是解题的关键．
5.【答案】
【解析】【分析】根据等腰三角形三线合一的性质求解即可．
【详解】，
，
为的中点，
，
，
故选：．
【点睛】本题考查等腰三角形的 判定与性质，熟记等腰三角形的底边中线、底边上的高、顶角角平分线三线合一是解题的关键．
6.【答案】
【解析】【解析】
【分析】一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反数，据此列出方程，解之即可．
【详解】解：正数 的 平方根是与，
，
解得：，
，
故选D．
【点睛】本题考查的是平方根，关键是正数的平方根是互为相反数，也就是和为即得方程．
7.【答案】
【解析】【分析】先运用全等得出，，从而得出，得出是正三角形，根据比值设出未知数，根据勾股定理逆定理得出，逐一判断即可
【详解】解：是等边三角形
≌，
，
是正三角形，故说法正确，不符合题意；
：：：：，
设，，
根据勾股定理的逆定理可知，是直角三角形，且故选项说法正确，不符合题意；
又是等边三角形
，故选项说法正确，不符合题意；
不能求出的度数，故说法错误，符合题意；
故选．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、勾股定理，解题的关键是能够正确理解题意，由已知条件，联想到所学的定理，充分挖掘题目中的结论．
8.【答案】
【解析】【分析】作点关于的对称点，作点关于的对称点，证明为等边三角形，即可解决问题．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点
，
，
，
，
，
为等边三角形
，
的最大值为，
故选：．
【点睛】本题主要考查了翻折变换的运用，等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题．
9.【答案】
【解析】【解析】
【分析】分角是 顶角和底角两种情况讨论即可．
【详解】当角是顶角时，底角为；
当角是底角时，内角和超过，故不合题意．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论是解题的关键．
10.【答案】
【解析】【分析】等式两边同除以，再开立方即可求出的值．
【详解】解：
两边同除以，得，
开立方得，，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了运用立方根解方程，熟练掌握立方根的意义是解答本题的关键．
11.【答案】
【解析】【分析】根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解即可．
【详解】在和中，，是的中点，
，，
．
故答案为．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解答本题的关键．
12.【答案】
【解析】【分析】由在中，与的平分线相交于点，过点作，易证得与是等腰三角形，继而可得的周长等于．
【详解】解：在中，、的平分线相交于点，
，
，
，，
，，
，，
的周长是：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，线段的和差，求得的周长等于是解决本题的关键．
13.【答案】
【解析】【分析】利用勾股定理求出的长，可得，推出即可解决问题．
【详解】解：在中，，
，
，
点表示的数为．
故答案为：．
【点睛】本题考查实数与数轴、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考基础题．
14.【答案】
【解析】【分析】根据互为相反数两数和为零列等式，然后在根据绝对值的非负性求解，代入计算即可．
【详解】解：根据题意列方程组：
解得，．
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相反数和绝对值的性质，掌握非负数的性质是解题的关键．
15.【答案】折断处离地面的高度是尺
【解析】【分析】设折断处离地面的高度是尺，则竹子折断处离竹子顶端为尺，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：设折断处离地面的高度是尺，则竹子折断处离竹子顶端为尺，
由勾股定理得：，
解得：，
即折断处离地面的高度是尺．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，明确题意，构造直角三角形是解题的关键．
16.【答案】
【解析】【分析】取网格点、、，连接、、、、，根据网格线可得到，再根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，即可得解．
【详解】取网格点、、，连接、、、、，如图，
根据网格线可知，，，
由网格图可知，，
则，
在中，有，
同理可求得：，
，
是 直角三角形，且，
，
即：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理即勾股定理的逆定理、等腰直角三角形等知识，求得是解答本题的关键．
17.【答案】或
【解析】【分析】分类讨论为钝角三角形和锐角三角形时，根据题意画出相应的图形，然后根据勾股定理，可以分别计算出和的长，然后即可求得的长．
【详解】解：如图，锐角中，，，
边上高，

在中，，
，
，
在中，，由勾股定理得，
，
的长为；
钝角中，，，边上高，
在中，，

由勾股定理得：，
，
在中，，由勾股定理得：
，
，
的长为，
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，对进行分类讨论，进而求出和的长，计算．
18.【答案】
【解析】【分析】先求出的面积．根据三角形的面积公式求出，设点到的距离为，根据，求出即可解决问题．
【详解】解：，
，
，
由翻折可知，≌，，
，，
，
，
，
，
设点到的距离为，则有，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查翻折变换的性质，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
19.【答案】
【解析】【分析】首先计算绝对值，算术平方根的意义，然后计算加减．
【详解】解：
．
【点睛】此题考查了绝对值，算术平方根的意义，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
20.【答案】
【解析】【分析】根据平方根，立方根的意义可得，，从而可得，然后再估算出的值的范围，从而求出的值，最后代入式子中进行计算即可解答．
【详解】解：的平方根为，的立方根为，
，，
解得：，
，
，
的整数部分为，即，
，
而的平方根为，
的平方根．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，平方根，立方根，熟练掌握估算无理数的大小，以及平方根与立方根的意义是解题的关键．
21.【答案】

【解析】【分析】根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，求出的度数，计算即可；
根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式计算即可．
【小问详解】
解：，，
，
垂直平分，
，
，
；
【小问详解】
解：垂直平分，
，
，
，，
周长为．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
22.【答案】、两点之间的距离为；

【解析】【分析】由勾股定理可直接求得结论；
根据勾股定理逆定理证得，由于四边形纸片的面积，根据三角形的面积公式即可求得结论．
【小问详解】
解：连接，如图．
在中，，，，
．
即、两点之间的距离为；
【小问详解】
解：，
，
四边形纸片的面积
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积，熟记定理是解题的关键．
23.【答案】
见解析

【解析】【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的概念求解即可；
根据角平分线的概念得到，然后利用等角对等边求解即可．
【小问详解】
解：，
，
，
，
，
平分，
，
；
【小问详解】
证明：是等腰三角形．
平分，
，
，，
，
，
．
是等腰三角形．
【点睛】此题考查了三角形内角和定理，角平分线的概念，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
24.【答案】作图见解析；海里．
【解析】【分析】由题意得，我海监船与不明渔船行驶距离相等，即在上找到一点，使其到点与点的距离相等，所以连接，作的垂直平分线即可．
连接，利用第题中作图，可得在直角三角形中，利用勾股定理列出方程，解方程即可．
【详解】作的垂直平分线与交于点；
连接，
由作图可得：为的中垂线，则．
由题意可得：
，
在中，，
即：，
解得．
答：我国海监船行驶的航程的长为海里．
25.【答案】；
；
；．

【解析】【分析】根据图的面积为大正方形的面积，也可以看作是个不同的正方形的面积加上个相同的长方形的面积，分别列出代数式即可得到答案；
图的面积为直角梯形的面积，也可以看作是个直角三角形的面积和，分别列出代数式即可得到答案；
利用中的结论，代入数据直接计算即可；
根据的周长先求出，然后利用勾股定理列式整理得到，求出，，根据三角形的面积公式列式计算即可．
【小问详解】
解：图的面积为大正方形的面积，即，
图的面积也可以看作是个不同的正方形的面积加上个相同的长方形的面积，即，
故可得等式：，
故答案为：；
【小问详解】
图的面积为直角梯形的面积，即，
图的面积也可以看作是个直角三角形的面积和，即，
故可得等式：，
，
，
故答案为：；
【小问详解】
在直角中，，三边长分别为、、，，，
由可得，即，
；
在直角中，，，的周长为，
，
在直角中，，
，
，
，
，，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了列代数式，整式的混合运算，勾股定理等知识，熟练掌握常见几何图形的面积公式及整式的运算法则是解题的关键．
26.【答案】

的值为或或

【解析】【分析】由勾股定理可求得的值，根据线段的和差关系解答即可；再设斜边上的高为，由面积法可求得答案；
根据角平分线的性质解答即可；
分作为底和腰两种情况讨论即可．
【小问详解】
解：在中，，，，
由勾股定理得：，
已知点从点出发，以每秒个单位长度的速度运动，
当点在的延长线上时，点运动的长度为：，
，
．
故答案为：．
【小问详解】
解：过点作于点，如图所示：
，
，
点在的角平分线上，，
，
又，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，
即若点在的角平分线上，则的值为．
【小问详解】
解：当作为底边时，如图所示：
则，设，则，
在中，，
，
解得：，
此时；
当作为腰时，如图所示：
，此时；
时，
，
，
此时，
综上分析可知，的值为或或．
【点睛】本题主要考查了勾股定理在动点问题中的应用，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，数形结合、分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．