2023-2024学年江苏省徐州市九年级（上）学期期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省徐州市九年级（上）学期期中数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列方程中，是一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2.的半径为，若点在内，则的长可能为
( )
A. B. C. D. 以上都有可能
3.下列函数的图象与的图象形状相同的是
( )
A. B. C. D.
4.已知是一元二次方程的一个根，则的值为
( )
A. B. C. D.
5.如图，是的直径，，是上的两点，若，则的度数是
( )
A. B. C. D.
6.若二次函数的图象经过点，，则与的大小关系为( )
A. B. C. D. 不能确定
7.如图，正方形边长为，以正方形一边为直径在正方形内作半圆，过点作半圆切线，与半圆相切于点，与相交于点，则的面积为
( )
A. B. C. D.
8.抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论；；方程的两个根是；当时，随的增大而减小．其中正确结论的个数是
( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共10小题，共30分）
9.方程的解是 ．
10.若，是方程的两根，则 ．
11.将抛物线沿轴向上平移个单位，所得抛物线的表达式为 ．
12.若关于的一元二次方程有实数解，则的取值范围是 ．
13.如图，四边形是的内接四边形，，若，则的度数是 ．
14.如图，将一个圆锥展开后，其侧面是一个圆心角为，半径为的扇形，则该圆锥的底面圆的半径为 ．
15.的半径为，弦，点是上一点，且，直线与交于点，则的长为 ．
16.已知关于的一元二次方程有一根是，则的值 ．
17.若二次函数的图象上有且只有三个点到轴的距离等于，则的值为 ．
18.如图，，，，是线段上的一个动点，以为直径画分别交、于、，连接，则线段长度的最小值为 ．
三、计算题（本大题共1小题，共6分）
19.解方程
；
．
四、解答题（本大题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20.本小题分
在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于、两点．
与相等吗？为什么？
若大圆、小圆的半径分别为和，，求的长．
21.本小题分
如图，为的直径，点为上一点，于点，平分．
求证：直线是的切线；
若，的半径为，求阴影部分的面积．
22.本小题分
已知二次函数．
当时，
求该函数图象的顶点坐标．
当时，求的取值范围．
当时，的最大值为；当时，的最大值为，求二次函数的表达式．
23.本小题分
某超市于今年年初以每件元的进价购进一批商品．当商品售价为元时，一月份销售件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到件．设二、三这两个月的月平均增长率不变．
求二、三这两个月的月平均增长率；
从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价元，销售量增加件，当商品降价多少元时，商场获利元？
24.本小题分
【问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积？
【初步尝试】如图，已知扇形，请你用圆规和无刻度的直尺过圆心作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分；
【问题联想】如图，已知线段，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以为斜边的等腰直角三角形；
【问题再解】如图，已知扇形，请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分．友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹
25.本小题分
如图，抛物线与轴交于、两点，且点在点的左侧，与轴交于点，点是抛物线上的一动点．
点的坐标 ，点的坐标 ，点的坐标 ．
如图，当点在第四象限时，连接和，得到，求的面积的最大值及此时点的坐标．
点在轴上运动，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请借助图探究，直接写出点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程．
解：含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不合题意；
B.是一元二次方程，故本选项符合题意；
C.含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不合题意；
D.是一元一次方程，故本选项不合题意；
故选：．
此题主要考查了一元二次方程定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是”；“二次项的系数不等于”；“整式方程”．
2.【答案】
【解析】当的半径是，点到圆心的距离是，当时，点在上，当时，点在内，当时，点在外，根据以上内容判断即可．
点在内，的半径为，
，
、，故本选项正确；
、，此时在圆上，故本选项错误；
、，此时在圆外，故本选项错误；
、以上都有可能，不对，故本选项错误；
故选：．
本题考查了点和圆的位置关系，注意：点和圆有三种位置关系：当的半径是，点到圆心的距离是，当时，点在上，当时，点在内，当时，点在外．
3.【答案】
【解析】找到与的二次项系数相同的选项即可确定正确的选项．
解：形状相同的两个二次函数的二次项系数的绝对值相等，
与形状相同，
故选：．
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是了解二次项系数的绝对值相等的二次函数图象形状相同，难度较小．
4.【答案】
【解析】根据“能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解”，可得，再代入，即可求解．
解：是一元二次方程的一个根，
，
，
．
故选：
5.【答案】
【解析】连接，如图，根据圆周角定理得到，，然后利用余角的性质计算出，从而得到的度数．
解：如图，连接，
为的直径，
，
，
．
故选：．
本题主要考查了同弦所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
6.【答案】
【解析】根据二次函数的对称轴以及开口方向可知，离对称轴越远，函数值越大，判断即可．
解：二次函数解析式为：，
对称轴为：，
点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
，
，故 A正确．
故选：．
本题主要考查了比较函数值的大小，根据二次函数开口方向以及对称轴结合点到对称轴的距离是解本题的关键．
7.【答案】
【解析】根据切线长定理可得，设，则，然后在中，由勾股定理可以列出关于的方程，解方程即可求出，然后就可以求出的面积．
解：与圆切于点，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，
．
故选D．
8.【答案】
解：二次函数的开口向下，
，
对称轴为直线，
，即，
二次函数与轴的交点在轴的正半轴，
，
，故错误；
，
，故正确；
抛物线与与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，
抛物线与与轴的另一个交点坐标为，
方程的两个根是，故正确；
抛物线开口向下，对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，正确，
正确的个数为．
故选：
根据二次函数的开口确定以及对称轴为直线，可确定，，再根据抛物线与轴的交点，可判断，从而判断；把代入，可判断；根据抛物线的对称性可求出抛物线与轴的另一交点坐标，可判断；根据二次函数的增减性可以判定．
9.【答案】
【解析】利用因式分解法解答，即可求解．
解：，
，
，
解得：．
故答案为：
10.【答案】
【解析】根据、是一元二次方程的两个根，则有，进行求解即可．
解：由韦达定理得：
，
．
故答案：．
本题考查了韦达定理，掌握定理是解题的 关键．
11.【答案】
【解析】本题考查了二次函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”，即可求解．
解：将抛物线沿轴向上平移个单位，所得抛物线的表达式为，
故答案为：．
12.【答案】
【解析】由一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于，列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到的取值范围．
解：一元二次方程有实数解，
，
解得：，
则的取值范围是．
故答案为：．
此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解与有关，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无解．
13.【答案】
【解析】根据等腰三角形和已知条件得出，根据三角形内角和定理求出，根据圆内接四边形的性质得出，再求出答案即可．
解：，，
，
，
四边形是的内接四边形，
，
，
故答案为：．
本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形的性质和圆内接四边形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，注意：圆内接四边形的对角互补．
14.【答案】
【解析】本题考查了圆锥的侧面展开图、弧长公式，根据圆锥展开后的扇形的弧长等于其底面周长建立等式，求解即可得．
解：设该圆锥的底面半径是，
由题意得：，
解得，
即该圆锥的底面半径是，
故答案为：．
15.【答案】或
【解析】根据题意画出图形，连接，由垂径定理可知，在中，根据勾股定理求出的长，进而可得出结论．
解：如图所示，连接，
的半径为，弦，，
，
，
在中，
，即，
解得，，
当如图所示时，；
当如图所示时，，
故答案为或．
16.【答案】
【解析】把代入原方程，可得或，再由一元二次方程的二次项的系数不等于，可得，即可求解．
解：方程有一根是，
，
解得：或，
，
，
．
故答案为：．
17.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了二次函数的性质，二次函数图像上点的特征，能够理解题意是解题的关键．
由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线，顶点为，由图象上恰好只有三个点到轴的距离为，可得．
【解答】
解：，
抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线，顶点为，
顶点到轴的距离为，
函数图象有三个点到轴的距离为，
，
故答案为：．
18.【答案】
【解析】由垂线段的性质可知，当为的边上的高时，直径最短，如图，连接，过点作，由为等腰直角三角形，则，即此时圆的直径为，再根据圆周角定理可得到，则在中，可得，，最小时，最小，也就是最小，即可求解．
解：由垂线段的性质可知，当为的边上的高时，直径最短，

如图，连接，过点作，
在中，，
，即此时圆的直径最小为，
，
由等腰三角形的性质可得：，
由垂径定理可得：，
，
在中，，
，
，
最小时，最小，也就是最小，
，，
，即最小为，
故答案为．
本题考查垂径定理、垂线段最短，勾股定理以及含 角的直角三角形的性质，解题的关键是灵活利用相关性质进行求解．
19.【答案】【小题】
解：，
，
，
即，
，
解得：；
【小题】
解：，
，
，
即或，
解得：．

【解析】
利用配方法解答，即可求解；

利用直接开平方法法解答，即可求解．
20.【答案】【小题】
解：与相等，理由如下：
如图，过点作于点，
点为两个同心圆的圆心，
，
，
；
【小题】
解：如图，连接，则，
由得：，，
在中，，
在中，，
．

【解析】
过点作于点，根据垂径定理可得，即可；

连接，则，分别在和中，根据勾股定理求出，即可．
21.【答案】【小题】
证明：连接，如图，
，
，
平分，
，
，
，
于点，
，
直线是的切线；
【小题】
过点作于，如图，
，，
，，
，
，
，
，
，
．

【解析】
连接，根据，以及平分推导出，即可得出，从而推出，即证明得出结论；

过点作于，利用即可得出答案．
本题考查了圆的综合问题，包括垂径定理，圆的切线，扇形的面积公式等，熟练掌握以上性质并正确作出辅助线是本题的关键．
22.【答案】【小题】
解：当时，，
顶点坐标为．
顶点坐标为抛物线开口向下，
当时，随增大而增大，
当时，随增大而减小，
当时，有最大值．
又
当时取得最小值，最小值；
当时，．
【小题】
时，的最大值为；时，的最大值为，
抛物线的对称轴在轴的右侧，
，
抛物线开口向下，时，的最大值为，
，
又，
，
，
，
二次函数的表达式为．

【解析】
将代入解析式，化为顶点式，即可求解；
已知顶点，根据二次函数的增减性，得出当时，有最大值，当时取得最小值，即可求解；

根据题意时，的最大值为；时，的最大值为，得出抛物线的对称轴在轴的右侧，即，由抛物线开口向下，时，的最大值为，可知，根据顶点坐标的纵坐标为，求出，即可得解．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，顶点式，二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
23.【答案】【小题】
解：设二、三这两个月的月平均增长率为，根据题意可得：
，
解得：，不合题意舍去．
答：二、三这两个月的月平均增长率为；
【小题】
解：设当商品降价元时，商品获利元，根据题意可得：
，
解得：，不合题意舍去．
答：当商品降价元时，商品获利元．

【解析】
由题意可得，月份的销售量为：件；设月份到月份销售额的月平均增长率为，则二月份的销售量为：件；三月份的销售量为：件，又知三月份的销售量为：件，由此等量关系列出方程求出的值，即求出了平均增长率；

利用销量每件商品的利润求出即可．
此题主要考查了一元二次方程的应用，本题的关键在于理解题意，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
24.【答案】【小题】
如图所示，作的角平分线所在直线即为所求；
【小题】
如图，先作的线段垂直平分线交于点，再以为圆心为半径作圆，与垂直平分线的交点即为等腰直角三角形的顶点；
【小题】
如图，先作的线段垂直平分线交于点，再以为圆心为半径作圆，与垂直平分线的交点为，然后以为圆心，为半径作圆与扇形所交的圆弧即为所求．

【解析】
见答案

见答案

本题考查了尺规作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，扇形的面积等知识，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，掌握基本作图方法．
25.【答案】【小题】



【小题】
解：设点的坐标是．
如图，过点作轴于点，作轴于点，连接．
，
点的坐标是，点的坐标是，
，
，
，
即，
，
当时，的面积最大，最大值为．
此时点的坐标是；
【小题】
解：如图所示，当四边形是平行四边形时，则，
点的纵坐标为，
令，
解得或舍去，
，
，
；
如图，当四边形是平行四边形时，同理可得；
如图，当四边形是平行四边形时，
设点的坐标是，点的坐标为．
解得，
点；
如图，当四边形是平行四边形时，
同理可求；
综上所述，点的坐标为或或或．

【解析】
求出当时的值即可求出、的坐标，求出当时的值即可求出点的坐标；
解：把代入中，得：，
解得：，
点的坐标是，点的坐标是．
把代入中，得．
点的坐标是；
故答案为：；；

如图，过点作轴于点，作轴于点，连接根据，推出，据此求解即可；

分四种情况利用平行四边形的性质讨论求解即可．
本题主要考查了二次函数综合，求二次函数与坐标轴的交点，平行四边形的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．