2023-2024学年江苏省苏州市姑苏区苏州立达中学八年级（上）10月月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省苏州市姑苏区苏州立达中学八年级（上）10月月考数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.第19届亚运会在杭州顺利举行，下面几幅图片是代表体育项目的图标，其中可以看作是轴对称图形的是( )
A. 乒乓球B. 跳远C. 举重D. 武术
2.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是( )
A. 1，1， 2B. 2，3，4C. 4，5，6D. 6，8，11
3.下列各数中是无理数的是( )
A. 227B. 1.2012001C. π3D. 81
4.为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了7nm的光刻机难题，其中1nm=0.000000001m，则7nm用科学记数法表示为
．( )
A. 0.7×10−9mB. 7×10−8mC. 0.7×10−8mD. 7×10−9m
5.已知a= 5,b=2,c= 3，则a、b、c的大小关系是
( )
A. b>a>cB. a>c>bC. a>b>cD. b>c>a
6.等腰三角形的一个内角是80°，则它的底角是( )
A. 50°B. 80°C. 50°或80°D. 20°或80°
7.如图，在Rt▵ABC中，CD是斜边AB上的中线．若∠A=20∘，则∠BDC的大小为( )
A. 30°B. 40°C. 45°D. 60°
8.如图，分别以RtΔABC的三边为斜边向外作等腰直角三角形，若斜边AB=4，则图中阴影部分的面积为
( )
A. 4B. 8C. 10D. 12
9.如图，AB、BC、CD、DE是四根长度均为5cm的火柴棒，点A、C、E共线．若AC=6cm，CD⊥BC，则线段CE的长度为
( )
A. 6 cmB. 7 cmC. 6 2cmD. 8cm
10.如图，在▵ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=12，D为AC边上的一个动点，连接BD，E为BD上的一个动点，连接AE，CE，当∠ABD=∠BCE时，线段AE的最小值是
( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
二、填空题（本大题共8小题，共24分）
11.81的平方根是 ．
12.近似数2.30精确到 位．
13.等腰三角形的周长为14cm，一边长为4cm，则底边长为 cm．
14.如图，AB=AC，则数轴上点C所表示的数为 ．
15.我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，标志着中国古代的数学成就．如图所示的“弦图”，是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为12，则小正方形ABCD的面积的大小为 ．
16.如图，AD是▵ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S▵ABC=24，DE=4，AB=5，则AC的长是 ．
17.如图，在▵ABC中，AB=AC，D、E是▵ABC内两点．AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60∘，若BE=7cm,DE=3cm，则BC= cm．
18.如图，在▵ABC中，AB=AC=5，BC=8，AD是∠BAC的平分线，若P、Q分别是AD、AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.(本小题8.0分)
计算
(1)12−1− 3−2；
(2) 16−327− 1+916．
20.(本小题8.0分)
求出下列x的值：
(1)−27x3+8=0
(2)3(x−1)2−12=0
21.(本小题8.0分)
如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
(1)在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；
(2)在图2，图3中，分别画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．(两个三角形不全等)
22.(本小题8.0分)
已知2a−1的平方根是±3，3a+b−1的立方根是2，求2a−b的平方根．
23.(本小题8.0分)
如图，在四边形ABCD中，AB=BC=2，CD=3，AD=1，且∠ABC=90∘，求∠DAB的度数．
24.(本小题8.0分)
如图，▵ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，F为CA的延长线上一点，过点F作FG⊥BC于G点，并交AB于E点，试说明下列结论成立的理由：
(1)AD//FG；
(2)▵AEF是等腰三角形
25.(本小题8.0分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
(1)判断DE与DP的位置关系，并说明理由；
(2)若AC=6，BC=8，PA=2，求线段DE的长．
26.(本小题8.0分)
如图，▵ABC中，∠C=90∘，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2cm，设出发的时间为t秒．

(1)出发1秒后，
▵ABP的周长=______；
(2)当t=______时，▵BCP是以BP为底边的等腰三角形；
(3)另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒1cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把▵ABC的周长分成相等的两部分？
27.(本小题8.0分)
如图，Rt▵ABC中，∠ACB=90∘，D为AB中点，点E在直线BC上(点E不与点B，C重合)，连接DE，过点D作DF⊥DE交直线AC于点F，连接EF．

(1)如图1，当点F与点A重合时，请直接写出线段EF与BE的数量关系：______．
(2)如图2，当点F不与点A重合时，请写出线段AF，EF，BE之间的数量关系，并说明理由；
(3)若AC=5，BC=3，EC=1，请直接写出线段AF的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴．
【详解】解：A、不是 轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义．
2.【答案】A
【解析】根据勾股定理的逆定理逐项计算可得．
【详解】选项A，12+12=( 2)2；
选项B，22+32≠42；
选项C，42+52≠62；
选项D，62+82≠112；
根据勾股定理的逆定理，只有选项A符合条件，
故答案选A．
考点：勾股定理的逆定理．
3.【答案】C
【解析】无理数是无限不循环小数，包括三方面的数：①含π的数，②开方开不尽的根式，③一些有规律的数，根据以上三方面对各选项逐一进行判断即可．
【详解】A．227是分数，是有理数，故该选项不符合题意，
是有限小数，是有理数，故该选项不符合题意，
C.π3是含π的数，是无理数，故该选项符合题意，
D. 81=9，是整数，是有理数，故该选项不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了对无理数和有理数的理解和运用，注意：无理数是指无限不循环小数，包括：含π的、开方开不尽的根式、一些有规律的数等，化简后进行判断是否是无理数即可．
4.【答案】D
【解析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：则7nm用科学记数法表示为7×10−9m.
故选D．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
5.【答案】C
【解析】由2= 4， 3< 4< 5，进行判断即可．
【详解】解：∵2= 4， 3< 4< 5，
∴a>b>c，
故选：C．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，算术平方根．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
6.【答案】C
【解析】先分情况讨论：80°是等腰三角形的底角或80°是等腰三角形的顶角，再根据三角形的内角和定理进行计算．
【详解】解：当80°是等腰三角形的顶角时，则顶角就是80°，底角为12(180°−80°)=50°；
当80°是等腰三角形的底角时，则顶角是180°−80°×2=20°．
∴等腰三角形的底角为50°或80°；
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
7.【答案】B
【解析】根据直角三角形斜边上中线定理得出CD=AD，求出∠DCA=∠A，根据三角形的外角性质求解即可．
【详解】解：∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，
∴BD=CD=AD，
∴∠A=∠DCA=20°，
∴∠BDC=∠A+∠DCA=20°+20°=40°．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质，直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形性质等知识点的理解和运用，能求出BD=CD=AD和∠DCA的度数是解此题的关键．
8.【答案】B
【解析】根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求得AB= 2AD= 2BD，AC= 2AC= 2CE,BC= 2CF= 2BF，再根据勾股定理可得AC2+BC2=AB2,AB=4，最后根据三角形面积公式进行求解即可．
【详解】在Rt△ABD中，AD=BD,AB2=AD2+BD2
∴AB2=2AD2
∴AB= 2AD= 2BD
同理，AC= 2AC= 2CE,BC= 2CF= 2BF
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2,AB=4
∴S阴影=S△ABD+S△ACE+S△BCF
=12×AD×BD+12×AE×CE+12×CF×BF
=12×AB 22+12×AC 22+12×BC 22
=14×AB2+14×AC2+14×BC2
=14×42+14×42
=8
故答案为：B．
【点睛】本题考查了阴影部分的面积问题，掌握等腰直角三角形的性质、勾股定理是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】分别过B、D作AE的垂线，垂足分别为F、G，证明ΔBFC≌ΔCGD，即可证明BF=CG，进一步计算即可得出答案．
【详解】解：分别过B、D作AE的垂线，垂足分别为F、G，
∵，CD⊥BC，
，
∴∠FBC=∠GCD，
在▵BFC和▵CGD中；
∠BFC=∠CGD∠FBC=∠GCDBC=CD,
∴▵BFC≌▵CGD，
∴BF=CG，
∵AB=BC=CD=DE=5cm，
∴▵ABC,▵CDE均为等腰三角形，
∵AC=6cm，
∴FC=12AC=3cm，
∴BF= BC2−FC2= 52−32=4cm，
∴CE=2CG=2BF=2×4=8cm，
故选：D．
【点睛】本题主要考查等腰三角形判定与性质，全等三角形判定与性质以及勾股定理等知识点，正确画出辅助线是解决本题的关键．
10.【答案】B
【解析】如图，取BC的中点T，连接AT，ET.首先证明∠CEB=90∘，求出AT，ET，根据AE≥AT−ET，可得结论．
【详解】解：如图，取BC的中点T，连接AT，ET．
∵∠ABC=90∘，
∴∠ABD+∠CBD=90∘，
∵∠ABD=∠BCE，
∴∠CBD+∠BCE=90∘，
∴∠CEB=90∘，
∵CT=TB=6，
∴ET=12BC=6，AT= AB2+BT2= 82+62=10，
∵AE≥AT−ET，
∴AE≥4，
∴AE的最小值为4，
故选：B．
【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是求出AT，ET的长，属于中考常考题型．
11.【答案】±9
【解析】直接根据平方根的定义填空即可．
【详解】解：∵(±9)2=81，
∴81的平方根是±9．
故答案为：±9．
【点睛】本题考查了平方根，理解平方根的定义是解题的关键．
12.【答案】百分
【解析】根据近似数的精确度解答即可．
【详解】解：近似数2.30精确到百分位．
故答案为：百分．
【点睛】本题考查了近似数的精确度，属于基础题型，掌握解答的方法是关键．
13.【答案】6或4
【解析】分4cm是腰长和底边长，两种情况求解．
【详解】∵等腰三角形的周长为14cm，
当4cm是腰长时，
则底边长为14cm−4cm−4cm=6cm，
满足两边之和大于第三边，符合题意；
∵等腰三角形的周长为14cm，
当4cm是底边时，
则腰长为14cm−4cm2=5cm，
满足两边之和大于第三边，符合题意；
故底边长6cm或4cm，
故答案为：6或4．
【点睛】本题考查了等腰三角形的分类计算，三角形三边关系，熟练掌握分类计算是解题的关键．
14.【答案】 5−1
【解析】分析：根据勾股定理列式求出AB的长，即为AC的长，再根据数轴上的点的表示解答．
详解：由勾股定理得：AB= 22+12= 5，∴AC= 5，
∵点A表示的数是−1，∴点C表示的数是 5−1．
故答案为 5−1．
点睛：本题考查了勾股定理，实数与数轴，是基础题，熟记定理并求出AB的长是解题的关键．
15.【答案】49
【解析】首先利用勾股定理求得另一直角边的长度，然后结合图形求得小正方形的边长，易得小正方形的面积．
【详解】解∶根据勾股定理，得AF= EF2−AE2= 132−122=5．
所以AB=12−5=7．
所以正方形ABCD的面积为：7×7=49．
故答案是：49
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用勾股定理求得直角三角形的另一直角边的长度．
16.【答案】7
【解析】过点D作DF⊥AC于点F，根据AD是▵ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB得到DE=DF=4，结合S▵ABC=12AB•DE+12AC•DF=24计算即可．
【详解】如图，过点D作DF⊥AC于点F，
∵AD是▵ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，

∴DE=DF=4，
∵S▵ABC=12AB•DE+12AC•DF=24，DE=4，AB=5，
∴AC=7．
故答案为：7．
【点睛】本题考查了角的平分线的性质，三角形的面积，熟练掌握角的平分线的性质是解题的关键．
17.【答案】10
【解析】过点E作EF⊥BC，垂足为F，延长AD到H，交BC于点H，过点D作DG⊥EF，垂足为G，由直角三角形中30∘所对的直角边是斜边的一半可知BF=3.5，DG=1.5，然后由等腰三角形三线合一可知AH⊥BC，BH=CH，然后再证明四边形DGFH是矩形，从而得到FH=GD=1.5，最后根据BC=2BH计算即可．
【详解】解；过点E作EF⊥BC，垂足为F，延长AD到H，交BC于点H，过点D作DG⊥EF，垂足为G．
∵EF⊥BC，∠EBF=60∘，
∴∠BEF=30∘，
∴BF=12BE=12×7=3.5，
∵∠BED=60∘，∠BEF=30∘，
∴∠DEG=30∘．
又∵DG⊥EF，
∴GD=12ED=12×3=1.5，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AH⊥BC，且BH=CH．
∵AH⊥BC，EF⊥BC，DG⊥EF，
∴四边形DGFH是矩形．
∴FH=GD=1.5．
∴BC=2BH=2×3.5+1.5=10．
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查的是等腰三角形的性质，含30∘直角三角形的性质以及矩形的性质和判定，根据题意构造含30∘的直角三角形是解题的关键．
18.【答案】245
【解析】由等腰三角形的三线合一可得出AD垂直平分BC，利用勾股定理可求出AD的长，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，在▵ABC中，利用面积法可求出BQ的长度，此题得解．
【详解】解：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD垂直平分BC，
∴BP=CP，BD=12BC=12×8=4，∠ADB=90∘，
由勾股定理，得AD= AB2−BD2= 52−42=3．
如图，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，如图所示．

∵S▵ABC=12BC⋅AD=12AC⋅BQ，
∴BQ=BC⋅ADAC=8×35=245，
即PC+PQ的最小值是245．
故答案为：245．
【点睛】本题考查了垂线段最短问题、等腰三角形的性质以及三角形的面积、勾股定理，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
19.【答案】【小问1详解】
解：原式=2+ 3−2，
= 3；
【小问2详解】
解：原式=4−3− 2516，
=1−54，
=−14．

【解析】(1)利用负整数指数幂运算和绝对值的化简运算即可；
(2)利用算术平方根和立方根性质化简计算即可．
【点睛】此题考查了实数的运算，正确化简各数是解题的关键．
20.【答案】【小问1详解】
解：∵−27x3+8=0，
∴−27x3=−8，
则x3=827，
解得：x=23；
【小问2详解】
∵3(x−1)2−12=0，
∴3(x−1)2=12，
∴(x−1)2=4，
则x−1=±2，
解得：x=3或x=−1．

【解析】(1)先移项得到x3=827，然后根据求立方根的方法解方程即可；
(2)先移项得到x−12=4，然后根据求平方根的方法解方程即可．
【点睛】本题主要考查了利用求立方根，平方根的方法解方程，解题的关键在于能够熟练掌握求平方根和立方根的方法．
21.【答案】解：(1)如图1所示，即为所求作的三角形：
(2)如图2、3所示，即为所求作的三角形：


【解析】(1)画一个直角边分别为3和4的直角三角形，根据勾股定理斜边为5符合题意；
(2)画一个边长为 2,2 2, 10和边长为 5, 5, 10的直角三角形即可(符合题意即可)．
【点睛】本题考查利用勾股定理画图．掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，并能根据题中限制条件画图是解题关键．
22.【答案】解：∵2a−1的平方根是±3，
∴2a−1=9，
∴a=5，
∵3a+b−1的立方根是2，
∴3a+b−1=8，
∴b=−6，
∴2a−b=16，
∴2a−b的平方根是±4．

【解析】根据平方根和立方根得出2a−1=9，3a+b−1=8，求出a、b的值即可，然后代入计算求平方根即可．
【点睛】本题考查了对平方根和立方根定义的应用，关键是能根据题意得出算式2a−1=9和3a+b−1=8．
23.【答案】【详解】解：连接AC，

∵AB=BC=2，且∠ABC=90∘，
∴AC2=8，且∠CAB=45∘，
又∵AD=1，CD=3，
∴AD2+AC2=CD2，
∴∠CAD=90∘，
∴∠A=∠CAD+∠CAB=135∘．

【解析】连接AC，根据已知条件得出▵ABC是等腰直角三角形，进而得出∠BAC=45∘，利用勾股定理得出AC2，利用勾股定理的逆定理证得▵ACD是直角三角形，∠CAD=90∘，即可求出∠DAB．
【点睛】本题考查勾股定理以及勾股定理的逆定理的运用，熟练掌握勾股定理以及利用勾股定理判定直角三角形是解题关键．
24.【答案】【小问1详解】
∵AB=AC，D为BC边的 中点，
∴AD⊥BC，
∵FG⊥BC，
∴AD//FG；
【小问2详解】
∵AB=AC，D为BC边的中点，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AD//FG
∴∠F=∠CAD,∠AEF=∠BAD，
∴∠F=∠AEF，
∴AF=AE，
即▵AEF是等腰三角形．

【解析】(1)根据等腰三角形的性质推出AD⊥BC，根据平行线的判定推出即可；
(2)根据等腰三角形的性质得到∠BAD=∠CAD，根据平行线的性质得出∠F=∠CAD，∠AEF=∠BAD，推出∠F=∠AEF，根据等腰三角形的判定即可得到结论．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，平行线的性质和判定等知识点的应用，能运用等腰三角形的性质(三线合一定理)进行推理是解此题的关键，题目比较典型，难度适中．
25.【答案】解：(1)DE⊥DP，
理由如下：∵PD=PA，
∴∠A=∠PDA，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴EB=ED，
∴∠B=∠EDB，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠PDA+∠EDB=90°，
∴∠PDE=180°−90°=90°，
∴DE⊥DP；
(2)连接PE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8−x，
∵∠C=∠PDE=90°，
∴PC2+CE2=PE2=PD2+DE2，
∴42+(8−x)2=22+x2，
解得：x=4.75，
则DE=4.75．

【解析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠A=∠PDA，根据线段垂直平分线的性质得到EB=ED，于是得到结论；
(2)连接PE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8−x，根据勾股定理即可得到结论．
【点睛】本题考查勾股定理、等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握勾股定理、等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质．
26.【答案】【小问1详解】
当t=1时，
根据题意，CP=2tcm=2cm，
∵∠C=90∘，AB=5cm，BC=3cm，
∴AC= AB2−BC2=4cm,PB= CB2+PC2= 13cm，
∴AP=2cm，

∴▵ABP的周长为AB+AP+PB=2+5+ 13=7+ 13cm．
故答案为：7+ 13．
【小问2详解】
如图，当点P在AC上时，
∵CP=2tcm，BC=3cm，BC=PC，
∴2t=3，
解得t=32；

当点P在AB上时，
BC=3cm，BC=PC，
∴PB=9−2tcm，
过点C作CD⊥AB于点D，
根据题意，得CD=AC•CBAB=125，PD=BD，
∴PD=BD= BC2−CD2=95cm
. ∴PB=2PD=185cm，
∴185=9−2t，
解得t=2.7；
故当t=2.7s或t=32s时，▵BCP是以BP为底边的等腰三角形，
故答案为：32s或2.7s．
【小问3详解】
当点P 在 AC上，点Q在BC上时，

根据题意，得到CP=2tcm，CQ=tcm，
∴▵ABC的周长分成的两部分是PC+CQ=2t+t=3tcm，另一部分为3+4+5−PC+CQ=12−3tcm，
∴12−3t=3t，
解得t=2s；
当点P在BC上，点Q在AB上时，
根据题意，得到点P的运动路程为2tcm，点Q的运动路程为tcm，
∴▵ABC的周长分成的两部分是24−3tcm，另一部分为3t−12cm，
∴3t−12=24−3t，
解得t=6s；
当点P在BC上，点Q在AC上时，
根据题意，得到点P的运动路程为2tcm，点Q的运动路程为tcm，此时t>3+5，即t>8，则2t>16，不符合题意，
故运动时间为2s或6s．

【解析】(1)根据题意，CP=2tcm，根据勾股定理，AC= AB2−BC2=4cm，PB= CB2+PC2= 13cm计算周长即可．
(2)点P在AC，AB上两种情形计算即可．
(3)分三种情形计算即可．
【点睛】本题考查了勾股定理，一元一次方程的 应用，等腰三角形的性质，分类思想，熟练掌握勾股定理，等腰三角形的性质是解题的关键．
27.【答案】【小问1详解】
解：结论：EF=BE．
理由：如图1中，

∵AD=DB，DE⊥AB，
∴DE垂直平分AB，
∴EF=EB．
【小问2详解】
结论：AF2+BE2=EF2．
理由：如图2中，过点A作AJ⊥AC交ED的延长线于J，连接FJ．

∵AJ⊥AC，EC⊥AC，
∴AJ//BE，
∴∠AJD=∠DEB，
在▵AJD和▵BED中，
∠AJD=∠DEB∠ADJ=∠BDEAD=BD,
∴▵AJD≌▵BED(AAS)，
∴AJ=BE，DJ=DE，
∵DF⊥EJ，
∴FJ=EF，
∵∠FAJ=90∘，
∴AF2+AJ2=FJ2，
∴AF2+BE2=EF2．
【小问3详解】
如图3−1中，当点E在线段BC上时，设AF=x，则CF=5−x．
∵BC=3，CE=1，
∴BE=2，
∵EF2=AF2+BE2=CF2+CE2，
∴x2+22=(5−x)2+12，
∴x=115，
∴AF=115．
如图3−2中，当点E在线段BC的延长线上时，设AF=x，则CF=5−x．

∵BC=3，CE=1，
∴BE=4，
∵EF2=AF2+BE2=CF2+CE2，
∴x2+42=(5−x)2+12，
∴x=1，
∴AF=1，
综上所述，满足条件的AF的长为115或1．

【解析】(1)结论：EF=BE.利用线段的垂直平分线的性质证明即可．
(2)结论：AF2+BE2=EF2如图2中，过点A作AJ⊥AC交ED的延长线于J，连接FJ.证明▵AJD≌▵BED(AAS)，推出AJ=BE，DJ=DE，再证明FJ=EF，可得结论．
(3)分两种情形：如图3−1中，当点E在线段BC上时，如图3−2中，当点E在线段BC的延长线上时，设AF=x，则CF=5−x.构建方程求解即可．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．