八年级数学第三次月考（江苏专用，测试范围：苏科版八上第1-5章）：2023-2024学年八年级数学上学期第三次月考

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：八上第1-5章（苏科版）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一项是符合题目要求的。）
1．下列图案是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形：一个图形如果沿一条直线折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形；中心对称图形：一个图形绕某个点旋转180度后能与原图完全重合的图形；由此问题可求解．
【详解】解：A、是中心对称图形但不是轴对称图形，故符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
C、既是轴对称图形也是中心对称图形，故不符合题意；
D、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；
故选A．
2．下列各式中，计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据算术平方根的含义可判断A，C，根据平方根的含义可判断B，D，从而可得答案．
【详解】解：，故A不符合题意；
，故B不符合题意；
，故C不符合题意；
，故D符合题意；
故选D
3．下列各组数据，是勾股数的是（ ）
A．，，B．C．D．12，16，20
【答案】D
【分析】根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数解答即可．
【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故错误；
B、因为，根据三角形的三边关系，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，故错误；
C、，能构成直角三角形，但不是整数，故错误；
D、，能构成直角三角形，且12，16，20是正整数，故正确．
故选：D．
4．点到轴的距离是（ ）
A．3B．5C．D．
【答案】A
【分析】根据点到y轴的距离是横坐标的绝对值，即可解答．
【详解】解：点到轴的距离是，
故选：A．
5．如图，点，，在同一直线上，，，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据全等三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，，
∵点，，在同一直线上，
∴，
故选：B．
6．如图，在中，垂直平分，分别交、于、，连接，平分，交于，若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得到，则，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，接着利用三角形外角性质计算出，所以，然后利用三角形外角性质计算的度数．
【详解】解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
故选：．
7．意大利著名画家达·芬奇用如图所示（四边形，四边形，四边形都为正方形，设图①中空白部分的面积为，图③中空白部分的面积为）的方法验证了勾股定理，步骤如下所示，则下列判断不正确的是（ ）
第一步：由图①可得；
第二步：由图③可得
第三步：由，可验证

A．★表示B．●表示
C．◆表示=D．▲表示
【答案】B
【分析】根据图形表示出，即可求解．
【详解】解：由图①可得，
∴★表示，故A正确；
由图③可得 ，故B错误；
∴，，
∴，故C、D正确；
故选：B．
8．如图，在中，点，是边上的两点，，，下列条件中不能判定的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据三角形的判定定理逐项判断即可．
【详解】根据判定三角形全等，不符合题意，故选项A错误．
不能判定三角形全等，符合题意，选项B正确．
证得，能判定三角形全等，不符合题意，故选项C错误．
证得，能判定三角形全等，不符合题意，故选项D错误．
故选：B．
9．如图，在中，，，点D在上，，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质可得，再根据直角三角形的性质可得，，从而可得，即，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
10．如图，中，垂直的角平分线于为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（ ）
A．18B．16C．15D．12
【答案】A
【分析】延长交的延长线于点H．设交于点O．通过证明，，得出，
则当时，的面积最大，即可求解．
【详解】解：延长交的延长线于点H．设交于点O．

∵，
∴，
∴，°，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，∴，
∵，
∴，，
∵，
∵，
∴当时，的面积最大，最大面积为．
故选：A．
二、填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分．）
11．的值是 ．
【答案】
【分析】根据立方根的定义可得答案
【详解】解：，
故答案为：．
12．比较大小： ．（填 “＞”“＝”或“＜”）
【答案】＞
【分析】将3和分别平方，比较这两个数的平方，平方大的数，则原数较大．
【详解】，
，
．
故答案为：＞．
13．在平面直角坐标系中，将点向左平移5个单位长度，得到点，则点的坐标是 ．
【答案】
【分析】向左平移5个单位长度，即点的横坐标减5，纵坐标不变，从而即可得到的坐标．
【详解】解：点向左平移5个单位长度后，
坐标为，
即的坐标为，
故答案为：．
14．点A在第二象限，它到x轴的距离是它到y轴距离的2倍，请写出一个满足条件的点A的坐标 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】利用第二象限内点的坐标特征求解即可．
【详解】解：∵点A在第二象限，
∴点A的横坐标为负，纵坐标为正，
∵点A到x轴的距离是它到y轴距离的2倍，
∴点A的坐标为（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）．
15．如图，在中，平分，则点到的距离为 ．
【答案】2
【分析】作交于，根据角平分线的性质定理可得，从而得到答案．
【详解】解：如图，作交于，
，
平分，，，，
，
点到的距离为2，
故答案为：2．
16．在中，是边上的高，平分交于点，，，则的面积是 ．

【答案】12
【分析】根据平分的条件，容易想到作，构造，则，又已知，故可求得的面积．
【详解】过点E作，垂足为F，如图．

∵平分，是边上的高，
∴，
又∵
∴
∴，又
∴
∴
故答案为：12．
17．如图所示，若开始输入x等于4，则最后输出的结果y是 ．

【答案】
【分析】把代入程序中计算，判断结果是无理数还是有理数，以此类推，得到结果是无理数，输出即可．
【详解】解：把代入运算程序得：，是有理数，
把代入运算程序得：，是无理数，
则输出的数为，
故答案为：．
18．如图所示，将长方形沿直线折叠，使点落在点处，交于，，，则的长为 ．

【答案】
【分析】根据折叠和平行线的性质得到，设，则，根据勾股定理求出得到的长．
【详解】解：如图，

由题意可知，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
在中，
∵，
∴，
解得，
即，
故答案为：．
19．李老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽AM上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．
有以下结论：
①当，时，可得到形状唯一确定的
②当，时，可得到形状唯一确定的
③当，时，可得到形状唯一确定的
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】②③/③②
【分析】分别在以上三种情况下以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，观察弧与直线AM的交点即为Q点，作出后可得答案．
【详解】如下图，当∠PAQ=30°，PQ=6时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出，发现两个位置的Q都符合题意，所以不唯一，所以①错误．
如下图，当∠PAQ=90°，PQ=10时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出，发现两个位置的Q都符合题意，但是此时两个三角形全等，所以形状相同，所以唯一，所以②正确．
如下图，当∠PAQ=150°，PQ=12时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出，发现左边位置的Q不符合题意，所以唯一，所以③正确．
综上：②③正确．
故答案为：②③
20．如图，在中，，两锐角的角平分线交于点，点，分别在边，上，且都不与点重合，若，连接，当，，时，则的周长为 ．

【答案】4
【分析】根据题意过点作于，于，于，在上取一点，使得，连接，，进而利用全等三角形的性质证明，即可得出结论．
【详解】解：如图，过点作于，于，于，在上取一点，使得，连接，．

平分，平分，，，，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
的周长，
，
，
的周长为，
故答案为：．
三、解答题（本题共6小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
21．（10分）计算：
(1)；(2)．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据乘方及绝对值性质、平方根性质计算即可；
（2）根据立方根、平方根性质计算即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：．
22．（6分）如图，在的正方形网格中，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）．

(1)在图中作出关于直线l对称的（要求A与，B与，C与相对应）
(2)在直线l上找一点P，使得的周长最小
(3)的面积为 ．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)5
【分析】（1）分别作出点A、B、C关于直线l对称的点，然后顺次连接；
（2）连接与l的交点即为点P，此时的周长最小．
（3）利用割补法求解即可．
【详解】（1）解：所作图形如图所示；
（2）解：点P即为所求的点．

由轴对称知，又的长为定值，
∴的周长为，
∴当，，共线时，的周长最小．
（3）的面积．
23．（10分）如图，小刚站在河边的A点处，在河对岸的B处有一电线塔（小刚的正北方向），他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了20步到达一棵树C处，接着再向前走了20步到达D处，然后再左转直行，当小刚看到电线塔B、树C与自己现处的位置E在一条直线时，他共走了120步.
(1)根据题意，画出示意图；
(2)若小刚一步约米，请求出A、B两点间的距离（写出推理过程）.
【答案】(1)见解析(2)40米，见解析
【分析】（1）根据上北下南，左西右东，直角的意义，共线的条件画图即可．
（2）根据三角形全等，得到步，结合一步约米，代入计算即可．
【详解】（1）根据上北下南，左西右东，直角的意义，共线的条件画图如下：

则画图即为所求．
（2）∵，
∴，
∴步，
∵一步约米，
∴（米），
答：A、B两点间的距离约为40米．
24．（10分）勾股定理是重要的数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具，也是数形结合的纽带．

(1)应用场景——在数轴上画出表示无理数的点．
如图1，在数轴上找出表示3的点A，过点A作直线L垂直于，在L上取点B，使，以原点O为圆心，为半径作弧，求弧与数轴的交点C表示的数．
(2)应用场景2——解决实际问题．
如图2，秋千静止时，踏板离地的垂直高度m，将它往前推6m至C处时，水平距离m，踏板离地的垂直高度m，它的绳索始终拉直，求绳索的长．
【答案】(1)(2)7.5m
【分析】（1）勾股定理求出的长，进而得到的长，即可得出结论；
（2）设秋千绳索的长度为xm，在中，利用，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：在中，，
∴，
∴点C表示的数是；
故答案为：．
（2）解：设秋千绳索的长度为xm，
由题意可得xm，
四边形为矩形，，
∴，
在中，，
即
解得；
即的长度为7.5m；
答：绳索的长为7.5m．
25．（12分）综合与实践——折纸中的数学
折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们可以得到许多美丽的图形，折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识．将长方形纸片（长方形的对边平行且相等，四个内角都是直角），按下列要求折叠．
(1)如图1，将长方形纸条沿直线折叠，点C落在处，点D落在处，交于点G．
①若，则________；
②若，求的度数．
(2)在图1的基础上，将四边形沿某一直线折叠，使得或落在直线上，折痕为，则折痕有怎样的位置关系，并说明理由．
(3)若，按图2方式折叠，点在一条直线上．若四边形的面积记为，四边形的面积记为，则的值是否有最大值？若有，求出这个值；若没有，请说明理由．
【答案】(1)①，②
(2)或，理由见详解
(3)的值有最大，最大值为27，理由见详解
【分析】（1）①由题意可知，根据折叠的性质可得，然后可得，进而可求解；②由①的思路及三角形内角和可得，然后问题可求解；
（2）由题意可分当落在直线上和当落在直线上，然后根据折叠的性质可进行分类求解；
（3）由折叠的性质可知，然后根据（2）中的结论可知，若要使的值最大，则需满足的面积最小，即当时，进而问题可求解．
【详解】（1）解：①由长方形可知：，
∴，
由折叠的性质可知，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为；
②由①可知：，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：或，理由如下：
当落在直线上时，如图所示：
由（1）可知，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∴；
当落在直线上，如图所示：
由折叠的性质可知，
∵，
∴，即，
∴；
（3）解：的值有最大，最大值为27，理由如下：
由按图2方式折叠，点在一条直线上，即可由（2）知：
，
∴，
由折叠的性质可知，
∵，
∴若要使的值最大，则需满足的面积最小，即当时，此时，
∴的面积最小值为9，
∴的最大值为．
26．（12分）情境观察：

如图1，中，，，，，垂足分别为D、E，与交于点F．
①写出图1中所有的全等三角形 ；
②线段与线段的数量关系是 ．
问题探究：
如图2，中，，，平分，，垂足为D，与交于点E．求证：．
拓展延伸：
如图3，中，，，点D在上， ，，垂足为E，与交于点F．求证：．
【答案】情境观察：①；；②；问题探究：见解析；拓展延伸：见解析
【分析】情境观察：①由全等三角形的判定方法容易得出结果；
②由全等三角形的性质即可得出结论；
问题探究：延长、交于点G，由证明，得出对应边相等，即，证出，由证明，得出即可；
拓展延伸：作交的延长线于G，同上证明三角形全等，得出即可．
【详解】解：情境观察：①∵，，
∴，
∵，
∴；
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
∴图1中所有的全等三角形为，；
故答案为：，；
②∵，
∴，
∵，
∴．
∴线段与线段的数量关系是：；
故答案为：．
问题探究：
证明：延长、交于点G，如图2所示：

∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
拓展延伸：
解：作交的延长线于G，交于点H，如图3所示：

∵中，，，
∴为等腰直角数形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．